Exploring quantum applications of near-term quantum devices is a rapidly
growing field of quantum information science with both theoretical and
practical interests. A leading paradigm to establish such near-term quantum
applications is variational quantum algorithms (VQAs). These algorithms use a
classical optimizer to train a parameterized quantum circuit to accomplish
certain tasks, where the circuits are usually randomly initialized. In this
work, we prove that for a broad class of such random circuits, the variation
range of the cost function via adjusting any local quantum gate within the
circuit vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability.
This result can unify the restrictions on gradient-based and gradient-free
optimizations in a natural manner and reveal extra harsh constraints on the
training landscapes of VQAs. Hence a fundamental limitation on the trainability
of VQAs is unraveled, indicating the essence of the optimization hardness in
the Hilbert space with exponential dimension. We further showcase the validity
of our results with numerical simulations of representative VQAs. We believe
that these results would deepen our understanding of the scalability of VQAs
and shed light on the search for near-term quantum applications with
advantages.
Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms
変分量子アルゴリズムの最適化に関する基礎的限界
0.78
Hao-Kai Zhang,1, 2 Chengkai Zhu,1 Geng Liu,1 and Xin Wang1, * 1Institute for Quantum Computing, Baidu Research, Beijing 100193, China 2Institute for Advanced Study, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Hao-Kai Zhang,1, 2 Chengkai Zhu,1 Geng Liu,1 and Xin Wang1,* 1 Institute for Quantum Computing, Baidu Research, Beijing 100193, China 2 Institute for Advanced Study, Tinghua University, Beijing 100084, China 訳抜け防止モード: hao-kai zhang,1,2 chengkai zhu,1 geng liu,1,xin wang1 ※1institute for quantum computing, baidu research, beijing 100193 中国第二高等研究機関 清華大学北京100084,中国
0.89
(Dated: May 11, 2022)
(2022年5月11日廃止)
0.49
Exploring quantum applications of near-term quantum devices is a rapidly growing field of quantum information science with both theoretical and practical interests.
These algorithms use a classical optimizer to train a parameterized quantum circuit to accomplish certain tasks, where the circuits are usually randomly initialized.
In this work, we prove that for a broad class of such random circuits, the variation range of the cost function via adjusting any local quantum gate within the circuit vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability.
This result can unify the restrictions on gradient-based and gradient-free optimizations in a natural manner and reveal extra harsh constraints on the training landscapes of VQAs.
Hence a fundamental limitation on the trainability of VQAs is unraveled, indicating the essence of the optimization hardness in the Hilbert space with exponential dimension.
We further showcase the validity of our results with numerical simulations of representative VQAs.
さらに, 代表VQAの数値シミュレーションにより, 結果の有効性を示す。
0.77
We believe that these results would deepen our understanding of the scalability of VQAs and shed light on the search for near-term quantum applications with advantages.
Introduction. — Enormous efforts have been made to develop noisy intermediate scale quantum (NISQ) devices [1] toward achieving near-term quantum advantage for practical applications in key areas including many-body physics [2–4], chemistry [5], finance [6–8], and machine learning [9].
The hybrid quantum-classical computation framework, including variational quantum algorithms (VQAs) [10–13], is widely believed to be promising in making use of NISQ devices to deliver meaningful quantum applications.
Specifically, VQAs use classical optimizers to train a parameterized quantum circuit (PQC) in order to solve problems in various topics such as ground state preparation [14], quantum linear algebra [15– 18], quantum metrology [19–21], quantum entanglement [22– 25], and machine learning [26–28].
With the aim to outperform classical algorithms and show quantum advantage on certain tasks, a critical issue is whether VQAs can be extended to solve large-scale systems, i.e., the scalability of VQAs.
Besides the practical limitations such as noises [31], even ideal quantum devices will suffer from the gradient vanishing issue of randomly initialized PQCs, which is known as the barren plateau phenomenon [29].
It was shown that the cost gradient vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability for a random initialized PQC with sufficient depth, analogous to the vanishing gradient issue in classical neural networks.
Consequently, exponentially vanishing gradients demand an exponential precision in the cost function measurement on a quantum device [37] to make progress in the gradient-based optimization, and hence an exponential complexity in the number of qubits.
Several attempts have been made to avoid vanishing gradients, such as proper initialization [38, 39], adaptive methods [40, 41], gradient-free optimization [42, 43], cost function choices [44, 45] and circuit architectures [46].
This work proves that the cost function will fluctuate in an exponentially small range in the number of qubits with a high probability when we vary an arbitrary local unitary within the circuit.
Significantly, one would like to know the entire variation range of the cost function when varying a single or several parameters [42, 43] as a guidance for the optimization, instead of just the limited information of the vicinity from gradient analyses.
Combined with the fact that parameters usually enter the circuit independently through local quantum gates, e g , single-qubit rotation gates, all of which motivate our work where we are chiefly concerned with the variation range of the cost function when varying a local unitary within a quantum circuit.
In this work, we present a rigorous scaling theorem on the trainability of VQAs beyond gradients.
本稿では、勾配を超えたVQAの訓練性に関する厳密なスケーリング定理を示す。
0.66
As sketched in Fig 1, we prove that when varying a local unitary within a sufficiently random circuit, the expectation and variance of the variation range of the cost function vanish exponentially in the number of qubits.
show that this theorem implies exponentially vanishing gradients and cost function differences, and hence unifies the restrictions on gradient-based and gradient-free optimizations.
In this sense, we obtain a fundamental limitation on optimization in VQAs.
この意味で、VQAにおける最適化の基本的な制限を得る。
0.69
Next we illustrate the applications of our theorem on representative VQAs.
次に、我々の定理を代表的VQAに適用する。
0.70
A tighter bound for the quantum state learning task is provided specifically.
量子状態学習タスクのタイトなバインドが特に提供される。
0.66
At last, we perform numerical simulations on these representative VQAs, where the scaling degrees are fitted with our analytical results almost precisely.
VQAs usually leverage a classical optimizer to minimize a problem-specific cost function, which is typically chosen as the expectation value of a Hermitian operator H:
VQAは通常、古典的なオプティマイザを利用して問題固有のコスト関数を最小化するが、これは典型的にはエルミート作用素 H の期待値として選択される。
0.54
CH,ρ(U) = tr(HUρU†),
ch,ρ(u) = tr(huρu) である。
0.75
(1) where ρ is an n-qubit input state and U is the unitary implemented by the whole quantum circuit used for the VQA.
(1) ρ は n ビットの入力状態であり、U は VQA に使用される量子回路全体によって実装されたユニタリである。
0.60
For simplicity of notations, we divide the whole system into two local parts A, B with m qubits and n− m qubits, respectively (we assume m is a fixed constant not scaling with n).
表記の単純さのために、系全体を2つの局所部分 A, B と m qubits と n − m qubits に分割する(m は n でスケーリングしない固定定数であると仮定する)。
0.85
Denote UA as a local unitary on subsystem A within this circuit.
この回路内のサブシステムA上の局所ユニタリとしてUAを記述する。
0.63
As shown in Fig 2, we call the sub-circuit on the left part of UA as V1, the right part as V2, such that U = V2(UA ⊗ IB)V1 where IB denotes the identity operator on B. V1 and V2 are composed of local unitaries and are independent.
There are gradient-based or gradient-free optimization methods whose spirit is to make the cost function approach the minimum as possible in each step of the optimization procedure when the circuit is parameterized with some parameter θ.
And what we commonly do in a step is to adjust local quantum gates by the updated θ, which necessarily determines how far our optimization process can go.
To better characterize the capabilities we have in the optimization process, i.e., how much difference in the cost function one can make by adjusting local quantum gates, we introduce the variation range of the cost function when varying a local unitary.
Definition 1 For a generic VQA cost function CH,ρ(U) in Eq.
定義 1 Eq の一般的な VQA コスト関数 CH,ρ(U) に対して。
0.90
(1), we define its variation range with given V1, V2 as
1) 与えられた v1, v2 をその変動範囲と定義する。
0.75
∆H,ρ(V1, V2) := max UA
H,ρ(V1, V2) :=max UA
0.42
CH,ρ(U) − min
CH,ρ(U) − min
0.42
UA CH,ρ(U),
UA ch,ρ(u) である。
0.56
(2) where the maximum and minimum with respect to UA are taken over the unitary group U(2m) of degree 2m.
(2) UA に関する最大かつ最小の群 U(2m) は次数 2m のユニタリ群 U(2m) に乗じる。
0.57
The variation range of the cost function ∆H,ρ(V1, V2) intuitively reflects the maximal influence a local unitary UA can have on the cost function of a VQA.
2 Fig 2. Partition of the quantum circuit in our analysis.
2 図2。 解析における量子回路の分割。
0.62
A parameterized quantum circuit used in a VQA with an n-qubit input quantum state ρ (either pure or mixed).
VQAで使われるパラメータ化量子回路で、nビット入力量子状態ρ(純粋または混合)を持つ。
0.75
We denote UA as a tunable local unitary implemented by some local quantum gates.
我々は、ua をいくつかの局所量子ゲートによって実装される可変局所ユニタリとして表現する。
0.42
Then the left part of the circuit implements unitary V1, and the right part implements unitary V2.
そして、回路の左側がユニタリV1を実装し、右側がユニタリV2を実装する。
0.73
A generic cost function of a VQA is the expectation value over some objective operator H.
VQAの一般的なコスト関数は、ある対象作用素 H に対する期待値である。
0.81
establishes Our main result
成立 私たちの主な成果は
0.42
an upper bound on ∆H,ρ(V1, V2) in the sense of probability, which thus delivers the limitations on the optimization over local unitaries in the process of training a VQA.
In the following Theorem 1, in particular, we prove that if either V1 or V2, or both match the Haar distribution up to the second moment, namely are chosen from 2-designs [47], the expectation value of ∆H,ρ(V1, V2) vanishes exponentially with the number of qubits.
(3) where EV1,V2 denotes the expectation over V1, V2 independently.
(3) EV1,V2はV1,V2に対する期待を独立に表す。
0.78
w(H) = λmax(H) − λmin(H) denotes the spectral width of H, where λmax(H) is the maximum eigenvalue of H and λmin(H) is the minimum.
w(H) = λmax(H) − λmin(H) は H のスペクトル幅を表し、λmax(H) は H の最大固有値、λmin(H) は最小値である。
0.94
Proof We give a sketch proof here and remain the details in the Appendix B. Without loss of generality, we assume that H is traceless since (B.46) is invariant if H is added by a homothety H → H + cI, c ∈ R. Moreover, we only need to find a upper bound for the maximization term in ∆H,ρ since the minimization term could be obtained similarly by replacing H with −H.
証明 一般性を欠くことなく、H が不変であることは、(B.46) が H → H + cI, c ∈ R によって H が加わったとき、(B.46) が不変であることから仮定する。 訳抜け防止モード: 証明 ここでスケッチの証明を行い、一般性を失うことなく、Appendix B.に詳細を残します。 H が (B.46 ) が不変であるため、H が準合成 H → H + cI によって加えられると仮定する。 c ∈ R. さらに、最大化項の上界は、 ρ, ρ でしか見つからない。 最小化項は同様に H を −H に置き換えることで得られる。
0.82
On the one hand, if V1 is a 2-design, we first take the expectation over V1
一方、V1 が 2-設計であれば、まず V1 よりも期待する。
0.81
(cid:104) (cid:16) ˜H(UA ⊗ IB)V1ρV
(cid:104) (cid:16) イア・イブ)v1ρv
0.54
EV1 max UA † 2 HV2.
EV1 max UA > 2 HV2。
0.41
Expand the traceless Hermitian operator
トレースレスエルミート演算子を展開する
0.70
† A ⊗ IB) † 1 (U
略称は「IB」。 1(U)
0.34
(4) tr where ˜H = V ˜H in terms of Pauli strings ˆσA
j represents the sum of terms on B corresponding to where OB j .
j は OB j に対応する B 上の項の和を表す。
0.77
For each decomposed term, we use Hölder’s inequality ˆσA to extract UA out and bound the remaining part with specific calculation of 2-design element-wise integrals (see Appendix B).
それぞれの分解項に対して、ヘルダーの不等式(英語版)(Hölder's inequality) は UA を抽出し、残りの部分を 2-次元要素積分の特定の計算で束縛する(Appendix B を参照)。 訳抜け防止モード: 各分解項に対して、Hölder の不等式は UA を抽出するために用いられる。 そして、残りの部分を2-design要素の特定の計算でバインドする。
0.65
Consequently, we arrive at (cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3) ≤ w( ˜H)
Secondly, Theorem 1 can be generalized to arbitrary dimensions besides qubit systems of dimension 2n.
第二に、定理 1 は次元 2n のキュービット系以外の任意の次元に一般化することができる。
0.60
A detailed proof is provided in the Appendix B. Finally, (3) is still valid when UA is a global unitary but satisfying the parametershift rule [48–52] if both V1 and V2 form 2-designs.
最後に、(3) は UA が大域的ユニタリであるが、V1 と V2 の両方が 2-設計である場合、パラメータシフト規則 [48-52] を満たすときにも有効である。
0.74
Suppose UA = e−iθΩ with the Hermitian generator Ω satisfying Ω2 = I. Since Ω has only two different eigenvalues ±1, there exists a unitary W such that W e−iθΩW † becomes a local unitary acting on a single qubit non-trivially.
ω は 2 つの異なる固有値 ±1 しか持たないので、w e−iθωw が 1 つの量子ビットに非自明に作用する局所ユニタリとなるようなユニタリ w が存在する。 訳抜け防止モード: UA = e−iθΩ を Ω2 = I を満たすエルミート生成子 Ω とする。 そのようなユニタリWが存在する W-iθΩW は1つのクォービット非自明に作用する局所ユニタリとなる。
0.78
W and W † could be absorbed into 2-design ensembles with W †V1 and V2W still forming 2-designs [53].
w と w は2つのデザインアンサンブルに吸収され、v1 と v2w は2つのデザイン [53] を形成する。
0.54
Therefore, the proof for global unitaries satisfying the parameter-shift rule can be reduced back to the case of local unitaries.
Implications of Theorem 1.— Here we briefly show that Theorem 1 implies the restrictions on both gradient-based [29, 32] and gradient-free optimizations [30] in a more natural manner, and indicates the extra restrictions besides them.
In the following we focus on a PQC applicable for Theorem 1 with M trainable parameters {θµ}M µ=1 and denote the variation range of the cost function via varying θµ as ∆µ.
3 Fig 3. Sketch of our results implying vanishing gradients.
3 図3。 結果のスケッチは, 勾配の消失を示唆している。
0.55
The left panel sketches the whole training landscape with one of the parameters θµ as the x-axis, other parameters {θν}ν(cid:54)=µ as the y-axis and the cost function C as the z-axis.
左パネルは、x軸のパラメータ θμ と、y軸のパラメータ {θν}ν(cid:54)=μ とz軸のコスト関数 C とで、トレーニングランドスケープ全体をスケッチする。
0.76
The right panel depicts a typical sample of the z-x cross-section from the landscape with variation range ∆µ.
右側のパネルは、地形から得られるz-x断面の典型的なサンプルを描いている。
0.59
Up to the linear approximation error, ∆µ can serve as an upper bound for the absolute derivative |∂µC| times the vicinity size 2ε.
線形近似誤差(英語版)からすると、nμ は絶対微分 |∂μC| の 2ε 倍の上限となる。
0.67
Thus Theorem 1 implies vanishing gradients even in the absence of the parameter-shift rule.
したがって、定理 1 はパラメータシフト規則がなくても勾配が消えることを暗示する。
0.64
within the circuit where Ωµ is a Hermitian generator satisfying µ = I. From Theorem 1 we know that the expectation of ∆µ Ω2 vanishes exponentially.
Ωμ が μ = I を満たすエルミート生成子である回路の中では、定理 1 から、μ Ω2 の期待は指数関数的に消える。
0.72
Therefore, the derivative ∂µC := ∂C ∂θµ with respect to θµ satisfies
where eµ is the unit vector in the parameter space corresponding to θµ.
eμ は θμ に対応するパラメータ空間の単位ベクトルである。
0.85
From Markov’s inequality as in (8), we know that the probability that ∂µC deviates from zero by a small constant is exponentially small in the number of qubits.
On the other hand, in the absence of the parameter-shift rule, vanishing gradients could still be obtained approximately by the following arguments.
一方,パラメータシフト規則が存在しない場合でも,下記の議論により消失勾配を得ることができた。
0.72
Consider the vicinity of a random initialized parameter point where the linear approximation error is negligible, denoted as an ε-ball Bε of radius ε (here ε plays the same role as the learning rate).
As shown in Fig 3, the linearity in Bε together with Theorem 1 leads to
図3に示すように、Bε の線型性は Theorem 1 と共に導かれる。
0.80
E [|∂µC|] ≤ E
e[|∂μc|] ≤ e である。
0.63
∈ O(2−n/2 1 ε
∈ O(2-n/2 1 ε
0.37
), (10) up to the linear approximation error, where 1/ε is not an essential factor since it reflects the frequencies of the landscape fluctuation rather than magnitudes, similar to the role of the factor tr(Ω2
ν − θν) eν for µ = 1, ..., M and θ(µ) = θ for µ = 0.
ν − θν) eν for μ = 1, ..., m and θ(μ) = θ for μ = 0 である。
0.93
Thus, as long as the number of parameters satisfies M ∈ O(poly(n)), the cost function difference between any two points vanish exponentially in the number of qubits with a high probability, demanding a exponential precision to make progress in the gradient-free optimization.
したがって、パラメータの数が M ∈ O(poly(n)) を満たす限り、任意の2点間のコスト関数の差は、高い確率で量子ビットの数で指数関数的に消失し、勾配のない最適化の進行を要求する指数的精度が要求される。
0.73
Furthermore, Theorem 1 goes beyond vanishing gradients and vanishing differences between two fixed points.
さらに、定理 1 は勾配を消し、二つの固定点の違いを消し去る。
0.68
The exponentially vanishing quantity claimed by Theorem 1 is the variation range of the cost function in the whole parameter subspace corresponding to a local unitary, e g , the subspace of three Euler angles parameterizing a single-qubit rotation gate.
Therefore, Theorem 1 can be regarded as a fundamental limitation on optimization in VQAs.
したがって、定理 1 は VQA における最適化の基本的な制限と見なすことができる。
0.68
Application on representative VQAs. —To better illustrate our results on the limitations on local unitary optimization in VQAs, we further investigate the applications of Theorem 1 in three important tasks, including the variational quantum eigensolver (VQE), quantum autoencoder, and quantum state learning.
The results of numerical experiments are summarized in Fig 5.
数値実験の結果は図5にまとめられている。
0.87
a. Application on VQE.
aだ VQEの応用。
0.68
Variational quantum eigensolver is a VQA to solve the ground state of any molecular Hamiltonian ˆH, which is based on the Rayleigh-Ritz variational principle [54, 55] E0 = minΨ(cid:104)Ψ| ˆH|Ψ(cid:105), where E0 denotes the ground state energy .
We further demonstrate the numerical simulation of experiments for VQE, choosing ˆH as 1-dimensional spin-1/2 antiferromagnetic Heisenberg model with n qubits, where
with periodic boundary condition. The initial state is set to |0(cid:105)(cid:104)0 |.
周期的な境界条件で 初期状態は |0(cid:105)(cid:104)0 | となる。
0.80
The theoretical bound and experimental in Fig 5(a) imply the difficulty of preparing the ground state with a randomly initialized PQC when the qubit number increases.
Quantum autoencoder (QAE) is an approach for quantum data comIt uses a quantum circuit E as an enpression [56–58].
量子オートエンコーダ (quantum autoencoder, qae) は量子データコミットに対するアプローチであり、量子回路 e をインプレッション [56-58] として使用する。
0.69
coder to compress a bipartite quantum state ρRQ into σQ = † E) on subsystem Q and drop out the state σR = trR(UEρRQU † E) on subsystem R. Then one could reproduce trQ(UEρRQU ρRQ with high fidelity from σQ by a quantum circuit D as a decoder.
The unitary of the encoder UE is usually the inverse † of the unitary of the decoder UD, i.e., UE = U D. Since the fidelity of reconstruction quantifies the ability of a QAE, one usually chooses the cost function for a QAE as: (|0(cid:105)(cid:104)0 |R ⊗ IQ)UEρRQU
エンコーダ UE のユニタリは、典型的にはデコーダ UD のユニタリの逆和、すなわち UE = U D である。 再構成の忠実度は QAE の能力を定量化するので、QAE のコスト関数を (|0(cid:105)(cid:104)0 |R > IQ)UEρRQU として選択する。
0.85
CQAE(UE) := tr
CQAE(UE) := tr
0.43
(cid:17) (cid:16)
(cid:17) (出典:16)
0.53
(14) . † E
(14) . へーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
0.35
4 Fig 4. Circuit setting for a quantum autoencoder.
4 図4。 量子オートエンコーダの回路設定
0.60
E is the encoder circuit and D is the decoder circuit.
Eはエンコーダ回路、Dはデコーダ回路である。
0.73
ρRQ is the input state to be compressed and σQ is the compressed state which is used to reconstruct ρRQ through D combined with |0(cid:105)(cid:104)0 |R.
σR is the dropped out state after we compress ρRQ.
σR は ρRQ を圧縮した後のドロップアウト状態である。
0.73
Specifically, we just replace the objective operator H in (1) with HQAE = |0(cid:105)(cid:104)0 |R ⊗ IQ here.
具体的には、(1) の目的作用素 H を HQAE = |0(cid:105)(cid:104)0 |R > IQ に置き換える。
0.79
Thus (8) can also be applied straightforwardly.
したがって(8)は直接にも適用できる。
0.74
This means if we use PQCs to train a QAE with randomly initialized parameters by doing optimization on any local quantum gate, the approach to the desired QAE vanishes with exponentially high probability.
To reconstruct an unknown pure state |φ(cid:105), one may encode the given state |φ(cid:105) onto an optimal parameterized quantum circuit with a given input state |ψ(cid:105).
(15) i.e., the Bures fidelity between |φ(cid:105) and U|ψ(cid:105).
(15)すなわち |φ(cid:105) と u|ψ(cid:105) の間のバーズ忠実度。
0.67
It is obvious that we can apply Theorem 1 here by taking the objective operator H in (1) as the unknown state: HQSL = |φ(cid:105)(cid:104)φ|.
ここで、(1) の目的作用素 h を未知の状態とする定理 1 を適用することは明らかである: hqsl = | φ(cid:105)(cid:104) φ|。 訳抜け防止モード: ここで Theorem 1 を適用できることは明らかです。 目的作用素 H in ( 1 ) を未知の状態とする: HQSL = |φ(cid:105)(cid:104)φ|。
0.82
In particular, for any density matrix ρ and σ, let
特に、任意の密度行列 ρ と σ に対して、
0.78
CQSL(U) = F(cid:0)σ, UρU†(cid:1) .
CQSL(U) = F(cid:0)σ, UρU*(cid:1)。
0.74
(16) We give a tighter and more general bound for ∆QSL(V1, V2) in the following proposition, whose detailed proof can be found in the Supplementary Material.
Panel (b) is the semi-log plot for a QAE with single-qubit compressed data.
パネル (b) は、シングルキュービット圧縮データを持つ qae の半ログプロットである。
0.73
Panel (c) is the semi-log plot for the QSL with a target state being zero states.
パネル (c) は QSL の準ログプロットであり、ターゲット状態はゼロ状態である。
0.76
As analytically calculated, whenever V1 or V2 is chosen from a unitary 2-design, the variation range of the cost function on a local parameter decays exponentially in the number of qubits.
The slopes of the lines indicate the rates of exponential decay.
線の斜面は指数的減衰率を示している。
0.71
learning an unknown state by deep PQCs when the qubit number increases.
量子ビット数が増加すると深いpqcで未知の状態を学ぶ。
0.69
Numerical simulations of experiments.
実験の数値シミュレーション。
0.77
— To verify our main result and its applications in the three tasks discussed above, we carry out numerical simulations of experiments via Paddle Quantum [61] on the PaddlePaddle Deep Learning Platform [62].
上述の3つの課題における本研究の主な成果と応用を検証するため,Paddle Quantum [61] on the Paddle Deep Learning Platform [62] を用いて実験の数値シミュレーションを行った。
0.91
a. Circuit setting. We firstly introduce the same circuit setting for the three tasks.
aだ 回路設定。 まず,3つのタスクに対して同じ回路設定を導入する。
0.71
Consider a bipartite quantum system AB composed of 1 and n − 1 qubits.
1 と n − 1 の量子ビットからなる二成分量子系 ab を考える。
0.80
To implement the maximization and minimization in the definition of ∆H,ρ(V1, V2) with respect to UA numerically, we parameterize UA ∈ U(2) as
h,ρ(v1, v2) の定義における ua に対する最大化と最小化を数値的に実装するために、ua ∈ u(2) をパラメータ化する。 訳抜け防止モード: H の定義における最大化と最小化を実現する。 UA を数値的に ρ(V1 , V2 ) とし、UA ∈ U(2 ) をパラメータ化する。
0.75
UA = RZ(φ)RX (− π 2
UA = RZ(φ)RX(−π2)
0.45
)RZ(θ)RX ( π 2
)RZ(θ)RX π 2
0.79
)RZ(λ), (18)
)RZ(λ) (18)
0.54
where φ, θ, λ are Euler angles.
ここで φ, θ, λ はオイラー角である。
0.75
To construct a circuit with statistics analogous to a 2-design as V1, V2, we employ a hardware-efficient ansatz as shown in (19) which has the same architecture as that in [29] for comparative purposes.
··· • A single layer of RY (π/4) gates are laid at the very beginning of the circuit, then followed by 10 × n repeated layers, where each layer has a parallel single-qubit rotation gate, given by RP (θ) where P ∈ {X, Y, Z} and θ ∈ [0, 2π) are chosen uniformly random, together with a layer of 1D controlled phase gates. As mentioned in [29], when the number of repeated layers is around O(n) (here we employ 10×n), the circuit would be statistics analogous to a 2-design.
We also perform experiments with different numbers of layers in the 1D quantum
また、1次元量子における異なる数の層による実験も行います。
0.67
b. circuit to see the limit of a 2-design circuit in Theorem 1(see Appendix D in the Supplementary Material for more details).
bだ Theorem 1 の 2-design 回路の限界を見るための回路(詳細は補助材料 の Appendix D を参照)。
0.75
Implementation procedure. For each sample of V1, V2, we employ Adam optimizer to update UA iteratively until convergence to obtain minUA C and maxUA C, and hence we get ∆H,ρ(V1, V2).
実装手順。 V1, V2 の各サンプルに対して、Adam Optimizationr を用いて、収束するまで反復的に UA を更新し、minUA C と maxUA C を得る。 訳抜け防止モード: 実装手順。 V1, V2の各サンプルに対して、アダムオプティマイザを用いる。 収束するまで反復的にUAを更新してminUACとmaxUACを得る したがって ρ(V1 , V2 ) となる。
0.67
Note that the converged value can be a good estimation of the global minimum with a tolerable error at least for circuits with a small number of qubits (≤ 10) and modest depth (≤ 10 × n).
We repeat this procedure for different number of qubits and different location of the local unitary UA, i.e., locating before a 2-design, behind a 2-design and between two 2-designs.
c. Numerical results. We summarize the simulation results for the three tasks in three semi-log plots in Fig 5, respectively, concerning ∆H,ρ(V1, V2) as a function of the number of qubits (n).
We note that the term w(H) is divided to the left side of the inequality (3) to better present the scaling result, which is reasonable since w( ˆH) ∈ O(n) and w(HQAE) = w(HQSL) = 1.
For VQE setting in Fig 5(a), we see that whenever V1 is from a 2-design, V2 is from 2design, or both V1, V2 are from 2-designs, the expected value of ∆H,ρ(V1, V2) decay exponentially with n, even though there is a model-dependent odd-even oscillation.
These results clarify the concentration of the cost function after local unitary optimization.
これらの結果は局所ユニタリ最適化後のコスト関数の集中度を明らかにする。
0.63
Fig. 5 (b) and Fig 5
第5図 (b)及び図5
0.79
(c) summarize the result for the QAE and the QSL.
(c)QAEとQSLの結果を要約する。
0.62
The slopes of different lines tell that the scalings we derived in Theorem 1 and Proposition 2 are correct, and a local unitary UA can only change the cost functions in these two tasks exponentially small.
異なる直線の傾きは、定理 1 と命題 2 で導出したスケーリングが正しいことを示し、局所ユニタリ ua はこれら二つのタスクのコスト関数を指数関数的に小さくしか変更できない。
0.72
Concluding remarks. — In this work, we have shown that the maximal influence of a local unitary within a sufficiently random quantum circuit on the cost function vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability, for cost function types as the expectation of an observable, which are widely used in VQAs.
domness required is just 2-designs in spite that the integrand ∆H,ρ(V1, V2) is not necessarily a polynomial of degree at most 2 in the entries of V1 and V2 due to the maximization and minimization operations.
Besides training strategies already ruled out by vanishing gradients, our results prohibit
グラデーションの消失で 既に除外された トレーニング戦略に加えて
0.64
the strategy that optimizes local unitaries independently, even based on gradient-free methods.
勾配のない手法に基づいても、ローカルユニタリを独立に最適化する戦略。
0.70
Reparameterization within local unitaries is also prohibited.
ローカルユニタリ内の再パラメータ化も禁止されている。
0.55
Therefore, the remaining strategies to improving the trainability of VQAs may exist in proper initializations from task-dependent prior knowledge, designed PQC architectures, and efficient pre-trainings, including adaptive methods, etc.
We would like to thank Runyao Duan for helpful discussions.
Runyao Duan氏による有益な議論に感謝します。
0.69
6 [1] John Preskill, “Quantum Computing in the NISQ era and be-
6 [1]john preskill, “nisq時代の量子コンピューティングとbe
0.53
yond,” Quantum 2, 79 (2018), arXiv:1801.00862.
yond” quantum 2, 79 (2018), arxiv:1801.00862。
0.79
[2] Dave Wecker, Matthew B. Hastings,
[2]デイヴ・ウェッカー、マシュー・b・ヘイスティングス
0.50
and Matthias Troyer, “Progress towards practical quantum variational algorithms,” Physical Review A 92, 042303 (2015).
そしてmatthias troyerは、”progress towards practical quantum variational algorithms”(実用的な量子変分アルゴリズムへの進歩)と評した。 訳抜け防止モード: マティアス・トロイヤーは「実用的な量子変分アルゴリズムの進歩」と述べた。 フィジカルレビュー A 92 , 042303 (2015 )。
0.68
[3] Wen Wei Ho and Timothy H. Hsieh, “Efficient variational simulation of non-trivial quantum states,” (2018), 10.21468/SciPostPhys .6.3.029, arXiv:1803.00026.
Wen Wei Ho and Timothy H. Hsieh, “Efficient variational Simulation of non-trivial quantum state” (2018), 10.21468/SciPostPhys .6.3.029, arXiv:1803.00026. 訳抜け防止モード: 3 ] wen wei ho と timothy h. hsieh, "非自明な量子状態の効率的な変動シミュレーション" (2018年) , 10.21468 / scipostphys.6.3.029 , arxiv:1803.00026 。
0.61
[4] Alexey Uvarov, Jacob Biamonte, and Dmitry Yudin, “Variational Quantum Eigensolver for Frustrated Quantum Systems,” Physical Review B 102, 075104 (2020), arXiv:2005.00544.
[5] Sam McArdle, Suguru Endo, Alán Aspuru-Guzik, Simon C. Benjamin, and Xiao Yuan, “Quantum computational chemistry,” Reviews of Modern Physics 92, 015003 (2020), arXiv:1808.10402.
5] Sam McArdle, Suguru Endo, Alán Aspuru-Guzik, Simon C. Benjamin, and Xiao Yuan, “Quantum computational Chemistry”, Reviews of Modern Physics 92, 015003 (2020), arXiv:1808.10402。 訳抜け防止モード: 5]sam mcardle, suguru endo, alán aspuru - guzik, simon c. benjamin, and xiao yuan, "量子計算化学" 現代物理学 92, 015003 (2020), arxiv:1808.10402 のレビュー
0.74
[6] Daniel J. Egger, Claudio Gambella, Jakub Marecek, Scott McFaddin, Martin Mevissen, Rudy Raymond, Andrea Simonetto, Stefan Woerner, and Elena Yndurain, “Quantum Computing for Finance: State-of-the-Art and Future Prospects,” IEEE Transactions on Quantum Engineering 1, 1–24 (2020), arXiv:2006.14510.
Daniel J. Egger, Claudio Gambella, Jakub Marecek, Scott McFaddin, Martin Mevissen, Rudy Raymond, Andrea Simonetto, Stefan Woerner, Elena Yndurain, “Quantum Computing for Finance: State-of-the-Art and Future prospects”, IEEE Transactions on Quantum Engineering 1, 1–24 (2020), arXiv:2006.14510。
0.46
[7] Dylan Herman, Cody Googin, Xiaoyuan Liu, Alexey Galda, Ilya Safro, Yue Sun, Marco Pistoia, and Yuri Alexeev, “A Survey of Quantum Computing for Finance,” arXiv preprint arXiv: 2201.02773 (2022), arXiv:2201.02773.
[7]Dylan Herman, Cody Googin, Xiaoyuan Liu, Alexey Galda, Ilya Safro, Yue Sun, Marco Pistoia, Yuri Alexeev, “A Survey of Quantum Computing for Finance” arXiv preprint arXiv: 2201.02773 (2022), arXiv: 2201.02773。 訳抜け防止モード: [7]ディラン・ハーマン、コディ・グーギン、Xiaoyuan Liu Alexey Galda, Ilya Safro, Yue Sun, Marco Pistoia そしてYuri Alexeev, “A Survey of Quantum Computing for Finance” arXiv preprint arXiv : 2201.02773 (2022 ) , arXiv:2201.02773 。
0.84
[8] Adam Bouland, Wim van Dam, Hamed Joorati,
[8]Adam Bouland, Wim van Dam, Hamed Joorati,
0.42
nis Kerenidis, lenges of quantum finance,” arXiv:2011.06492 arXiv:2011.06492.
とarXiv:2011.06492 arXiv:2011.06492は述べている。
0.56
Iordaand Anupam Prakash, “Prospects and chal(2020),
Iordaand Anupam Prakash, “Prospects and chal(2020)”
0.42
[9] Jacob Biamonte, Peter Wittek, Nicola Pancotti, Patrick Rebentrost, Nathan Wiebe, and Seth Lloyd, “Quantum machine learning,” Nature 549, 195–202 (2017).
9] Jacob Biamonte, Peter Wittek, Nicola Pancotti, Patrick Rebentrost, Nathan Wiebe, Seth Lloyd, “Quantum Machine Learning”, Nature 549, 195–202 (2017)。 訳抜け防止モード: 9]ヤコブ・ビアモント ピーター・ウィッテク ニコラ・パンコッティ patrick rebentrost氏、nathan wiebe氏、seth lloyd氏、"量子機械学習" Nature 549 , 195–202 ( 2017 ) .
0.59
[10] Jarrod R. McClean,
10] ジャロッド・r・マクリーン
0.54
Jonathan Romero, Ryan Babbush, and Alán Aspuru-Guzik, “The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms,” New Journal of Physics 18, 023023 (2016), arXiv:1509.04279.
Jonathan Romero, Ryan Babbush, and Alán Aspuru-Guzik, "The theory of variational hybrid quantum-classical algorithm", New Journal of Physics 18, 023023 (2016), arXiv:1509.04279。 訳抜け防止モード: ジョナサン・ロメロ、ライアン・バブッシュ、アラン・アスプル - グジク 「変分ハイブリッド量子-古典的アルゴリズムの理論」 023023 ( 2016 ) , arXiv:1509.04279 .
0.66
[11] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles, “Variational quantum algorithms,” Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021), arXiv:2012.09265.
M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Endo Suguru, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles, “変数量子アルゴリズム” Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021), arXiv:2012.09265。 訳抜け防止モード: 11]m.セレゾ、アンドリュー・アラスミス、ライアン・バブブッシュ simon c. benjamin, suguru endo, keisuke fujii, jarrod r. mcclean, 三田井耕介、元新雄、シンシオルカシュ、コレス nature review physics 3, 625–644 (2021)、arxiv:2012.09265。
0.55
[12] Kishor Bharti, Alba Cervera-Lierta, Thi Ha Kyaw, Tobias Haug, Sumner Alperin-Lea, Abhinav Anand, Matthias Degroote, Hermanni Heimonen, Jakob S Kottmann, Tim Menke, Wai-Keong Mok, Sukin Sim, Leong-Chuan Kwek, and Alán Aspuru-Guzik, “Noisy intermediate-scale quantum (NISQ) algorithms,” arXiv:2101.08448 , 1–82 (2021), arXiv:2101.08448.
12] Kishor Bharti, Alba Cervera-Lierta, Thi Ha Kyaw, Tobias Haug, Sumner Alperin-Lea, Abhinav Anand, Matthias Degroote, Hermanni Heimonen, Jakob S Kottmann, Tim Menke, Wai-Keong Mok, Sukin Sim, Leong-Chuan Kwek, Alán Aspuru-Guzik, “ノイズ中規模量子(NISQ)アルゴリズム” arXiv:2101.08448, 1–82 (2021), arXiv:2101.08448, 1–82 (2021), arXiv:2101.084 訳抜け防止モード: 12 ] kishor bharti, alba cervera - lierta, thi ha kyaw, tobias haug, sumner alperin - lea, abhinav anand, matthias degroote, hermanni heimonen, jakob s kottmann, tim menke, wai - keong mok, スキン・シム(sukin sim)、レオン(leong)、チュアン・クウェク(chuan kwek)、アラン・アスプル(alán aspuru)、グジク(guzik)。 「騒がしい中間-スケール量子(nisq)アルゴリズム」arxiv:2101.08448 1–82 ( 2021 ) , arXiv:2101.08448 .
0.55
and Xiao [13] Suguru Endo, Zhenyu Cai, Simon C Benjamin,
そしてXiao [13]遠藤スグル、周融、シモン・C・ベンジャミン
0.58
Yuan, “Hybrid Quantum-Classical Algorithms and Quantum Error Mitigation,” Journal of the Physical Society of Japan 90, 032001 (2021), arXiv:2011.01382.
Yuan, “Hybrid Quantum-Classical Algorithms and Quantum Error Mitigation”, Journal of the Physical Society of Japan 90, 032001 (2021), arXiv:2011.01382
0.46
[14] Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alán Aspuru-Guzik, and Jeremy L. O’Brien, “A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor,” Nature Communications 5, 4213 (2014).
Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alán Aspuru-Guzik, Jeremy L. O’Brien, “A variational eigenvaluesolvr on a photonic quantum processor”, Nature Communications 5, 4213 (2014)。 訳抜け防止モード: 14] アルベルト・ペルッツォ ジャロッド・マクリーン ピーター・シャドボルト 男-ホン・ユン、シャオ-チー・周、ピーター・j・ラブ alán aspuru - guzik, and jeremy l. o'brien, “a variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor” (英語) ネイチャーコミュニケーションズ5、4213(2014年)。
0.71
[15] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin, and Xiao Yuan, “Variational algorithms for linear algebra,” arXiv:1909.03898 2, 1–10 (2019), arXiv:1909.03898.
[15]Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin, and Xiao Yuan, “Variational Algorithm for linear algebra” arXiv:1909.03898 2, 1–10 (2019), arXiv:1909.03898。 訳抜け防止モード: 【15 ]キヤオシ・クウ、ジンザオ・サン、スグル・遠藤 ying li, simon c. benjamin, xiao yuan, "線形代数の変分アルゴリズム" arxiv:1909.03898 2 , 1–10 (2019 ) , arxiv:1909.03898 。
0.71
[16] Hsin-Yuan Huang, Kishor Bharti,
[16]Hsin-Yuan Huang,Kishor Bharti,
0.47
and Patrick Rebentrost, “Near-term quantum algorithms for linear systems of equations,” arXiv:1909.07344 (2019), arXiv:1909.07344.
パトリック・レベントロストは "near-term quantum algorithms for linear systems of equation", arxiv:1909.07344 (2019), arxiv:1909.07344 を提唱した。
0.59
[17] Carlos Bravo-Prieto, Ryan LaRose, M. Cerezo, Yigit Subasi, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles, “Variational Quantum Linear Solver,” arXiv:1909.05820 (2019), arXiv:1909.05820.
[17]Carlos Bravo-Prieto, Ryan LaRose, M. Cerezo, Yigit Subasi, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles, “Variational Quantum Linear Solver” arXiv:1909.05820 (2019), arXiv:1909.05820 訳抜け防止モード: カルロス・ブラボー - プリエト、ライアン・ラローズ、m・セレゾ。 yigit subasi, lukasz cincio, patrick j. coles, "変分量子線形解法" arxiv:1909.05820(201 9年)、arxiv:1909.05820。
0.56
[18] Xin Wang, Zhixin Song, and Youle Wang, “Variational Quantum Singular Value Decomposition,” Quantum 5, 483 (2021), arXiv:2006.02336.
and Patrick J. Coles, “Variational quantum algorithm for estimating the quantum Fisher information,” Physical Review Research 4, 013083 (2022), arXiv:2010.10488.
そしてPatrick J. Coles, “Variational quantum algorithm for Estimation the quantum Fisher information”, Physical Review Research 4, 013083 (2022), arXiv:2010.10488。 訳抜け防止モード: そしてpatrick j. coles氏は、"量子フィッシャー情報を推定するための変分量子アルゴリズム"である。 物理レビュー研究4,013083 (2022)、arxiv:2010.10488。
0.68
[20] Bálint Koczor, Suguru Endo, Tyson Jones, Yuichiro Matsuzaki, and Simon C Benjamin, “Variational-state quantum metrology,” New Journal of Physics 22, 083038 (2020).
Bálint Koczor, Suguru Endo, Tyson Jones, Yuichiro Matsuzaki, Simon C Benjamin, “Variational-state quantum metrology”, New Journal of Physics 22 083038 (2020)。 訳抜け防止モード: [20 ]Bálint Koczor,Endo Suguru,Tyson Jones, 松崎勇一郎とシモン・C・ベンジャミン「変分-状態量子力学」 New Journal of Physics 22 , 083038 (2020 )
0.68
[21] Johannes Information in Noisy Intermediate-Scale Quantum Applications,” Quantum 5, 539 (2021), arXiv:2103.15191.
[22] Kun Wang, Zhixin Song, Xuanqiang Zhao, Zihe Wang, and Xin Wang, “Detecting and quantifying entanglement on nearterm quantum devices,” npj Quantum Information 8, 52 (2022), arXiv:2012.14311.
22] kun wang, zhixin song, xuanqiang zhao, zihe wang, xin wang, "近距離量子デバイスにおける絡み合いの検出と定量化", npj quantum information 8, 52 (2022), arxiv:2012.14311。
0.81
[23] Carlos Bravo-Prieto, Diego García-Martín, and José I. Latorre, “Quantum Singular Value Decomposer,” Physical Review A 101, 062310 (2019), arXiv:1905.01353.
[23]Carlos Bravo-Prieto, Diego García-Martín,José I. Latorre, “Quantum Singular Value Decomposer”, Physical Review A 101, 062310 (2019), arXiv:1905.01353 訳抜け防止モード: カルロス・ブラボー - プリエト - ディエゴ・ガルシア - マルティン José I. Latorre, “Quantum Singular Value Decomposer, ” Physical Review A 101, 062310 ( 2019 ) , arXiv:1905.01353 .
0.80
[24] Ranyiliu Chen, Benchi Zhao,
[24]ラニリュー・チェン、ベンチ・ザオ、
0.51
and Xin Wang, “Variational Quantum Algorithm for Schmidt Decomposition,” arXiv:2109.10785 , 1–12 (2021), arXiv:2109.10785.
[25] Xuanqiang Zhao, Benchi Zhao, Zihe Wang, Zhixin Song, and Xin Wang, “LOCCNet: a machine learning framework for distributed quantum information processing,” npj Quantum Information 7 (2021), s41534-021-00496-x, arXiv:2101.12190.
[25]Xuanqiang Zhao, Benchi Zhao, Zihe Wang, Zhixin Song, Xin Wang, “LOCCNet: a machine learning framework for distributed quantum information processing”, npj Quantum Information 7 (2021), s41534-021-00496-x, arXiv:2101.12190”。 訳抜け防止モード: 25 ] ジュンキョン・ジャオ, ベンチ・ジャオ, ジヘ・ワン, zhixin song, xin wang, “loccnet: a machine learning framework for distributed quantum information processing” npj量子情報7(2021年)、s41534 - 021 - 00496-x、arxiv:2101.12190。
0.73
[26] Maria Schuld and Francesco Petruccione, Machine Learning
[26]Maria SchuldとFrancesco Petruccione, 機械学習
0.39
with Quantum Computers (2021).
量子コンピュータ(2021年)。
0.67
[27] Maria Schuld, Alex Bocharov, Krysta M. Svore, and Nathan Wiebe, “Circuit-centric quantum classifiers,” Physical Review
[27]Maria Schuld,Alex Bocharov,Krysta M. Svore,Nathan Wiebe, “Circuit中心の量子分類器”, Physical Review 訳抜け防止モード: 27]maria schuld, alex bocharov, krysta m. svore, そしてnathan wiebe氏は、"回路中心の量子分類器、物理的レビュー"である。
0.64
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
A 101, 032308 (2020), arXiv:1804.00633.
A 101, 032308 (2020), arXiv:1804.00633。
0.90
[28] Ryan LaRose and Brian Coyle, “Robust data encodings for quantum classifiers,” Physical Review A 102, 032420 (2020), arXiv:2003.01695.
[28]ryan larose氏とbrian coyle氏は、"robust data encodings for quantum classifiers", physical review a 102, 032420 (2020), arxiv:2003.01695を書いている。 訳抜け防止モード: [28 ] Ryan LaRose と Brian Coyle, “量子分類器のロバストなデータエンコーディング”。 物理レビュー A 102, 032420 (2020), arXiv:2003.01695。
0.86
[29] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush, and Hartmut Neven, “Barren plateaus in quantum neural network training landscapes,” Nature Communications 9, 1–7 (2018), arXiv:1803.11173.
Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush, Hartmut Neven, “Barren Plateaus in quantum neural network training landscapes”, Nature Communications 9, 1-7 (2018), arXiv:1803.11173。 訳抜け防止モード: 29] jarrod r. mcclean, sergio boixo, vadim n. smelyanskiy, ryan babbush氏、hartmut neven氏、"量子ニューラルネットワークのトレーニング環境における不毛の高原" 自然通信9号、1-7号(2018年)、arxiv:1803.11173号。
0.64
[30] Andrew Arrasmith, M. Cerezo, Piotr Czarnik, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles, “Effect of barren plateaus on gradient-free optimization,” Quantum 5, 1–9 (2020), arXiv:2011.12245.
[30]Andrew Arrasmith, M. Cerezo, Piotr Czarnik, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles, “Effect of barren plateaus on gradient-free optimization, Quantum 5, 1–9 (2020), arXiv:2011.12245。 訳抜け防止モード: Andrew Arrasmith, M. Cerezo, Piotr Czarnik, Lukasz Cincio,Patrick J. Coles, “Barren Plateausが勾配-自由最適化に及ぼす影響” 量子 5 , 1-9 (2020 ) , arXiv:2011.12245 。
0.87
[31] Samson Wang, Enrico Fontana, M. Cerezo, Kunal Sharma, Akira Sone, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles, “Noiseinduced barren plateaus in variational quantum algorithms,” Nature Communications 12, 6961 (2021), arXiv:2007.14384.
31] samson wang, enrico fontana, m. cerezo, kunal sharma, akira sone, lukasz cincio, patrick j. coles, "noiseinduced barren plateaus in variational quantum algorithms", nature communications 12, 6961 (2021), arxiv:2007.14384。 訳抜け防止モード: 31]samson wang, enrico fontana, m. cerezo, kunal sharma, akira sone氏、lukasz cincio氏、patrick j. coles氏、"変分量子アルゴリズムにおけるノイズ誘起不毛高原"。 nature communications 12 , 6961 (2021 ) , arxiv:2007.14384 。
0.72
[32] Zoë Holmes, Kunal Sharma, M. Cerezo,
[32]Zoë Holmes, Kunal Sharma, M. Cerezo
0.40
and Patrick J. Coles, “Connecting ansatz expressibility to gradient magnitudes and barren plateaus,” PRX Quantum 3, 1–20 (2021), arXiv:2101.02138.
そしてpatrick j. coles氏は、"勾配のマグニチュードと不毛の高原へのアンサッツ表現性との接続"、prx quantum 3, 1–20 (2021), arxiv:2101.02138。
0.57
[33] Lennart Bittel and Martin Kliesch, “Training Variational Quantum Algorithms Is NP-Hard,” Physical Review Letters 127, 120502 (2021), arXiv:2101.07267.
33] lennart bittel氏とmartin kliesch氏は、"training variational quantum algorithms is np-hard", physical review letters 127, 120502 (2021), arxiv:2101.07267を書いている。
0.70
[34] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová, and Nathan Wiebe, “Entanglement-Induced Barren Plateaus,” PRX Quantum 2, 040316 (2021), arXiv:2010.15968.
[35] Daniel Stilck Franca and Raul García-Patrón, “Limitations of optimization algorithms on noisy quantum devices,” Nature Physics 17, 1221–1227 (2021), arXiv:2009.05532.
[35] Daniel Stilck Franca と Raul García-Patrón, “Limitations of optimization algorithm on noisy quantum devices”, Nature Physics 17, 1221–1227 (2021), arXiv:2009.05532. 訳抜け防止モード: 35 ] ダニエル・スティルク・フランカとラウル・ガルシア - パトロン。 ノイズ量子デバイスにおける最適化アルゴリズムの限界」自然物理学17 1221–1227 ( 2021 ) , arXiv:2009.05532 .
0.78
[36] Giacomo De Palma, Milad Marvian, Cambyse Rouzé, and Daniel Stilck Franca, “Limitations of variational quantum algorithms: transport approach,” arXiv:2204.03455 , 1–30 (2022), arXiv:2204.03455.
[36]Giacomo De Palma, Milad Marvian, Cambyse Rouzé, Daniel Stilck Franca, “Limitations of variational quantum algorithm: transport approach, arXiv:2204.03455 , 1–30 (2022), arXiv:2204.03455”。 訳抜け防止モード: [36 ]Giacomo de Palma, Milad Marvian, Cambyse Rouzé, Daniel Stilck Franca氏は次のように述べている。 arXiv:2204.03455 , 1–30 (2022 ) , arXiv:2204.03455 。
0.84
a quantum optimal [37] Emanuel Knill, Gerardo Ortiz, and Rolando D. Somma, “Optimal quantum measurements of expectation values of observables,” Phys.
量子の最適性 37] emanuel knill氏、gerardo ortiz氏、rolando d. somma氏、"観測可能な天体の期待値の最適量子測定"(optimal quantum measurement of expectation values of observables)、phys氏。 訳抜け防止モード: 量子の最適性 37] emanuel knill、gerardo ortiz、rolando d. somma。 「観測可能物質の期待値の最適量子測定」 phys。
0.70
Rev. A 75, 012328 (2007).
A 75, 012328 (2007)。
0.29
[38] Edward Grant, Leonard Wossnig, Mateusz Ostaszewski, and Marcello Benedetti, “An initialization strategy for addressing barren plateaus in parametrized quantum circuits,” Quantum 3 (2019), 10.22331/q-2019-12-0 9-214, arXiv:1903.05076.
[39] Guillaume Verdon, Michael Broughton, Jarrod R. McClean, Kevin J. Sung, Ryan Babbush, Zhang Jiang, Hartmut Neven, and Masoud Mohseni, “Learning to learn with quantum neural networks via classical neural networks,” , 1–12 (2019), arXiv:1907.05415.
[39]Guillaume Verdon, Michael Broughton, Jarrod R. McClean, Kevin J. Sung, Ryan Babbush, Zhang Jiang, Hartmut Neven, Masoud Mohseni, “Learning to learn with quantum neural network via classical neural network”, 1–12 (2019), arXiv:1907.05415。 訳抜け防止モード: 39 ] Guillaume Verdon, Michael Broughton, Jarrod R. McClean, Kevin J. Sung, Ryan Babbush, Zhang Jiang, Hartmut Neven, Masoud Mohseni 古典的ニューラルネットワークによる量子ニューラルネットワークの学習”。 1–12 ( 2019 ) , arXiv:1907.05415 .
0.80
[40] Harper R. Grimsley, Sophia E. Economou, Edwin Barnes, and Nicholas J. Mayhall, “An adaptive variational algorithm for exact molecular simulations on a quantum computer,” Nature Communications 10, 3007 (2019), arXiv:1812.11173.
He40] Harper R. Grimsley, Sophia E. Economou, Edwin Barnes, and Nicholas J. Mayhall, “Anaptive variational algorithm for exact molecular Simulations on a quantum computer”, Nature Communications 10, 3007 (2019), arXiv:1812.11173。 訳抜け防止モード: [40 ]Harper R. Grimsley, Sophia E. Economou, Edwin Barnes, そしてNicholas J. Mayhallは、“量子コンピュータ上の正確な分子シミュレーションのための適応的変分アルゴリズム”だ。 Nature Communications 10 , 3007 (2019 ) , arXiv:1812.11173
0.85
[41] Feng Zhang, Niladri Gomes, Yongxin Yao, Peter P. Orth, and Thomas Iadecola, “Adaptive variational quantum eigensolvers for highly excited states,” Physical Review B 104, 1–10 (2021), arXiv:2104.12636.
[41] Feng Zhang, Niladri Gomes, Yongxin Yao, Peter P. Orth, and Thomas Iadecola, “Adaptive variational quantum eigensolver for highly excited states”, Physical Review B 104, 1–10 (2021), arXiv:2104.12636。 訳抜け防止モード: ][41] フェン・チャン, ニラドリ・ゴメス, ヨンシン・ヤオ, peter p. orth, and thomas iadecola, "adaptive variational quantum eigensolvers for highly excited states" フィジカルレビュー b 104, 1–10 (2021 ), arxiv:2104.12636。
0.75
[42] Ken M. Nakanishi, Keisuke Fujii,
[42]中西健 藤井啓介
0.37
and Synge Todo, “Sequential minimal optimization for quantum-classical hybrid algorithms,” Physical Review Research 2, 1–11 (2019), arXiv:1903.12166.
Synge Todo, “Sequential minimal optimization for quantum-classical hybrid algorithm”, Physical Review Research 2, 1–11 (2019), arXiv:1903.12166。 訳抜け防止モード: 量子-古典的ハイブリッドアルゴリズムの逐次最小最適化”。 Physical Review Research 2, 1–11 (2019 ), arXiv:1903.12166。
0.84
[43] Mateusz Ostaszewski, Edward Grant, and Marcello Benedetti, “Structure optimization for parameterized quantum circuits,” Quantum 5, 1–13 (2019), arXiv:1905.09692.
[43] Mateusz Ostaszewski, Edward Grant, and Marcello Benedetti, “Structure optimization for parameterized quantum circuits, Quantum 5, 1–13 (2019), arXiv: 1905.09692。 訳抜け防止モード: 43 ]Mateusz Ostaszewski, Edward Grant, Marcello Benedetti パラメータ化量子回路の構造最適化, 量子5, 1–13 (2019 ), arXiv: 1905.09692。
0.77
[44] M. Cerezo, Akira Sone, Tyler Volkoff, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles, “Cost function dependent barren plateaus in shallow parametrized quantum circuits,” Nature Communications 12, 1791 (2021), arXiv:2001.00550.
[44] m. cerezo, akira sone, tyler volkoff, lukasz cincio, patrick j. coles, "浅層パラメトリッド量子回路におけるコスト関数依存のバレン高原", nature communications 12, 1791 (2021), arxiv:2001.00550。
0.75
[45] Maria Kieferova, Ortiz Marrero Carlos, and Nathan Wiebe,
マリア・キーフェロワ、オルティス・マレロ・カルロス、ネイサン・ウィーベ。
0.28
7 “Quantum Generative Training Using Rényi Divergences,” (2021), arXiv:2106.09567.
7 Rényi Divergences (2021), arXiv:2106.09567
0.29
[46] Arthur Pesah, M Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T Sornborger, and Patrick J Coles, “Absence of Barren Plateaus in Quantum Convolutional Neural Networks,” Physical Review X 11, 041011 (2021), arXiv:2011.02966.
Arthur Pesah, M Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T Sornborger, Patrick J Coles, “Absence of Barren Plateaus in Quantum Convolutional Neural Networks”, Physical Review X 11, 041011 (2021), arXiv:2011.02966. 訳抜け防止モード: [46 ]Arthur Pesah, M Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff、Andrew T Sornborger、Patrick J Coles。 量子畳み込みニューラルネットワークにおけるバレンプラトーの存在」物理レビューX 11 041011 ( 2021 ) , arXiv:2011.02966 .
0.76
[47] Christoph Dankert, Richard Cleve, Joseph Emerson, and Etera Livine, “Exact and approximate unitary 2-designs and their application to fidelity estimation,” Physical Review A 80, 012304 (2009).
Christoph Dankert, Richard Cleve, Joseph Emerson, Etera Livine, “Exact and almost unitary two-designs and their application to fidelity Estimation”, Physical Review A 80, 012304 (2009)。 訳抜け防止モード: [47 ] Christoph Dankert, Richard Cleve, Joseph Emerson, Etera Livine氏は次のように述べている。 “厳密で近似的なユニタリな2-デザインとその忠実度推定への応用”。 物理レビュー A 80 , 012304 (2009 )。
0.72
[48] Gian Giacomo Guerreschi and Mikhail Smelyanskiy, “Practical optimization for hybrid quantum-classical algorithms,” (2017), arXiv:1701.01450.
[50] Maria Schuld, Ville Bergholm, Christian Gogolin,
50]maria schuld, ville bergholm, christian gogolin.
0.30
Josh Izaac, and Nathan Killoran, “Evaluating analytic gradients on quantum hardware,” Physical Review A 99, 032331 (2018), arXiv:1811.11184.
Josh Izaac, and Nathan Killoran, “Evaluating analysis gradients on quantum hardware”, Physical Review A 99, 032331 (2018), arXiv:1811.11184。 訳抜け防止モード: Josh IzaacとNathan Killoranは、こう語る。 量子ハードウェアの分析勾配を評価する”。 Physical Review A 99, 032331 (2018), arXiv:1811.11184。
0.82
[51] Gavin E. Crooks, “Gradients of parameterized quantum gates using the parameter-shift rule and gate decomposition,” (2019), arXiv:1905.13311.
[51] gavin e. crooks, “パラメータシフト規則とゲート分解を用いたパラメータ化された量子ゲートの勾配” (2019), arxiv: 1905.13311。
0.77
[52] Andrea Mari, Thomas R. Bromley, and Nathan Killoran, “Estimating the gradient and higher-order derivatives on quantum hardware,” Physical Review A 103, 012405 (2021), arXiv:2008.06517.
a 103, 012405 (2021), arxiv: 2008.06517. [52] andrea mari, thomas r. bromley, そしてnathan killoranは、量子ハードウェアの勾配と高次微分を推定する。 訳抜け防止モード: [52 ] Andrea Mari, Thomas R. Bromley, Nathan Killoran 量子ハードウェア上での勾配と高次導関数の推定」 Physical Review A 103, 012405 (2021 ), arXiv:2008.06517.
(2009). [54] JW Rayleigh, “In finding the correction for the open end of an
(2009). 54]jw rayleigh, “aのオープンエンドの修正を見つけるにあたります。
0.55
organ-pipe,” Phil. Trans 161, 1870 (1870).
とPhilは言う。 通算161号、1870年(1870年)。
0.52
[55] Walter Ritz, “Über eine neue methode zur lösung gewisser vari-
[55]ヴァルター・リッツ著,「真理の法則」
0.26
ationsprobleme der mathematischen physik.
マセマティシェン物理学の教授。
0.45
” (1909). [56] Jonathan Romero, Jonathan P. Olson, and Alan Aspuru-Guzik, “Quantum autoencoders for efficient compression of quantum data,” Quantum Science and Technology 2, 1–10 (2017), arXiv:1612.02806.
” (1909). [56] jonathan romero、jonathan p. olson、alan aspuru-guzik、”量子データの効率的な圧縮のための量子オートエンコーダ”、quantum science and technology 2, 1–10 (2017), arxiv:1612.02806。
0.59
[57] Kwok Ho Wan, Oscar Dahlsten, Hlér Kristjánsson, Robert Gardner, and M. S. Kim, “Quantum generalisation of feedforward neural networks,” npj Quantum Information 3, 36 (2017), arXiv:1612.01045.
57] Kwok Ho Wan, Oscar Dahlsten, Hlér Kristjánsson, Robert Gardner, M. S. Kim, “Quantum generalization of feedforward neural networks), npj Quantum Information 3, 36 (2017), arXiv:1612.01045”。 訳抜け防止モード: 57] kwok ho wan, oscar dahlsten, hlér kristjánsson. robert gardner氏とm.s. kim氏が"feedforwardニューラルネットワークの量子一般化"について語る npj量子情報336(2017年)、arxiv:1612.01045。
0.75
[58] Chenfeng Cao and Xin Wang, “Noise-Assisted Quantum Autoencoder,” Physical Review Applied 15, 054012 (2021), arXiv:2012.08331.
[62] Yanjun Ma, Dianhai Yu, Tian Wu, and Haifeng Wang, “PaddlePaddle: An Open-Source Deep Learning Platform from Industrial Practice,” Frontiers of Data and Domputing 1, 105–115 (2019).
962] Yanjun Ma, Dianhai Yu, Tian Wu, Haifeng Wang, “PaddlePaddle: An Open-Source Deep Learning Platform from Industrial Practice”, Frontiers of Data and Domputing 1, 105–115 (2019)”。 訳抜け防止モード: [62 ]ヤンジュン・マ、Dianhai Yu、Tian Wu、Haifeng Wang 「パドルパドル : 産業界から学ぶオープンな深層学習プラットフォーム」 Data and Domputing 1, 105–115 (2019 ) のフロンティア。
0.66
[63] Benoît Collins and Piotr ´Sniady, “Integration with Respect to the Haar Measure on Unitary, Orthogonal and Symplectic Group,” Communications in Mathematical Physics 264, 773– 795 (2006), arXiv:0402073 [math-ph].
[63] Beno't Collins and Piotr ́Sniady, “Integration with Respect to the Haar Measure on Unitary, Orthogonal and Symplectic Group”, Communications in Mathematical Physics 264, 773– 795 (2006), arXiv:0402073 [math-ph]. 訳抜け防止モード: [63 ] ベノシュト・コリンズとピオトル・スニアディは「ユニタリ、直交、シンプレクティックグループのハール測度への統合」と述べている。 数学物理学におけるコミュニケーション 264, 773– 795 (2006) arXiv:0402073[数学 - ph ]
0.72
[64] Z. Puchała and J.A. Miszczak, “Symbolic integration with respect to the Haar measure on the unitary groups,” Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 65, 21–27 (2017), arXiv:1109.4244.
Z. Puchała and J.A. Miszczak, “Symbolic integration to the Haar measure on the Unitary groups”. Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 65, 21–27 (2017), arXiv:1109.4244。 訳抜け防止モード: 64] z. puchała と j.a. miszczak は「ユニタリ群上のハール測度に関する象徴的統合」である。 the polish academy of sciences technical sciences 65, 21–27 (2017)、arxiv:1109.4244 の略。
0.70
[65] Alexey E. Rastegin, “Relations for certain symmetric norms
65] alexey e. rastegin, "ある種の対称ノルムに対する関係"
0.53
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
and anti-norms before and after partial trace,” Journal of Statistical Physics 148, 1040–1053 (2012), arXiv:1202.3853.
[66] Ashmeet Singh and Sean M. Carroll, “Modeling Position and Momentum in Finite-Dimensional Hilbert Spaces via Generalized Pauli Operators,” (2018), arXiv:1806.10134.
[66] ashmeet singh と sean m. carroll は "一般化されたポーリ作用素による有限次元ヒルベルト空間のモデリング位置と運動量” (2018), arxiv:1806.10134) について述べている。 訳抜け防止モード: [66 ]Ashmeet SinghとSean M. Carroll 一般化されたパウリ演算子による次元ヒルベルト空間のモメンタム」 ( 2018 ) , arXiv:1806.10134 .
0.70
[67] John Watrous, The Theory of Quantum Information (Cambridge
John Watrous, the Theory of Quantum Information (Cambridge)
0.33
8
8
0.42
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms
変分量子アルゴリズムの最適化に関する基礎的限界
0.78
Supplementary Material for In this Supplementary Material, we present detailed proofs of the theorems, propositions in the manuscript “Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms”.
In Appendix A, we review and derive several useful identities about integrals over unitary groups and some fundamental inequalities in order to make our proofs more self-contained.
Appendix A では、証明をより自己完結化するために、ユニタリ群上の積分といくつかの基本的な不等式に関するいくつかの有用なアイデンティティをレビューし、導出する。
0.52
In Appendix B, we give a detailed proof of the Theorem 1 in the manuscript of a more general version that holds for arbitrary dimensions instead of only qubit systems.
Appendix B では、キュービット系のみでなく任意の次元を持つより一般的なバージョンの写本において、定理 1 の詳細な証明を与える。
0.69
Then in Appendix C, we provide the proof for Proposition 2.
次に、 Appendix C において、命題 2 の証明を提供する。
0.67
Finally in Appendix D, we display some numerical simulation results on the variation range of the cost function with different numbers of circuit layers.
We start from the definition of a unitary t-design [47].
私たちは、ユニタリt-design[47]の定義から始めます。
0.68
Consider a ensemble V of unitaries V on a d-dimensional Hilbert space, and denote Pt,t(V ) as an arbitrary polynomial of degree at most t in the entries of V and at most t in those of V †.
d-次元ヒルベルト空間上のユニタリ V のアンサンブル V を考えて、Pt,t(V) を V の成分の最大 t と V の成分の最大 t の任意の多項式として表す。 訳抜け防止モード: d-次元ヒルベルト空間上のユニタリ V のアンサンブル V を考える。 そして Pt, t(V ) を V の成分の最大 t における次数の任意の多項式として表す。 そして少なくとも t は V の値である。
0.83
Then V is a unitary t-design if
このとき v がユニタリ t-デザインであれば
0.60
(cid:88) V ∈V
(cid:88) V ∈V
0.42
1 |V| (cid:90)
1 |V| (cid:90)
0.37
U (d)
U (複数形 Us)
0.58
(cid:16) (cid:90)
(出典:16) (cid:90)
0.53
dµ(V ) U (d)
dμ(V) U (複数形 Us)
0.53
(cid:90) Pt,t(V ) =
(cid:90) Pt,t(V) =
0.41
dµ(V )Pt,t(V ),
dμ(V )Pt,t(V )
0.41
(A.1) where |V| is the size of the set V, U(d) is the unitary group of degree d and dµ(V ) is the Haar measure on U(d).
(A.1) V| は集合 V の大きさ、U(d) は次数 d のユニタリ群、dμ(V) は U(d) 上のハール測度である。 訳抜け防止モード: (A.1) ここで |V| は集合 V, U(d) の大きさである。 d のユニタリ群であり、dμ(V) は U(d) 上のハール測度である。
0.62
Namely, Pt,t(V ) averaging over the t-design V will yield exactly the same result as averaging over the entire unitary group U(d).
すなわち、Pt,t(V) が t-設計 V 上で平均化すると、ユニタリ群 U(d) 全体の平均化と全く同じ結果が得られる。
0.82
Fortunately, these integrals over polynomials can be analytically solved and expressed into closed forms.
幸いにも、多項式上のこれらの積分は解析的に解かれ、閉形式に表現できる。
0.59
For example, the following elementwise identities hold for the first two moments [63, 64]
例えば、次の要素単位は、最初の2つのモーメント [63, 64] を保持する。
0.74
(cid:90) U (d)
(cid:90) U (複数形 Us)
0.48
(cid:90) U (d)
(cid:90) U (複数形 Us)
0.48
dµ(V )vi1,j1vi2,j2 v∗ i(cid:48) 1,j(cid:48)
dμ(V )vi1,j1vi2,j2 v∗ i(cid:48) 1,j(cid:48)
0.39
1 v∗ i(cid:48) 2,j(cid:48)
1 v∗ i(cid:48) 2,j(cid:48)
0.42
2 = dµ(V )vi,jv∗
2 = dμ(V )vi,jv∗
0.44
i(cid:48),j(cid:48) =
i(cid:48),j(cid:48) =
0.46
δi,i(cid:48)δj,j(cid:48)
δi,i(cid:48)δj,j(cid:48)
0.40
d 1 d2 − 1 1
d1 d2 − 1 1 である。
0.48
, (cid:0)δi1,i(cid:48) (cid:0)δi1,i(cid:48)
, (cid:0)δi1,i(cid:48) (cid:0)δi1,i(cid:48)
0.39
1 δi2,i(cid:48)
1 δi2,i(cid:48)
0.40
2 − δj1,j(cid:48)
2 − δj1,j(cid:48)
0.41
1 δj2,j(cid:48)
1 δj2,j(cid:48)
0.40
2 + δi1,i(cid:48)
2 + δi1,i(cid:48)
0.41
2 δi2,i(cid:48)
2 δi2,i(cid:48)
0.40
1 δj1,j(cid:48)
1 δj1,j(cid:48)
0.40
2 δj2,j(cid:48)
2 δj2,j(cid:48)
0.40
1 (cid:1) (A.2a)
1 (cid:1) (A.2a)
0.38
(cid:1) , (A.2b) i(cid:48),j(cid:48) denote the entries of V and V ∗, respectively, and δi,j denotes the Kronecker delta.
(cid:1) (A.2b) i(cid:48),j(cid:48) はそれぞれ V と V ∗ の成分を表し、δi,j はクロネッカーデルタを表す。
0.61
For practical purposes, where vi,j and v∗ these element-wise identities need to be transformed into various matrix forms, during which one will encounter many contraction operations.
Lemma S2 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
補題 s2 は、v ∈ v が、dim (ha) = da と dim (hb) = db を持つヒルベルト空間 ha (hb) 上のユニタリであると仮定する。 訳抜け防止モード: Lemma S2 を V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.84
For any linear operators P, Q on HA ⊗ HB, the following identity holds + dA(cid:107)Q(cid:107 )2
任意の線型作用素 P, Q 上の HA = HB に対して、次の恒等式は + dA(cid:107)Q(cid:107 )2 となる。 訳抜け防止モード: 任意の線型作用素 P に対して、Q は HA > HB である。 dA(cid:107)Q(cid:107 )2
0.78
2 − | tr P|2 where (cid:107) · (cid:107)2 is the Schatten 2-norm and d = dAdB denotes the dimension of the whole Hilbert space HA ⊗ HB.
(cid:20) Proof Note that V is a unitary 2-design and(cid:13)(cid:13)t rB (cid:105) (cid:0)QV P V †(cid:1)(cid:13)(cid: 13)2
(cid:20) V がユニタリな 2-設計であり、(cid:13)(cid:13)trB (cid:105) (cid:0)QV P V (cid:1) (cid:13)(cid:13)2 であることを証明する。
0.69
d2 − 1 EV =
d2 − 1 EV =
0.44
1 2 (cid:18) (cid:0)QV P V †(cid:1)(cid:13)(cid: 13)2 (cid:90)
1 2 (cid:18) (cid:0)QV P V (cid:1) (cid:13)(cid:13)2 (cid:90)
0.41
(A.9) Since the Hilbert space HA ⊗HB has a bipartite tensor product structure, the linear operators on HA ⊗HB could be represented as 4-degree tensors.
(cid:4) Corollary S4 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
(cid:4) 座標 S4 を V ∈ V をヒルベルト空間 HA 上のユニタリとし、 dim (HA) = dA と dim (HB) = dB とすると、V はユニタリ 2-設計である。
0.62
Let ρ be an arbitrary density matrix on HA ⊗ HB.
ρ を HB 上の任意の密度行列とする。
0.66
For any traceless operator OB on HB, the following identity holds
HB 上の任意のトレースレス作用素 OB に対して、次の恒等式は成り立つ。
0.38
EV A (cid:104)(cid:13)(ci d:13)trB
EV A (cid:104)(cid:13)(ci d:13)trB
0.41
(cid:0)IA ⊗ OBV ρV †(cid:1)(cid:13)(cid: 13)2
(cid:0)IA > OBV ρV (cid:1) (cid:13)(cid:13)2
0.40
2 (cid:105)
2 (定員105名)
0.47
EV (cid:18)
EV (cid:18)
0.41
(cid:19) A(cid:107)OB(cid:107 )2 d2 d2 − 1
(cid:19) A(cid:107)OB(cid:107 )2 d2 d2 − 1
0.40
2 = tr(ρ2) − 1 d
2 = tr(ρ2) − 1 d
0.44
, (A.15) where d = dAdB denotes the dimension of the whole Hilbert space HA ⊗ HB and IA is the identity on HA.
, (15歳) d = dadb はヒルベルト空間全体の次元、ha は hb であり、ia は ha 上の単位元である。
0.54
Proof This is a special case of Lemma S2 by taking P = ρ, Q = IA ⊗ OB with tr(OB) = 0.
証明 これは、P = ρ, Q = IA > OB を tr(OB) = 0 とすることで、Lemma S2 の特別な場合である。
0.79
(cid:4) Corollary S5 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
(cid:4) 座標 S5 を V ∈ V をヒルベルト空間 HA 上のユニタリとし、 dim (HA) = dA と dim (HB) = dB とすると、V はユニタリな 2-設計である。
0.62
For any traceless operator P on HA ⊗ HB and any linear operators OA, OB on HA, HB respectively, the following identity holds
HA, HB 上の任意のトレースレス作用素 P と、HA, HB 上の任意の線型作用素 OA, OB に対して、次の恒等式は成り立つ。 訳抜け防止モード: HB 上の任意のトレースレス作用素 P と任意の線型作用素 OA に対して。 OB on HA , HB はそれぞれ、次のアイデンティティを保持する。
0.63
(cid:104)(cid:13)(ci d:13)trB
(cid:104)(cid:13)(ci d:13)trB
0.38
(cid:0)OA ⊗ OBV P V †(cid:1)(cid:13)(cid: 13)2
(cid:0)OA > OBV P V (cid:1) (cid:13)(cid:13)2
0.41
2 (cid:105)
2 (定員105名)
0.47
EV (cid:20)
EV (cid:20)
0.41
(cid:21) (cid:107)OA(cid:107) 2
(出典:21) (cid:107)OA(cid:107) 2
0.54
2(cid:107)P(cid:107) 2
2(cid:107)P(cid:107) 2
0.42
2 d2 − 1 =
2 d2 − 1 =
0.44
dA(cid:107)OB(cid:10 7)2
dA(cid:107)OB(cid:10 7)2
0.42
2 − | tr OB|2
2 − | tr OB|2
0.44
d , (A.16) where d = dAdB denotes the dimension of the whole Hilbert space HA ⊗ HB.
d , (A16) ここで d = dadb はヒルベルト空間全体の次元 ha が hb であることを意味する。
0.48
Proof This is a special case of Lemma S2 by taking tr(P ) = 0 and Q = OA ⊗ OB.
証明 これは tr(P ) = 0 と Q = OA > OB を取ることで、Lemma S2 の特別な場合である。
0.75
(cid:4) In the end of this section, we recall several fundamental inequalities in linear algebra and probability theory to make our
where p, q satisfy 1 Lemma S7 (Partial trace monotonicity) For any linear operator H on the Hilbert space HA ⊗ HB with dimHB = dB, the following inequality holds [65]
p, q が 1 Lemma S7 (Partial trace monotonicity) ヒルベルト空間 HA > HB 上の任意の線型作用素 H に対して dimHB = dB を満たすとき、次の不等式は [65] を持つ。
0.80
q = 1 and (cid:107) · (cid:107)p denotes the Schatten p-norm defined by (cid:107)A(cid:107)p = (tr|A|p)1/p, |A| =
Lemma S8 (Markov’s inequality) Let X be a random variable taking non-negative real value.
Lemma S8 (マルコフの不等式) X を非負の実値を取る確率変数とする。
0.81
For any > 0, the following inequality holds
任意の > 0 に対して、以下の不等式は成り立つ。
0.60
where Pr[X ≥ ] denotes the probability of X ≥ and E[X] denotes the expectation of the random variable X.
ここで Pr[X ≥ s] は X ≥ s の確率を表し、E[X] は確率変数 X の期待値を表す。
0.86
Pr[X ≥ ] ≤ E[X]
Pr[X ≥ s] ≤ E[X]
0.42
, (A.20) √
, (A20) √
0.43
(A.17)
(A17)
0.44
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
12 Lemma S9 (Jensen’s inequality) Let X be a random variable and f : R → R is a convex function.
12 Lemma S9 (Jensenの不等式) X をランダム変数とし、f : R → R を凸函数とする。
0.78
The following inequality holds Lemma S10 Suppose that X is a random variable taking real values in [0, a].
以下の不平等は Lemma S10 X が [0, a] の実値を取る確率変数であると仮定する。
0.79
The following inequality holds Proof According to the relation x2 ≤ ax, we have
以下の不平等は 証明 x2 ≤ ax の関係により、我々は成り立つ。
0.75
Var[X] ≤ a · E[X].
var[x] ≤ a · e[x] である。
0.74
Var[X] ≤ E[X 2] ≤ E[aX] = a · E[X].
var[x] ≤ e[x 2] ≤ e[ax] = a · e[x] である。
0.73
f (E[X]) ≤ E[f (X)].
f (e[x]) ≤ e[f(x)] である。
0.69
(A.21) (A.22)
(A21) (A22)
0.43
(A.23) (cid:4)
(a.23)(cid:4)
0.35
Appendix B: Proof of Theorem 1
Appendix B: Theorem 1 の証明
0.78
To make the proof easy to read and emphasize important intermediate results, we prove Lemma S11-S16 first and derive
重要な中間結果を読みやすく強調するために、まずlemma s11-s16を証明し、導出する。
0.68
Theorem 1 by use of these lemmas.
定理1はこれらの補題を用いる。
0.67
Lemma S11 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
補題 s11 は v ∈ v が、dim (ha) = da と dim (hb) = db を持つヒルベルト空間 ha 上のユニタリであると仮定し、v はユニタリ 2-デザインである。 訳抜け防止モード: Lemma S11 V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.84
Let ρ be an arbitrary density matrix on HA ⊗ HB and ρA = trB(V ρV †) be the reduced density matrix on HA from V ρV †.
ρ を HA の HB 上の任意の密度行列とし、 ρA = trB(V ρV ) を V ρV から HA 上の還元密度行列とする。
0.84
The expectation of the trace distance between ρA and the maximally mixed state IA/dA satisfies
ρAと最大混合状態IA/dA間の微量距離の期待
0.72
(B.1) (B.2)
(B.1) (B2)
0.41
(B.3) (B.4)
(B.3) (B.4)
0.39
(B.5) Together with Jensen’s inequality in Lemma S9 and the concavity of the square root function, we have
(B.5) リーマ S9 におけるジェンセンの不等式と平方根関数の凹凸と合わせて、我々は成り立つ。
0.54
dA ≤ EV . dB
dA ≤ EV . dB
0.43
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)1
(cid:13)(cid:13)(cid :13)1
0.48
Proof The inequality between the Schatten 1-norm and 2-norm leads to
証明 シャッテン 1-ノルムと 2-ノルムの間の不等式が導かれる
0.48
(cid:114) dA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)EV (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2 ≤(cid:112) (cid:19)2(cid:35) (cid:18) A − 2 = EV tr ρ2 dA B − 1)dA (d2 d2 − 1 By the upper bound of the purity tr(ρ2) ≤ 1, (B.4) could be further relaxed to
(cid:114) dA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)EV (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) 2 ≤(cid:112) (cid:19)2(cid:35) (cid:18) A − 2 = EV tr ρ2 dA B − 1)dA (d2 d2 − 1) 純度 tr(ρ2) ≤ 1, (B4) の上限によって、さらに緩和される。
0.38
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)1 ≤(cid:112) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:34)(cid:18)
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)(cid :13)1 ≤(cid:112) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:34)(cid:18)
0.38
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:34)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) ρA − IA
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:34) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) ρA − IA
0.35
ρA − IA dA
ρA − IA dA
0.49
dAEV (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)1 ≤(cid:112) (cid:35) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2 (cid:34)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) ρA − IA
. = (cid:34)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) ρA − IA
. = (cid:34)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) ρA − IA
0.41
dA (cid:35)
dA (cid:35)
0.41
(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2
(cid:13)(cid:13)(cid :13)2
0.48
2 . (cid:19)
2 . (cid:19)
0.41
ρA + IA d2 A
ρA+ IA d2 A
0.45
According to Corollary S3, the expectation under the square root on the right hand side of (B.3) can be exactly calculated as
Corollary S3によると、(B.3)の右側の平方根の下の予想は正確に計算できる。
0.71
(cid:4) Combining (B.3) and (B.5), we arrive at (B.1).
(cid:4) B.3)とB.5を組み合わせると、B.1に着きます。
0.59
Lemma S12 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
補題 s12 は v ∈ v が、dim (ha) = da と dim (hb) = db を持つヒルベルト空間 ha 上のユニタリであると仮定し、v はユニタリ 2-デザインである。 訳抜け防止モード: Lemma S12 V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.85
For any density matrix ρ on HA ⊗ HB and any traceless operator OB on HB, the following inequality holds
HB 上の任意の密度行列 ρ と HB 上の任意のトレースレス作用素 OB に対して、次の不等式は成り立つ。 訳抜け防止モード: HB 上の任意の密度行列 ρ と HB 上の任意のトレースレス作用素 OB に対して。 以下の不平等は
A(cid:107)OB(cid:107 )2 d2 d2 − 1 (cid:19) (cid:18) By the upper bound of the purity tr(ρ2) ≤ 1, (B.9) could be further relaxed to (cid:105) ≤ (cid:107)OB(cid:107) 2∞
(cid:4) Combining (B.8) and (B.11), we arrive at (B.6).
(cid:4) (B.8)と(B.11)を組み合わせると、(B.6)に到達する。
0.55
Lemma S13 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
Lemma S13 V を dm (HA) = dA と dim (HB) = dB を持つヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリと仮定する。 訳抜け防止モード: Lemma S13 V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.84
Let OA be an arbitrary traceless operator on HA and OB be either an arbitrary traceless operator or a homothety cIB on HB, where IB is the identity operator on HB and c ∈ C is an arbitrary complex number.
OA を HA 上の任意のトレースレス作用素とし、OB を HB 上の任意のトレースレス作用素またはホモテティ cIB とし、IB を HB 上の恒等作用素とし、c ∈ C を任意の複素数とする。
0.61
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary operator on HA.
HA 上のユニタリ作用素として UA ∈ U(dA) を考える。
0.63
For any density matrix ρ on HA ⊗ HB, the following inequality holds
HB 上の任意の密度行列 ρ に対して、次の不等式は成り立つ。
0.64
2 dB . (B.11)
2 dB . (B.11)
0.42
Proof The trace expression on the left hand side of (B.12) can be rewritten as
b.12)の左側にあるトレース式を書き換えることができることを証明します。
0.77
tr (OA ⊗ OB)(UA ⊗ IB)V ρV †(U
tr (OA は OB)(UA は IB)V ρV は(U)
0.64
On the one hand, if OB is traceless, by using Hölder’s inequality in Lemma S6, we obtain
一方、OB がトレースレスであれば、Hölder の不等式を Lemma S6 で用いて得られる。
0.62
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
0.37
(cid:104) (cid:20)
(cid:104) (cid:20)
0.39
EV max UA
EV マックス・ウア
0.39
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
0.39
(U † AOAUA) trB
(U) ～AOAUA) trB
0.35
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
(cid:104) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
0.39
max UA (U
マックス・ウア (U)
0.39
† AOAUA) trB
～AOAUA) trB
0.28
(OA ⊗ OB)(UA ⊗ IB)V ρV †(U
(OA は OB)(UA は IB)V ρV は(U)
0.86
. (U dB = tr
. (U) dB =tr
0.40
† A ⊗ IB) (cid:105)(cid:12)(ci d:12)(cid:12)(cid:21 )
dA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)1 (cid:13)(cid:13)(cid :13)∞ (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)ρA − IA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)1 (cid:105)(cid:12)(ci d:12)(cid:12)(cid:21 ) (cid:114) dA
dA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)ρA − IA (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)1 (cid:105)(cid:12)(ci d:12)(cid:21) (cid:114) dA
0.38
dA . . dB (B.18)
dA . . dB (B.18)
0.42
(B.19) (B.24)
(B19) (B.24)
0.41
(cid:4) Combining (B.16) and (B.19), we know that (B.12) holds whether OB is traceless or OB = cIB, c ∈ C. Lemma S14 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
(cid:4) B.16) と (B.19) を組み合わせると、(B.12) は OB = cIB, c ∈ C であるかどうかを仮定する。 Lemma S14 V を dm (HA) = dA と dim (HB) = dB を持つヒルベルト空間 HA 上のユニタリとする。
0.57
Let OA,OB be arbitrary linear operators on HA,HB, respectively.
OA,OB をそれぞれ HA,HB 上の任意の線型作用素とする。
0.75
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary operator on HA.
HA 上のユニタリ作用素として UA ∈ U(dA) を考える。
0.63
For any traceless matrix H on HA ⊗ HB, the following inequality holds
EV According to Corollary S5, the expectation under the square root in (B.22b) can be exactly calculated as
EV Corollary S5によると、平方根(B.22b)の下の予想は正確に計算できる。
0.58
which is exactly the same as (B.20).
これは(B.20)と全く同じです。
0.87
Lemma S15 (Local unitary behind 2-design circuit) Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
Lemma S15 (Local unitary behind 2-design circuit) V ∈ V をヒルベルト空間 HA {\displaystyle HA} 上のユニタリとし、 dim (HA) = dA と dim (HB) = dB とする。 訳抜け防止モード: Lemma S15 (局所ユニタリ 2-design circuit ) V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.87
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary operator on HA.
HA 上のユニタリ作用素として UA ∈ U(dA) を考える。
0.63
For any density matrix ρ and any traceless Hermitian operator H on HA ⊗ HB, the following inequality holds
任意の密度行列 ρ と HA = HB 上の任意のトレースレスエルミート作用素 H に対して、次の不等式は成り立つ。 訳抜け防止モード: 任意の密度行列 ρ と任意のトレースレスエルミート作用素 H に対して HA は HB である。 以下の不平等は
0.77
H(UA ⊗ IB)V ρV †(U
h(ua, ib)v,ρv,(u) である。
0.51
† A ⊗ IB) ≤ (cid:107)H(cid:107)∞(2d2
略称は「IB」。 ≤ (cid:107)H(cid:107)∞(2d2)
0.40
A − 1) , (B.25)
A − 1) , (B.25)
0.41
(cid:17)(cid:105)(ci d:21)
(cid:17)(cid:105)(ci d:21)
0.37
(cid:114) dA
(出典:114)dA
0.75
dB (cid:20)
dB (cid:20)
0.41
(cid:104) (cid:16)
(cid:104) (出典:16)
0.53
EV max UA
EV マックス・ウア
0.39
tr
tr
0.42
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
Proof Any traceless Hermitian operator H could be expanded as
証明 任意のトレースレスエルミート作用素 H は拡張可能である。
0.63
(B.26d) where H A, H B only act on HA, HB non-trivially, respectively.
(B.26d) HA, HBがそれぞれHA, HBに非自明に作用する。
0.75
H AB acts on HA and HB both non-trivially.
HABはHAとHBの両方に非自明に作用する。
0.60
Here a linear operator acting H A(H B) non-trivially means that the operator can not be decomposed to the tensor product form of IA ⊗ QB(QA⊗IB) where QB(QA) is an arbitrary operator on HB(HA).
ここで h a(h b) を非自明に作用する線型作用素は、作用素が ia のテンソル積形式に分解できないことを意味する(ただし qb(qa) は hb(ha) 上の任意の作用素である)。
0.58
Denote {ΛA is the set of clock-and-shift matrices [66] on HA which is an orthogonal basis in the linear operator space with respect to the Hilbert-Schmidt inner product.
Denote {aA" は HA 上のクロック・アンド・シフト行列 [66] の集合であり、ヒルベルト・シュミット内積に対する線型作用素空間の直交基底である。
0.73
ΛA j are all j (cid:107)∞ = 1.
J はすべて j (cid:107)∞ = 1 である。
0.85
We assume ΛA unitary and hence (cid:107)ΛA j are all traceless except ΛA 0 .
A をユニタリと仮定し、したがって (cid: 107) = A j は、すべてのトレースレスである。
0.51
Thus, 0 = IA without loss of generality.
したがって、一般性を失うことなく 0 = IA となる。
0.69
Then ΛA j as H AB could be further expanded in terms of ΛA
すると、H AB として HA j がさらに拡張される。
0.70
A−1 j=0 j }d2
A−1j=0 j }d2
0.36
where the explicit expression of OB
OBの明示的な表現は
0.70
j could be derived from (B.26d) as
j は (B.26d) から派生できる。
0.78
(cid:16)(cid:16)
(出典:16)(出典:16)
0.61
H = H A + H B + H AB, H A := trB(H) ⊗ IB , dB ⊗ trA(H),
H = H A + H B + H AB, H A := trB(H) > IB , dB > trA(H) である。
0.86
H B := H AB := H − H A − H B,
H B := H AB := H − H A − H B,
0.42
IA dA H AB =
IA dA H AB =
0.42
j ⊗ OB ΛA j .
a b j λa j である。
0.49
d2 A−1(cid:88) H AB(cid:17)
d2 A−1(cid:88) H AB(cid:17)
0.38
j=1 (cid:17)
j=1 (cid:17)
0.34
15 (B.26a) (B.26b)
15 (B26a) (B26b)
0.52
(B.26c) (B.27)
(B.26c) (B.27)
0.36
(B.28) By definition, OB operators.
(B.28) 定義上はOB演算子。
0.53
Next, we will take the maximum for each term in the summation to obtain the desired bound, i.e.
次に、和における各項の最大値をとり、所望の有界、すなわち、値を得る。
0.61
j are all traceless.
j はすべてトレースレスである。
0.51
Combining (B.26a) and (B.27), we expand H as a summation of bipartite tensor product
B.26a) と (B.27) を組み合わせることで、2部テンソル積の和として H を拡張する
0.64
OB j = = =
OB j = = =
0.43
1 dA 1 dA 1 dA
1 dA 1 dA 1 dA
0.42
ΛA† j ⊗ IB trA trA((ΛA† j ⊗ IB)H) − 1 dA trA((ΛA† j ⊗ IB)H) − 1 dAdB
(ΛA (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr (cid:16) j ⊗ OB (cid:16) (cid:104) (cid:114) dA
(～A) (cid:12)(cid:12)(cid :12)tr (cid:16) j > OB (cid:16) (cid:104) (cid:114) dA
0.34
tr + (d2 dB
tr +(d2) dB
0.40
(cid:20) (cid:104)
(cid:20) (cid:104)
0.39
(cid:16) where we have used the unitarity of ΛA
(出典:16) 私たちは「A」の統一性を
0.60
j and the unitary invariance of the Schatten norms.
j とシャッテンノルムのユニタリ不変性。
0.43
(B.32) and (B.33) are summarized as
(B.32)と(B.33)を要約する。
0.69
j )(UA ⊗ IB)V ρV †(U
j(ua) (ib)v ρv (u) である。
0.55
† A ⊗ IB) ≤ 2(cid:107)H(cid:107) ∞
略称は「IB」。 ≤ 2(cid:107)H(cid:107) ∞
0.43
. (B.34) Finally, combining (B.30), (B.31) and (B.34), we obtain
. (B.34) 最後に (B.30) と (B.31) と (B.34) を組み合わせて
0.54
H(UA ⊗ IB)V ρV †(U
h(ua, ib)v,ρv,(u) である。
0.51
A − 1) · 2(cid:107)H(cid:107) ∞
A − 1) · 2(cid:107)H(cid:107) ∞
0.46
= (2d2 A − 1)(cid:107)H(cid:107 )∞
=(2d2) A − 1)(cid:107)H(cid:107 )∞
0.38
, (B.35) (cid:4) which is exactly the desired inequality (B.25).
, (B35) (cid:4)はまさに所望の不等式(B.25)である。
0.51
Lemma S16 (Local unitary before 2-design circuit) Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 2-design.
Lemma S16 (Local unitary before 2-design circuit) V ∈ V をヒルベルト空間 HA {\displaystyle HA} 上のユニタリとし、 dim (HA) = dA と dim (HB) = dB とする。 訳抜け防止モード: Lemma S16 (Local Unitary before 2-design circuit ) V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリな 2-設計である。
0.91
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary operator on HA.
HA 上のユニタリ作用素として UA ∈ U(dA) を考える。
0.63
For any density matrix ρ and any traceless Hermitian operator H on HA ⊗ HB, the following inequality holds
任意の密度行列 ρ と HA = HB 上の任意のトレースレスエルミート作用素 H に対して、次の不等式は成り立つ。 訳抜け防止モード: 任意の密度行列 ρ と任意のトレースレスエルミート作用素 H に対して HA は HB である。 以下の不平等は
0.77
EV max UA
EV マックス・ウア
0.39
tr HV (UA ⊗ IB)ρ(U
tr HV(UA > IB)ρ(U)
0.43
≤ (cid:107)H(cid:107)∞
≤ (cid:107)H(cid:107)∞
0.42
d2 A√ dAdB − 1
d2 A = dAdB − 1
0.41
. (B.36) Proof Similar with the proof of Lemma S15, we denote {ΛA matrix ρ can be expanded in terms of ΛA
(cid:17)(cid:12)(cid :12)(cid:12) ≤(cid:13)(cid:13)trB( V †HV (IA ⊗ OB j ))(cid:13)(cid:13)1 (cid:17)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:21) j ))(cid:13)(cid:13)1 (cid:13)(cid:13)trB( V †HV (IA ⊗ OB
(B.43) j and the unitary invariance of the Schatten norms.
(B43) j とシャッテンノルムのユニタリ不変性。
0.43
Combining (B.39), (B.42) and (B.43),
組み合わせ(B.39)、(B.42)、(B.43)
0.75
where we have used the unitarity of ΛA we arrive at
私たちが到着した「A」のユニタリティを使い
0.61
(cid:20) (cid:16)
(cid:20) (出典:16)
0.53
(cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
(cid:12)(cid:12)(cid :12)tr
0.38
EV max UA
EV マックス・ウア
0.39
HV (UA ⊗ IB)ρ(U
HV(UA > IB)ρ(U)
0.44
A ⊗ IB)V †(cid:17)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:21)
b)v (cid:17)(cid:12)(cid :12)(cid:12)(cid:21)
0.39
† which is exactly the same as (B.36).
† これは(B.36)と全く同じです。
0.64
(cid:4) In fact, in the proofs of Lemma S15 and S16 above, the clock-and-shift matrices could be replaced by Pauli strings specially for qubit systems.
Finally, we provide a proof for Theorem 1, which we recall for convenience.
最後に、定理1の証明を行い、便利さを思い出す。
0.48
Note that compared to Theorem 1 in the manuscript, here we prove a more general version where the Hilbert space dimension is no more restricted to qubit systems.
· 1 dA (cid:107)H(cid:107)∞ = (cid:107)H(cid:107)∞
·1dA (cid:107)H(cid:107)∞ = (cid:107)H(cid:107)∞
0.40
d2 A√ dAdB − 1
d2 A = dAdB − 1
0.41
, (B.44) Theorem 1 Suppose V1 ∈ V1, V2 ∈ V2 are unitaries on the Hilbert space HA⊗HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB.
, (B44) 定理 1 S は V1 ∈ V1, V2 ∈ V2 を dim (HA) = dA と dim (HB) = dB を持つヒルベルト空間 HA 上のユニタリとする。
0.56
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary on HA.
HA 上のユニタリとして UA ∈ U(dA) を考える。
0.75
If either V1 or V2, or both are unitary 2-designs, then for any density matrix ρ and any Hermitian operator H on HA ⊗ HB, then the following inequality holds
V1 または V2 または両方がユニタリな 2-設計であれば、任意の密度行列 ρ と HA > HB 上のエルミート作用素 H に対して、次の不等式は成り立つ。
0.67
(B.45) where EV1,V2 denotes the expectation over V1, V2 independently.
(B.45) EV1,V2は独立してV1,V2に対する期待を表す。
0.70
w(H) = λmax(H) − λmin(H) denotes the spectral width of H, where λmax(H) is the maximum eigenvalue of H and λmin(H) is the minimum.
w(H) = λmax(H) − λmin(H) は H のスペクトル幅を表し、λmax(H) は H の最大固有値、λmin(H) は最小値である。
0.94
Proof By definition, we have U = V2(UA ⊗ IB)V1 and
証明 定義により、U = V2(UA > IB)V1 となる。
0.83
dB A . EV1,V2[∆H,ρ(V1, V2)] ≤ 4w(H)d2
dB A . EV1,V2[aH,ρ(V1,V2)] ≤ 4w(H)d2
0.44
(cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3) − min
(cid:2)tr(cid:0)HUρU*(cid:1)(cid:3) − min
0.35
(cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3) ,
(cid:2)tr(cid:0)huρu>(cid:1)(cid:3) ,
0.34
(B.46) where the maximum and minimum with respect to UA are taken over the entire unitary group U(dA) of degree dA.
(B.46) 次数dAのユニタリ群U(dA)全体に対して、UAに関する最大および最小が取られる。
0.68
Without loss of generality, we assume that H is traceless since (B.46) is invariant if H is added by a homothety H → H + cI, c ∈ R. Moreover, considering that the minimization term in (B.46) could be written as
一般性を失うことなく、H が不変であると仮定する(B.46)。H → H + cI, c ∈ R によって H が加わったとき、(B.46) は不変である。 訳抜け防止モード: 一般性の喪失がなければ、H が (B.46 ) 不変であるため、H が同相 H → H + cI によって加えられると仮定する。 さらに、それを考えると、 B.46 の)最小化用語は
0.73
∆H,ρ(V1, V2) = max UA
H,ρ(V1, V2) = max UA
0.44
UA (cid:114) dA
UA (出典:114)dA
0.59
and w(H) = w(−H), in order to prove (B.45), we only need to prove that
そして、w(h) = w(−h) を証明するためには(b.45)、それを証明すればよい。
0.76
holds for any traceless Hermitian operator H. On the one hand, if V1 is a unitary 2-design, Lemma S15 gives † A ⊗ IB)
一方、v1 がユニタリな 2-設計であるなら、補題 s15 は s a を ib に与える) 訳抜け防止モード: to hold for any traceless Hermitian operator H. On the hand. V1 がユニタリな 2-設計であれば、Lemma S15 は A > IB を与える。
0.75
† 2 HV2(UA ⊗ IB)V1ρV V
2 HV2(UA > IB)V1ρV V
0.43
(cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3)(cid:2 1)
(cid:2)tr(cid:0)HUρU*(cid:1)(cid:3)(cid :21)
0.34
EV1,V2 † 1 (U
EV1,V2 1(U)
0.32
EV1 (cid:20)
EV1 (cid:20)
0.59
tr max UA
tr マックス・ウア
0.39
− min UA EV1,V2
-分 UA EV1,V2
0.43
UA (cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3) = max (cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3)(cid:2 1) (cid:20) (cid:26) (cid:104) (cid:16) (cid:34)
UA (cid:2)tr(cid:0)huρu_(cid:1)(cid:3) = max(cid:0)huρu_(cid:1)(cid:21) (cid:26) (cid:104) (cid:16) (cid:34)
0.43
= EV2 max UA
=EV2 マックス・ウア
0.36
max UA (cid:20)
マックス・ウア (cid:20)
0.38
(cid:2)tr(cid:0)(−H)UρU†(cid:1)(cid:3) , (cid:114) dA
(cid:2)tr(cid:0)(−H)UρU*(cid:1)(cid:3) , (cid:114) dA
0.36
≤ 2w(H)d2 ,
≤ 2w(H)d2 ,
0.44
A dB (cid:114) dA
A dB (出典:114)dA
0.53
(cid:35) dB
(cid:35) dB
0.41
≤ EV2 (cid:107)V
≤EV2 (cid:107)V
0.40
† 2 HV2(cid:107)∞(2d2
2 hv2(cid:107)∞(2d2) である。
0.44
A − 1) = (cid:107)H(cid:107)∞(2d2
A − 1) = (cid:107)H(cid:107)∞(2d2)
0.39
A − 1) (cid:17)(cid:105)(ci d:21)(cid:27) (cid:114) dA
A − 1) (cid:17)(cid:105)(ci d:21)(cid:27) (cid:114) dA
0.40
. dB (B.47)
. dB (B.47)
0.41
(B.48) (B.49)
(B.48) (B.49)
0.39
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
where we have used the unitary invariance of the Schatten norms and the normalization condition EV2[1] = 1.
ここでは、シャッテンノルムのユニタリ不変性と正規化条件 EV2[1] = 1 を用いる。
0.69
On the other hand, if V2 is a unitary 2-design, Lemma S16 gives
(cid:114) dA A(cid:112)(dA − 1)dB (cid:2)tr(cid:0)HUρU†(cid:1)(cid:3)(cid:2 1)
(cid:114) dA A(cid:112)(dA − 1)dB(cid:2)tr(cid:0) HUρU*(cid:1)(cid:3)(cid :21)
0.38
dB d2 < < 2d2 A
dB d2 < <2d2A
0.40
, (cid:114) dA (cid:114) dA
, (cid:114) dA (cid:114) dA
0.42
dB dB for dA ≥ 2, we know that the inequality
dB dB da ≥ 2 の場合、不等式は
0.48
EV1,V2 (cid:20)
EV1,V2 (cid:20)
0.39
max UA ≤ 2w(H)d2
マックス・ウア ≤ 2w(H)d2
0.41
A , (B.53)
A , (B.53)
0.41
holds if either V1 or V2 is a unitary 2-design.
V1 か V2 のどちらかがユニタリな 2-設計であれば成り立つ。
0.56
Certainly, (B.53) also holds if both V1 and V2 are 2-designs.
もちろん、(B.53) は V1 と V2 の両方が 2-Design である場合にも成り立つ。
0.60
Together with (B.47), (cid:4) we arrive at (B.45).
b.47), (cid:4) と共に (b.45) に到着します。
0.74
Note that for qubit systems where dA = 2m and dB = 2n−m, the upper bound in (B.45) reduces to that in the manuscript, i.e.
da = 2m で db = 2n−m の qubit 系では、上界 (b.45) は写本のそれよりも小さくなる。
0.73
EV1,V2 [∆H,ρ(V1, V2)] ≤ w(H)
EV1,V2[nH,ρ(V1,V2)] ≤ w(H)
0.49
2n/2−3m−2 .
2n/2−3m−2 .
0.33
(B.54) Although Theorem 1 only establish an upper bound on the expectation of ∆H,ρ(V1, V2), we can derive the upper bound on the variance of ∆H,ρ(V1, V2) from Theorem 1 with the non-negativity and boundedness of ∆H,ρ(V1, V2).
Furthermore, Theorem 1 together with the non-negativity of ∆H,ρ(V1, V2) can also provide an upper bound of the probability that ∆H,ρ(V1, V2) deviates from zero.
dB In this section, we prove Lemma S17-S19 first and derive Proposition 2 by use of these lemmas.
dB この節では、Lemma S17-S19を最初に証明し、これらの補題を用いて命題2を導出する。
0.51
Lemma S17 For any density matrices ρ and σ we have
Lemma S17 密度行列 ρ と σ について
0.69
Appendix C: Proof of Proposition 2
Appendix C: Proposition 2の証明
0.78
where F (ρ, σ) =
ここで f (ρ, σ) =
0.80
(cid:16) tr
(出典:16) tr
0.55
(cid:112) ρ1/2σρ1/2
(出典:112) ρ1/2σρ1/2
0.39
(cid:17)2 F (ρ, σ) ≤ rank(ρσ) tr(ρσ),
(出典:17)2 F(ρ, σ) ≤ rank(ρσ) tr(ρσ)
0.59
(C.1) denotes the Bures fidelity.
(C1) バーレスの忠実さを表します
0.37
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
Proof Let λi be the i-th eigenvalue of(cid:112) positive semi-definite property of(cid:112)
証明 λi を(cid:112) の正の半定義性(cid:112)の i 番目の固有値とする。
0.58
19 ρ1/2σρ1/2 in the non-increasing order.
19 ρ1/2σ1/2 である。
0.52
Note that λi ≥ 0 holds for any i due to the
λi ≥ 0 が任意の i に対して成り立つことに注意。
0.69
ρ1/2σρ1/2.
ρ1/2σρ1/2.
0.16
By definition, the square root of the Bures fidelity can be represented as
定義により、ビューズの忠実性の平方根は表現できる。
0.65
(cid:88) i
(cid:88) 私は
0.46
λi, (cid:112)F (ρ, σ) = (cid:113)
λi です (cid:112)F (ρ, σ) = (cid:113)
0.59
while the square root of the Hilbert-Schmidt inner product of ρ and σ can be represented as
一方、ρ と σ のヒルベルト・シュミット内積の平方根は表現できる。
0.57
(cid:115)(cid:88) According to the inequality between the vector 1-norm and 2-norm (cid:107)x(cid:107)1 ≤ √ (cid:112)F (ρ, σ) ≤(cid:112)rank(ρσ)(cid:112)tr(ρσ).
n(cid:107)x(cid:107) 2 for any n-dimensional vector x, (C.2) and
n-次元ベクトル x, (C.2) に対して n(cid:107)x(cid:107) 2
0.79
Take the square of both sides and we arrive at (C.1).
両側の正方形を取って (c.1) に着く。
0.63
Lemma S18 Suppose V ∈ V is a unitary on the Hilbert space HA ⊗ HB with dim (HA) = dA and dim (HB) = dB where V is a unitary 1-design.
補題 s18 は、v ∈ v が、dim (ha) = da と dim (hb) = db を持つヒルベルト空間 ha(hb) 上のユニタリであると仮定する。 訳抜け防止モード: Lemma S18 V ∈ V を dim ( HA ) = dA のヒルベルト空間 HA > HB 上のユニタリとする。 かつ dim ( HB ) = dB ここで V はユニタリ 1-設計である。
0.86
Denote UA ∈ U(dA) as a unitary operator on HA.
HA 上のユニタリ作用素として UA ∈ U(dA) を考える。
0.63
For any density matrices ρ and σ on HA ⊗ HB, the following inequality holds
where EV1,V2 denotes the expectation over V1, V2 independently.
ここで EV1,V2 は独立に V1,V2 に対する期待を表す。
0.69
Proof By definition, we have U = V2(UA ⊗ IB)V1 and
証明 定義により、U = V2(UA > IB)V1 となる。
0.83
EV1,V2 [∆QSL(V1, V2)] ≤ dA dB
EV1,V2 [\QSL(V1,V2)] ≤ dA dB
0.48
, ∆QSL(V1, V2) = max UA
, QSL(V1, V2) = max UA
0.43
EV1,V2 [∆QSL(V1, V2)] ≤ EV1,V2
EV1,V2[\QSL(V1,V2)]≤EV1,V2
0.46
F(cid:0)UρU†, σ(cid:1) − min
f(cid:0)uρu, σ(cid:1) − min である。
0.63
F(cid:0)UρU†, σ(cid:1) .
F(cid:0)UρU , σ(cid:1)。
0.68
UA F(cid:0)UρU†, σ(cid:1)(cid:21)
UA F(cid:0)UρU ,σ(cid:1)(cid:21)
0.40
(cid:20) max UA
(cid:20) マックス・ウア
0.38
≤ dA dB , According to Lemma S19 and the non-negativity of the fidelity, it holds that
≤dA dB , Lemma S19とフィデリティの非負性によると、それはそれを主張する。
0.49
if either V1 or V2, or both are from unitary 1-designs.
V1 または V2 のどちらか、または両方がユニタリ 1-デザインのものである場合。
0.58
For qubit systems where dA = 2m and dB = 2n−m, the upper bound in (C.12) reduces to that in the manuscript, i.e.
dA = 2m と dB = 2n−m のキュービット系では、上界 (C.12) は原稿のそれに還元される。
0.80
EV1,V2 [∆QSL(V1, V2)] ≤ 1
EV1,V2 [\QSL(V1,V2)] ≤ 1
0.48
2n−2m . Importantly, due to the non-negativity and boundedness of ∆QSL(V1, V2), we can derive the upper bound on the variance and the probability tail from Proposition 2 using Lemma S10 and Markov’s inequality in Lemma S8, i.e.
V1,V2] ≤ 1 · EV1,V2[\QSL(V1,V2)] ≤ dA dB Pr [\QSL(V1,V2) ≥ \] ≤ EV1,V2[\QSL(V1,V2)] , > 0。
0.41
dA dB ≤ 1
dA dB ≤ 1
0.43
, (C.16) Appendix D: Numerical simulation with varying layers
, (C16) Appendix D: 異なる層を持つ数値シミュレーション
0.54
This section provides some experimental results on how the variation range of the cost function caused by a local unitary varies with the number of circuit layers.
For the ansatz we use as shown in (19), we construct circuits with different numbers of layers to perform experiments with other settings the same as those in Fig 5(a) “V1 is 2-design” in the manuscript.
19)に示すように、アンサッツに対して、我々は異なる数の層を持つ回路を構築し、原稿の5(a) "V1 is 2-design" と同じ設定で実験を行う。
0.69
As shown in Fig S1, different lines with markers represent the average value of ∆VQE(V1, V2) over samples vs. the number of qubits n corresponding to different numbers of layers we laid in V1.
We can see that as the number of layers increases, these lines become more and more parallel to the dashed reference line, which has a slope of −0.5, i.e., the exponential decay rate we derived in Theorem 1.
The semi-log plot of the average value of the variation range ∆VQE(V1, V2) vs. the number of qubits.
変量範囲の平均値のセミログプロットは、キュービット数に対して ^VQE(V1, V2) である。
0.67
The cost function used here is the energy expectation of the 1-dimensional antiferromagnetic Heisenberg model.
ここで使われるコスト関数は、1次元反強磁性ハイゼンベルク模型のエネルギー期待である。
0.74
Different lines represent different numbers of circuit layers from 5 to 95 with step length 10, with the line for 5 layers on the top and 95 layers on the bottom.