論文の概要、ライセンス

# (参考訳) 順序統計のためのエントロピーCLT [全文訳有]

Entropic CLT for Order Statistics ( http://arxiv.org/abs/2205.04621v1 )

ライセンス: CC BY 4.0
Martina Cardone and Alex Dytso and Cynthia Rush(参考訳) 中央順序統計が中心極限挙動を示し、サンプルサイズが大きくなるにつれてガウス分布に収束することが知られている。 本稿では,CLTのエントロピーバージョンを確立し,相対エントロピーを用いてより強い収束モードを確保することにより,この既知の結果を強化する。 特に、次数$O(1/\sqrt{n})$収束率は、順序統計を生成するサンプルの親分布に関する穏やかな条件の下で成立する。 この結果を証明するために、順序統計に関する補助的な結果が導出される。

It is well known that central order statistics exhibit a central limit behavior and converge to a Gaussian distribution as the sample size grows. This paper strengthens this known result by establishing an entropic version of the CLT that ensures a stronger mode of convergence using the relative entropy. In particular, an order $O(1/\sqrt{n})$ rate of convergence is established under mild conditions on the parent distribution of the sample generating the order statistics. To prove this result, ancillary results on order statistics are derived, which might be of independent interest.
公開日: Tue, 10 May 2022 01:37:55 GMT

※ 翻訳結果を表に示しています。PDFがオリジナルの論文です。翻訳結果のライセンスはCC BY-SA 4.0です。詳細はトップページをご参照ください。

翻訳結果

    Page: /      
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Entropic CLT for Order Statistics 順序統計のためのエントロピーCLT 0.70
∗ University of Minnesota, Minneapolis, MN 55404, USA, Email: mcardone@umn.edu ∗ University of Minnesota, Minneapolis, MN 55404, USA, Email: mcardone@umn.edu 0.47
⋆ New Jersey Institute of Technology, Newark, NJ 07102, USA Email: alex.dytso@njit.edu † Columbia University, New York, NY 10025, USA, Email: cynthia.rush@columbi a.edu ニュージャージー州工科大学 (newark, nj 07102, usa email: alex.dytso@njit.edu ] columbia university, new york, ny 10025, usa, eメール: cynthia.rush@columbi a.edu 0.85
Martina Cardone∗, Alex Dytso⋆, Cynthia Rush† マルティナ・カルドーネ∗, アレックス・ディッソー, シンシア・ラッシュ 0.57
2 2 0 2 y a M 0 1 2 2 0 2 y a m 0 1 である。 0.53
] T I . s c [ 1 v 1 2 6 4 0 T-I。 sc [ 1 v 1 2 6 4 0 0.44
. 5 0 2 2 : v i X r a . 5 0 2 2 : v i X r a 0.42
Abstract—It is well known that central order statistics exhibit a central limit behavior and converge to a Gaussian distribution as the sample size grows. 抽象 — 中心順序統計が中心極限挙動を示し、サンプルサイズが大きくなるにつれてガウス分布に収束することが知られている。 0.76
This paper strengthens this known result by establishing an entropic version of the CLT that ensures a stronger mode of convergence using the relative entropy. 本稿では,CLTのエントロピーバージョンを確立し,相対エントロピーを用いてより強い収束モードを確保することにより,この既知の結果を強化する。 0.71
In particular, an order O(1/√n) rate of convergence is established under mild conditions on the parent distribution of the sample generating the order statistics. 特に、オーダー統計を生成するサンプルの親分布について、穏やかな条件下での収束の位数 O(1/n) が成立する。 0.74
To prove this result, ancillary results on order statistics are derived, which might be of independent interest. この結果を証明するために、順序統計に関する補助的な結果が導出される。 0.58
I. INTRODUCTION I. イントロダクション 0.64
Consider a random sample X1, X2, . . . , Xn drawn independently from a parent distribution having cumulative distribution function (cdf) F and probability density function (pdf) f . 累積分布関数(cdf)Fと確率密度関数(pdf)fとを有する親分布から独立して引き出されたランダムサンプルX1,X2,...,Xnを考える。 0.85
Let the random variables X(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n) denote the order statistics of the sample. 確率変数 x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) を標本の次数統計量とする。
訳抜け防止モード: 確率変数 X(1 ) ≤ X(2 ) ≤ . とする。 ≤ X(n) はサンプルの順序統計量を表す。
0.78
With this notation, X(1) corresponds to the minimum value of the sample, X(n) corresponds to the maximum value of the sample, and X( n+1 2 ) (provided that n is odd) corresponds to the median of the sample. この記法では、X(1) はサンプルの最小値に対応し、X(n) はサンプルの最大値に対応し、X(n+1 2 ) は標本の中央値に対応する。
訳抜け防止モード: この表記法により、X(1 ) はサンプルの最小値に対応する。 X(n) はサンプルの最大値に対応する。 そして X ( n+1 2 ) (n が奇数であれば) は標本の中央値に対応する。
0.79
Order statistics play an important role in statistical sciences; for example, order statistics are instrumental to constructing a class of robust estimators known as L-estimators. 順序統計は統計学において重要な役割を担い、例えば、順序統計はL推定器として知られる頑健な推定器のクラスを構築するのに役立っている。 0.66
The interested reader is referred to [1], [2] for comprehensive summaries on the application and theory of order statistics. 興味のある読者は、応用と順序統計理論に関する包括的要約に対して[1], [2] と呼ばれる。 0.74
In this paper, we study the asymptotic behavior of the distribution of the central order statistics, is we are interested in the distribution of X(pn) for a fixed p ∈ (0, 1) as n → ∞. 本稿では、中心順序統計量の分布の漸近挙動について研究し、固定された p ∈ (0, 1) に対して n → ∞ として X(pn) の分布に関心がある。 0.83
Our main contribution is the proof of a strong form of the central limit theorem (CLT) showing that the relative entropy between the Gaussian distribution and the distribution of the order statistics converges to 0 as n grows. 我々の主な貢献は、中心極限定理(CLT)の強い形式の証明で、ガウス分布と順序統計の分布の間の相対エントロピーが、n が大きくなるにつれて 0 に収束することを示すものである。 0.79
that A. Prior Work The study of the asymptotic distribution of order statistics has a long history. あれ A.先行作業 順序統計の漸近分布の研究は長い歴史を持っている。 0.72
For example, in [3] Laplace (already in 1818!) established asymptotic normality of the sample median. 例えば、[3] laplace (already in 1818!) ではサンプル中央値の漸近正規性が確立された。 0.76
The asymptotic normality of central order statistics was shown by Smirnov in [4] and, in [5], Smirnov proved a general convergence theorem establishing that a non-degenerate asymptotic distribution of X(rn) can be of only four different types, under the condition that √n( rn n − p) → 0 for a fixed p ∈ (0, 1). 中心次統計の漸近正規性は、 [4] においてスミルノフによって示され、[5] において、smirnov は、固定 p ∈ (0, 1) に対して sn( rn n − p) → 0 という条件の下で、x(rn) の非退化漸近分布が 4 つの異なる型しか持たないことを示す一般収束定理を証明した。 0.76
Further, in [6], [7], Balkema and Haan established that the distribution of order statistics is dense in the space of all distributions in the following sense: there exists a parent cdf such that the limiting cdf of X(rn) is any desired cdf for さらに、[6], [7], balkema, haan において、順序統計の分布は次の意味でのすべての分布の空間において密であることを示した: x(rn) の制限 cdf が任意の所望の cdf であるような親 cdf が存在する。 0.88
Authors are listed in alphabetical order. 著者はアルファベット順にリストされている。 0.62
an appropriately chosen sequence rn. 適切に選択されたシーケンスrn。 0.64
A succinct summary of these results can be found in [8, p.145]. これらの結果の簡潔な要約は [8, p.145] にある。 0.76
The asymptotic distribution of the joint order statistics has been studied in a series of papers [9], [10], [11], [12]. 合同順序統計の漸近分布は, [9], [10], [11], [12] の一連の論文で研究されている。 0.73
Berry-Esseen type results [13] for the order statistics have been shown by Reiss in [14]. Berry-Esseen型の結果[13]は[14]でReissによって示されている。 0.69
The convergence in the total variational distance has been studied in [12], [15], [16] and the law of the iterated logarithm for the order statistics has been shown in [17]. 12], [15], [16]では全変動距離の収束が研究され、[17]では順序統計に対する反復対数の法則が示されている。 0.71
Asymptotic results for random order statistics (i.e., X(ν) where ν is an integer valued random variable) have been considered in [18]. ランダム順序統計学の漸近結果(例えば ν が整数値のランダム変数である X(ν) )は [18] において検討されている。 0.89
All of the aforementioned results assume that the parent distribution has an absolutely continuous cdf, while the asymptotic distribution of discrete random variables has recently been considered in [19]. 上記の結果はすべて、親分布が絶対連続な cdf を持つと仮定する一方、離散確率変数の漸近分布は [19] において最近考慮されている。 0.87
The entropic CLT for the sample mean has been first studied by Linnik in [20] and later considerably generalized by Barron in [21]. サンプル平均のエントロピー clt は linnik によって [20] で最初に研究され、後に barron によって [21] でかなり一般化された。 0.68
There has also been some recent activity around finding the rates of convergence and the interested reader is referred to [22], [23], [24], [25], [26] and references therein. 収束率の発見に関する最近の活動も行われており、興味のある読者は[22], [23], [24], [25], [26]と参照されている。 0.69
Information measures on the distribution of order statistics have also received some attention [27], [28], [29], [30], [31], [29], [32], [33]. 注文統計の分布に関する情報も[27], [28], [29], [30], [31], [29], [32], [33]に注目されている。 0.66
For example, in [34] we showed that the fdivergence between the joint distribution of order statistics and the product distribution of order statistics does not depend on the parent distribution. 例えば、[34] において、順序統計の合同分布と順序統計の積分布とのfdivergenceは親分布に依存しないことを示した。 0.75
B. Contributions and Outline We establish an entropic version of the CLT for order statistics that ensures a strong mode of convergence in terms of relative entropy. b. 貢献と概要 我々は、相対エントロピーの観点から強い収束モードを保証する秩序統計のためのCLTのエントロピーバージョンを確立する。 0.72
In particular, in Section II we provide mild 特に第2節では軽度である。 0.57
conditions to ensure that D(X(np)kGn,p) = O (1/√n), where Gn,p is a Gaussian random variable and D(·k·) denotes the relative entropy. D(X(np)kGn,p) = O (1/n) を満たす条件では、Gn,p はガウス確率変数であり、D(·k·) は相対エントロピーを表す。 0.79
In order to prove the CLT, in Section III we derive some ancillary results on order statistics, which might be of independent interest. cltを証明するために、第3節では、独立した興味を持つかもしれない順序統計の補助的な結果を導出する。 0.55
For instance, we show a rather general bound on the moments of the order statistics in terms of properties of the parent distribution. 例えば、親分布の性質の観点から、順序統計のモーメントにかなり一般的な束縛を示す。 0.59
Finally, in Section IV we conclude the paper with a discussion on the necessity of the derived conditions for convergence. 最後に、第4節では、収束のための導出条件の必要性に関する議論で論文を締めくくっている。 0.63
In particular, we show that (although mild) some of the conditions might not be necessary, whereas others (or a variation of them) do appear to be needed to ensure convergence of the relative entropy. 特に、(軽度ではあるが)条件のいくつかは必要ないが、相対エントロピーの収束を保証するためには他の(またはそれらのバリエーション)が必要であることが示される。 0.76
Some of the proofs can be found in the appendices. 証明のいくつかは付録で見ることができる。 0.67
C. Notation Deterministic quantities are denoted by lower case letters and random variables are denoted by upper case letters (e g , C.表記 決定論的量は小文字で表され、乱数変数は小文字(eg)で表される。 0.66
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
x, X). x, x) である。 0.79
The differential entropy of a random variable V having pdf fV is defined and denoted by pdf fVを持つ確率変数Vの微分エントロピーを定義して表す。 0.71
h(V ) = −ZR h(V ) = −ZR 0.49
fV (v) log fV (v) dv. fV (v) log fV (v) dv。 0.40
(1) The relative entropy between W ∼ fW and V ∼ fV , respectively, is defined and denoted by (1) W > fW と V > fV の間の相対エントロピーは、それぞれ定義され、表される。 0.57
D(WkV ) =ZR D(WkV ) = ZR 0.46
fW (x) log fW (x) fV (x) fW (x) ログ fW (x) fV (x) 0.61
dx. (2) The inverse cdf, also known as the quantile function, of the cdf F is defined as dxだ (2) cdf f の分位関数としても知られる逆 cdf は、次のように定義される。 0.66
F −1(p) = inf{x ∈ R : p ≤ F (x)}, p ∈ (0, 1). F −1(p) = inf{x ∈ R : p ≤ F (x)}, p ∈ (0, 1) である。 0.87
(3) The inverse cdf will play an important role in our analysis. (3) 逆cdfは我々の分析において重要な役割を果たす。 0.61
In particular, we will often exploit the following well-known fact [35], 特に、よくよく知られた事実[35]を利用する。 0.51
X(k) d= F −1(U(k)), k ∈ {1, . . . , n}, X(k) d= F −1(U(k)), k ∈ {1, . , n} である。 0.63
(4) d= denotes equality in distribution and U(1), . . . , U(n) where are the order statistics of a sample drawn independently from a parent distribution that is uniform on (0, 1). (4) d= は分布の等式を表し、 u(1), . . , u(n) は (0, 1) 上に一様である親分布から独立に引き出された標本の順序統計である。 0.62
We will also frequently use the mean and variance of U(k), which can be characterized by noting that U(k) ∼ Beta(k, n + 1 − k) [35]; hence, for k ∈ {1, . . . , n}, E[U(k)] = しばしば u(k) の平均と分散を用いるが、これは u(k) が β(k, n + 1 − k) [35] であることから、k ∈ {1, . . , n}, e[u(k)] = である。
訳抜け防止モード: また、U(k) の平均と分散も頻繁に使う。 これは、U(k ) > Beta(k) に注意することによって特徴づけられる。 n + 1 − k ) [ 35 ] k ∈ { 1 , . . , n } に対して E[U(k ) ] =
0.75
, and Var(U(k)) = と var(u(k)) = 0.58
k(n + 1 − k) (n + 1)(n + 2)2 . k(n + 1 − k) (n + 1)(n + 2)2 である。 0.87
n + 1 (5) k n + 1 (5) k 0.57
The Lp-norm of a function f is denoted as 関数 f の Lp-ノルムは 0.53
kfkp =(cid:18)ZR |f (x)|p dx(cid:19) kfkp =(cid:18)ZR |f(x)|p dx(cid:19) 0.43
1 p , p ∈ [1,∞], 1P。 , p ∈ [1,∞], 0.33
where kfk∞ is understood as the essential supremum of f . ここで kfk∞ は f の本質的な上限と解釈される。 0.60
Throughout the paper, we will use the following notation to describe the limiting behavior of functions as its input tends to infinity. 論文全体を通して、入力が無限大になる傾向にある関数の制限挙動を記述するために、以下の表記を用いる。 0.72
We say that f (n) = O(g(n)) for two functions f and g if there exists a k > 0 and an n0 such that f (n) ≤ kg(n) for all n > n0. 2つの函数 f と g に対して f (n) = O(g(n)) であるとは、すべての n > n0 に対して f (n) ≤ kg(n) となる k > 0 と n0 が存在することをいう。 0.87
Similarly we say that f (n) = Θ(g(n)) if there exists a k1, k2 > 0 and an n0 such that k1g(n) ≤ f (n) ≤ k2g(n) for all n > n0. 同様に、f (n) = θ(g(n)) であるとは、すべての n > n0 に対して k1, k2 > 0 と k1g(n) ≤ f (n) ≤ k2g(n) が存在することを言う。 0.90
II. MAIN RESULT We begin this section by reviewing the classical CLT for the order statistics due to [35], and then present our entropic CLT result in Theorem 1. II。 主な結果 この節は、[35] による順序統計の古典的 CLT をレビューし、それからエントロピック CLT の結果を Theorem 1 に示すことから始めます。 0.66
In what follows, we let Gn,p ∼ N (µp, Vn,p) where (µp, Vn,p) are defined as 次の例では、(μp, Vn,p) が定義されている Gn,p > N (μp, Vn,p) とする。 0.82
µp = F −1(p), μp = F−1(p) 0.45
and Vn,p = そして Vn,p = 0.57
p(1 − p) p(1 − p) である。 0.77
n (f (F −1(p)))2 . n (f (F −1(p)))2 である。 0.85
(7) Consider a random sample X1, X2, . . . , Xn drawn independently from a parent distribution having cdf F and pdf f . (7) cdf f と pdf f を持つ親分布とは独立に描かれたランダムサンプル x1, x2, . . . , xn を考える。 0.64
The standard CLT for continuous central order statistics [35] guarantees that for a fixed p ∈ (0, 1), d→ Gn,p, 連続中心順序統計学の標準 CLT [35] は、固定された p ∈ (0, 1), d→ Gn,p に対して保証する。 0.87
X(np) (8) (where X(np) (8) (どこ) 0.55
d→ indicates convergence in distribution), provided that the following condition holds: t 7→ f (F −1(t)) is continuous at the point p and f (F −1(p)) > 0. t 7 → f (F −1(t)) は点 p において連続であり、f (F −1(p)) > 0 である。
訳抜け防止モード: d→は分布の収束を表し、次の条件が成り立つ: t 7 → f ( F −1(t ) ) は点 p において連続である。 f ( F −1(p ) ) > 0 である。
0.86
Our main result is that the following theorem, which provides a stronger mode of convergence than the classical CLT for order statistics at the expense of extra sufficient conditions. 我々の主な結果は次の定理であり、これは、余分な十分条件を犠牲にして順序統計の古典的 CLT よりも強い収束モードを与えるものである。 0.72
Theorem 1. Let X(1), . . . , X(n) be a seqeunce of order statistics generate i.i.d. according to parent cdf F with the pdf f , and let Gn,p ∼ N (µp, Vn,p) where (µp, Vn,p) are defined in (7). 理論1。 x(1), . . . . . , x(n) を pdf f を持つ親 cdf f によって生成される順序統計量のセクタンスとし、(μp, vn,p) が (7) で定義される gn,p , n (μp, vn,p) とする。 0.71
Fix some p ∈ (0, 1) and assume that p ∈ (0, 1) を固定し、それを仮定する。 0.76
1) kfkm < ∞ for some m ∈ [2,∞]; 1) ある m ∈ [2,∞] に対して kfkm < ∞ である。 0.89
2) f (F −1(p)) 6= 0, and f ′(F −1(t)) is continuous at t = p; 2) f (F −1(p)) 6= 0 であり、f ′(F −1(t)) は t = p で連続である。 0.91
3) E[|X|r] < ∞ for some r > 0. 3)ある r > 0 に対して e[|x|r] < ∞ である。 0.74
and Then, D(X(np)kGn,p) = O(cid:0)1/√n(cid:1) . そして そしたら D(X(np)kGn,p) = O(cid:0)1/\n(cid:1)。 0.72
Proof: We start by recalling the following well known property of the differential entropy (see for example [36]): given a differentiable and bijective function g, we have that 証明: 微分エントロピーの次のよく知られた性質を思い出すことから始める(例えば [36]): 微分可能かつ単射関数 g が与えられると、それは成り立つ。
訳抜け防止モード: 証明: 微分エントロピーの次のよく知られた性質(例えば [ 36 ] )を思い出すことから始める。 微分可能かつ単射関数 g が与えられたとき 私たちには
0.75
h (g(V )) = h(V ) + E [log |g′(V )|] . h(g(V )) = h(V ) + E[log |g′(V )|] である。 0.87
(9) Next, let Φn,p and φn,p denote the cdf and the pdf of Gn,p (with mean and variance in (7)), and define a function (9) 次に、 φn,p と φn,p を cdf と gn,p の pdf (平均と (7) における分散) とし、関数を定義する。 0.62
g(u) = Φn,p(F −1(u)), u ∈ (0, 1). g(u) = φn,p(f −1(u)), u ∈ (0, 1) である。 0.88
(10) The derivative of g(u) is given by (10) g(u) の微分は g(u) によって与えられる 0.51
g′(u) = d du g′(u) = D‐D 0.41
Φn,p(F −1(u)) = ~n,p(F −1(u)) = 0.48
φn,p(F −1(u)) f (F −1(u)) φn,p(F −1(u)) f(F −1(u)) 0.49
, u ∈ (0, 1), (11) , u ∈ (0, 1), (11) 0.39
D(X(np)kGn,p) D(X(np)kGn,p) 0.85
(a) (c) (b) (a) (c) (b) 0.43
= D(cid:0)Φn,p(X(np))kΦn,p (Gn,p)(cid:1) = D(cid:0)Φn,p(X(np))kU(cid:1) = −h(Φn,p(X(np))) = −h(Φn,p(F −1(U(np))) = −h(U(np)) − E[log |g′(U(np))|], = D(cid:0)、p(X(np))、p(X(np))、p(Gn,p)(cid:1) = D(cid:0)、p(X(np))、kU(cid:1) = −h(シュン,p(X(np))) = −h(シュン,p(F −1(U(np)))) = −h(U(np)) − E[log |g′(U(np)))|], 0.98
(d) (e) (12) (d) (e) (12) 0.43
where the labeled equalities follow because: ラベル付き平等が続くのは 0.47
(a) D(WkU ) = D(f (W )kf (U )) for any invertible function f ; (a) d(wku ) = d(f(w )kf(u )) 任意の可逆函数 f に対して 0.75
(b) FX (X) d= U for any random variable X with cdf FX ; b) cdf FX を持つ任意のランダム変数 X に対して FX (X) d= U 0.92
(c) D(XkU ) = −h(X) for any random variable X ∈ (0, 1); (c) d(xku ) = −h(x) 任意の確率変数 x ∈ (0, 1); 0.75
(d) (4); and (e) (9) and the definition of g in (10), which is bijective. (d)(4)、及び (e) (9) と (10) における g の定義は単射である。 0.58
Now we study the terms on the right-hand side of (12). では, (12) の右側の項について検討する。 0.63
In particular, we start focusing on the term E[log |g′(U(np))|]. 特に、E[log |g′(U(np))|] という用語に注目し始める。 0.61
First, notice that since φn,p(·) is the Gaussian pdf having mean and variance given in (7), we have まず、 φn,p(·) は (7) で与えられる平均と分散を持つガウスの pdf であることに注意する。 0.73
φn,p(F −1(u)) = φn,p(F −1(u)) = 0.50
exp(cid:16)− 1 exp(cid:16)− 1 0.46
2Vn,p (cid:0)F −1(u) − F −1(p)(cid:1)2(cid:17) 2Vn,p (cid:0)F −1(u) − F −1(p)(cid:1)2(cid:17) 0.43
. Therefore, using (11) and the above, we obtain . したがって (11) などを用いることで 0.52
p2πVn,p E[log |g′(U(np))|] p2πVn,p E[log |g′(U(np))|] 0.36
which is strictly positive. Therefore, g is bijective. 厳密には肯定的です したがって、g は単射である。 0.51
(6) Let U be the uniform random variable on (0, 1). (6) U を (0, 1) 上の一様確率変数とする。 0.55
Then, そしたら 0.62
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
1 1 1 2 = E(cid:20)log(cid:18) φn,p(F −1(U(np))) = − 1 1 1 2 E(cid:20)log(cid:18) φn,p(F −1(U(np))) = − 0.44
log (2πVn,p) − − E(cid:2)log(cid:0)f (F −1(U(np)))(cid:1)(cid :3) log(cid:18) 2πep(1 − p) 1 2 − log (2πvn,p) − − e(cid:0) f (f −1(u(np))(cid:1)(cid: 3) log(cid:18) 2πep(1 − p) 1 2 − 0.49
f (F −1(U(np)))(cid:19)(ci d:21) Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i (cid:19) + E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(p)) f (F −1(U(np)))(cid:19)(ci d:21) Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i , f (F −1(U(np)))(cid:19)(ci d:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:19) + E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(p)) f (F −1(U(np)))(cid:19)(ci d:21) Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i , 0.49
= − 2Vn,p 2Vn,p = − 2vn,p 2vn,p 0.43
1 2 + n 1 where the last equality follows by using the expression of Vn,p in (7). 1 2 + n 1 最後の等式は (7) における vn,p の式を用いて従う。 0.48
Now, combining (12) and (13), we find that さて、 (12) と (13) を組み合わせると、 0.62
(13) D(X(np)kGn,p) = K1 + K2 + K3, (13) D(X(np)kGn,p) = K1 + K2 + K3, 0.46
where K1 = K2 = どこに K1 = K2 = 0.52
1 2 log(cid:18) 2πep(1 − p) Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i − 1 2 log(cid:18) 2πep(1 − p) Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i − 0.43
(cid:19) − h(U(np)), (cid:19) − h(U(np))) 0.46
n 1 2Vn,p K3 = E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) n 1 2vn,p K3 = E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) 0.44
f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) . f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) である。 0.76
(14a) (14b) (14a) (14b) 0.47
(14c) (14d) (14c) (14d) 0.47
1 2 , is worth noting that K1 is independent of the parent It distribution, whereas the terms K2 and K3 both depend on the parent distribution. 1 2 , k1 は親の it 分布とは独立であり、k2 と k3 という用語はどちらも親分布に依存する。 0.54
In Section III, we will present ancillary results that show the following facts: 第3節では、以下の事実を示す副次的な結果を提示する。 0.63
(i) K1 = O(1/n) by Lemma 2; (i) K1 = O(1/n) by Lemma 2 0.44
(ii) K2 = O(1/√n) by Corollary 5 (this requires Assumptions (2) and (3)); and (ii)k2 = o(1/\n) を5で表す(これは仮定 (2) と (3) を必要とする)。 0.74
(iii) K3 = O(1/√n) by Lemma 6 (this requires Assumptions (1) and (2)). (iii) K3 = O(1/n) by Lemma 6 (これは仮定 (1) と (2))。 0.83
Combing these facts together with (14) and the non-negativity property of the relative entropy, we have that これらの事実と(14)と相対エントロピーの非負性性を組み合わせると、それが得られる。
訳抜け防止モード: これらの事実と (14 ) と相対エントロピーの非負性性を組み合わせる。 私たちには
0.76
D(X(np)kGn,p) = O(1/√n). D(X(np)kGn,p) = O(1/n)。 0.91
This concludes the proof of Theorem 1. これは定理 1 の証明を結論付ける。 0.74
We conclude this section by highlighting that a variety of different distributions (e g , uniform, Gaussian, exponential) satisfy the conditions of Theorem 1. この節を結論として、様々な分布(例えば、一様分布、ガウス分布、指数分布)が定理 1 の条件を満たすことを強調する。 0.75
Moreover, it is also interesting to note that the Cauchy distribution satisfies the conditions despite the fact that in this case E[|X|] = ∞; hence, the CLT for the sample mean does not hold. さらに、コーシー分布は E[|X|] = ∞ であるにもかかわらず条件を満たすので、サンプル平均の CLT は成り立たない。
訳抜け防止モード: さらに、この場合 E[|X| ] = ∞ であるにもかかわらず、コーシー分布が条件を満たすことにも注意する必要がある。 したがって、サンプル平均のCLTは保持されない。
0.75
This can be seen since the Cauchy pdf clearly satisfies the first two conditions コーシーのpdfは 最初の2つの条件を 明らかに満たしているからです 0.72
and E[|X|r] < ∞ for 0 < r < 1. そして、e[|x|r] < ∞ は 0 < r < 1 である。 0.75
III. ANCILLARY RESULTS In this section we present auxiliary results needed for the proof of Theorem 1, some of which may be of interest on their own. III。 治療成績 本節では、定理 1 の証明に必要な補助的な結果を示す。
訳抜け防止モード: III。 治療成績 本稿では,定理1の証明に必要な補助的な結果を示す。 そのうちのいくつかは 自分達の関心事かもしれません
0.59
A. Entropy of Uniform Order Statistics A. 一様順序統計のエントロピー 0.81
We provide the exact expression for the differential entropy of U(k) for k ∈ {1, . . . , n}, and an asymptotic expression for the entropy of U(pn) for p ∈ (0, 1) as n → ∞. 我々は、k ∈ {1, . . . . , n} に対する u(k) の微分エントロピーの正確な表現と、p ∈ (0, 1) に対する p ∈ (0, 1) の n → ∞ に対する u(pn) のエントロピーの漸近式を提供する。 0.78
The proof of Lemma 2 can be found in Appendix A. Lemma 2 の証明は Appendix A で見ることができる。 0.75
Lemma 2. For any k ∈ {1, 2, . . . , n}, レマ2号。 任意の k ∈ {1, 2, . , n} に対して。 0.69
h(U(k)) = Tk−1 + Tn−k − Tn − Hn, h(U(k)) = Tk−1 + Tn−k − Tn − Hn である。 0.85
(15) where for r ∈ N, with N denoting the natural numbers, (15) r ∈ N に対して、N は自然数を表す。 0.58
Hr = r Xk=1 Hr = r Xk=1 0.48
1 k , and Tr = log(r!) − rHr. 1k , そして Tr = log(r!) − rHr。 0.47
(16) Moreover, if k = pn for p ∈ (0, 1), then (cid:19) 12n2 + O(cid:18) 1 (16) さらに、p ∈ (0, 1) に対して k = pn であれば (cid:19) 12n2 + O(cid:18) 1 となる。 0.60
p + 1 1−p − 4 6n p + 1 1 −p − 4 6n 0.41
log(cid:18)2πe log(cid:18)2πe 0.35
h(U(np)) − h(U(np)) − 0.42
p(1 − p) p(1 − p) である。 0.77
1 2 = + n 1 1 2 = + n 1 0.43
1 n3(cid:19) . 1 n3 (cid:19)。 0.51
(17) It is interesting to note that (17) それ 興味深いことに 0.56
in Lemma 2, the rate of レマ2』に登場。 rate (複数形 rates) 0.40
convergence is O(1/n2) instead of O(1/n) for p = 1/2. 収束は p = 1/2 に対して O(1/n) の代わりに O(1/n2) となる。 0.64
B. Bound on the Estimation Error of the p-th Quantile B. p-th Quantileの推定誤差に関するバウンド 0.86
In practice, one might desire to estimate the p-th quantile F −1(p) of an unknown cdf F . 実際には、未知のcdf F の p 番目の量子化 F −1(p) を推定したいかもしれない。
訳抜け防止モード: 実際には欲しがるかもしれない 未知の cdf F の p - th Quantile F −1(p ) を推定する。
0.78
The order statistic X(np) based on an i.i.d. sample from the parent cdf F is a natural estimate for F −1(p). 親 cdf f からの i.i.d. サンプルに基づく順序統計量 x(np) は f −1(p) の自然な推定である。 0.83
It is well known that this estimator is consistent as n → ∞ [35]. この推定値は n → ∞ [35] と一貫していることはよく知られている。 0.75
The next result (see Appendix B for the proof) provides an upper bound on the mean squared error of estimating F −1(p) with X(np). 次の結果(証明の Appendix B を参照)は、X(np) で F −1(p) を推定する平均二乗誤差の上限を与える。 0.75
Lemma 3. Fix some p ∈ (0, 1), and assume a pdf f such that f (F −1(p)) 6= 0, and f ′(F −1(t)) is continuous at t = p. 第3弾。 ある p ∈ (0, 1) を固定し、f (F −1(p)) 6= 0 で f ′(F −1(t)) が t = p で連続であるような pdf f を仮定する。 0.75
Then, for any ǫ ∈ ( p Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i ≤ 4qE(cid:2)(X(np))4(c id:3)e−(n+2)(ǫ− p + Cp,ǫ O(cid:16)1/n すると、任意の sh ∈ ( p Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i ≤ 4qE(cid:2)(X(np))4(c id:3)e−(n+2)(\-p + Cp,\ O(cid:16)1/n に対して。 0.85
Var(U(np)) (f (F −1(p)))2 Var(U(np)) (f (F −1(p)))2 0.45
n+1 , p), we have that n+1 )2 n+1 , p) n+1)2。 0.45
(18a) + 3 where (18a) + 3 どこに 0.50
(18b) 2(cid:17) , t∈[p−ǫ, p+ǫ](cid:12)(cid:12)(cid :12)(cid:12) 18b年) 2(cid:17) , t→(cid:12)(cid:12)(cid :12)(cid:12) 0.55
Remark 1. Note that if the parent distribution is the uniform 備考1。 親分布が一様であることに注意。 0.55
f ′(F −1(t)) f ′(F −1(t)) 0.94
Cp,ǫ = max cp (複数形 cps) 0.20
(f (F −1(t)))3(cid:12)(cid: 12)(cid:12)(cid:12) on (0, 1), then F −1(x) = x for x ∈ (0, 1) and E[(F −1(U(np)) − F −1(p))2] = Eh(cid:0)U(np) − p(cid:1)2i (f (f −1(t)))3(cid:12)(cid: 12)(cid:12)(cid:12) on (0, 1), then f −1(x) = x for x ∈ (0, 1) and e[(f −1(u(np)) − f −1(p))2] = eh(cid:0)u(np) − p(cid:1)2i 0.48
. = Var(U(np)) +(cid:0)E[U(np)] − p(cid:1)2 . = Var(U(np)) +(cid:0)E[U(np)] − p(cid:1)2 0.45
= Var(U(np)) + = Var(U(np)) + 0.43
p2 (n + 1)2 , p2 (n + 1)2) 0.37
where we have used that E[U(np)] = np ここで e[u(np)] = np を使いました 0.63
n+1 (see (5)) so that (cid:0)E[U(np)] − p(cid:1)2 n+1 )2. n+1 なので (cid:0)e[u(np)] − p(cid:1)2 n+1 )2 となる。 0.90
In other words, there exists a distribution for which the bound in Lemma 3 is asymptotically tight as n → ∞. 言い換えると、補題 3 における境界が n → ∞ として漸近的に密であるような分布が存在する。 0.77
= ( p =(p) 0.44
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
C. New Bound on the Moments of Order Statistics C. 秩序統計のモーメントに関する新しい境界 0.81
D. Bound on K3 in (14) D. Bund on K3 in (14) 0.43
In order to control the error in Lemma 3 we need to control the fourth moment of the order statistics. Lemma 3の誤差を制御するためには、注文統計の4番目の瞬間を制御する必要がある。 0.72
Ideally, we would like to control this in terms of the properties of the parent distribution (e g , moments). 理想的には、親分布(例えば、モーメント)の性質の観点からこれを制御したい。 0.62
The next result, the proof of which is in Appendix D, establishes a rather general bound on the moments of the order statistics in terms of properties of the parent distribution. 次の結果は、付録 d に含まれる証明であり、親分布の性質の観点から順序統計のモーメントにかなり一般の束縛を与える。 0.59
We now conclude this section with the following lemma, the proof of which is given in Appendix F. In particular, Lemma 6 我々はこの節を以下の補題で締めくくる。証明はアペンディックスFで与えられる。
訳抜け防止モード: この節は以下の補題で締めくくります。 is given in Appendix F. in particular,Lemma 6
0.59
demonstrates that K3 = O(1/√n) as long as kfkm has a finite norm for any m ≥ 2 including m = ∞. kfkm が m = ∞ を含む任意の m ≥ 2 に対して有限ノルムを持つ限り、K3 = O(1/n) が証明される。
訳抜け防止モード: K3 = O(1/n) ) kfkm は m = ∞ を含む任意の m ≥ 2 に対して有限ノルムを持つ。
0.86
Lemma 6. Fix some p ∈ (0, 1). 第6回。 ある p ∈ (0, 1) を固定する。 0.71
Choose some q, r ∈ [1,∞] such that 1 ある q, r ∈ [1,∞] を選択して 1 とする。 0.82
r = 1 and ǫ > 0 such that r = 1 と s > 0 である。 0.88
q + 1 Lemma 4. q + 1 第4回。 0.48
Let X1, X2, . . . , Xn be an i.i.d. random sample. X1, X2, . . , Xn を i.i.d. ランダムサンプルとする。 0.84
For any q, r > 0 and k ∈ {1, 2, . . . , n}, we have that 任意の q, r > 0 と k ∈ {1, 2, . . , n} に対して、それは成り立つ。 0.87
E[|X(k)|q] ≤ Cn,k,q,r (E[|X|r]) E[|X(k)|q] ≤ Cn,k,q,r(E[|X|r]) 0.46
where Cn,k,q,r どこに Cn,k,q,r 0.55
q r , =( Γ(n+1)Γ(k− q ∞ q r である。 =(n+1) =(k−q ∞ 0.43
Γ(n− 2q r )Γ(n−k− q シュ(n−2q) r ) =(n−k− q 0.46
r +1) r +1)Γ(k)Γ(n−k+1) r+1) である。 r+1 (複数形 r+1s) 0.50
if k > q r , n − k > q otherwise. k > q ならば r , n − k > q である。 0.82
r − 1, r − 1 である。 0.76
In addition, lim n→∞ また、 lim n→∞ 0.39
Cn,pn,q,r = (p(1 − p)) Cn,pn,q,r = (p(1 − p)) 0.43
q r . (19) q r である。 (19) 0.55
Notice that Lemma 4 shows that all of the moments of the order statistics exist, provided that a single moment of the parent distribution, for any order r > 0, exists. 補題4は、任意の順序 r > 0 に対して親分布の1つのモーメントが存在することを条件として、順序統計のすべてのモーメントが存在することを示す。 0.76
We now conclude this subsection with the following corollary, which is an immediate consequence of Lemma 3 and Lemma 4 and is used in the proof of Theorem 1 to show that これはLemma 3 と Lemma 4 の即時帰結であり、定理 1 の証明に使われている。
訳抜け防止モード: 現在、この節は以下の節で締めくくっている。 Lemma 3 と Lemma 4 の即時的な結果である 定理1の証明に使われます
0.65
K2 = O(1/√n). k2 = o(1/n) である。 0.65
Corollary 5. Fix some p ∈ (0, 1). 第5話。 ある p ∈ (0, 1) を固定する。 0.63
Suppose that f (F −1(p)) 6= 0, f ′(F −1(t)) is continuous at t = p, and E[|X|r] < ∞ for some r > 0. f (f −1(p)) 6= 0, f ′(f −1(t)) が t = p において連続であり、ある r > 0 に対して e[|x|r] < ∞ であるとする。 0.85
Then, for Vn,p defined in (7), √n(cid:19) . すると、Vn,p は (7) で定義される(cid:19)。 0.80
Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i − Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i − 0.46
= O(cid:18) 1 = O(cid:18) 1 0.46
2Vn,p 1 2 1 2vn,p 1 2 1 0.43
Proof: We have that 証明:それがあります 0.69
1 2Vn,p (a) 1 2Vn,p (a) 0.46
1 2 1 2 Var(U(np)) 1 2 1 2 Var(U(np)) 0.42
Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i − + O(cid:18) 1 √n(cid:19) 2Vn,p (f (F −1(p)))2 − n2(n + 1 − np) √n(cid:19) + O(cid:18) 1 2(1 − p)(n + 1)(n + 2)2 − n + 1 − np √n(cid:19) + O(cid:18) 1 2(1 − p)n − √n(cid:19) , 2(1 − p)n eh(cid:0)f −1(u(np)) − f −1(p)(cid:1)2i − + o(cid:18) 1 sn(cid:19) 2vn,p (f(f −1(p)))2 − n2(n + 1 − np) sn(cid:19) + o(cid:18) 1 2(1 − p)(n + 1)(n + 2)2 − n + 1 − np sn(cid:19) + o(cid:18) 1 2(1 − p)n − sn(cid:19) , 2(1 − p)n。 0.46
+ O(cid:18) 1 + O(cid:18) 1 0.46
1 2 1 2 1 ≤ 1 2 1 2 1 ≤ 0.43
(b) = ≤ = where (a) follows by using Lemma 3 and Lemma 4 since (b) = ≤ = a) は Lemma 3 と Lemma 4 を用いて従う。 0.50
2pCn,np,4,r is O(1/√n) and (b) follows from (5) and (7). 2pCn,np,4,r は O(1/n) であり、(b) は (5) と (7) から続く。 0.77
r e−(n+2)(ǫ− p r e−(n+2)(n−p) 0.73
(E[|X|r]) n+1 )2 (E[|X|r]) n+1)2。 0.55
Vn,p + 2 Cp,ǫ 2Vn,p Vn,p + 2 cp,2vn,p 0.40
O(cid:18) 1 2(cid:19) O(cid:18) 1 2(cid:19) 0.42
n 3 , |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 (cid:27) . n 3 , |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 (cid:27) である。 0.60
Then, n + 1 そしたら n + 1 0.52
p > ǫ > max(cid:26) p E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) ≤ 2|log(f (F −1(p)))|e−2(n+2)(ǫ− p + 2Cq (kfkr+1) p > > max(cid:26) p E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) ≤ 2|log(f (F −1(p)))|e−2(n+2)(\-p + 2Cq (kfkr+1)) 0.44
2 (1− 1 r n 2 (1− 1 Rn 0.35
r+1 1 n+1 )2 r+1 1 n+1)2。 0.45
+ C(2) c (複数形 cs) 0.48
√n(cid:19) ǫ O(cid:18) 1 o(cid:18) 1 (cid:19) である。 0.59
q )e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 q )e−2(n+2)(a− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 0.33
)2 , where the universal constant Cq := e1+ 2 )2 , ここで普遍定数 Cq := e1+ 2 0.54
1 q −1 q− 1 1 q −1 q-1 0.40
2q and C(2) ǫ = max 2qと C(2) s = max である。 0.60
p−ǫ≤u≤p+ǫ(cid:12)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:12) p−n:12)(cid:12)(cid:12 )(cid:12)(cid:12) 0.30
q (cid:0)√2π(cid:1) (f (F −1 (u)))2(cid:12)(cid:1 2)(cid:12)(cid:12)(c id:12) f ′(cid:0)F −1 (u)(cid:1) q (cid:0)~2π(cid:1) (f (f −1 (u)))2(cid:12)(cid:1 2)(cid:12)(cid:12)(c id:12) f ′(cid:0)f −1 (u)(cid:1) 0.40
; IV. DISCUSSION AND CONCLUSION ; IV。 解離・解離 0.38
In this paper, we have derived an entropic version of the CLT for the order statistics that ensures a stronger mode of convergence (in terms of relative entropy) than the convergence in distribution provided by the classical CLT for continuous central order statistics [35]. 本稿では, CLT のエントロピーバージョンを, 連続中央順序統計量に対して古典的 CLT が提供する分布の収束よりも強い収束モード(相対エントロピーの観点から)を保証する順序統計量として導出した[35]。 0.83
The three sufficient conditions in Theorem 1 are fairly mild and we discuss them now in more detail. Theorem 1 の3つの十分条件はかなり穏やかであり、今より詳しく議論している。 0.80
We suspect that condition 3) (or a variation of it) in Theorem 1 might be needed for convergence. 定理 1 の条件 3(あるいはその変種)が収束するために必要かもしれないと仮定する。 0.71
To support this claim, consider the following density この主張を支持するために、以下の密度を考える。 0.62
f1(x) = 2 x log3(x) f1(x) = 2 x log3(x) 0.47
, x ∈ (e,∞), , x ∈ (e,∞) である。 0.60
(20) which is a canonical example of a pdf such that E[|X|r] = ∞ for all r > 0 (i.e., f1 does not satisfy the third condition in Theorem 1). (20) これは、すべての r > 0 に対して E[|X|r] = ∞ となるような pdf の標準例である(つまり、f1 は Theorem 1) の第三条件を満たすことができない)。
訳抜け防止モード: (20) これは、すべての r > 0 に対して E[|X|r ] = ∞ となるような pdf の標準例である。 f1 は Theorem 1 の 3番目の条件を満たさない。
0.63
In Appendix H, we indeed show that for this density K2 = ∞; hence, D(X(np)kGn,p) = ∞. Appendix H において、この密度 K2 = ∞ に対して、D(X(np)kGn,p) = ∞ であることを示す。 0.88
Unlike condition 3), condition 1) in Theorem 1 might not be needed, as we argue next. 定理 1 において条件 3) とは異なり、条件 1) は必要ではないかもしれない。 0.77
Consider the following density, 以下の密度を考える。 0.80
f2(x) = 1 x log2(x) f2(x) = 1 x log2(x) 0.47
, x ∈ (0, e−1), , x ∈ (0, e−1) である。 0.59
(21) which is a canonical example of pdf such that kf2km = ∞ for all m > 1 (i.e., f2 does not satisfy the first condition in Theorem 1). (21) これは pdf の標準例であり、すべての m > 1 に対して kf2km = ∞ となる(つまり f2 は Theorem 1) の最初の条件を満たすことができない)。 0.60
Although this density does not satisfy the first condition in Theorem 1, in Appendix H we show that この密度は Theorem 1 の第一条件を満たさないが、 Appendix H ではそれを示している。 0.77
D(X(np)kGn,p) = Θ(cid:18) 1 n(cid:19) , D(X(np)kGn,p) = s(cid:18) 1 n(cid:19) , 0.49
that is, the claim of Theorem 1 still holds. すなわち、定理 1 の主張は依然として成り立つ。 0.72
This example shows that, even if pretty mild, condition 1) in Theorem 1 might not be needed for convergence. この例では、定理 1 における条件 1) が収束に必要でないかもしれないことを示している。 0.75
Therefore, an interesting research direction would consist of further relaxing this condition. したがって、興味深い研究の方向性は、この条件をさらに緩和することである。 0.63
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
err 翻訳エラー 0.00
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
err 翻訳エラー 0.00
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Now, by summing (44) and (45), we sind that P(Ac) in (41) さて、(44) と (45) を要約することで、(41) で P(Ac) を犯した。 0.74
can be upper bounded as P(Ac) ≤ exp −2(n + 2)(cid:18)ǫ − ≤ 2 exp −2(n + 2)(cid:18)ǫ − 上限を上回って P(Ac) ≤ exp −2(n + 2)(cid:18)) − ≤ 2 exp −2(n + 2)(cid:18)) − 0.45
p n + 1(cid:19)2! p n + 1(cid:19)2! 0.45
+ exp(cid:0)−2(n + 2)ǫ2(cid:1) n + 1(cid:19)2! exp(cid:0)−2(n + 2)~2(cid:1) n + 1(cid:19)2! 0.44
, p concluding the proof of Lemma 7. , p Lemma 7の証明である。 0.50
APPENDIX D PROOF OF LEMMA 4 付録d レマ4のプローフ 0.45
(41) Recall from (4) that X(k) (41) X(k) を (4) から呼び戻す 0.58
d= F −1(U(k)), where U(k) is the order statistic of a sample of uniform random variables. d= F −1(U(k)) で、U(k) は一様確率変数のサンプルの順序統計量である。 0.79
Thus, = 4qE(cid:2)(X(np))4(c id:3)e−(n+2)(ǫ− p したがって = 4qE(cid:2)(X(np))4(c id:3)e−(n+2)(\-p) 0.57
Var(U(np)) Var(U(np)) 0.42
n+1 )2 + (f (F −1(p)))2 + Cp,ǫO(cid:18) 1 n+1)2。 + (f (f −1(p)))2 + cp, o(cid:18) 1 0.50
n 3 2(cid:19) , n3 2(cid:19)。 0.54
where the last equality follows by absorbing non-dominant inside the big-O and recalling that g(1)(p) = terms 最後の等式がビッグoの内部で支配的でないものを吸収し、g(1)(p) = 項を思い出すことによって従うとき
訳抜け防止モード: 最後の等式は、大きなoの中で支配的でないものを吸収することで続く g(1)(p ) = 項を思い出すと
0.62
(cid:2)f (F −1(p))(cid:3)−1 (cid:2)f (F −1(p))(cid:3)−1 0.43
. This concludes the proof of Lemma 3. . これはLemma 3の証明を結論付ける。 0.55
APPENDIX C appendIX C 0.30
PROOF OF LEMMA 7 Using the definition of A in (28), P(Ac) = P[U(np) ≤ p − ǫ] + P(cid:2)U(np) ≥ p + ǫ(cid:3) 補題7の証明 a in (28) の定義を用いると、p(ac) = p[u(np) ≤ p − s] + p(cid:2)u(np) ≥ p + s(cid:3) となる。 0.71
= P[U(n(1−p)+1)≥ 1−p+ǫ]+P(cid:2)U(np)≥ p+ǫ(cid:3) , = p[u(n(1−p)+1)≥ 1−p+]+p(cid:2)u(np)≥ p+(cid:3) , 0.45
d= where in the last equality we have used the fact that U(np) 1 − U(n(1−p)+1) where U(n(1−p)+1) ∼ Beta(n + 1 − np, np) since U(np) ∼ Beta(np, n + 1 − np). d= ここで最後の等式において u(np) 1 − u(n(1−p)+1) は u(np) が β(np, n + 1 − np) であることから u(n(1−p)+1) は β(n + 1 − np, np) である。 0.85
To upper bound P(Ac) in (41), we leverage the fact that Beta-distributed random variables U(np) and U(n(1−p)+1) are σ0-sub-Gaussian with σ0 < 4(n+2) (see [39, Thm. 1]). (41) の上限 p(ac) に対して、ベータ分布確率変数 u(np) と u(n(1−p)+1) は σ0 < 4(n+2) の σ0-sub-gaussian である([39, thm. 1] を参照)。 0.81
Recall (see, for example, [40]), that a random variable X is sub-Gaussian with parameter σ0 if for every λ ∈ R, ランダム変数 X がパラメータ σ0 を持つ部分ガウス多様体であること(例えば [40] を参照)は、すべての λ ∈ R に対してである。 0.80
4(α+β+1) = 4(α+β+1) = 0.35
1 1 E[eλ(X−E[X])] ≤ eλ2σ0/2. 1 1 E[eλ(X−E[X])] ≤ eλ2σ0/2。 0.41
(42) Moreover, if X is σ0-sub-Gaussian, then for all t ≥ 0, (42) さらに、x が σ0-sub-gaussian であれば、すべての t ≥ 0 に対して。 0.54
P(X − E[X] ≥ t) ≤ e− t2 P(X − E[X] ≥ t) ≤ e− t2 0.48
2σ0 . Now, let us consider the first term on the right side of (41). 2σ0 . さて、(41)の右側の第一項について考えてみましょう。 0.52
Using that E[U(n(1−p)+1)] = n+1−np E[U(n(1−p)+1)] = n+1−np 0.45
, n+1 (a) P[U(n(1−p)+1) ≥ 1 − p + ǫ] = P(cid:20)U(n(1−p)+1) − E[U(n(1−p)+1)] ≥ ǫ − ≤ exp − ≤ exp −2(n + 2)(cid:18)ǫ − , n+1 (a) P[U(n(1−p)+1) ≥ 1 − p + >] = P(cid:20)U(n(1−p)+1) − E[U(n(1−p)+1)] ≥ > − ≤ exp − ≤ exp − 2(n + 2)(cid:18) = − 0.41
n + 1(cid:19)2! n + 1(cid:19)2! 0.48
, n + 1(cid:19)2! , n + 1(cid:19)2! 0.45
2σ0 (cid:18)ǫ − 2σ0 (cid:18) である。 0.51
(b) p p 1 p (b) p p 1 p 0.43
n + 1(cid:21) n + 1(cid:21) 0.46
(44) where (a) follows from the bound in (43), and (44) どこに (a)は、(43)及び(43)の境界から従う 0.64
(b) is due to the fact that σ0 < 1 (b) σ0 < 1 であるという事実による 0.91
4(n+2) . 4(n+2)であった。 0.55
Similarly, for the second term on the right side of (41), 同様に、(41)の右側の2番目の項について 0.74
using that E[U(np)] = np E[U(np)] = np を使って 0.80
n+1 , we obtain P(cid:2)U(np) ≥ p + ǫ(cid:3) = P(cid:20)U(np) − E[U(np)] ≥ ≤ exp −2(n + 2)(cid:18) p ≤ exp(cid:0)−2(n + 2)ǫ2(cid:1) , n+1 を得る P(cid:2)U(np) ≥ p + > (cid:3) = P(cid:20)U(np) − E(U(np)] ≥ ≤ exp −2(n + 2)(cid:18) p ≤ exp(cid:0)−2(n + 2) ^ (cid:1) である。 0.91
(a) n + 1 n + 1 (a) n + 1 n + 1 0.43
p + ǫ(cid:21) + ǫ(cid:19)2! p + (cid:21) + (cid:19)2! 0.45
where, again, (a) follows from the bound in (43), and the fact that σ0 < 1 ここでも (a) は (43) の有界から続き、σ0 < 1 であるという事実 0.73
4(n+2) . 4(n+2)であった。 0.55
(43) following: (43) 以下の通り。 0.45
E[|X(k)|q] = E(cid:2)|F −1(U(k))|q(cid:3) ≤ (E[|X|r]) E[|X(k)|q] = E(cid:2)|F −1(U(k))|q(cid:3) ≤ (E[|X|r]) 0.46
r E"(cid:18) r e" (cid:18) 0.39
min(U(k), 1 − U(k))(cid:19) min(U(k), 1 − U(k))(cid:19) 0.45
1 q q r# , 1 q q r# 、 0.40
(46) where the inequality follows from Lemma 8 given below and proved in Appendix E. (46) 下記のLemma 8から不等式が続き、Appendix Eで証明される。 0.54
Lemma 8. Let F be the cdf of the random variable X. Then, for any r > 0, 第8回。 f を確率変数 x の cdf とすると、任意の r > 0 に対して。 0.66
|F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] |F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] 0.44
min(u, 1 − u)(cid:19) min(u, 1 − u)(cid:19) 0.50
1 r , u ∈ (0, 1). 1R , u ∈ (0, 1) である。 0.57
(47) Next, we upper bound the right side of (46) using the (47) 次に, (46) の右側を上界とする。 0.55
E"(cid:18) E" (cid:18) 0.44
min(U(k), 1 − U(k))(cid:19) min(U(k), 1 − U(k))(cid:19) 0.45
1 q r# (a) ≤ E"(cid:18) ≤ Cn,k,q,r. 1 q r# (a) ≤ E" (cid:18) ≤ Cn,k,q,r 0.42
(b) 1 U(k)(1 − U(k))(cid:19) (b) 1 U(k)(1 − U(k))(cid:19) 0.44
q r# (48) In the above, the inequalities follow from the facts that q r# (48) 以上において、不等式は、事実から従う。 0.57
(a) min{a, b} ≥ ab a+b and (a) min{a, b} ≥ ab a+b 及び 0.96
(b) U(k) ∼ Beta(k, n + 1 − k); hence, E"(cid:18) 1 (b) u(k) が β(k, n + 1 − k) であることから、e"(cid:18) 1 である。 0.79
q tk−1− q r (1 − t)n−k− q q tk−1− q r (1 − t)n−k− q 0.39
r dt Γ(n + 1) R. D. は(n + 1) 0.47
r# U(k)(1 − U(k))(cid:19) Γ(k)Γ(n + 1 − k)Z 1 Γ(k)Γ(n + 1 − k) r )Γ(n−k− q Γ(n− 2q r +1) r# U(k)(1 − U(k))(cid:19) > (n + 1 − k) Z 1 > (n + 1 − k) = (n + 1 − k) r ) >(n−k− q >(n−2q r +1) 0.45
Γ(n + 1) Γ(k− q は(n + 1) シュ(k−q) 0.67
0 = = ·  0 = = ·  0.43
∞ = Cn,k,q,r. ∞ = Cn,k,q,r。 0.42
r +1) k > q r+1) である。 k > q である。 0.51
r and n + 1 − k > q r と n + 1 − k > q 0.84
r else Plugging (48) into (46), we have shown r その他 48) を (46) に差し込むと、 0.50
E[|X(k)|q] ≤ Cn,k,q,r (E[|X|r]) E[|X(k)|q] ≤ Cn,k,q,r(E[|X|r]) 0.46
q r , (45) q r である。 (45) 0.44
as desired. Finally, we notice that if q and r are fixed with k = np r and 望み通りだ 最後に、q と r が k = np r で固定されていれば、 0.54
for fixed p, then as n → ∞, we have k = np > q 固定 p に対して、n → ∞ として k = np > q となる。 0.88
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
n + 1 − k = n(1 − p) + 1 > q eq. n + 1 − k = n(1 − p) + 1 > q eq。 0.42
6.1.46], for a, b ∈ R, 6.1.46], a, b ∈ R, 0.49
r , eventually. Then, by [37, 最終的にr。 そして[37]までには 0.72
Γ(x + a) lim x→∞ シュ(x + a) lim x→∞ 0.48
Γ(x + b) xb−a = 1, シュ(x + b) xb−a = 1 0.81
which leads to the conclusion that 結論を導いてくれるのです 0.49
lim n→∞ Cn,pn,q,r lim n→∞ Cn,pn,q,r 0.39
Γ(n + 1) = lim n→∞ は(n + 1) = lim n→∞ 0.55
= lim n→∞ Γ(cid:0)n − 2q = lim n→∞ ~(cid:0)n − 2q 0.40
r (pn) r (複数形 rs) 0.50
n− 2q r + 1(cid:1) r (n(1 − p)) n−2q r + 1(cid:1) r (n(1 − p)) 0.41
Γ(cid:0)pn − q r(cid:1) r = (p(1 − p)) は (cid:0)pn − q r(cid:1) r = (p(1 − p)) 0.48
Γ(pn) Γ(cid:0)n(1 − p) − q r + 1(cid:1) Γ (n(1 − p) + 1) シュ(pn) γ(cid:0)n(1 − p) − q r + 1(cid:1) γ (n(1 − p) + 1) 0.53
r . q q r である。 q q 0.47
q This concludes the proof of Lemma 4. q これはLemma 4の証明を結論付ける。 0.54
APPENDIX E PROOF OF LEMMA 8 付録e レマ8のプローフ 0.41
First, recall that for a uniform random variable over [0, 1], まず、[0, 1]上の一様ランダム変数について、それを思い出してください。 0.65
denoted as U , we have X d= F −1(U ). U と書くと、X d = F −1(U ) となる。 0.79
Therefore, E[|X|r] = E[|F −1(U )|r] =Z 1 そのため E[|X|r] = E[|F −1(U )|r] = Z 1 0.61
0 |F −1(t)|r dt. 0 |F −1(t)|r dt。 0.89
First, assume that 0 ≤ F (0) ≤ u ≤ 1. まず、0 ≤ f (0) ≤ u ≤ 1 と仮定する。 0.84
Then, Z 1 0 |F −1 そして Z 1 0 |F −1 0.90
(t)|rdt≥Z 1 u |F −1 (t)|rdt≥Z 1 u |F −1 0.38
(t)|rdt≥ (1 − (t)|rdt≥(1 −) 0.44
u)|F −1 (u)|r, (49) where in the last inequality we have used that F −1 u)|F−1 (u)|r, (49) ここで、最後の不等式では、F−1 0.61
(t) is positive for t ≥ u ≥ F (0), implying |F −1 (t) は t ≥ u ≥ F (0) に対して正であり、|F −1 を意味する。 0.69
(u)|r ≤ |F −1 (u)|r ≤ |F −1 0.43
(t)|r for t ∈ [u, 1], and that F −1(x) is non-decreasing in x; hence, F −1 (t)|r for t ∈ [u, 1], and that F −1(x) is non-decreasing in x; so, F −1
訳抜け防止モード: (t)|r for t ∈ [ u, 1 ], そして、F −1(x ) は x において非減少であるので、F −1
0.92
(u) ≤ F −1 (u) ≤ F −1 0.49
(t) for t ∈ [u, 1]. (t) は t ∈ [u, 1] である。 0.85
Now assume, on the other hand, 0 ≤ u ≤ F (0) ≤ 1. 一方、0 ≤ u ≤ F (0) ≤ 1 と仮定する。 0.68
Then, Z 1 0 |F −1 そして Z 1 0 |F −1 0.90
(t)|rdt ≥Z u (50) In the last inequality, we have used that F −1 (t)|rdt ≥z u (50) 最後の不等式では、f−1 が用いられる。 0.79
(t) is negative for t ≤ u ≤ F (0), implying that |F −1 (t) は t ≤ u ≤ F (0) に対して負であり、これは |F −1 であることを意味する。 0.66
(u)| ≤ |F −1 (u)| ≤ |F −1 0.47
(t)| and that F −1(x) is non-decreasing in x; hence, F −1 (t)| と F −1(x) は x において非減少するので F −1 0.95
(t) ≤ F −1 (t) ≤ f −1 0.47
(u) for t ∈ [0, u]. (u) は t ∈ [0, u] である。 0.85
Thus, |F −1 したがって、|F −1 0.69
(u)|r ≤ |F −1 (u)|r ≤ |F −1 0.43
(t)|r. 0 |F −1 (t)|r。 0 |F−1。 0.56
(t)|rdt ≥ u|F −1 (t)|rdt ≥ u|F −1 0.39
(u)|r. The bounds in (49) and (50) imply that (u)|r。 すなわち (49) と (50) の境界は 0.57
|F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] u (cid:19) |F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] 1 − u (cid:19) |F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] u (cid:19) |F −1(u)| ≤(cid:18) E[|X|r] 1 − u (cid:19) 0.43
1 r 1 r , , for u ∈ [0, F (0)], 1R 1R , , u ∈ [0, F (0)] に対して、 0.48
for u ∈ [F (0), 1]. u ∈ [F (0), 1] に対して。 0.84
Taking the largest of the two bounds concludes the proof of Lemma 8. 2つの境界のうち最大のものを取ると、Lemma 8 の証明が終わる。 0.55
APPENDIX F appendIX F 0.30
PROOF OF LEMMA 6 Choose some q ∈ [1,∞] and define an event A ={p − ǫ≤ レマ6のプローフ ある q ∈ [1,∞] を選択して、事象 A ={p − >≤ を定義する。 0.66
U(np) ≤ p+ǫ}, where we assume that u(np) ≤ p+\} ここで、我々はそれを仮定する。 0.72
and p > ǫ > max(cid:26) p そして p > 〜 > max(cid:26) p である。 0.73
n + 1 , |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 (cid:27) . n + 1 , |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 (cid:27) である。 0.68
Next, notice that we can write 次に、書くことができることに気付く 0.64
E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))(cid:3) = E(cid:2)log(f (F −1(U(np)))))1A(cid:3) E(cid:2)log(f(F −1(U(np))))(cid:3) = E(cid:2)log(f(F −1(U(np))))1A(cid:3) 0.48
+ E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1Ac(cid:3) . + E(cid:2)log(f (F −1(U(np)))1Ac(cid:3)。 0.89
We now analyze each expectation on the right side of (51) separately. 現在、(51)の右側にある各予想を別々に分析しています。 0.71
First expectation in (51). Using Taylor’s remainder theorem we have that 初出は(51)。 テイラーの余剰定理を使って 0.50
log(f (F −1(u))) = log(f (F −1(p))) + log(f (F −1(u))) = log(f (F −1(p))) + 0.46
f ′(F −1(˜u)) (f (F −1(˜u)))2 (u − p), where ˜u is some number between p and u. f ′(F −1( .u)) (f (F −1( .u)))2 (u − p) ここで .u は p と u の間の数である。 0.91
Therefore, using the definition それゆえ 定義を使って 0.87
(51) (52) we find that (51) (52) 私たちはそれを見つけ 0.47
C(2) ǫ = max C(2) s = max である。 0.49
p−ǫ≤u≤p+ǫ(cid:12)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:12) E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1A(cid:3) ≤ log(f (F −1(p)))P [A] + C(2) p−\\\\\\ (cid:12)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:12) E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1A(cid:3) ≤ log(f (F −1(p)))P [A] + C(2) 0.44
ǫ Next, we notice that , ǫ 次に気づくのは , 0.48
(f (F −1 (u)))2(cid:12)(cid:1 2)(cid:12)(cid:12)(c id:12) f ′(cid:0)F −1 (u)(cid:1) E(cid:2)|U(np) − p|1A(cid:3) . (f (f −1 (u)))2(cid:12)(cid:1 2)(cid:12)(cid:12)(c id:12) f ′(cid:0)f −1 (u)(cid:1) e(cid:2)|u(np) − p|1a(cid:3) である。 0.38
= O(1/√n), (a) =O(1/n) (a) 0.42
E(cid:2)|U(np) − p|1A(cid:3) where in the above, e(cid:2)|u(np) − p|1a(cid:3) ここで、上記の場合、 0.65
(a) follows using Cauchy-Schwarz inequality and the fact that P [A] ≤ 1 and (a) はコーシー=シュワルツの不等式と P[A] ≤ 1 で従う。 0.63
(b) using Remark 1. (b)remark 1の使用。 0.78
Combining (52) and (53) we have the bound 52) と (53) を組み合わせることで、 0.64
≤qE(cid:2)|U(np) − p|2(cid:3) (b) ≤qE(cid:2)|U(np) − p|2(cid:3) (b) 0.40
(53) E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1A(cid:3) (53) E(cid:2)log(f(F −1(U(np)))1A(cid:3) 0.45
≤ log(f (F −1(p)))P [A] + C(2) ≤ log(f (F −1(p)))P[A] + C(2) 0.44
√n(cid:19) . 略称は『cid:19』。 0.34
that U(np) ∼ Second expectation in (51). U(np)は (51) における第二の期待である。 0.76
First Beta(np, n + 1− np) and let fα,β denote the beta distribution with parameters α := np and β := n + 1 − np. 第一ベータ(np, n + 1 − np) とし、fα, β をパラメータ α := np と β := n + 1 − np のベータ分布とする。 0.86
Then, using the bound log(x) ≤ x, we have E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1Ac(cid:3) ≤ E(cid:2)f (F −1(U(np)))1Ac(cid:3) すると、有界 log(x) ≤ x を用いて e(cid:2)log(f(f −1(u(np)))1ac(cid:3) ≤ e(cid:2)f(f −1(u(np)))1ac(cid:3) が得られる。 0.86
ǫ O(cid:18) 1 シュ・オ(シッド:18)1 0.76
1Acfα,β(u)f (F −1(u))du. 1Acfα,β(u)f(F−1(u))du。 0.47
recall (55) (54) 思い出せ (55) (54) 0.47
=Z 1 0 0 1 r = 1, we find -Z1 0 0 1 r = 1 とすると 0.52
Next, by H¨older’s inequality, for any q, r ∈ [1,∞] such that q + 1 Z 1 ≤(cid:18)Z 1 次に、任意の q に対して、R ∈ [1,∞] が q + 1 Z 1 ≤(cid:18)Z 1 であるような H シュルダーの不等式により、 0.79
1Acfα,β(u)f (F −1(u))du 1Acfα,β(u)f(F−1(u))du 0.49
q (cid:18)Z 1 q (cid:18)Z 1 0.46
0 (cid:0)f (F −1(u))(cid:1)r 0 (cid:0)f (f −1(u))(cid:1)r である。 0.76
Next we simplify the two terms on the right side of (56). 次に、(56)の右側の2つの項を単純化する。 0.76
du(cid:19) du (複数形 dus) 0.22
1Acf q α,β(u)du(cid:19) α,β(u) = cα∗,β∗ 1Acf q α,β(u)du(cid:19) α,β(u) = cα∗,β∗ 0.47
First notice that f q f q が最初に気づく 0.73
. (56) 1 r . (56) 1R 0.40
0 1 cq α,β fα∗,β∗ (u) where β∗ = q(β − 1) + 1, 0 1 cqα,β fα∗,β∗ (u) ここで β∗ = q(β − 1) + 1 である。 0.62
(57) α∗ = q(α − 1) + 1, (57) α∗ = q(α − 1) + 1, 0.44
ci,j = Γ (i)Γ ci,j = Γ (i) 0.39
(j) Γ(i + j) (j)「(i+」 j) 0.62
, i ∈ {α, α∗}, j ∈ {β, β∗}. , i ∈ {α, α∗}, j ∈ {β, β∗} である。 0.65
It follows that, (cid:18)Z 1 それはそれに続く。 (cid:18)z 1 0.48
0 1Acf q α,β(u)du(cid:19) 0 1Acf q α,β(u)du(cid:19) 0.45
1 q = c 1 q α∗,β∗ 1q = c 1 q α∗,β∗ 0.42
cα,β (cid:18)Z 1 cα,β (cid:18)Z 1 0.44
0 1Acfα∗,β∗(u)du(cid:19) 0 1Acfα∗,β∗(u)du(cid:19) 0.43
1 q 1q 0.35
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
1 q c α∗,β∗ cα,β 1qcα∗,β∗cα,β 0.83
= P 1 q (Uα∗,β∗ ∈ Ac) , = P 1 q (Uα∗,β∗ ∈ Ac) , 0.44
(58) where in the final equality Uα∗,β∗ denotes a beta random variable with parameters α∗ and β∗. (58) 最終等式 uα∗,β∗ はパラメータ α∗ と β∗ を持つベータ確率変数を表す。 0.60
For the second term on the right side of (56), we use a change of variables with x = F −1(u) with dx = (f (F −1(u)))−1du to get 56) の右辺の第二項について、dx = (f (F −1(u)))−1du で x = F −1(u) を持つ変数の変化を用いる。 0.78
(cid:18)Z 1 0 (cid:0)f (F −1(u))(cid:1)r (cid:18)Z 1 0 (cid:0)f (F −1(u))(cid:1)r 0.45
1 r du(cid:19) 1R du (複数形 dus) 0.29
=(cid:18)Z ∞ = (kfkr+1) =(cid:18)z ∞ = (kfkr+1) 0.43
−∞ (f (x))r+1dx(cid:19) −∞ (f(x))r+1dx(cid:19) 0.40
r+1 r 1 r . r+1 r 1R . 0.38
(59) Therefore, putting together (55) – (59), we have shown (59) したがって、 (55) – (59) をまとめると、 0.56
E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))1Ac(cid:3) E(cid:2)log(f(F −1(U(np)))1Ac(cid:3) 0.48
1 1 q c α∗,β∗ cα,β 1 1qcα∗,β∗cα,β 0.63
≤ P q (Uα∗,β∗ ∈ Ac) (kfkr+1) ≤ P q (Uα∗,β∗ ∈ Ac) (kfkr+1) 0.43
r+1 r . (60) r+1 r . (60) 0.39
We now focus on further upper bounding the right-hand side of (60). 現在では、(60)の右側のさらなる上界に焦点を当てている。 0.71
Towards this end, we start by noting that by the definitions in (57) and the fact that α := np and β := n + 1− np, we find α∗ + β∗ = q(α + β − 2) + 2 = q(n− 1) + 2, therefore q(1 − p)n + 1 α∗ + β∗ = α∗ + β∗ = . この目的に向けて、(57) の定義と α := np と β := n + 1 − np によって α∗ + β∗ = q(α + β − 2) + 2 = q(n− 1) + 2 が成立するという事実から、 q(1 − p)n + 1 α∗ + β∗ = α∗ + β∗ = となる。 0.87
q(n − 1) + 2 Moreover, in Appendix G, it is shown that q(n − 1) + 2 さらに、付録 g において、そのことが示される。 0.78
q(pn − 1) + 1 q(n − 1) + 2 q(pn − 1) + 1 q(n − 1) + 2 0.43
α∗ β∗ , 1 q α∗,β∗ α∗ β∗ , 1 q α∗,β∗ 0.43
c cα,β ≤ Cqn cα,β ≤ cqn 0.41
1 2 (1− 1 q ). 1 2 (1− 1 q)であった。 0.47
(61) 1 q −1 (61) 1 q −1 0.45
q− 1 2q . q- 1 2q である。 0.52
where the universal constant Cq := e1+ 2 ここで普遍定数 Cq := e1+ 2 0.78
Finally, we note that from properties of the beta distribution, 最後に、ベータディストリビューションの特性から注意してください。 0.57
d= 1 − Uβ∗,α∗, we find d = 1 − uβ∗,α∗ とすると、 0.69
namely that Uα∗,β∗ P(Uα∗,β∗ ∈ Ac) = P[Uα∗,β∗ ≤ p − ǫ] + P [Uα∗,β∗ ≥ p + ǫ] = P[Uβ∗,α∗ ≥ 1 − p + ǫ] + P [Uα∗,β∗ ≥ p + ǫ] , Now focus on the first term on the right side of (62), we have すなわち、uα∗,β∗ p(uα∗,β∗ ∈ ac) = p[uα∗,β∗ ≤ p − s] + p[uα∗,β∗ ≥ p + s] = p[uβ∗,α∗ ≥ 1 − p + s] + p[uα∗,β∗ ≥ p + s] である。
訳抜け防止モード: すなわち、Uα∗,β∗ P(Uα∗,β∗ ∈ Ac ) = P[Uα∗,β∗ ≤ p − > ] + P [ Uα∗,β∗ ≥ p + > ] = P[Uβ∗,α∗ ≥ 1 − p + > ] + P [ Uα∗,β∗ ≥ p + > ] 今回は、(62)の右側の第一項に焦点を当てる。 我々は
0.95
(62) q (cid:0)√2π(cid:1) (62) q (cid:0)~2π(cid:1) 0.38
(a) P[Uβ∗,α∗ ≥ 1 − p + ǫ] β∗ = P(cid:20)Uβ∗,α∗ − ≤ P(cid:20)Uβ∗,α∗ − ≤ e−2(q(n−1)+3)(ǫ− |(q−2)p−q+1| ≤ e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| (a) p[uβ∗,α∗ ≥ 1 − p + s] β∗ = p(cid:20)uβ∗,α∗ − ≤ p(cid:20)uβ∗,α∗ − ≤ e−2(q(n−1)+3)(−− |(q−2)p−q+1| ≤ e−2(n+2)(−−− |(q−2)p−q+1| 0.39
q(n−1)+2 q(n−1)+2 q(n−1)+2 q(n−1)+2 0.78
)2 (b) , α∗ + β∗(cid:21) α∗ + β∗ ≥ 1 − p + ǫ − α∗ + β∗ ≥ ǫ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 )2 (b) , α∗ + β∗(cid:21) α∗ + β∗ ≥ 1 − p + ǫ − α∗ + β∗ ≥ ǫ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2
訳抜け防止モード: )2 (b) , α∗ + β∗(cid:21 ) α∗ + β∗ ≥ 1 − p q − 2 p − q + s − α∗ + β∗ ≥ s − |(q − 2)p − q である。 + 1| q(n − 1 ) + 2
0.52
β∗ β∗ )2 (cid:21) β∗ β∗ )2 (出典:21) 0.47
(63) where the labeled steps follow from: (a) noting that (q − 2)p − q + 1 q(n − 1) + 2 ≥ ǫ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 (63) a) (q − 2)p − q + 1 q(n − 1) + 2 ≥ s − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 と記す。 0.39
α∗ + β∗ = ǫ + α∗ + β∗ = ǫ + 0.46
1 − p + ǫ − 1 − p + ǫ − 0.42
β∗ , and (b) applying (43) since Uβ∗,α∗ is σ0-sub-Gaussian random variables with σ0 < [39, Thm. 1]. β∗ , そして (b) 適用 (43) uβ∗,α∗ は σ0 < [39, thm. 1] を持つ σ0-sub-gaussian random variable である。 0.55
1 1 4(α∗+β∗+1) = 1 1 4(α∗+β∗+1) = 0.40
4(q(n−1)+3) 4(q(n−1)+3) 0.44
Similarly, since p + ǫ − 同様に、それ以来 p + s − である。 0.65
α∗ + β∗ = ǫ − α∗ + β∗ = ǫ − 0.46
α∗ (q − 2)p − q + 1 q(n − 1) + 2 ≥ ǫ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 α∗ (q − 2)p − q + 1 q(n − 1) + 2 ≥ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 である。 0.65
; along with the fact that Uα∗,β∗ is σ0-sub-Gaussian again with σ0 < 4(q(n−1)+3) , we have the same bound for the second term on the right side of (62): ; uα∗,β∗ は再び σ0 < 4(q(n−1)+3) を持つ σ0-sub-gaussian であるという事実とともに、(62) の右辺の第二項に対して同じ束縛を持つ。 0.60
4(α∗+β∗+1) = 4(α∗+β∗+1) = 0.35
1 1 P [Uα∗,β∗ ≥ p + ǫ] ≤ P(cid:20)Uα∗,β∗ − ≤ e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| 1 1 p [uα∗,β∗ ≥ p + s] ≤ p(cid:20)uα∗,β∗ − ≤ e−2(n+2)(s− |(q−2)p−q+1|) である。 0.51
q(n−1)+2 α∗ q(n−1)+2 α∗ 0.59
)2 . α∗ + β∗ ≥ ǫ − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 )2 . α∗ + β∗ ≥ s − |(q − 2)p − q + 1| q(n − 1) + 2 である。 0.60
Thus, we have shown in (62)-(64) したがって、 (62)-(64) で示しました。 0.69
P(Uα∗,β∗ ∈ Ac) ≤ 2e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| P(Uα∗,β∗ ∈ Ac) ≤ 2e−2(n+2)(a− |(q−2)p−q+1| 0.34
q(n−1)+2 )2 q(n−1)+2 )2 0.60
. Now, combining (60) with (67) and (65) we arrive at . さて (60) と (67) と (65) を組み合わせて 0.54
E(cid:2)log(cid:0)f (F −1(U(np)))(cid:1) 1Ac(cid:3) ≤ 2Cq (kfkr+1) E(cid:2)log(cid:0)f (F −1(U(np)))(cid:1) 1Ac(cid:3) ≤ 2Cq (kfkr+1) 0.42
r+1 r n 2 (1− 1 r+1 rn 2 (1− 1 0.46
1 q )e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 1 q )e−2(n+2)(a− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 0.38
(cid:21) (64) (出典:21) (64) 0.55
(65) )2 . (65) )2 . 0.43
(66) Consequently, combining (51), (54), and (66), we obtain (66) その結果、(51)、(54)、(66)を組み合わせることで、我々は 0.60
E(cid:2)log(f (F −1(U(np))))(cid:3) − log(f (F −1(p))) √n(cid:19) ǫ O(cid:18) 1 ≤ |log(f (F −1(p)))|P[Ac] + C(2) e(cid:2)log(f(f −1(u(np))))(cid:3) − log(f(f −1(p))) ,n(cid:19) , o(cid:18) 1 ≤ |log(f(f −1(p))|p[ac] + c(2) である。 0.91
r+1 r n 1 2 (1− 1 r+1 rn 1 2 (1− 1 0.45
q )e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 q )e−2(n+2)(a− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 0.33
)2 + 2Cq (kfkr+1) ≤ 2|log(f (F −1(p)))|e−2(n+2)(ǫ− p + 2Cq (kfkr+1) )2 + 2Cq (kfkr+1) ≤ 2|log(f (F −1(p)))|e−2(n+2)(n− p + 2Cq (kfkr+1)) 0.40
r+1 r n 1 , where the last inequality follows by bounding P [Ac] using r+1 rn 1 最後の不等式が p[ac] に境界を付けて従うとき 0.50
Lemma 7. This concludes the proof of Lemma 6. 第7回。 これはLemma 6の証明を結論付ける。 0.63
q )e−2(n+2)(ǫ− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 q )e−2(n+2)(a− |(q−2)p−q+1| q(n−1)+2 0.33
2 (1− 1 )2 2 (1− 1 )2 0.46
n+1 )2 + C(2) n+1)2。 c (複数形 cs) 0.55
√n(cid:19) ǫ O(cid:18) 1 o(cid:18) 1 (cid:19) である。 0.59
APPENDIX G appendIX G 0.26
PROOF OF THE BOUND IN (61) 境界線(61)のプローフ 0.50
Recall from the proof of Lemma 6 that α := np and β := n+ 1− np while α∗ = q(α− 1)+ 1, and β∗ = q(β− 1)+ 1 for some q > 1. 補題6の証明から、α := np と β := n+ 1− np が α∗ = q(α− 1)+ 1 であり、β∗ = q(β− 1)+ 1 が q > 1 となることを思い出す。 0.91
Thus, with reference to (61), we want to show that したがって、(61)を参照して、私たちはそれを示そうとします。 0.67
1 1 Γ(α∗) q Γ(β∗) Γ(α∗ + β∗) 1 1 Γ(α∗) q Γ(β∗) Γ(α∗ + β∗) 0.58
1 q Γ(α + β) q Γ(α)Γ(β) ≤ Cqn 1 q ^ (α + β) q ^ (α + β) ≤ (β) ≤ Cqn 0.43
1 2 (1− 1 q ), 1 2 (1− 1 q)である。 0.49
(67) First, using that Γ(n + 1) = n!, recall Stirling’s approxima- (67) 第一に、これは (n + 1) = n!, remember Stirling's approxima である。 0.61
where Cq := e1+ 2 ここで cq := e1+ 2 0.71
q (cid:0)√2π(cid:1) tion [37], which tells us that for n ≥ 1, Γ(n + 1) = κn√2πnn+ 1 q (cid:0)\2π(cid:1) tion [37] は n ≥ 1 に対して γ(n + 1) = κn\2πnn+ 1 であることを示す。 0.73
q− 1 2q . q- 1 2q である。 0.52
1 q −1 2 e−n, 1 q −1 2e-n,。 0.37
(68) 1 1 12n+1 ≤ κn ≤ e (68) 1 1 12n+1 ≤ κn ≤ e 0.41
12n ≤ e. 12n ≤ e である。 0.69
Using the bound in (68), we find in (68) のバウンドを使って 0.59
where 1 ≤ e Γ(α∗) = Γ(q(α−1)+1) ≤ e√2π(q(α−1))q(α−1)+ 1 ここで 1 ≤ e t(α∗) = t(q(α−1)+1) ≤ e t(q(α−1))q(α−1)+ 1 0.85
2 e−q(α−1), 2e−q(α−1)である。 0.57
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
hence, D(X(np)kGn,p) = ∞. したがって、D(X(np)kGn,p) = ∞ である。 0.94
This suggests that condition 3) (or a variation of it) in Theorem 1 might indeed be necessary for convergence. このことは、定理 1 における条件 3)(あるいはその変化)が収束に必要であることを示唆している。 0.74
First, note that まず、注意してください。 0.43
1 q E(cid:20) 1q E (cid:20) 0.38
1 (1 − U(k)) m 1 (1 − U(k))m 0.42
2 (cid:21) = ck,nZ 1 2 (cid:21) = ck,nZ 1 0.49
0 where ck,n = 0 ここで ck,n = 0.58
Γ(n+1) Γ(k)Γ(n+1−k) ; hence, シュ(n+1) したがって、 (n+1−k) である。 0.72
E(cid:20) E (cid:20) 0.41
1 (1 − U(k)) m 1 (1 − U(k))m 0.42
2 (cid:21) = ∞, 2 (cid:21) = ∞ である。 0.74
uk−1(1 − u)n−k uk−1(1 − u)n−k 0.39
(1 − u) m 2 (1 − u)m 2 0.41
du, m 2 ≥ n − k + 1. うーん m2 ≥ n − k + 1 である。 0.65
(72) Now, by using the Taylor expansion of ex, we have that (72) さて、exのTaylor拡張を利用することで、私たちはそれを実現します。 0.51
E[X(k)] = E(cid:2)F −1(U(k))(cid:3) = Ehe(1−U(k))−1/2i E[X(k)] = E(cid:2)F −1(U(k))(cid:3) = Ehe(1−U(k))−1/2i 0.45
1 m! = E" ∞ Xm=0 E(cid:20) Xm=0 1m! E" ∞ Xm=0 E(cid:20) Xm=0 0.39
1 m! = ∞ (1 − U(k)) 1m! = ∞ (1 − U(k)) 0.42
1 1 (1 − U(k)) m 1 1 (1 − U(k))m 0.42
m 2 # 2 (cid:21) , (73) M 2 # 2 (cid:21) , (73) 0.44
(69) (70) 1 q (69) (70) 1q 0.40
(71) 2 e−(α−1); (71) 2e−(α−1) 0.40
and hence, by simplifying, we obtain そして ですから 単純化することで 0.64
Γ(α) ≥ √2π(α − 1)α− 1 Γ(α) ≤ (cid:16)e√2π(q(α − 1))q(α−1)+ 1 √2π(α − 1)α− 1 (α − 1)− 1 Γ(α) ≥ √2π(α − 1)α− 1 Γ(α) ≤ (cid:16)e√2π(q(α − 1))q(α−1)+ 1 √2π(α − 1)α− 1 (α − 1)− 1 0.44
q (α∗) q (複数形 qs) 0.58
1 q −1 = e 1 1 q −1 =e 1 0.41
Γ We can similarly show that Γ 私たちは同じようにそれを示せる 0.49
2 e−q(α−1)(cid:17) 2 e−q(α−1)(cid:17) 0.35
2 e−(α−1) 2 + 1 2 e−(α−1) 2 + 1 0.41
2q qα−1+ 1 2q . 2qq−1+12q。 0.63
1 q (β∗) Γ Γ(β) ≤ e 1 q (β∗) ^ π(β) ≤ e 0.40
1 q −1 (β − 1)− 1 1 q −1 (β − 1)− 1 0.45
2 + 1 2q qβ−1+ 1 2q . 2 + 1 2qqβ−1+12q。 0.51
Finally, we agin use the bound in (68) to find 最後に、(68)のバウンドを使って検索します。 0.66
1 q (cid:16)√2π(cid:17) q (cid:16)√2π(cid:17) 1 q(cid:16)2π(cid:17)q(cid:16)2π(cid:17) 0.39
1 Γ(α + β) 1 Γ(α + β) 0.43
Γ 1 q (α∗ + β∗) Γ 1 q (α∗ + β∗) 0.45
= Γ(n + 1) = は(n + 1) 0.57
1 q (q(n − 1) + 2) Γ nΓ(n) 1 q(q(n − 1) + 2) シュン(n) 0.57
= ≤ (q(n − 1) + 1) = ≤ (q(n − 1) + 1) 0.43
(q(n − 1) + 1) (q(n − 1) + 1) 0.42
q = e(cid:16)√2π(cid:17)1− 1 ≤ e(cid:16)√2π(cid:17)1− 1 q = e(cid:16)→2π(cid:17)1− 1 ≤ e(cid:16)→2π(cid:17)1− 1 0.39
q 1 1 1 q Γ q 1 1 1 q γ 0.40
q (q(n − 1) + 1) √2πe−(n−2)n(n − 1)n− 1 q (cid:16)√2π(q(n − 1))q(n−1)+ 1 n(n − 1) 2 (1− 1 n q (q(n − 1) + 1) ~2πe−(n−2)n(n − 1)n−1 q (cid:16)~2π(q(n − 1))q(n−1)+1n(n − 1) 2 (1− 1 n) 0.45
q )q−(n−1)− 3 2q . q )q−(n−1)− 3 2q である。 0.69
2q q−(n−1)− 1 2q q−(n−1)− 1 0.39
2 − 1 2 1 3 2 − 1 2 1 3 0.43
Combining (69), (70), and (71) we arrive at 69)、(70)、(71)の組み合わせが到着します。 0.64
2 e−q(n−1)(cid:17) 2e−q(n−1)(cid:17) 0.34
2q (q(n − 1) + 1)− 1 2q (q(n − 1) + 1)− 1 0.46
q 1 q (α∗) Γ Γ(α) × q 1 q (α∗) γ γ(α) × 0.54
1 q (β∗) Γ Γ(β) × 1 q(β∗) > >(β) × 0.41
Γ Γ(α + β) 1 Γ Γ(α + β) 1 0.42
q (α∗ + β∗) 1 q −1 q (α∗ + β∗) 1 q −1 0.49
3 2 (1− 1 n q )q− 1 3 2 (1− 1 n q )q− 1 0.47
2q 2 (1− 1 2q 2 (1− 1 0.44
1 q −1 n 1 1 q −1 n 1 0.44
2 (1− 1 q )q− 1 2q , 2 (1− 1 q )q− 1 2q , 0.47
≤ e1+ 2 e1+ 2 である。 0.48
≤ e1+ 2 e1+ 2 である。 0.48
q (cid:16)√2π(cid:17) (n(1 − p))− 1 q (cid:16)√2π(cid:17) q (cid:16)-2π(cid:17) (n(1 − p))- 1 q (cid:16)-2π(cid:17) 0.44
which concludes the proof. q )(np − 1)− 1 証明を結論づけます q )(np − 1)− 1 である。 0.71
2 (1− 1 q ) 2 (1- 1 q) である。 0.61
APPENDIX H EXAMPLES OF SECTION IV 付録h セクションIVの例 0.49
A. Density in (20) For the pdf A.密度(20) pdf (複数形 pdfs) 0.64
x ∈ (e,∞), the cdf and the quantile function are given by x ∈ (e,∞) であり、cdf と quantile function は与えられる。 0.74
x log3(x) f1(x) = x log3(x) f1(x) = 0.50
, 2 F (x) = 1 − , 2 F (x) = 1 − 0.43
1 log2(x) , 1 log2(x) , 0.45
x ∈ (e,∞) F −1(p) = e x ∈ (e,∞) F−1(p) = e 0.39
1√1−p , p ∈ (0, 1). 1~1〜p。 p ∈ (0, 1) である。 0.57
We note that f1 satisfies conditions f1 は条件を満たすことに留意する。 0.56
1) and 2) in Theorem 1; hence, K1 = O(1/n) by Lemma 2 and K3 = O(1/√n) by Lemma 6. 1)と したがって、K1 = O(1/n) は Lemma 2 で、K3 = O(1/n) は Lemma 6 である。 0.75
However, f1 does not satisfy condition しかし f1 は条件を満たさない 0.88
3) in Theorem 1. As we next show, for f1 we indeed have K2 = ∞; 3)定理1。 次に示すように、f1 に対して K2 = ∞ となる。 0.58
where in the last step we have used Tonelli’s theorem (which holds even if the series diverges). 最後のステップでは、トネリの定理(数列が発散しても成り立つ)を使いました。 0.45
Combining (72) and (73), we conclude that for every k there exists an m such that m 2 ≥ n − k + 1; hence, E[X(k)] = ∞. 72) と (73) を組み合わせることで、すべての k に対して m 2 ≥ n − k + 1 となる m が存在し、したがって E[X(k)] = ∞ となると結論付ける。 0.87
This implies that 1√1−p(cid:17)2(cid:21) つまり、1/1−p(cid:17)2(cid:21)である。 0.52
Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i = E(cid:20)(cid:16)X(n p) − e Eh(cid:0)F −1(U(np)) − F −1(p)(cid:1)2i = E(cid:20)(cid:16)X(n p) − e 0.45
= ∞, which leads to K2 = ∞. = ∞, すると k2 = ∞ となる。 0.53
B. Density in (21) For the pdf B.密度(21) pdf (複数形 pdfs) 0.63
f2(x) = 1 x log2(x) f2(x) = 1 x log2(x) 0.47
, x ∈ (0, e−1), , x ∈ (0, e−1) である。 0.59
the cdf and the quantile function are given by 1 cdfと量子関数は 1 0.42
F (x) = − F −1(p) = e− 1 p , F(x) = − F −1(p) = e− 1 p , 0.47
log(x) , x ∈ (0, e−1), log(x) , x ∈ (0, e−1) である。 0.53
p ∈ (0, 1). p ∈ (0, 1) である。 0.91
We note that f2 satisfies conditions f2 は条件を満たすことに留意する。 0.57
2) and 3) in Theorem 1; hence, K1 = O(1/n) by Lemma 2 and K2 = O(1/√n) by Corollary 5. 2)と 3) Theorem 1 では、Lemma 2 では K1 = O(1/n) 、Corollary 5 では K2 = O(1/n) となる。 0.78
However, f2 does not satisfy condition 1) in Theorem 1. しかし f2 は定理 1 において条件 1 を満たさない。 0.79
Nevertheless, as we next show, we can still prove the convergence of K3. しかしながら、次に示すように、K3 の収束を証明できる。 0.63
We start by noting that 私たちはそれを注意することから始めます。 0.38
hence, from (14d) we obtain ですから (14d) から 0.59
f (F −1(p)) = p2e f (F −1(p)) = p2e 0.46
1 p ; K3 = E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) = 2E[log U(np)] + E(cid:20) 1 = 2 (ψ(np) − ψ(n + 1)) + 1 p; K3 = E(cid:20)log(cid:18) f (F −1(U(np))) f (F −1(p)) (cid:19)(cid:21) = 2E[log U(np)] + E(cid:20) 1 = 2 (シュ(np) − シュ(n + 1)) + 0.43
U(np)(cid:21) − 2 log(p) − U(np)(cid:21) − 2 log(p) − 0.48
1 p n pn − 1 − 2 log(p) − 1P。 n pn − 1 − 2 log(p) − 0.40
1 p , 1P。 , 0.39
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
[25] S. G. Bobkov, G. P. Chistyakov, and F. G ¨otze, “Rate of convergence and Edgeworth-type expansion in the entropic central limit theorem,” The Annals of Probability, pp. 2479–2512, 2013. [25] S.G.Bobkov, G.P.Chistyakov, F.G.Sotze, “Rate of convergence and Edgeworth-type expansion in the entropic central limit theorem”, The Annals of Probability, pp. 2479–2512, 2013.
訳抜け防止モード: 25]s. g. bobkov, g. p. chistyakov, f.g.ショッツェは「収束率とエッジワース-エントロピー中心極限定理の型展開」である。 annals of probability , pp . 2479–2512 , 2013 。
0.81
[26] S. G. Bobkov, G. Chistyakov, and F. G ¨otze, “R´enyi divergence and the central limit theorem,” The Annals of Probability, vol. [26] S. G. Bobkov, G. Chistyakov, F. G.\otze, “R ́enyi divergence and the central limit theorem”, The Annals of Probability, vol。 0.48
47, no. 1, pp. 270–323, 2019. 47, no. 1, pp. 270-323, 2019。 0.94
[27] S. Baratpour, J. Ahmadi, and N. R. Arghami, “Some characterizations based on entropy of order statistics and record values,” Communications in Statistics-Theory and Methods, vol. 27] baratpour, j. ahmadi, n. r. arghami, "順序統計と記録値のエントロピーに基づくいくつかの特徴" 統計理論と手法におけるコミュニケーション, vol. 0.86
36, no. 1, pp. 47–57, 2007. 36, No. 1, pp. 47-57, 2007。 0.84
[28] ——, “Characterizations based on R´enyi entropy of order statistics and record values,” Journal of Statistical Planning and Inference, vol. とjournal of statistical planning and inference, vol.28)は述べている。
訳抜け防止モード: R ́enyi entropy of order statistics and record values" による評価 Journal of Statistical Planning and Inference, vol. (英語)
0.67
138, no. 8, pp. 2544–2551, 2008. 138, no. 8, pp. 2544-2551, 2008 頁。 0.78
[29] M. Abbasnejad and N. R. Arghami, “Renyi entropy properties of order statistics,” Communications in Statistics-Theory and Methods, vol. M. Abbasnejad and N. R. Arghami, “Renyi entropy properties of order statistics”, Communications in Statistics-Theory and Methods, vol.
訳抜け防止モード: [29 ] M. Abbasnejad と N. R. Arghami, “Renyi entropy properties of order statistics”。 統計学におけるコミュニケーション - 理論と方法-
0.88
40, no. 1, pp. 40–52, 2010. 40, No. 1, pp. 40-52, 2010 0.43
[30] N. Balakrishnan, F. Buono, and M. Longobardi, “On cumulative entropies in terms of moments of order statistics,” arXiv preprint arXiv:2009.02029, 2020. N. Balakrishnan, F. Buono, M. Longobardi, “On cumulative entropies in moments of order statistics” arXiv preprint arXiv:2009.02029, 2020.
訳抜け防止モード: [30 ]N. Balakrishnan, F. Buono, M. Longobardi 「順序統計のモーメントの観点からの累積エントロピーについて」 arXiv preprint arXiv:2009.02029 , 2020
0.86
[31] G. Zheng, N. Balakrishnan, and S. Park, “Fisher information in ordered data: A review,” Statistics and its Interface, vol. [31] g. zheng, n. balakrishnan, s. park, “fisher information in ordered data: a review”, statistics and its interface, vol. (英語)
訳抜け防止モード: [31]G.Zheng、N.Balakrishnan、S.Park。 『注文されたデータにおける漁業情報 : 統計学とそのインターフェース』第1巻
0.72
2, pp. 101–113, 2009. 2, pp. 101-113, 2009。 0.81
[32] K. M. Wong and S. Chen, “The entropy of ordered sequences and order statistics,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 32] k. m. wong, s. chen, "順序列のエントロピーと順序統計" ieee transactions on information theory, vol. 0.72
36, no. 2, pp. 276–284, 1990. 36, no. 2, pp. 276-284, 1990。 0.87
[33] N. Ebrahimi, E. S. Soofi, and H. Zahedi, “Information properties of order statistics and spacings,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. N. Ebrahimi, E. S. Soofi, and H. Zahedi, “Information Properties of order statistics and spacings, IEEE Transactions on Information Theory, vol.
訳抜け防止モード: [33 ]Ebrahimi,E.S. Soofi,H. Zahedi 『順序統計と間隔の情報特性』IEEE情報理論トランザクトリ, Vol.
0.67
50, no. 1, pp. 177–183, 2004. 50, No. 1, pp. 177–183, 2004。 0.92
[34] A. Dytso, M. Cardone, and C. Rush, “Measuring dependencies of order statistics: An information theoretic perspective,” in 2020 IEEE Information Theory Workshop (ITW). [34] A. Dytso, M. Cardone, C. Rush, “Measuring dependencies of order statistics: An informationtheoretic perspective” in 2020 IEEE Information Theory Workshop (ITW)。
訳抜け防止モード: [34 ] A. Dytso, M. Cardone, C. Rush, 『注文統計の依存関係を測定する』 IEEE情報理論ワークショップ(ITW)における情報理論の視点から
0.80
IEEE, 2021, pp. 1–5. IEEE, 2021, pp. 1-5。 0.87
[35] B. C. Arnold, N. Balakrishnan, and H. N. Nagaraja, A First Course in [35]b.c.アーノルド、n.バラクリシュナン、h.n.ナガラージャ、第1コース 0.67
Order Statistics. Siam, 1992, vol. 注文統計。 1992年、同上。 0.58
54. [36] O. Rioul, “Yet another proof of the entropy power inequality,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 54. IEEE Transactions on Information Theory, vol.[36]O. Rioul, “Yet another proof of the entropy power inequality”. IEEE Transactions on Information Theory.
訳抜け防止モード: 54. [36]O. Rioul, “さらに別のエントロピーパワーの不平等の証明” IEEE Transactions on Information Theory, vol。
0.61
63, no. 6, pp. 3595–3599, 2017. 63, No. 6, pp. 3595–3599, 2017。 0.46
[37] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions US Government [37]M. Abramowitz と I. A. Stegun, Handbook of mathematical function US Government 0.47
tables. with formulas, graphs, and mathematical printing office, 1970, vol. テーブル 公式、グラフ、数学印刷所 1970, vol. 0.52
55. [38] A. Papoulis, “The Fourier integral and its applications,” Polytechnic Institute of Brooklyn, McCraw-Hill Book Company Inc., USA, ISBN: 67-048447-3, 1962. 55. A. Papoulis, “The Fourier integral and its applications, Polytechnic Institute of Brooklyn, McCraw-Hill Book Company Inc., USA, ISBN: 67-048447-3, 1962.
訳抜け防止モード: 55. [38 ] A. Papoulis, “The Fourier integral and its applications”. Polytechnic Institute of Brooklyn, McCraw - Hill Book Company Inc. アメリカ、ISBN:67 - 048447 - 1962年3月3日。
0.61
[39] O. Marchal and J. Arbel, “On the sub-Gaussianity of the beta and dirichlet distributions,” Electronic Communications in Probability, vol. [39] o. marchal と j. arbel は,“ベータ分布とディリクレ分布の準ゲージ性について” という。
訳抜け防止モード: 39 ] o. marchal と j. arbel, “on the sub- gaussianity of the beta and dirichlet distributions”. 確率における電子通信
0.80
22, pp. 1–14, 2017. 第22巻1-14頁、2017年。 0.54
[40] S. Boucheron, G. Lugosi, and P. Massart, Concentration inequalities: A nonasymptotic theory of independence. 40] s. boucheron, g. lugosi, p. massart, concentration inequality: a nonasymptotic theory of independence。
訳抜け防止モード: 40] s. boucheron, g. lugosi, p. massart 濃度不等式 : 独立の非漸近理論
0.66
Oxford university press, 2013. オックスフォード大学出版局、2013年。 0.67
where ψ is the digamma function. ここで ψ はディガンマ関数である。 0.63
By noting that the digamma function can be approximated as ψ(x) = log(x)− 1 x2 ) and also using the fact that ψ(x + 1) = ψ(x) + 1 x , we arrive at n2(cid:19) , + O(cid:18) 1 ディガンマ関数は ψ(x) = log(x)− 1 x2 と近似でき、また ψ(x + 1) = ψ(x) + 1 x であるという事実を用いて n2(cid:19) , + o(cid:18) 1 に到達する。 0.83
pn(pn − 1) which, together with K1 = O(1/n) and K2 = O(1/√n), implies D(X(np)kGn,p) = Θ(cid:0) 1 n(cid:1). pn(pn − 1) で、K1 = O(1/n) と K2 = O(1/n) は D(X(np)kGn,p) = s(cid:0) 1 n(cid:1) を意味する。 0.92
n + 1 − pn − p2n + p n + 1 − pn − p2n + p 0.49
2x + O( 1 2x + o(1) である。 0.56
K3 = REFERENCES [1] C. R. Rao, C. Rao, and V. Govindaraju, Handbook of Statistics. K3 = 参考 [1] C. R. Rao, C. Rao, V. Govindaraju, Handbook of Statistics 0.45
Elsevier, 2006, vol. Elsevier 2006年。 0.26
17. [2] H. A. David and H. N. Nagaraja, Order Statistics, Third edition. 17. [2] H. A. David and H. N. Nagaraja, Order Statistics, third edition 0.46
John Wiley & Sons, 2003. ジョン ワイリー&サンズ、2003年。 0.65
[3] P. Laplace, “Th´eorie analytique des probabilit´es, deuxi`eme suppl´ement,” P. Laplace, “Th ́eorie analytique des probabilit ́es, deuxi`eme suppl ́ement”. 0.44
Oeuvr. comp`ı, vol. オーヴル。 と書いてある。 0.27
7, no. 2, pp. 531–580, 1818. 7, No. 2, pp. 531–580, 1818。 0.95
[4] N. V. Smirnov, “Uber die Verteilung des allgemeinen Gliedes in der 4]n. v. smirnov著, "uber die verteilung des allgemeinen gliedes in der" 0.39
Variationsreihe,” Metron, vol. とMetron, vol。 0.41
12, pp. 59–81, 1935. 12, pp. 59-81, 1935。 0.89
[5] ——, “Limit distributions for the terms of a variational series,” Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova, vol. とtrudy matematicheskogo instituta imeni va steklova, vol.5)。
訳抜け防止モード: [ 5 ] – “変分列の項の制限分布” メトキシマテスコゴ研究所(Instituta Imeni VA Steklova , vol )の略。
0.64
25, pp. 3–60, 1949. 第25巻、1949年3-60頁。 0.40
[6] A. A. Balkema and L. De Haan, “Limit distributions for order statistics. I,” Theory of Probability & Its Applications, vol. 6] a. a. balkema と l. de haan, “limit distributions for order statistics. i” theory of probability & its applications, vol. 1 (英語)
訳抜け防止モード: [6 ] A. A. Balkema と L. De Haan は次のように述べている。 I, ”確率と応用の理論, vol。
0.66
23, no. 1, pp. 77–92, 1978. 23 no. 1, pp. 77-92, 1978 頁。 0.84
[7] A. A. Balkema and L. de Haan, “Limit distributions for order statistics. II,” Theory of Probability & Its Applications, vol. A. A. Balkema, L. de Haan, “Limit distributions for order statistics. II, Theory of Probability & Its Applications, vol.
訳抜け防止モード: [7 ] A. A. Balkema と L. de Haan は次のように述べている。 II, ”The Theory of Probability & Its Applications, vol.
0.80
23, no. 2, pp. 341–358, 1979. 23巻、p.341-358、1979年。 0.51
[8] R. -D. [8] R。 -D。 0.60
Reiss, Approximate distributions of order statistics: With applications to nonparametric statistics. 順序統計の近似分布 reiss: 非パラメトリック統計への応用。 0.73
Springer science & business media, 2012. スプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、2012年。 0.37
[9] M. M. Siddiqui, “Distribution of quantiles in samples from a bivariate population,” J. Res. J. Res. M. M. Siddiqui, “二変量集団のサンプル中の定量値の分布”。 0.74
Nat. Bur. Standards B, vol. Nat! バー 標準B、V。 0.32
64, pp. 145–150, 1960. 64, pp. 145–150, 1960。 0.92
[10] L. Weiss, On the asymptotic joint normality of quantiles from a multivariate distribution. 10]l.ワイス : 多変量分布からの四量体の漸近的関節正常性について 0.62
Mathematics Research Center, United States Army, University of Wisconsin, 1963. アメリカ陸軍数学研究センター、ウィスコンシン大学、1963年。 0.54
[11] ——, “The asymptotic distribution of order statistics,” Naval Research [11]———「秩序統計の漸近分布」海軍研究 0.27
Logistics Quarterly, vol. Logistics Quarterly, vol. (英語) 0.64
26, no. 3, pp. 437–445, 1979. 26 no. 3, pp. 437-445, 1979年。 0.90
[12] ——, “The asymptotic joint distribution of an increasing number of sample quantiles,” Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol. 統計数学研究所(Institute of Statistical Mathematics, Vol.)のAnnals氏は次のように述べている。
訳抜け防止モード: [12]—————「増大するサンプル四量体の漸近的な関節分布」 専門は統計数学研究所(institute of statistical mathematics)。
0.62
21, no. 1, pp. 257–263, 1969. 21 no. 1, pp. 257-263, 1969。 0.84
[13] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications. 13] w. feller 確率論入門とその応用 0.49
John Wiley & Sons, 2008, vol. ジョン・ワイリー&サンズ、2008年。 0.48
2. [14] R. -D. 2. [14]R。 -D。 0.54
Reiss, “On the accuracy of the normal approximation for quan- Reiss, “ on the accuracy of the normal approximation for quan-- 0.45
tiles,” The Annals of Probability, pp. 741–744, 1974. tiles” the annals of probability, pp. 741–744, 1974. (英語) 0.37
[15] S. Ikeda and T. Matsunawa, “On the uniform asymptotic joint normality of sample quantiles,” Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol. [15]池田s.と松輪t.は,「試料四量体の一様漸近的合同正規性について」と,統計数学研究所のannals, vol。
訳抜け防止モード: [15 ]S.池田,T.松輪,「試料の均一な漸近結合正規性について」 統計数学研究所のアナルズ (Annals) 教授。
0.64
24, no. 1, pp. 33–52, 1972. 24,1, pp. 33-52, 1972。 0.75
[16] M. Falk, “A note on uniform asymptotic normality of intermediate order statistics,” Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol. 16] m. falk, “a note on uniform asymptotic normality of intermediate order statistics”, annals of the institute of statistical mathematics, vol. (英語)
訳抜け防止モード: [16 ] M. Falk, “A note on uniform asymsymotic normality of intermediate order statistics” 統計数学研究所のアナルズ (Annals) 教授。
0.75
41, no. 1, pp. 19–29, 1989. 41, No. 1, pp. 19–29, 1989。 0.47
[17] R. R. Bahadur, “A note on quantiles in large samples,” The Annals of 17] r. r. bahadur, “a note on quantiles in large sample”. annals. (英語) 0.37
Mathematical Statistics, vol. 37, no. 3, pp. 577–580, 1966. 数学統計学、数学。 37, no. 3, pp. 577–580, 1966。 0.64
[18] M. L. Puri and S. S. Ralescu, “Limit theorems for random central order statistics,” in Probability Theory and Extreme Value Theory. 18] m. l. puri と s. s. ralescu は確率論と極値理論において「ランダム中心次統計の極限定理」である。 0.76
De Gruyter Mouton, 2011, pp. 154–182. De Gruyter Mouton, 2011, pp. 154–182。 0.92
[19] Y. Ma, M. G. Genton, and E. Parzen, “Asymptotic properties of sample quantiles of discrete distributions,” Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol. 19] y. ma, m. g. genton, e. parzen, “asymptotic properties of sample quantiles of discrete distributions”. annals of the institute of statistical mathematics, vol. (英語)
訳抜け防止モード: [19 ]Y. Ma, M. G. Genton, E. Parzen 『離散分布のサンプル量子化の漸近的性質』統計数学研究所アナルズ,vol.
0.77
63, no. 2, pp. 227–243, 2011. 63, no. 2, pp. 227-243, 2011 頁。 0.42
[20] J. V. Linnik, “An information-theoreti c proof of the central limit theorem with Lindeberg conditions,” Theory of Probability & Its Applications, vol. J. V. Linnik, “An information-theoreti c proof of the central limit theorem with Lindeberg conditions”, Theory of Probability & Its Applications, vol。
訳抜け防止モード: 20 ] j. v. linnik, "情報 - リンデバーグ条件を持つ中心極限定理の理論的証明" 確率論とその応用
0.72
4, no. 3, pp. 288–299, 1959. 4, No. 3, pp. 288–299, 1959。 0.48
[21] A. R. Barron, “Entropy and the central limit theorem,” The Annals of A. R. Barron, “Entropy and the central limit theorem”, The Annals of 0.35
probability, pp. 336–342, 1986. 1986年、p.336-342。 0.48
[22] S. Artstein, K. M. Ball, F. Barthe, and A. Naor, “On the rate of convergence in the entropic central limit theorem,” Probability theory and related fields, vol. 22] s. artstein, k. m. ball, f. barthe, a. naor, "エントロピー中心極限定理の収束率について", 確率論と関連する分野について, vol。 0.72
129, no. 3, pp. 381–390, 2004. 129, No. 3, pp. 381-390, 2004。 0.86
[23] O. Johnson and A. Barron, “Fisher information inequalities and the central limit theorem,” Probability Theory and Related Fields, vol. 23] o. johnson と a. barron, “fisher information inequalities and the central limit theorem”, probability theory and related fields, vol。
訳抜け防止モード: 23 ] o. johnson と a. barron, “fisher information inequalities and the central limit theorem” 確率論と関連する場 , vol.
0.75
129, no. 3, pp. 391–409, 2004. 129, No. 3, pp. 391–409, 2004。 0.92
[24] M. Madiman and A. Barron, “Generalized entropy power inequalities and monotonicity properties of information,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. ieee transactions on information theory, vol. “generalized entropy power inequality and monotonicity properties of information”[24] m. madiman氏とa. barron氏は次のように述べている。 0.74
53, no. 7, pp. 2317–2329, 2007. 53, no. 7, pp. 2317-2329, 2007 頁。 0.77
                       ページの最初に戻る

翻訳にはFugu-Machine Translatorを利用しています。