論文の概要、ライセンス

# (参考訳) 信号とカラー画像の四次相関の効率的な計算法 [全文訳有]

An Efficient Calculation of Quaternion Correlation of Signals and Color Images ( http://arxiv.org/abs/2205.05113v1 )

ライセンス: CC BY 4.0
Artyom M. Grigoryan and Sos S. Agaian(参考訳) 過去1世紀にわたり、相関関係は工学科学において不可欠な数学的手法であり、事実上全ての信号/画像処理分野を含んでいる。 本稿では,四元数代数における信号とカラー画像の相関関数の計算法について述べる。 本稿では,可換乗算演算を用いた四元数を用いて,対応する相関関数を定義する。 四元数信号と画像の相関は、信号と画像の四元数DFTを掛け合わせることで計算できる。 カラー画像の相関の複雑さは複素代数の3倍である。

Over the past century, a correlation has been an essential mathematical technique utilized in engineering sciences, including practically every signal/image processing field. This paper describes an effective method of calculating the correlation function of signals and color images in quaternion algebra. We propose using the quaternions with a commutative multiplication operation and defining the corresponding correlation function in this arithmetic. The correlation between quaternion signals and images can be calculated by multiplying two quaternion DFTs of signals and images. The complexity of the correlation of color images is three times higher than in complex algebra.
公開日: Tue, 10 May 2022 18:30:31 GMT

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翻訳結果

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英語(論文から抽出)日本語訳スコア
May 10, 2022 2022年5月10日 0.73
An Efficient Calculation of Quaternion Correlation 四元相関の効率的な計算 0.77
of Signals and Color Images Artyom M. Grigoryana, Sos S. Agaianb 信号とカラー画像の Artyom M. Grigoryana, Sos S. Agaianb 0.63
aThe University of Texas at San Antonio, bCity University of New York / CSI aThe University of Texas at San Antonio, bCity University of New York / CSI 0.43
amgrigoryan@utsa.edu , sos.agaian@csi.cuny. edu amgrigoryan@utsa.edu , sos.agaian@csi.cuny. edu 0.29
ABSTRACT Over the past century, a correlation has been an essential mathematical technique utilized in engineering sciences, including practically every signal/image processing field. ABSTRACT 過去1世紀にわたり、相関関係は工学科学において不可欠な数学的手法であり、事実上全ての信号/画像処理分野を含んでいる。 0.53
This paper describes an effective method of calculating the correlation function of signals and color images in quaternion algebra. 本稿では,四元数代数における信号とカラー画像の相関関数の計算法について述べる。 0.68
We propose using the quaternions with a commutative multiplication operation and defining the corresponding correlation function in this arithmetic. 本稿では,可換乗算演算を用いた四元数を用いて,対応する相関関数を定義する。 0.76
The correlation between quaternion signals and images can be calculated by multiplying two quaternion DFTs of signals and images. 四元数信号と画像の相関は、信号と画像の四元数DFTを掛け合わせることで計算できる。 0.68
The complexity of the correlation of color images is three times higher than in complex algebra. カラー画像の相関の複雑さは複素代数の3倍である。 0.68
Keywords: Quaternion signal, quaternion image, quaternion convolution, quaternion correlation, Fourier transform. キーワード:四元数信号、四元数画像、四元数畳み込み、四元数相関、フーリエ変換。 0.59
1. INTRODUCTION Correlation is one of the most fundamental concepts used in almost any engineering science. 1. 導入 相関は、ほとんどすべての工学科学で使われている最も基本的な概念の1つである。 0.50
Correlation measures the degree to which two variables are related and expresses in quantitative terms the strength and direction of the relationship between these variables. 相関は2つの変数が関係する度合いを測り、これらの変数間の関係の強さと方向を定量的に表す。 0.85
Practically, correlation, autocorrelation, and phase-correlation become basic tools in many applications, including computer vision, robotics, sport, biomedicine, acoustic, human movement and rehabilitation research, quantum computation, geophysical applications, and image and signal processing applications, to name only a few [1]-[4]. 実際には、相関、自己相関、位相相関は、コンピュータビジョン、ロボティクス、スポーツ、生体医療、音響、人間の運動とリハビリテーション研究、量子計算、地球物理学への応用、画像および信号処理アプリケーションなど、多くのアプリケーションにおいて基本的なツールとなり、いくつかの[1]-[4]だけを命名する。 0.63
For example, cross-correlation is a key statistical method for getting the degree of relationship/similar ity among two templates/images [1] or analyses in the human movement and rehabilitation sciences [2]. 例えば、クロス相関は、2つのテンプレート/イメージ間の関係や類似性の度合いを得るための重要な統計手法である[1]、または人間の運動とリハビリテーション科学における分析である[2]。 0.70
Quaternions, an extension of complex numbers, were launched in the nineteenth century by Gauss. 複素数の拡張である四元数は19世紀にガウスによって開始された。 0.70
However, quaternion information processing has only recently become popular in engineering. しかし、四元数情報処理は工学で最近普及したばかりである。 0.70
Recently, quaternion algebra has become a very effective tool for color image application and for describing rotations and orientations in 3D spaces [5]-[9]. 近年、四元数代数は3次元空間 [5]-[9] における回転と向きを記述するのに非常に有効なツールとなっている。 0.72
For instance, (i) many engineering challenges present themselves as three-dimensional vectors, ideal for quaternion representation, and 例えば、 (i)多くの工学的課題は、自分自身を3次元ベクトル、四元数表現の理想、そして 0.63
(ii) quaternions naturally use inter-channel correlations in these three-dimensional problems. (II)四元数はこの3次元問題に自然にチャネル間相関を用いる。 0.63
For example, in the RGB, CMY, and XYZ color models, color images with grayscale components can be represented as quaternion images. 例えば、RGB、CMY、XYZの色モデルでは、グレースケール成分のカラーイメージを四元数画像として表現することができる。 0.78
Unlike commonly used image processing applications, where color images deal with all color channels separately, quaternion algebra allows them to be one unit [10,12]. カラー画像がすべての色チャネルを別々に扱う一般的な画像処理アプリケーションとは異なり、四元代数学はそれらを一単位[10,12]にすることができる。 0.69
Also, many signal processing procedures have been expanded to the quaternion domain, including quaternion Fourier transforms, wavelets, Kalman filtering, color image restoration and enhancement, regression, quaternion neural networks, quaternion moments, and least mean square adaptive filtering [10]-[19]. また、第4次フーリエ変換、ウェーブレット、カルマンフィルタリング、カラー画像復元と拡張、回帰、第4次ニューラルネットワーク、第4次モーメント、最小平均二乗適応フィルタリング[10]-[19]など、多くの信号処理手順が第4次領域に拡張されている。 0.68
The quaternion image processing tools are very effective in some cases, especially in the frequency domain. 四元画像処理ツールは、特に周波数領域において非常に効果的である。 0.74
See, for example, the 2-D quaternion discrete Fourier transforms-based alpha-rooting method for image enhancement [11]-[13]. 例えば、2次元四元数離散フーリエ変換による画像強調のためのアルファルート法[11]-[13]を見よ。 0.77
It is natural to extend the correlation procedure to the quaternion domain. 相関手順を四元数領域に拡張することは自然である。 0.67
The challenge here is that traditional quaternion algebra, which is noncommutative, does not provide effective methods of calculating convolution and correlation. ここでの課題は、非可換な伝統的な四元数代数が畳み込みと相関を計算する効果的な方法を提供していないことである。 0.56
Because of the noncommutativity of the multiplication, the correlation of images has two forms; when multiplying images in the double sum from left and right; the results are different. 乗算の非可換性のため、画像の相関には2つの形態があり、二重和の画像を左右から乗算する場合、結果は異なる。 0.66
Also, the concept of quaternion discrete Fourier transforms (QDFT) is not unique, and the question arises of how to choose the transforms [25,26]. また、四元数離散フーリエ変換(QDFT)の概念はユニークではなく、その変換をどのように選ぶかが問題となる[25,26]。 0.80
1 1 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
To overcome these limitations, we consider the 4-D model of signals and color images in the commutative quaternion algebra, called the (2,2)-model of quaternions, and describe an effective method of calculating the correlation function for signals and images in this paper. これらの制約を克服するために,四元数代数 (2,2)-モデルと呼ばれる可換四元数代数における信号とカラー画像の4次元モデルを検討し,信号と画像の相関関数の効率的な計算法について述べる。 0.78
The key paper contributions are 1. 主要な論文は 1. 0.47
We propose an effective tool to calculate the correlation of signals and color images in the quaternion algebra 四元数代数における信号と色画像の相関を計算する効果的なツールを提案する。
訳抜け防止モード: 有効なツールを提案する 四元数代数における信号と色画像の相関を計算する
0.77
2. domain. In the frequency-domain, the quaternion correlation of two images can be calculating by multiplying their QDFTs. 2. ドメイン。 周波数領域では、QDFTを乗算することにより、2つの画像の四元相関を計算することができる。 0.55
3. We estimate the complexity of the correlation of color images and show that 3. 我々はカラー画像の相関の複雑さを推定し、そのことを示す。 0.59
a. The complexity of calculating the correlation function based on quaternion algebra is two times higher aだ 四元数代数に基づく相関関数の計算の複雑さは2倍である 0.72
than in the case of complex algebra. 複雑な代数の場合よりも 0.55
b. Calculating the correlation function in the frequency domain using the commutative (2,2)-model can be bだ 可換(2,2)-モデルを用いた周波数領域の相関関数の計算 0.72
accomplished without quaternion DFTs. 四元数DFT無しで達成。 0.59
c. The quaternion correlation needs only six complex 2-D DFTs plus 4𝑁𝑀 complex multiplications or cだ 四元相関は6つの複素2次元DFTと4NM複素乗算を必要とする。 0.69
16𝑁𝑀 real multiplications. The rest of the paper is organized in the following way. 16nm実乗算。 残りの論文は以下の方法で整理されている。 0.52
In Section 2, a brief introduction to quaternion numbers is given in the (1,3)- and (2,2)-models. 第2節では、(1,3)-および(2,2)-モデルで四元数について簡単に紹介する。 0.64
In Section 3, the quaternion correlation of signals is described with an example. 第3節では、信号の四元相関を例に示す。 0.60
The quaternion correlation implementation block-diagram is illustrated. 四元相関実装ブロックダイアグラムを例示する。 0.61
Section 4 presents the correlation of color images in the (2,2)-model. 第4節は(2,2)-モデルにおけるカラーイメージの相関を示す。 0.75
The complexity of the quaternion correlation is compared with the known methods in the traditional commutative (1,3)-model of quaternions. 四元数相関の複雑さは、四元数の伝統的な可換(1,3)-モデルにおける既知の方法と比較される。 0.65
Finally, Section 5 presents the conclusion and future work. 最後に、第5節は、結論と今後の作業を示す。 0.65
2. QUATERNION NUMBERS 2. クォータニオン数 0.43
This section briefly introduces quaternion numbers in the noncommutative quaternion algebra and the (2,2)-model [23]. この節では、非可換四元環と (2,2)-モデル[23] における四元数を簡単に紹介する。 0.53
This material and subsequent sections will allow us to work with the concept of the correlation function of quaternion images. この材料とその後のセクションは、四元数画像の相関関数の概念を扱うことができる。 0.66
To simplify the discussion of this topic, we will first work on the one-dimensional case and then generalize the results to the two-dimensional case. この話題の議論を単純化するために、まず1次元の場合に取り組み、2次元の場合に結果を一般化する。 0.68
As we know, fast correlation methods are based on the fast Fourier transform since the correlation can be represented as a linear convolution and then reduced the latter to a cyclic convolution. 私たちが知っているように、高速相関法は高速フーリエ変換に基づいており、相関は線形畳み込みとして表現され、その後、後者を循環畳み込みに還元することができる。 0.58
It should be recalled that the linear convolution and DFT do not have unique definitions in traditional quaternion arithmetic because it is not commutative. 線型畳み込みと DFT は可換ではないため、伝統的な四元数演算において一意的な定義を持たないことを思い出すべきである。 0.58
All these obstacles could be removed if we had commutative multiplication. これらすべての障害は、可換乗算によって取り除くことができる。 0.54
Therefore, we first describe these concepts in commutative quantum arithmetic, which we call the (2,2)-mode, and then introduce the solution to the problem of calculating the quaternion correlation. したがって、まずこれらの概念を(2,2)モードと呼ぶ可換量子算術で記述し、次に四元相関を計算する問題に対する解を導入する。 0.77
2.1. The (1,3)-model of quaternions 2.1. 四元数の(1,3)-モデル 0.53
The traditional quaternion arithmetic was first described by Gauss [20], and later by Hamilton [21,22]. 伝統的な四元数算術は最初ガウス [20] によって記述され、後にハミルトン [21,22] によって記述された。
訳抜け防止モード: 従来の四元数算術はガウス [20 ] によって初めて記述された。 そしてハミルトン[2122]によって
0.63
The quaternion is the two-component number 𝑞 = 𝑎 + (𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘). 四元数は二成分数 q = a + (bi + cj + dk) である。 0.72
This number presents a quarter of real numbers (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑). この数は実数(a, b, c, d)の四分の一を表す。 0.76
The real part of the quaternion is 𝑎 and the imaginary part is the three-component number 𝑞′ = (𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘). 四元数の実部は a であり、虚部は三成分数 q′ = (bi + cj + dk) である。
訳抜け防止モード: 四元数の本当の部分は そして虚部は、3つの成分数 q′ = (bi + cj + dk ) である。
0.76
This is why, we call such a representation of quaternions the (1,3)-model [23]. したがって、そのような四元数表現を (1,3)-モデル[23] と呼ぶ。 0.75
The imaginary units 𝑖, 𝑗, and 𝑘 are orthogonal to each other and to real unit 1. 虚数単位 i, j, k は互いに直交し、実数単位 1 に直交する。 0.60
The multiplication laws for these imaginary units are the following: これらの虚数単位の乗法は次のとおりである。 0.71
𝑖𝑗 = −𝑗𝑖 = 𝑘, 𝑗𝑘 = −𝑘𝑗 = 𝑖, 𝑘𝑖 = −𝑖𝑘 = 𝑗, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1. 𝑖𝑗 = −𝑗𝑖 = 𝑘, 𝑗𝑘 = −𝑘𝑗 = 𝑖, 𝑘𝑖 = −𝑖𝑘 = 𝑗, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1. 0.47
(1) Thus, the quaternion number presents the 4-D vector (𝑎, 𝑞′), where 3-D vector is 𝑞′ = (𝑏, 𝑐, 𝑑). (1) したがって、4次元ベクトル (a, q′) は四元数であり、3次元ベクトルは q′ = (b, c, d) である。 0.62
The conjugate of 𝑞 is defined as 𝑞̅ = 𝑎 − (𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘). q {\displaystyle q} の共役は q = a − (bi + cj + dk) と定義される。 0.77
The length, or modulus of the quaternion is |𝑞| = √𝑞𝑞̅ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2. 四元数の長さ、あるいはモジュラリティは |q| = シュクカー = シュア2 + b2 + c2 + d2 である。 0.72
In 2 院 2 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
polar form, the quaternion is written as 𝑞 = |𝑞|exp(𝜇𝜗). 極形、四元数は q = |q|exp(μθ) と書く。 0.71
Here, 𝜗 is an angle and 𝜇 is a unit pure quaternion, such that 𝜇2 = −1 and |𝜇| = 1. ここで θ は角度であり、μ は μ2 = −1 と |μ| = 1 であるような純四元数である。 0.84
Therefore, the quaternion exponent can be calculated as したがって、四元数指数を計算できる。 0.65
exp(𝜇𝜗) = cos(𝜗) + 𝜇 sin(𝜗). exp(μθ) = cos(θ) + μ sin(θ) である。 0.98
Because of inequality 𝑖𝑗 ≠ 𝑗𝑖 and 𝑗𝑘 ≠ 𝑘𝑗, the multiplication is not a commutative operation in the (1,3)-model. 不等式 ij が ji と jk が kj であるため、乗算は (1,3)-モデルにおける可換演算ではない。 0.80
It also means, that the fundamental multiplicative identity does not hold for quaternion exponents, i.e., これはまた、基本乗法的アイデンティティが四元数指数、すなわち、保たないことを意味する。 0.61
For some cases, this property holds. 一部の場合、この性質は保持される。 0.59
For instance, when 𝜇 = 𝑖, 𝑗, and 𝑘. 例えば μ = i, j, k の場合である。 0.75
exp(𝜇𝜗1)exp(𝜇𝜗2) ≠ exp(𝜇[𝜗1 + 𝜗2]), for all 𝜗1, 𝜗2. exp(μθ1)exp(μθ2) はすべての θ1, θ2 に対して exp(μ[θ1 + θ2] である。 0.80
(2) The multiplication of two quaternions 𝑞1 = 𝑎1 + 𝑞1 (2) 2つの四元数 q1 = a1 + q1 の乗法 0.52
′ = 𝑎1 + (𝑏1𝑖 + 𝑐1𝑗 + 𝑑1𝑘) and 𝑞2 = 𝑎2 + 𝑞2 ′ = 𝑎1 + (𝑏1𝑖 + 𝑐1𝑗 + 𝑑1𝑘) and 𝑞2 = 𝑎2 + 𝑞2 0.38
′ = 𝑎2 + (𝑏2𝑖 + 𝑐2𝑗 + ′ = 𝑎2 + (𝑏2𝑖 + 𝑐2𝑗 + 0.39
𝑑2𝑘) is calculated by d2k)は計算される 0.74
𝑞 = 𝑞1𝑞2 = [𝑎1𝑞2 𝑞 = 𝑞1𝑞2 = [𝑎1𝑞2 0.32
′ + 𝑎2𝑞1 ′ ] + 𝑎1𝑎2 − [𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2 + 𝑑1𝑑2] + | ′ + 𝑎2𝑞1 ′ ] + 𝑎1𝑎2 − [𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2 + 𝑑1𝑑2] + | 0.33
𝑖 𝑏1 𝑏2 𝑗 𝑘 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑖 𝑏1 𝑏2 𝑗 𝑘 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 0.57
|. |. 0.42
(3) In matrix form, this quaternion 𝑞 = 𝑎 + (𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘) can be calculated by (3) 行列形式において、この四元数 q = a + (bi + cj + dk) は計算できる。 0.60
𝑞 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑞 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0.42
] = 𝑨𝑖𝑗 [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 ] = 𝑨𝑖𝑗 [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 0.38
] = [ 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑐1 − 𝑑1 𝑏1 𝑎1 − 𝑑1 𝑐1 𝑐1 𝑑1 𝑎1 − 𝑏1 𝑑1 − 𝑐1 𝑏1 𝑎1 ] = [ 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑐1 − 𝑑1 𝑏1 𝑎1 − 𝑑1 𝑐1 𝑐1 𝑑1 𝑎1 − 𝑏1 𝑑1 − 𝑐1 𝑏1 𝑎1 0.39
] [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 ] [ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 0.38
Also, we can define the following multiplication laws: また、次の乗法則も定義できる。 0.55
] , det 𝑨𝑖𝑗 = |𝑞1|4. ] , det aij = |q1|4 である。 0.47
(4) 𝑗𝑖 = −𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = −𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑘𝑖 = −𝑖𝑘 = −𝑗, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑗𝑖𝑘 = −1. (4) 𝑗𝑖 = −𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = −𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑘𝑖 = −𝑖𝑘 = −𝑗, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑗𝑖𝑘 = −1. 0.44
(5) With such rules, the product of two quaternions 𝑞 = 𝑞1𝑞2 is equal to the product 𝑞2𝑞1 in the first arithmetic of quaternions with rules of Eq 1. (5) そのような規則では、2つの四元数 q = q1q2 の積は、Eq 1 の規則を持つ四元数の最初の算術における積 q2q1 と等しい。 0.52
The corresponding matrix of this multiplication is equal to この乗算の対応する行列は等しい 0.62
𝑨𝑗𝑖 = [ 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑐1 − 𝑑1 𝑏1 𝑎1 𝑑1 − 𝑐1 𝑐1 − 𝑑1 𝑎1 𝑏1 𝑑1 𝑐1 − 𝑏1 𝑎1 𝑨𝑗𝑖 = [ 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑐1 − 𝑑1 𝑏1 𝑎1 𝑑1 − 𝑐1 𝑐1 − 𝑑1 𝑎1 𝑏1 𝑑1 𝑐1 − 𝑏1 𝑎1 0.39
] , det 𝑨𝑖𝑗 = |𝑞1|4. ] , det aij = |q1|4 である。 0.47
It should be noted, that these two matrices are orthogonal. この2つの行列は直交であることに注意する必要がある。 0.56
2.2. The (1,3)-model of quaternions 2.2. 四元数の(1,3)-モデル 0.53
In this section, we consider the commutative (2,2)-model of quaternions and compare briefly it with the noncommutative (1,3)-model, for which the multiplication rules are defined as in Eq 5. 本節では、四元数の可換 (2,2)-モデルについて考察し、eq 5 において乗法規則が定義される非可換 (1,3)-モデルと比較する。 0.69
The quaternion is a pair of two complex numbers 四元数は2つの複素数の対である 0.71
𝑞 = 𝑎1 + 𝑗𝑎2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑗(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎1 + 𝑗𝑎2 = [𝑎1, 𝑎2]. 𝑞 = 𝑎1 + 𝑗𝑎2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑗(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎1 + 𝑗𝑎2 = [𝑎1, 𝑎2]. 0.50
(6) Here, complex numbers 𝑎1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 and 𝑎2 = 𝑐 + 𝑑𝑖. (6) ここで複素数 a1 = a + bi と a2 = c + di が成り立つ。 0.62
The quaternion number can be written as 𝑞 = [(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)] (assuming 𝑗𝑖 = 𝑘). 四元数 (quaternion number) は q = [(a, b), (c, d)] (ji = k) と書くことができる。 0.74
This number represents the vector 𝑞 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) in the 4-D space. この数は、4次元空間におけるベクトル q = (a, b, c, d) を表す。 0.85
The following notations are used in the (2,2)-model [23]. 以下の表記は (2,2)-model [23] で使われる。 0.84
The quaternion 𝑞 as a pair of two complex numbers is written as: 2つの複素数の対としての四元数 q は次のようになる。 0.57
𝑞 = [𝑎1, 𝑎2], 𝑎1 = (𝑎1,1, 𝑎1,2), 𝑎2 = (𝑎2,1, 𝑎2,2). 𝑞 = [𝑎1, 𝑎2], 𝑎1 = (𝑎1,1, 𝑎1,2), 𝑎2 = (𝑎2,1, 𝑎2,2). 0.38
(7) 3 (7) 3 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Here, 𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎2,1, and 𝑎2,2 are real numbers. ここで a1,1,a1,2,a2,1,a2,2 は実数である。 0.59
The square brackets are used for quaternions. 四角括弧は四角形に使われる。 0.64
The round brackets are used for 2-D vectors, or complex numbers. 丸括弧は2次元ベクトル(複素数)に使用される。 0.66
In the 𝑎2 = 0 case, the quaternion 𝑞 = [𝑎1, 0] is a complex number 𝑎1, and if 𝑎1 = (𝑎1,1, 0), we call 𝑞 = [𝑎1, 0] real. a2 = 0 の場合、四元数 q = [a1, 0] は複素数 a1 であり、a1 = (a1,1, 0) であれば q = [a1, 0] 実数と呼ぶ。 0.87
Consider two quaternions 𝑞1 = [𝑎1, 𝑎2] and 𝑞2 = [𝑏1, 𝑏2]. 四元数 q1 = [a1, a2] と q2 = [b1, b2] を考える。 0.73
Here, 𝑎1 = (𝑎1,1, 𝑎1,2), 𝑎2 = (𝑎2,1, 𝑎2,2) and 𝑏1 = Here, 𝑎1 = (𝑎1,1, 𝑎1,2), 𝑎2 = (𝑎2,1, 𝑎2,2) and 𝑏1 = 0.35
(𝑏1,1, 𝑏1,2), 𝑏2 = (𝑏2,1, 𝑏2,2). (𝑏1,1, 𝑏1,2), 𝑏2 = (𝑏2,1, 𝑏2,2). 0.65
The following operations are defined on quaternions. 以下の操作は四元数で定義される。 0.62
a. The sum of two quaternions is defined as the component-wise operation. aだ 2つの四元数の和は成分演算として定義される。 0.63
Thus, 𝑞1 + 𝑞2 = [𝑎1, 𝑎2] + [𝑏1, 𝑏2] = [𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2]. したがって 𝑞1 + 𝑞2 = [𝑎1, 𝑎2] + [𝑏1, 𝑏2] = [𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2]. 0.58
The multiplication of two quaternions is calculated by 2つの四元数の乗算は 0.64
b. 𝑞1𝑞2 = [𝑎1, 𝑎2][𝑏1, 𝑏2] ≜ [𝑎1𝑏1 − 𝑎2𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1]. bだ 𝑞1𝑞2 = [𝑎1, 𝑎2][𝑏1, 𝑏2] ≜ [𝑎1𝑏1 − 𝑎2𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1]. 0.53
(8) Consider the following four quaternion units: (8) 以下の4つの単位を考える。 0.55
1. 𝑒1 = [(1,0), (0,0)], or shortly 𝑒1 = (1,0) 1. e1 = [(1,0), (0,0)], or soon e1 = (1,0) 0.47
= 1. 2. 𝑒2 = [(0,1), (0,0)], 3. 𝑒3 = [(0,0), (1,0)] 4. 𝑒4 = [(0,0), (0,1)]. = 1. 2. 𝑒2 = [(0,1), (0,0)], 3. 𝑒3 = [(0,0), (1,0)] 4. 𝑒4 = [(0,0), (0,1)]. 0.50
The multiplications of these quaternions are given in Table 1, which we call 𝑇(1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4) table. これらの四元数の乗法はテーブル 1 で与えられ、T(1, e2, e3, e4) テーブルと呼ぶ。 0.82
𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒2 𝑒3 𝑒4 0.34
𝑒3 𝑒2 𝑒4 −1 𝑒4 −1 −𝑒3 −𝑒2 𝑒3 𝑒2 𝑒4 −1 𝑒4 −1 −𝑒3 −𝑒2 0.28
𝑒4 −𝑒3 −𝑒2 1 𝑒4 −𝑒3 −𝑒2 1 0.29
Table 1. 𝑇(1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4). 表1。 𝑇(1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4). 0.60
In matrix form, the product of two quaternions 𝑞 = 𝑞1𝑞2 = [𝑎1, 𝑎2][𝑏1, 𝑏2] can be written as 行列形式では、2つの四元数 q = q1q2 = [a1, a2][b1, b2] の積は書ける。 0.66
𝑞 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑞 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0.42
] = 𝑴𝑞1𝑞2 = [ ] = 𝑴𝑞1𝑞2 = [ 0.39
𝑎1,1 −𝑎1,2 −𝑎2,1 𝑎1,2 𝑎2,1 −𝑎2,2 𝑎2,2 𝑎2,1 𝑎1,1 −𝑎1,2 −𝑎2,1 𝑎1,2 𝑎2,1 −𝑎2,2 𝑎2,2 𝑎2,1 0.15
𝑎2,2 𝑎1,1 −𝑎2,2 −𝑎2,1 𝑎1,1 −𝑎1,2 𝑎1,2 𝑎1,1 𝑎2,2 𝑎1,1 −𝑎2,2 −𝑎2,1 𝑎1,1 −𝑎1,2 𝑎1,2 𝑎1,1 0.15
] 𝑏1,1 𝑏1,2 𝑏2,1 𝑏2,2] ] 𝑏1,1 𝑏1,2 𝑏2,1 𝑏2,2] 0.31
[ . [ . 0.42
(9) One can notice the quaternion number 𝑞1 in the first column of this matrix. (9) この行列の最初の列で四元数 q1 に気づくことができる。 0.60
The matrix 𝑴𝑞1 is not orthogonal. 行列 Mq1 は直交ではない。 0.69
Example 1. Consider two quaternion numbers 𝑞1 = (𝑎1, 𝑎2) = [(1,4), (−1,2)] 例1。 考察 2つの四元数 q1 = (a1, a2) = [(1,4), (−1,2)] 0.54
and 𝑞2 = (𝑏1, 𝑏2) = and 𝑞2 = (𝑏1, 𝑏2) = 0.45
[(2,5), (3, −1)]. [(2,5), (3, −1)]. 0.39
The product 𝑞 = 𝑞1𝑞2 is calculated by the matrix 𝑴 of multiplication 積 q = q1q2 は乗算の行列 M によって計算される 0.70
The inverse matrix 𝑴−1 as 𝑴 = 𝑴𝑞1 = [ 逆行列 M−1 は 𝑴 = 𝑴𝑞1 = [ 0.69
−1 −2 2 −1 −1 −2 2 −1 0.37
1 −4 4 1 1 −2 1 −4 4 1 1 −2 0.47
2 1 1 −4 4 1 2 1 1 −4 4 1 0.49
], det 𝑴 = 340. ], det m = 340。 0.35
4 4 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
𝑴−1 = 1 170 𝑴−1 = 1 170 0.40
[ −1 −38 −13 −16 [ −1 −38 −13 −16 0.38
16 13 38 16 −13 −38 −1 16 13 38 16 −13 −38 −1 0.43
13 38 −1 −16 −1 13 38 −1 −16 −1 0.39
]. The 𝑞 = 𝑞1𝑞2 is calculated by ]. q = q1q2 が計算される 0.54
𝒒 = [ 1 −4 4 𝒒 = [ 1 −4 4 0.45
1 1 −2 −1 −2 2 −1 1 1 −2 −1 −2 2 −1 0.42
2 1 1 −4 4 1 2 1 1 −4 4 1 0.49
2 ] [ 5 3 −1 2 ] [ 5 3 −1 0.49
] = [ −17 6 −5 10 ] = [ −17 6 −5 10 0.43
]. Therefore, 𝑞 = 𝑞1𝑞2 = [(−17,6), (−5,10)]. ]. Therefore, 𝑞 = 𝑞1𝑞2 = [(−17,6), (−5,10)]. 0.38
We note for comparison that in the (1,3)-model, the product of these two quaternions is equal to [−13,8,5,20] which is the quaternion −13 + (8𝑖 + 5𝑗 + 20𝑘). 比較のために、(1,3)-モデルでは、これらの2つの四元数の積は [−13,8,5,20] と等しく、四元数 −13 + (8i + 5j + 20k) である。 0.59
The results are different. The properties of this multiplication are described in detail in work [13] of the authors. 結果は異なります。 この乗法の性質は著者の研究[13]で詳細に説明されている。 0.67
Here, we briefly mention the ここでは、簡潔に述べる。 0.55
main properties: If 𝑘 is a real or complex number, then 𝑘𝑞 = (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2). 主な特性は k が実数あるいは複素数であれば、kq = (ka1, ka2) である。 0.70
1. 2. The multiplication is associative (𝑞1𝑞2)𝑞3 = 𝑞1(𝑞2𝑞3), for any quaternions 𝑞1, 𝑞2, and 𝑞3. 1. 乗法 (q1q2)q3 = q1(q2q3) は任意の四元数 q1, q2, q3 に対して結合的である。 0.69
3. The multiplication is distributive 3.乗算は分配的である 0.73
𝑞1(𝑞2 + 𝑞3) = 𝑞1𝑞2 + 𝑞1𝑞3, (10) 𝑞1(𝑞2 + 𝑞3) = 𝑞1𝑞2 + 𝑞1𝑞3, (10) 0.37
for any quaternions 𝑞1, 𝑞2, and 𝑞3 4. 四元数 q1, q2, q34 に対して 0.70
The multiplication is commutative, 5. 乗算は可換である。 5. 0.55
The square of the quaternion is 𝑞1𝑞2 = 𝑞2𝑞1. 四重項の正方形は 𝑞1𝑞2 = 𝑞2𝑞1. 0.45
𝑞2 = 𝑞𝑞 = [𝑎1 𝑞2 = 𝑞𝑞 = [𝑎1 0.46
2 − 𝑎2 2, 2𝑎1𝑎2]. 2 − 𝑎2 2, 2𝑎1𝑎2]. 0.43
(11) 6. (11) 6. 0.43
The zero has divisors, i.e., exist such quaternions 𝑞1 and 𝑞2 ≠ 0, that 𝑞1𝑞2 = 0. ゼロは因子を持ち、q1 と q2 が 0 で q1q2 = 0 となるような四元数が存在する。 0.63
For instance, Thus, (1 + 𝑒4) and (1 − 𝑒4) are the divisors of the zero. 例えば、 したがって、 (1 + e4) と (1 − e4) は零点の因子である。 0.66
7. The conjugate of the quaternion 𝑞 is the number 7. 四元数 q の共役は数である 0.51
(1 + 𝑒4)(1 − 𝑒4) = 1 − 𝑒4 (1 + 𝑒4)(1 − 𝑒4) = 1 − 𝑒4 0.49
2 = 0. 𝑞̅ = [𝑎̅1, 𝑎̅2] = [(𝑎1,1, −𝑎1,2), (𝑎2,1, −𝑎2,2)]. 2 = 0. 𝑞̅ = [𝑎̅1, 𝑎̅2] = [(𝑎1,1, −𝑎1,2), (𝑎2,1, −𝑎2,2)]. 0.41
(12) The conjugates of unit quaternions 𝑒̅2 = [(0, −1), (0,0)] = −𝑒2, 𝑒̅3 = 𝑒3, and 𝑒̅4 = [(0,0), (0, −1)] = −𝑒4, (12) 単位四元数 e2 = [(0, −1), (0,0)] = −e2, en3 = e3, en4 = [(0,0), (0, −1)] = −e4, の共役
訳抜け防止モード: (12) 単位四元数 e の共役は [ ( 0, −1 ) である。 ( 0,0 ) ] = −𝑒2, 𝑒̅3 = 𝑒3, and 𝑒̅4 = [ ( 0,0 ), ( 0, −1 ) ] = −𝑒4,
0.59
8. The multiplication of a quaternion on its conjugate is equal to 8. 共役上の四元数の乗法が等しい 0.50
𝑞𝑞̅ = [𝑎1𝑎̅1 − 𝑎2𝑎̅2, 𝑎1𝑎̅2 + 𝑎2𝑎̅1] = [|𝑎1|2 − |𝑎2|2, 𝑎1𝑎̅2 + 𝑎2𝑎̅1]. 𝑞𝑞̅ = [𝑎1𝑎̅1 − 𝑎2𝑎̅2, 𝑎1𝑎̅2 + 𝑎2𝑎̅1] = [|𝑎1|2 − |𝑎2|2, 𝑎1𝑎̅2 + 𝑎2𝑎̅1]. 0.29
(13) This number is not the square of the modulus of the quaternion, as in the non-commutative (1,3)-model. (13) この数は四元数のモジュラーの平方ではなく、非可換(1,3)-モデルのようにである。 0.57
However, when a quaternion is a complex number, 𝑞 = [𝑎1, 0], then, 𝑞𝑞̅ = |𝑎1|2. しかし、四元数を複素数、q = [a1, 0] とすると、qqs = |a1|2 となる。
訳抜け防止モード: しかし、四元数を複素数とするとき、q = [ a1, 0 ], then , 𝑞𝑞̅ = |𝑎1|2 .
0.81
The module of the quaternion is calculated as |𝑞| = √|𝑎1|2 + |𝑎2|2. 四元数の加群は |q| = s|a1|2 + |a2|2 と計算される。 0.47
3. QUATERNION CORRELATION IN THE (2,2)-MODEL 3. 2,2)-モードの四項相関 0.42
This section considers the operation of correlation in the (2,2)-model of quaternions. 本節では四元数の(2,2)-モデルにおける相関の演算について考察する。 0.61
We first describe this operation in the 1-D case of signals. まず、この操作を信号の1-Dケースで記述する。 0.70
The 2-D case of images is considered similarly. 画像の2次元の場合も同様である。 0.74
Let 𝑣𝑘 = [𝑣1,𝑘, 𝑣2,𝑘], 𝑘 = 0: (𝐿 − 1), be the vk = [v1,k, v2,k], k = 0: (L − 1) とする。 0.79
5 5 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
quaternion signal which will be correlated with another signal 𝑞𝑛 = [𝑓𝑛, 𝑔𝑛], 𝑛 = 0: (𝑁 − 1). 他の信号 qn = [fn, gn], n = 0: (N − 1) と相関する四元数信号。 0.73
We consider that 𝐿 ≤ 𝑁. 我々は l ≤ n を考える。 0.78
The correlation of these signals is defined as これらの信号の相関は 0.63
𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛 = ∑ 𝑣𝑘−𝑛𝑞𝑘 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛 = ∑ 𝑣𝑘−𝑛𝑞𝑘 0.50
, 𝑛 = −(𝐿 − 1): (𝑁 − 1). , 𝑛 = −(𝐿 − 1): (𝑁 − 1). 0.43
(14) This operation can be written as the convolution (14) この操作は畳み込みと書くことができる 0.59
𝑘 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑣̂𝑛 ∗ 𝑞𝑛 = ∑ 𝑣̂𝑛−𝑘𝑞𝑘 𝑘 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑣̂𝑛 ∗ 𝑞𝑛 = ∑ 𝑣̂𝑛−𝑘𝑞𝑘 0.46
, (15) , (15) 0.42
𝑘 where the quaternion signal 𝑣̂𝑛 is the time-reversal transform 𝑣̂𝑛 = 𝑣−𝑛. 𝑘 四元数信号 v n は時間反転変換 v n = v-n である。 0.56
The linear convolution can be reduced to the aperiodic convolution. 線形畳み込みは、周期的畳み込みに還元することができる。 0.56
Without loss of generality, we consider that both quaternion signals 𝑞𝑛 and 𝑣𝑛 are periodic and have the same length 𝑁. 一般性を失うことなく、四元数信号 qn と vn はどちらも周期的であり、同じ長さ N を持つと考える。
訳抜け防止モード: 一般性を失うことなく 両方の四元数信号 qn と vn は周期的であり、同じ長さ N である。
0.76
The convolution is unique in the (2,2)-model, and the multiplicative property holds. 畳み込みは (2,2)-モデルにおいて一意であり、乗法的性質は成り立つ。 0.66
In other words, the aperiodic quaternion convolution can be calculated by multiplication of the 𝑁-point QDFTs of signals [23]. 言い換えると、a periodic quaternion convolution は信号 [23] の n-点 qdft の乗算によって計算できる。 0.72
The aperiodic convolution 𝑅𝑛 = 𝑣̂𝑛 ∗ 𝑞𝑛 can be written as follows (see more detail in [SP]): 周期的畳み込み rn = v\n ∗ qn は次のように書ける( [sp] のより詳細な説明を参照)。 0.71
𝑟𝑛 = [𝑟1,𝑛, 𝑟2,𝑛] = [𝑣̂1,𝑛 ∗ 𝑓𝑛 − 𝑣̂2,𝑛 ∗ 𝑔𝑛, 𝑣̂1,𝑛 ∗ 𝑔𝑛 + 𝑣̂2,𝑛 ∗ 𝑓𝑛]. 𝑟𝑛 = [𝑟1,𝑛, 𝑟2,𝑛] = [𝑣̂1,𝑛 ∗ 𝑓𝑛 − 𝑣̂2,𝑛 ∗ 𝑔𝑛, 𝑣̂1,𝑛 ∗ 𝑔𝑛 + 𝑣̂2,𝑛 ∗ 𝑓𝑛]. 0.48
(16) This equation can be written in term of correlations of components of the quaternion signals, (16) この方程式は四元数信号の成分の相関の項で書くことができる。 0.61
𝑟𝑛 = [𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑔), 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑓)]. 𝑟𝑛 = [𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑔), 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑓)]. 0.44
(17) The cross-correlation functions of components of both signals are calculated, and then the sum and difference of the mixed correlations are calculated. (17) 両信号の成分の相互相関関数を算出し、混合相関の和と差を算出する。 0.53
Thus, to calculate the quaternion correlation, four aperiodic convolutions in complex arithmetic can be used, as shown in Fig 1 したがって、四元相関を計算するには、図1に示すように複素算術における4つの非周期畳み込みを用いることができる。 0.65
𝑞𝑛 𝑓𝑛 𝑔𝑛 𝑞𝑛 𝑓𝑛 𝑔𝑛 0.43
∗ 𝑣̂1 ∗ 𝑣̂2 ∗ 𝑣̂1 ∗ 𝑣̂2 0.66
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) 0.47
𝑟1,𝑛 −1 𝑟2,𝑛 𝑟1,𝑛 −1 𝑟2,𝑛 0.44
𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) In the case when the quaternion signals are equal, the autocorrelation function is calculated by 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) 四元数信号が等しい場合、自己相関関数が計算される 0.70
Figure 1. The diagram of the quaternion correlation in the (2,2)-model. 図1に示す。 2,2)-モデルにおける四元数相関の図式。 0.66
When the signals 𝑞 and 𝑣 are real, i.e., 𝑔 = 0, 𝑣2 = 0, and 𝑓 and 𝑣1 are real signals, the correlation 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓). 信号 q と v が実信号、すなわち g = 0, v2 = 0, f と v1 が実信号であるとき、相関 rn(v, q) = rn(v1, f) は実信号である。 0.88
𝑟𝑛 = [𝑟𝑛(𝑓, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑔, 𝑔), 𝑟𝑛(𝑓, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑔, 𝑓)]. 𝑟𝑛 = [𝑟𝑛(𝑓, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑔, 𝑔), 𝑟𝑛(𝑓, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑔, 𝑓)]. 0.39
(18) This is the traditional case and this correlation is usually normalized as (18) これは伝統的な場合であり、この相関は通常正規化される。 0.55
𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) → 𝑅𝑛(𝑣1, 𝑓) = 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) → 𝑅𝑛(𝑣1, 𝑓) = 0.48
𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) 𝐸[𝑣1]𝐸[𝑓] 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) 𝐸[𝑣1]𝐸[𝑓] 0.96
, where the coefficients 2 𝐸[𝑓] = √𝑟0(𝑓, 𝑓) = √∑ 𝑓𝑛 , 係数は 2 𝐸[𝑓] = √𝑟0(𝑓, 𝑓) = √∑ 𝑓𝑛 0.46
2 and 𝐸[𝑣1] = √𝑟0(𝑣1, 𝑣1) = √∑ 𝑣1,𝑛 2 and 𝐸[𝑣1] = √𝑟0(𝑣1, 𝑣1) = √∑ 𝑣1,𝑛 0.45
. 𝑛=0 𝑛=0 . 𝑛=0 𝑛=0 0.34
𝑁−1 𝑁−1 6 𝑁−1 𝑁−1 6 0.34
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Here, 𝑟0(𝑓, 𝑓) and 𝑟0(𝑣1, 𝑣1) are values of the autocorrelation functions at point 𝑛 = 0. ここで、r0(f, f) と r0(v1, v1) は点 n = 0 における自己相関関数の値である。 0.79
The correlation of two quaternion signals 𝑞 and 𝑣 should also be normalized. 2つの四元数信号 q と v の相関も正規化されるべきである。 0.63
Determining the normalization for quaternion convolution is not an easy task. 四元数畳み込みの正規化の決定は簡単な作業ではない。 0.57
We think to normalize the quaternion correlation as follows: 四元数相関の正規化は次のとおりである。 0.62
𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) → 𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = [ 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) → 𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = [ 0.42
𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑔) 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑔) 0.49
𝐾1 , 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑓) 𝐾1 , 𝑟𝑛(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛(𝑣2, 𝑓) 0.60
𝐾2 ], (19) 𝐾2 ], (19) 0.37
where the coefficients We also can consider the normalization of the correlation function in a traditional way 係数は また、従来の方法で相関関数の正規化を考えることもできる。 0.64
𝐾1 = 𝐸[𝑓]𝐸[𝑣1] + 𝐸[𝑔]𝐸[𝑣2], 𝐾2 = 𝐸[𝑔]𝐸[𝑣1] + 𝐸[𝑓]𝐸[𝑣2]. 𝐾1 = 𝐸[𝑓]𝐸[𝑣1] + 𝐸[𝑔]𝐸[𝑣2], 𝐾2 = 𝐸[𝑔]𝐸[𝑣1] + 𝐸[𝑓]𝐸[𝑣2]. 0.47
𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) → 𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) → 𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = 0.42
𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) 𝐸[𝑣]𝐸[𝑞] 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) 𝐸[𝑣]𝐸[𝑞] 0.42
, (20) , (20) 0.42
where 𝐸[𝑞] = √𝐸[𝑓]2 + 𝐸[𝑔]2 and 𝐸[𝑣] = √𝐸[𝑣1]2 + 𝐸[𝑣2]2. where 𝐸[𝑞] = √𝐸[𝑓]2 + 𝐸[𝑔]2 and 𝐸[𝑣] = √𝐸[𝑣1]2 + 𝐸[𝑣2]2. 0.47
Example 1. Consider the quaternion signals 𝑞𝑛 = [𝑓𝑛, 𝑔𝑛] and 𝑣𝑛 = [𝑣1,𝑛, 𝑣2,𝑛] of length 𝑁 = 512 each. 例1。 長さ N = 512 の四元数信号 qn = [fn, gn] と vn = [v1,n, v2,n] を考える。 0.81
Each signal consists of four columns of a grayscale "jetplane" image, which is shown in Fig 2 in part (a). 各信号 グレースケールの「ジェットプレーン」画像の4つの列で構成されており、図2(a)に示されている。 0.77
#80 #81 #82 #83 #80 #81 #82 #83 0.43
#90 #91 #92 #93 #90 #91 #92 #93 0.42
(b) (a) Fig. 2 (b) (a) 第2図 0.51
(a) The grayscale image, (a) グレースケールの画像。 0.75
(b) the first quaternion signal 𝑞, and (b)第1の四分信号q、及び 0.82
(c) the second quaternion signal 𝑣. (c)第2四分信号v。 0.71
For signal 𝑞𝑛, four columns are taken, starting with the number 80. 信号 qn については、番号 80 から始まる4つの列が取られる。 0.79
This signal is shown in part この信号は部分的に示されています 0.62
(b). The second signal consists of columns number 90-93 of the image, which are shown in part (b) 第2の信号は、画像の90〜93の列で構成され、一部に示される。
訳抜け防止モード: (b) 第2の信号は、画像の90から93の列で構成される。 一部は
0.53
(c). All these columns are close to each other, so it is obvious that these two quadruples of signals are correlated. (c)。 これらの列は互いに近接しているため、これらの2つの4つの信号が相関していることは明らかである。
訳抜け防止モード: (c)。 これらの列はすべて互いに近くにあります。 この2つの信号が相関していることは明らかです
0.55
The correlation function of these two quaternion signals is shown in Fig 3. これら2つの四元数信号の相関関数を図3に示す。 0.80
The maximum of the quaternion correlation can be seen in the last component of the correlation at point 𝑛 = 0. 四元数相関の最大値は、点 n = 0 における相関の最後の成分に見ることができる。 0.79
The value of this maximum is 0.9696. この最大値は0.9696である。 0.85
The amplitudes of the first three correlation components are small; they lie within the interval [-0.01,0.01]. 最初の3つの相関成分の振幅は小さいが、間隔 [-0.01,0.01] 内にある。 0.75
(c) 7 (c) 7 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
(a) (b) (c) (a) (b) (c) 0.43
(d) Fig. 3 Four components of the quaternion correlation 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞). (d) 第3図 四元数相関 rn(v, q) の4成分。 0.55
For this example, the normalized coefficients are almost the same. この例では、正規化係数はほぼ同じである。 0.73
Indeed, 𝐾1 = 5.7722 × 107 ≈ 𝐾2 = 57723 × 107, and the normalized quaternion correlation can be considered as 実際、k1 = 5.7722 × 107 , k2 = 57723 × 107 であり、正規化四元数相関も考えられる。 0.75
𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) 𝑅𝑛(𝑣, 𝑞) = 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) 0.43
1 𝐾1 . Note that the maximum correlation of two real parts of these signals, i.e., the 80th and 90th columns of the ‘jetplane’ image, is 0.9688 at point 𝑛 = 0. 1 𝐾1 . これらの信号の2つの実部、すなわち「ジェットプレーン」画像の80番目と90番目のカラムの最大相関は、点 n = 0 において 0.9688 である。 0.56
For columns number 81 and 91 such correlation number is 0.9672, and so on. 柱番号81、91については、相関数は0.9672等である。 0.60
The maximum 0.9696 of quaternion correlation is close to these numbers. 四元数相関の最大 0.9696 はこれらの数に近い。 0.72
This fact shows that the normalization of the quaternion correlation function given in Eq 19 can be considered successful. この事実は、eq 19で与えられる四元相関関数の正規化が成功することを示している。 0.75
Perhaps there are other better normalization coefficients for signal correlation. 信号相関の正規化係数は他にもあるかもしれない。 0.64
The normalization of the correlation function in Eq 20 results in almost the same result, since the constant 𝐸[𝑣]𝐸[𝑞] = 5.7577 × 107. Eq 20 における相関関数の正規化は、定数 E[v]E[q] = 5.7577 × 107 であるため、ほぼ同じ結果となる。 0.89
The 1021-point correlation function was calculated using the 1021-point discrete Fourier transforms of these signals after zero padding. 1021点相関関数は、ゼロパディング後のこれらの信号の1021点離散フーリエ変換を用いて計算された。
訳抜け防止モード: 1021点相関関数は ゼロパディング後のこれらの信号の1021点離散フーリエ変換を用いる。
0.79
In the frequency domain, Eq 16 can be written as 周波数領域では、Eq 16 は書ける。 0.65
𝑅𝑝 = [𝑅1,𝑝, 𝑅2,𝑝] = [𝑉1,𝑁−𝑝𝐹𝑝 − 𝑉2,𝑁−𝑝𝐺𝑝, 𝑉1,𝑁−𝑝𝐺𝑝 + 𝑉2,𝑁−𝑝𝐹𝑝], 𝑅𝑝 = [𝑅1,𝑝, 𝑅2,𝑝] = [𝑉1,𝑁−𝑝𝐹𝑝 − 𝑉2,𝑁−𝑝𝐺𝑝, 𝑉1,𝑁−𝑝𝐺𝑝 + 𝑉2,𝑁−𝑝𝐹𝑝], 0.41
𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 0.43
(21) Here, the capital letters are used for the 𝑁-point DFTs of the corresponding complex signals. (21) ここで、大文字は対応する複素信号のN点DFTに使用される。 0.56
In the (2,2)-model, this expression equals to the product [𝑉1,𝑁−𝑝, 𝑉2,𝑁−𝑝][𝐹𝑝, 𝐺𝑝], which is the quaternion DFT, namely the 𝑒2-QDFT (see for detail [23]). 2,2)-モデルでは、この式は四元数 DFT である積 [V1,N−p, V2,N−p][Fp, Gp] と等しい(詳細は [23] を参照)。
訳抜け防止モード: 22)-モデルでは、この式は積 [V1,N−p] と等しい。 四元数 DFT である V2,N−p][Fp, Gp ] は e2-QDFT である(詳細は [23 ] を参照)。
0.77
In other words, the 𝑒2-QDFT of the correlation is the product of the 𝑒2-QDFTs of quaternion signals 𝑣̂𝑛 and 𝑞𝑛, 言い換えれば、相関の e2-QDFT は四元数信号 v と qn の e2-QDFT の積である。 0.74
ℱ[𝑟]𝑝 = [𝑉1,𝑁−𝑝, 𝑉2,𝑁−𝑝][𝐹𝑝, 𝐺𝑝] = [𝑉1,𝑁−𝑝𝐹𝑝 − 𝑉2,𝑁−𝑝𝐺𝑝, 𝑉1,𝑁−𝑝𝐺𝑝 + 𝑉2,𝑁−𝑝𝐹𝑝]. ℱ[𝑟]𝑝 = [𝑉1,𝑁−𝑝, 𝑉2,𝑁−𝑝][𝐹𝑝, 𝐺𝑝] = [𝑉1,𝑁−𝑝𝐹𝑝 − 𝑉2,𝑁−𝑝𝐺𝑝, 𝑉1,𝑁−𝑝𝐺𝑝 + 𝑉2,𝑁−𝑝𝐹𝑝]. 0.43
(22) The required number of operations in the frequency domain is defined by four 𝑁-point DFTs plus 4𝑁 complex multiplications and 2𝑁 additions. (22) 周波数領域における必要な演算数は、4つのN点DFTと4N複素乗算と2N加算によって定義される。 0.55
Here, the 𝑁-point 𝑒2-QDFT of a time-reversal signal 𝑣̂𝑛 = 𝑣−𝑛 is calculated by ここでは、時間反転信号 v = n = v−n の N 点 e2-QDFT を算出する。 0.63
𝑁−1 𝑁−1 𝑁−1 𝑁−1 𝑁−1 𝑁−1 0.29
𝑁−1 ℱ[𝑣̂]𝑝 = ∑ 𝑣−𝑛𝑊𝜇 𝑁−1 ℱ[𝑣̂]𝑝 = ∑ 𝑣−𝑛𝑊𝜇 0.38
𝑛𝑝 = ∑ 𝑣𝑁−𝑛𝑊𝜇 𝑛𝑝 = ∑ 𝑣𝑁−𝑛𝑊𝜇 0.41
−(𝑁−𝑛)𝑝 = ∑ 𝑣𝑛𝑊𝜇 −(𝑁−𝑛)𝑝 = ∑ 𝑣𝑛𝑊𝜇 0.43
−𝑛𝑝 = ∑ 𝑣𝑛𝑊𝜇 −𝑛𝑝 = ∑ 𝑣𝑛𝑊𝜇 0.41
𝑛(𝑁−𝑝) = 𝑉𝑁−𝑝, (23) 𝑛(𝑁−𝑝) = 𝑉𝑁−𝑝, (23) 0.44
where 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). where 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 0.43
The exponential function is calculated for 𝜇 = −𝑒2 by 指数関数は μ = −e2 で計算される 0.90
𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 0.29
𝑛=0 𝑊𝜇 = exp ( 𝑛=0 wμ = exp ( 0.38
𝜇2𝜋 𝑁 ) = [(cos ( 𝜇2𝜋 𝑁 ) = [(cos) 0.36
2𝜋 𝑁 ) , −sin ( 2𝜋 𝑁 )、-sin() 0.45
2𝜋 𝑁 )) , (0,0)] = [𝑒−𝑖( 2𝜋 𝑁 )) , (0,0)] = [𝑒−𝑖( 0.43
2𝜋 𝑁 ), 0]. 2𝜋 𝑁 ), 0]. 0.36
(24) Therefore, the 𝑁-point QDFT of the correlation can be calculated by (24) したがって、相関のN点QDFTを計算できる。 0.54
8 8 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
𝑁−1 ℱ[𝑟]𝑝 = ∑ 𝑟𝑛𝑊𝜇 𝑁−1 ℱ[𝑟]𝑝 = ∑ 𝑟𝑛𝑊𝜇 0.34
𝑛𝑝 = 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝, 𝑛𝑝 = 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝, 0.41
𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 0.43
(25) 𝑛=0 Here, 𝑉𝑝 and 𝑄𝑝 are coefficients of the 𝑁-point QDFT of signals 𝑣𝑛 and 𝑞𝑛, respectively. (25) 𝑛=0 ここで、VpとQpはそれぞれ信号vnとqnのN点QDFTの係数である。 0.48
A similar equation holds for the traditional correlation function. 同様の方程式は伝統的な相関関数に当てはまる。 0.81
3.1 Comparison Now, we compare the computation of the quaternion correlation in the noncommutative algebra, or (1,3)-model, which is considered in the form 3.1 比較 さて、非可換代数 (noncommutative algebra) または (1,3)-モデルにおける四元相関の計算を比較する。 0.67
𝑟𝑛 = ∑ 𝑞𝑘𝑣𝑘−𝑛 𝑟𝑛 = ∑ 𝑞𝑘𝑣𝑘−𝑛 0.42
, 𝑛 = −(𝐿 − 1): (𝑁 − 1). , 𝑛 = −(𝐿 − 1): (𝑁 − 1). 0.43
(26) 𝑘 Considering zero padding of both signals, the correlation 𝑟𝑛 can be calculated in the frequency domain as follows (see for detail [24]): (26) 𝑘 両信号のゼロパディングを考えると、相関 rn は周波数領域で次のように計算できる(詳細は [24] を参照)。 0.52
ℱ𝑗[𝑟]𝑝 = ℱ𝑗[𝑞]𝑝ℱ𝑗[𝑣1,1 + 𝑗𝑣2,1]𝑁−𝑝 + ℱ𝑗[𝑞]𝑁−𝑝ℱ[𝑣1,2 + 𝑗𝑣2,2]𝑁−𝑝, (27) ℱ𝑗[𝑟]𝑝 = ℱ𝑗[𝑞]𝑝ℱ𝑗[𝑣1,1 + 𝑗𝑣2,1]𝑁−𝑝 + ℱ𝑗[𝑞]𝑁−𝑝ℱ[𝑣1,2 + 𝑗𝑣2,2]𝑁−𝑝, (27) 0.35
where 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). where 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 0.43
Here, 𝑁 = 𝐿 + 𝑁 − 1 and the 𝑁-point QDFT in the (1,3)-model is defined by the equation ここで、(1,3)-モデルの N = L + N − 1 と N-点 QDFT は方程式によって定義される。 0.78
𝑁−1 ℱ𝑗[𝑟]𝑝 = ∑ 𝑟𝑛𝑊𝜇 𝑁−1 ℱ𝑗[𝑟]𝑝 = ∑ 𝑟𝑛𝑊𝜇 0.38
𝑛𝑝 , 𝑝 = 0: (𝑁 − 1) 𝑛𝑝 , 𝑝 = 0: (𝑁 − 1) 0.42
𝑛=0 𝑛𝑝 The exponential coefficients 𝑊𝜇 are defined for the quaternion basis unit 𝜇 = −𝑗. 𝑛=0 𝑛𝑝 指数係数 wμ は四元基底単位 μ = −j に対して定義される。 0.50
As follows from Eq 27, the correlation requires the 𝑁-point QDFT of 𝑞𝑛, two DFTs of complex signals 𝑧1 = (𝑣1,1 + 𝑗𝑣2,1) and 𝑧2 = (𝑣1,2 + 𝑗𝑣2,2), and 2𝑁 operations of quaternion multiplication. 以下の Eq 27 からの相関式では、qn の N 点 QDFT、複素信号 z1 = (v1,1 + jv2,1) と z2 = (v1,2 + jv2,2) の2つの DFT、四元数乗算の 2N 演算を必要とする。 0.64
Also, the 𝑁-point inverse QDFT is required. また、N点逆QDFTが必要である。 0.79
Note that the 𝑁-point QDFT can be calculated by two 𝑁-point DFTs [12]. N点QDFTを2つのN点DFT[12]で計算できることに注意。 0.69
The quaternion transforms ℱ𝑗[𝑧1] and ℱ𝑗[𝑧2] can be considered as the complex 𝑁point DFT each. 四元数変換 Fj[z1] と Fj[z2] はそれぞれ複素 N 点 DFT とみなすことができる。 0.77
Multiplying of quaternions by complex numbers requires 8 real multiplications. 複素数による四元数の乗算には8つの実乗法が必要である。 0.53
Therefore, the minimum number of quaternion multiplications can be estimated as 𝑚𝑄𝐶 = 6𝑚𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁. したがって、四元数最小の乗算は mQC = 6mDFT + 16N と推定できる。 0.74
Here, 𝑚𝐷𝐹𝑇 is the number of real multiplications for the complex DFT. ここで、mDFT は複素 DFT に対する実乗法の数である。 0.80
The diagram of the calculation of the QDFT of the correlation by Eq 27 is shown in Fig 4. Eq 27による相関のQDFTの計算図を図4に示す。 0.61
The transform 𝑣𝑛 → (𝑧1,𝑛, 𝑧2,𝑛) is denoted by 𝑇. 変換 vn → (z1,n,z2,n) は T で表される。 0.82
Signal 𝑞𝑛 𝑇 𝑧1,𝑛 信号qn 𝑇 𝑧1,𝑛 0.42
1D QDFT 1D QDFT 1次元QDFT 1次元QDFT 0.67
Signal 𝑣𝑛 = [𝑣1,𝑛, 𝑣2,𝑛] 信号 𝑣𝑛 = [𝑣1,𝑛, 𝑣2,𝑛] 0.63
𝑧2,𝑛 1D QDFT 𝑧2,𝑛 1次元QDFT 0.57
𝑄𝑝 𝑍1,𝑝 𝑄𝑝 𝑍1,𝑝 0.45
𝑍2,𝑝 𝑋𝑁−𝑝 𝑍2,𝑝 𝑋𝑁−𝑝 0.38
𝑋𝑝 𝑅𝑝 1D QDFT of quaternion correlation 𝑋𝑝 𝑅𝑝 四元相関の1次元qdft 0.51
Fig. 4 The operation of the calculation of the 1-D QDFT of the quaternion correlation 𝑅𝑝 by Eq 27. 第4図 四元相関Rpの1次元QDFTのEq27による演算 0.58
In the commutative (2,2)-model, the calculation of the correlation function in the frequency domain is the multiplication of the QDFTs, i.e., 𝑅𝑝 = 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝. 可換(2,2)-モデルでは、周波数領域における相関関数の計算はQDFTの乗算、すなわち Rp = VN−pQp である。 0.77
Thus, the quaternion correlation requires three QDFTs and number of quaternion したがって、四元相関は3つのqdftと四元数を必要とする。 0.53
9 9 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
multiplications is estimated as 𝑚𝑄𝐶 = 3𝑚𝑄𝐷𝐹𝑇. 乗算は mQC = 3mQDFT と推定される。 0.74
The inverse 1-D QDFT requires two complex DFTs [12]. 逆1次元QDFTは2つの複素DFTを必要とする[12]。 0.71
To estimate the number of complex multiplications, we can use Eq 21. 複素乗算の数を推定するために、Eq 21 を用いることができる。 0.81
The calculations at each frequency-point are performed by the butterfly-type operation shown in Fig 5. 図5に示す蝶型演算により、各周波数点での演算を行う。 0.82
Thus, the calculation of the correlation function in the frequency domain does not require quaternion DFTs, only six complex DFTs plus 4𝑁 complex multiplications, or 16𝑁 real multiplications. したがって、周波数領域における相関関数の計算には四元数 DFT や6つの複素 DFT と 4N 複素乗算、あるいは 16N 実乗算は必要ない。 0.83
Thus, the estimation of complex multiplications also equals 𝑚𝑄𝐶 = 6𝑚𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁. したがって、複素乗法の推定は mQC = 6mDFT + 16N と等しい。 0.79
Quaternion multiplication operations are not required. 四元数演算は不要である。 0.66
Signal 𝑞𝑛 = [𝑓𝑛, 𝑔𝑛] 信号 𝑞𝑛 = [𝑓𝑛, 𝑔𝑛] 0.59
Signal 𝑣𝑛 = [𝑣1,𝑛, 𝑣2,𝑛] 信号 𝑣𝑛 = [𝑣1,𝑛, 𝑣2,𝑛] 0.63
𝑓𝑛 𝑔𝑛 𝑣1,𝑛 𝑓𝑛 𝑔𝑛 𝑣1,𝑛 0.44
𝑣2,𝑛 1D DFT 𝑣2,𝑛 1次元DFT 0.59
1D DFT 1D DFT 1次元DFT 1次元DFT 0.71
1D DFT 𝐹𝑝 𝐺𝑝 1次元DFT 𝐹𝑝 𝐺𝑝 0.57
𝑉1,𝑝 𝑉2,𝑝 𝑉1,𝑝 𝑉2,𝑝 0.47
𝑋𝑝 𝑅1,𝑝 −1 𝑋𝑝 𝑅1,𝑝 −1 0.43
𝑋𝑁−𝑝 𝑅𝑝 𝑅2,𝑝 𝑋𝑁−𝑝 𝑅𝑝 𝑅2,𝑝 0.40
1D QDFT of quaternion correlation 四元相関の1次元qdft 0.68
Fig. 5 The block-diagram of calculation of the 1-D QDFT of the quaternion correlation 𝑅𝑝(𝑣, 𝑞). 第5図 四元相関 rp(v, q) の 1 次元 qdft の計算のブロックダイアグラム 0.60
The same operation of a butterfly is shown in Fig 6 in a more compact form. 蝶の操作は、よりコンパクトな形で図6に示される。 0.54
1st quaternion signal QDFT 第1四元信号QDFT 0.69
𝑄𝑝 𝑉1,𝑁−𝑝 𝑄𝑝 𝑉1,𝑁−𝑝 0.38
𝐹𝑝 𝐺𝑝 𝑅1,𝑝 𝐹𝑝 𝐺𝑝 𝑅1,𝑝 0.44
𝑅2,𝑝 ∓𝑉2,𝑁−𝑝 𝑅2,𝑝 ∓𝑉2,𝑁−𝑝 0.38
𝑉1,𝑁−𝑝 nd 𝑉1,𝑁−𝑝 nd 0.38
2 quaternion signal QDFT 2 四元数信号QDFT 0.40
𝑅𝑝 QDFT of the quaternion correlation 𝑅𝑝 四元数相関のQDFT 0.55
Fig. 6 The operation of the 2×2 butterfly for the quaternion correlation 𝑅𝑝(𝑣, 𝑞). 第6図 四元相関 rp(v, q) に対する 2×2 蝶の操作 0.64
The main difference between these two methods is the following: これら2つの方法の主な違いは次のとおりである。 0.74
• In the (2,2)-model, the quaternion correlation s 𝑟𝑛 of two signals 𝑣𝑛 and 𝑞𝑛 is defined by four traditional cross correlation functions of their components. • 2,2)-モデルでは、2つの信号 vn と qn の四元相関 s rn はそれらの成分の4つの伝統的な交叉相関関数によって定義される。 0.58
No quaternion operations are required. • Also, in the frequency domain, the correlation of two signals is the operation of multiplication of their QDFTs, 四重項演算は不要。 • 周波数領域において、2つの信号の相関は、それらのqdftの乗算の演算である。 0.53
𝑅𝑝 = 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝, 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 𝑅𝑝 = 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝, 𝑝 = 0: (𝑁 − 1). 0.48
In the traditional (1,3)-model, this property does not hold, i.e., 𝑅𝑝 ≠ 𝑉𝑁−𝑝𝑄𝑝, for either left or right QDFT. 伝統的な (1,3)-モデルでは、この性質は左または右の QDFT に対して Rp > VN−pQp を持たない。 0.83
• It should be noted that the quaternion convolutions in the (1,3)- and (2,2)-models are different. • 四元数畳み込みは (1,3)-モデルと (2,2)-モデルが異なることに注意する必要がある。 0.56
The difference is interesting and significant, and it is easy to see in the above example. 違いは興味深く重要なものであり、上記の例では容易に見ることができる。 0.77
The correlation of the quaternion signals 𝑞 and 𝑣 in the (1,3)model is shown in Fig 7. 図7に、(1,3)モデルにおける四元数信号q,vの相関を示す。 0.81
This correlation was normalized as in Eq 20. この相関はEq20のように正常化した。 0.68
All four components show almost the same 4つの要素はほぼ同じで 0.73
10 10 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
correlation (the first component is similar up to the sign) with maximum correlation in point 𝑛 = 0. 相関(最初の成分は符号に類似している)は、点 n = 0 の最大相関を持つ。 0.83
In the (2,2)-model, only the last component of the correlation is so clearly expressed. 2,2)-モデルでは、相関の最後の成分のみが明確に表現される。 0.69
Fig. 7 Four components of the quaternion correlation 𝑟𝑛(𝑣, 𝑞) in the (1,3)-model. 第7図 (1,3)-モデルにおける四元相関 rn(v, q) の4つの成分 0.84
Now we consider the 2-D correlation function, the correlation of two images. 2次元相関関数と2つの画像の相関関数を考える。 0.63
Let 𝑣𝑘,𝑙 = [𝑣1;𝑘,𝑙, 𝑣2; 𝑘,𝑙] be the quaternion image of 𝐿1 × 𝐿2 pixels. vk,l = [v1;k,l, v2;k,l] を L1 × L2 ピクセルの四元数像とする。 0.86
Another quaternion image 𝑞𝑛,𝑚 = [𝑓𝑛,𝑚, 𝑔𝑛,𝑚] is of 𝑁1 × 𝑁2 pixels. 別の四元数像 qn,m = [fn,m,gn,m] はN1×N2画素である。 0.83
The correlation of these images is defined as これらの画像の相関は 0.63
4. Quaternion 2-D Correlation of Images 4.画像の4次2次元相関 0.74
𝑟𝑛,𝑚 = 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = ∑ ∑ 𝑣𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑞𝑘,𝑙 𝑟𝑛,𝑚 = 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = ∑ ∑ 𝑣𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑞𝑘,𝑙 0.49
. . 0.42
(28) 𝑙𝑚 In the commutative (2,2)-model, this correlation function can be calculated in the frequency-domain, similar to the 2D convolution. (28) 𝑙𝑚 可換(2,2)-モデルでは、この相関関数は2次元畳み込みと同様に周波数領域で計算することができる。 0.53
These two operations are reduced to the multiplication of 2-D QDFT of images. これら2つの操作は、画像の2次元QDFTの乗算に還元される。 0.64
Indeed, the 2-QDFT of the correlation 実際、相関の2-QDFT 0.67
𝑁−1 𝑀−1 𝑚𝑠 𝑅𝑝,𝑠 = ∑ ∑ 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞)𝑊𝜇,𝑁 𝑁−1 𝑀−1 𝑚𝑠 𝑅𝑝,𝑠 = ∑ ∑ 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞)𝑊𝜇,𝑁 0.34
𝑛𝑝 𝑊𝜇,𝑀 , 𝑝 = 0: (𝑁 − 1), 𝑠 = 0: (𝑀 − 1), (29) 𝑛𝑝 𝑊𝜇,𝑀 , 𝑝 = 0: (𝑁 − 1), 𝑠 = 0: (𝑀 − 1), (29) 0.41
𝑛=0 𝑚=0 is equals to 𝑅𝑝,𝑠 = 𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠. 𝑛=0 𝑚=0 Rp,s = VN−p,M−sQp,s と等しい。 0.49
Here, 𝑄𝑝,𝑠 and 𝑉𝑝,𝑠 are the 2-D QDFT of the quaternion images 𝑞𝑛,𝑚 and 𝑣𝑛,𝑚, respectively. ここで、Qp,sとVpは、それぞれ四元数画像qn,mとvn,mの2次元QDFTである。 0.67
We assume zero padding the images 𝑣𝑛,𝑚 and 𝑞𝑛,𝑚 to the same size 𝑁 × 𝑀, where 𝑁 = 𝑁1 + 𝐿1 − 1 and 𝑀 = 𝑁2 + 𝐿2 − 1. 画像 vn,m と qn,m を同じ大きさ n × m にパディングすると仮定し、ここで n = n1 + l1 − 1 と m = n2 + l2 − 1 と仮定する。 0.78
The 𝑁 × 𝑀-point inverse QDFT allows us to calculate 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) from its 2-D QDFT, 𝑅𝑝,𝑠. N × M 点逆 QDFT により、2次元 QDFT, Rp, q から rn,m(v, q) を計算することができる。 0.87
Thus, the calculation of the correlation requires three 2-D 𝑁 × 𝑀-point quaternion DFTs. したがって、相関の計算には3つの2-D N × M-point quaternion DFTが必要である。 0.65
Also, we can consider the direct calculations of the quaternion correlation, また、四元相関の直接計算も考えられる。 0.49
𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = ∑ ∑ 𝑣𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑞𝑘,𝑙 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = ∑ ∑ 𝑣𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑞𝑘,𝑙 0.95
= ∑ ∑[𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚, 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚][𝑓𝑛,𝑚, 𝑔𝑛,𝑚] = ∑ ∑[𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚, 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚][𝑓𝑛,𝑚, 𝑔𝑛,𝑚] 0.45
𝑙𝑚 𝑙𝑚 = ∑ ∑[𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 − 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚, 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 + 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚] 𝑙𝑚 𝑙𝑚 = ∑ ∑[𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 − 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚, 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 + 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚] 0.41
𝑙𝑚 = [∑ ∑ 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 − 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 𝑙𝑚 = [∑ ∑ 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 − 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 0.42
, ∑ ∑ 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 + 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 , ∑ ∑ 𝑣1;𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑔𝑛,𝑚 + 𝑣2; 𝑘−𝑛,𝑙−𝑚𝑓𝑛,𝑚 0.39
]. 𝑙𝑚 𝑙𝑚 Thus, we obtain the following: ]. 𝑙𝑚 𝑙𝑚 したがって、以下のものが得られる。 0.45
𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = [𝑟𝑛,𝑚(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛,𝑚(𝑣2, 𝑔), 𝑟𝑛,𝑚(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛,𝑚(𝑣2, 𝑓)]. 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = [𝑟𝑛,𝑚(𝑣1, 𝑓) − 𝑟𝑛,𝑚(𝑣2, 𝑔), 𝑟𝑛,𝑚(𝑣1, 𝑔) + 𝑟𝑛,𝑚(𝑣2, 𝑓)]. 0.43
(30) 11 (30) 11 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Four traditional correlation functions are required to calculate the quaternion correlation. 四元相関を計算するには4つの伝統的な相関関数が必要である。 0.56
In the square brackets, the correlation functions are cross-correlations of components of the quaternion images. 正方括弧では、相関関数は四元数像の成分の相互相関である。 0.66
Eq 30 can also be written in the following form with four 2-D convolutions: Eq 30は以下の4つの2次元畳み込みで書くこともできる。 0.74
𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = [(𝑣̂1 ∗ 𝑓)𝑛,𝑚 − (𝑣̂2 ∗ 𝑔)𝑛,𝑚, (𝑣̂1 ∗ 𝑔)𝑛,𝑚 + (𝑣̂2 ∗ 𝑓)𝑛,𝑚]. 𝑟𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞) = [(𝑣̂1 ∗ 𝑓)𝑛,𝑚 − (𝑣̂2 ∗ 𝑔)𝑛,𝑚, (𝑣̂1 ∗ 𝑔)𝑛,𝑚 + (𝑣̂2 ∗ 𝑓)𝑛,𝑚]. 0.44
(31) Here, 𝑣̂1;𝑛,𝑚 = 𝑣1;−𝑛,−𝑚 and 𝑣̂2;𝑛,𝑚 = 𝑣2;−𝑛,−𝑚. (31) ここで、v1;n,m = v1;−n,−m および v2;n,m = v2;−n,−m である。 0.65
In the case of the autocorrelation, i.e., when 𝑣𝑛,𝑚 = 𝑞𝑛,𝑚 = [𝑓𝑛,𝑚, 𝑔𝑛,𝑚], we obtain 自己相関の場合、すなわち vn,m = qn,m = [fn,m, gn,m] が得られれば、 0.64
𝑟𝑛,𝑚(𝑞, 𝑞) = [𝑟𝑛,𝑚(𝑓, 𝑓) − 𝑟𝑛,𝑚(𝑔, 𝑔), 𝑟𝑛,𝑚(𝑓, 𝑔) + 𝑟𝑛,𝑚(𝑔, 𝑓)], 𝑟𝑛,𝑚(𝑞, 𝑞) = [𝑟𝑛,𝑚(𝑓, 𝑓) − 𝑟𝑛,𝑚(𝑔, 𝑔), 𝑟𝑛,𝑚(𝑓, 𝑔) + 𝑟𝑛,𝑚(𝑔, 𝑓)], 0.40
or 𝑟𝑛,𝑚(𝑞, 𝑞) = [(𝑓̂ ∗ 𝑓) あるいは 𝑟𝑛,𝑚(𝑞, 𝑞) = [(𝑓̂ ∗ 𝑓) 0.58
𝑛,𝑚 − (𝑔̂ ∗ 𝑔)𝑛,𝑚, (𝑓̂ ∗ 𝑔) 𝑛,𝑚 − (𝑔̂ ∗ 𝑔)𝑛,𝑚, (𝑓̂ ∗ 𝑔) 0.42
𝑛,𝑚 + (𝑔̂ ∗ 𝑓)𝑛,𝑚]. 𝑛,𝑚 + (𝑔̂ ∗ 𝑓)𝑛,𝑚]. 0.41
(32) Note that, 𝑟𝑛,𝑚(𝑔, 𝑓) = 𝑟−𝑛,−𝑚(𝑓, 𝑔). (32) rn,m(g, f) = r−n,−m(f, g) であることに注意。 0.67
Thus, two autocorrelations of 𝑓 and 𝑔 are required, plus the cross-correlation of these components. したがって、f と g の2つの自己相関とこれらの成分の相互相関が必要である。 0.64
The block-diagram similar to one shown in Fig 5 can be used to calculate this 2-D quaternion correlation function. 図5に示すブロックダイアグラムは、この2次元四元数相関関数を計算するのに使うことができる。 0.67
It follows from Eq 30, that the correlation 𝑟𝑛,𝑚 can be calculated by four complex 𝑁 × 𝑀-point 2-D DFTs of components of the quaternion images, 𝑓𝑛,𝑚, 𝑔𝑛,𝑚, 𝑣1;𝑛,𝑚, and 𝑣2;𝑛,𝑚. eq30から、相関 rn,m は四元画像の成分 fn,m,gn,m,v1;n,m,v2;n,m の4つの複素 n × m 点 2-d dft によって計算できる。
訳抜け防止モード: eq 30 から、相関 rn,m は四元画像の成分の4つの複素 n × m-点 2-d dft によって計算できる。 𝑓𝑛,𝑚 , 𝑔𝑛,𝑚 , 𝑣1;𝑛,𝑚 , and 𝑣2;𝑛,𝑚.
0.80
Also, two inverse complex 𝑁 × 𝑀-point 2-D DFTs. また、2つの逆複素 N × M-点 2-D DFT も成り立つ。 0.59
Therefore, the total number of complex operations of real multiplication for quaternion convolution in the (2,2)-model can be estimated as 𝑚2𝐷𝑄𝐶 = 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 4(4𝑀𝑁). したがって、(2,2)-モデルにおける四元数畳み込みの実乗算の複素演算の総数は m2DQC = 6m2DDFT + 4(4MN) と推定できる。 0.79
It is assumed that the complex multiplication is performed with 4 real multiplications. 複素乗算は4つの実乗算で実行されると仮定される。 0.76
Note that the traditional complex 2-D correlation requires three complex 𝑁 × 𝑀-point DFTs. 伝統的な複素 2-次元相関は、3つの複素 N × M-点 DFT を必要とすることに注意。 0.51
For comparison, we mention the calculation method of the 2-D quaternion correlation in the traditional (1,3)-model, which is described in [25]. 比較のために, [25] で記述される従来の(1,3)-モデルにおける2次元四元数相関の計算法について述べる。 0.82
The authors suggest calculating this operation by using the type-3 QDFT. 著者らは,タイプ3QDFTを用いて,この操作を計算することを提案する。 0.56
Type-3 QDFT is the right-side transform Type-3 QDFTは右辺変換である 0.74
𝑀−1 𝑁−1 𝑄𝑝,𝑠 = ∑ ∑ 𝑞𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞)𝑒−𝜇2𝜋[𝑠𝑚/𝑀+𝑛𝑝/𝑁] 𝑀−1 𝑁−1 𝑄𝑝,𝑠 = ∑ ∑ 𝑞𝑛,𝑚(𝑣, 𝑞)𝑒−𝜇2𝜋[𝑠𝑚/𝑀+𝑛𝑝/𝑁] 0.32
, 𝑝 = 0: (𝑁 − 1), 𝑠 = 0: (𝑀 − 1). , 𝑝 = 0: (𝑁 − 1), 𝑠 = 0: (𝑀 − 1). 0.41
𝑚=0 𝑛=0 Here, 𝜇 is a pure quaternion unit. 𝑚=0 𝑛=0 ここで μ は純粋四元数単位である。 0.46
This transform can be calculated by two complex 2-D DFT, when using the method of symplectic decomposition [26] of the imaginary part 𝑞𝑛,𝑚 of the quaternion image 𝑞𝑛,𝑚. この変換は、四元画像qn,mの虚部qn,mのシンプレクティック分解[26]法を用いて、2つの複素2次元DFTで計算することができる。 0.69
For that, the image is presented in the new basis {1, 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3}, where quaternion units 𝜇1 and 𝜇2 are orthogonal to each other, and 𝜇3 = 𝜇1𝜇2 (see detail in [12]). そのため、画像は新たな基底 {1, μ1, μ2, μ3} で示され、四元数単位 μ1 と μ2 は互いに直交し、μ3 = μ1 μ2 となる(詳細は [12] を参照)。 0.82
In general, except the cases like 𝜇1 = 𝑖, such decomposition requires 9 multiplications for each pixel. 一般に μ1 = i の場合を除いて、そのような分解は各ピクセルに対する9つの乗算を必要とする。 0.65
Or, total 9𝑁𝑀 real multiplications. あるいは、合計9NMの実乗数。 0.69
The quaternion correlation was described for the 2-D functions, not discrete images. 四元相関は離散画像ではなく2次元関数に対して記述された。 0.65
If we transform Eq 115 in [26] into the discrete case, we obtain the following equation: Eq 115 in [26] を離散ケースに変換すると、次の方程式が得られる。 0.78
′ ̅̅̅̅̅ 𝑅𝑝,𝑠 = 𝑄𝑝,𝑠(𝑉1) ′ ̅̅̅̅̅ 𝑅𝑝,𝑠 = 𝑄𝑝,𝑠(𝑉1) 0.44
𝑝,𝑠 − 𝑄𝑁−𝑝,𝑀−𝑠 ∙ 𝑗(𝑉2)𝑁−𝑝,𝑀−𝑠 . 𝑝,𝑠 − 𝑄𝑁−𝑝,𝑀−𝑠 ∙ 𝑗(𝑉2)𝑁−𝑝,𝑀−𝑠 . 0.38
(33) Here, (𝑉1)𝑝,𝑠 is the 2-D QDFT of the complex data 𝑣1;𝑛,𝑚 and (𝑉𝑏)𝑝,𝑠 is the 2-D QDFT of the complex data (𝑣𝑏)𝑛,𝑚 = 𝑣1;𝑛,𝑚. (33) ここで (V1)p,s は複素データ v1;n,m と (Vb)p の2次元 QDFT であり、s は複素データ (vb)n,m = v1;n,m の2次元 QDFT である。 0.63
Thus, for each frequency-point (𝑝, 𝑠), two operations of quaternion multiplications are required. したがって、各周波数点 (p, s) に対して、四元数乗算の2つの演算が必要である。 0.63
The total number of multiplications, can be estimated as 𝑚2𝐷𝑄𝐶 ≥ 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 𝑘2𝑁𝑀. 乗算総数は m2DQC ≥ 6m2DDFT + k2NM と推定できる。 0.84
Here, 𝑘 stands for the number of real multiplications for one quaternion multiplication. ここで k は 1 つの四元乗法に対する実乗法の数を表す。 0.62
We consider 𝑘 = 8, as in the 1-D case above. 上記の 1-次元の場合と同様に k = 8 を考える。 0.77
Summarize the result of this comparison, we can state the following (see also Table 1): この比較結果を要約すると、以下のことを述べることができる(表1参照)。 0.75
• In the (2,2)-model, • 2,2)-モデルで。 0.47
1. The 2-D quaternion correlation s 𝑟𝑛,𝑚 of two images 𝑣𝑛,𝑚 and 𝑞𝑛,𝑚 is defined by four traditional 1. 2つの画像 vn,m と qn,m の 2-次元四元相関s rn,m は4つの伝統によって定義される 0.58
cross correlation functions of their components. 成分の相互相関関数。 0.55
No quaternion operations are required. 12 四重項演算は不要。 12 0.37
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
2. In the frequency-domain, the 2-D quaternion correlation of two images is the operation of multiplication of their 2-D QDFTs, 𝑅𝑝,𝑠 = 𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠. 2. 周波数領域において、2つの画像の2次元四元数相関は、2次元QDFT、Rp,s = VN−p,M−sQpの乗算演算である。 0.55
3. The fast computation of the quaternion correlation of two images can be performed by three 𝑁 × 𝑀point QDFTs. 3. 2つの画像の四元相関の高速計算は、3つのN×Mpoint QDFTで行うことができる。 0.60
The number of quaternion multiplications is estimated as 3𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇, or 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁𝑀 real multiplications. 四元数乗算の数は 3m2DDFT または 6m2DDFT + 16NM 実乗算と推定される。 0.61
• In the traditional (1,3)-model, • 従来の (1,3)-モデルでは 0.62
1. The multiplicative property does not hold for the 2-D quaternion correlation, i.e., 𝑅𝑝,𝑠 ≠ 1. 乗法性は 2-次元四元数相関、すなわち rp,s ) に対して成立しない。 0.50
𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠. 𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠. 0.37
2. The computation of the correlation of two quaternion images requires at least 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁𝑀 2. 2つの四元画像の相関の計算には、少なくとも6m2DDFT + 16NMが必要である 0.49
real multiplications. • The 2-D quaternion correlation functions in the (2,2)- and (1,3)-models are different functions. 真の乗算です • (2,2)-および(1,3)-モデルの2次元四元相関関数は異なる関数である。 0.69
The two-dimensional quaternion convolution in the (2,2) model has the same advantages over the (1,3) model as the 2,2)モデルにおける2次元四元数畳み込みは(1,3)モデルと同じ利点を持つ。 0.75
correlation function described above. Multiplication 上記の相関関数です 乗算 0.56
Correlation: 1. Multiplicative property 2. Fast Algorithm 3. Number of real multiplications 相関 1. 乗法特性 2. 高速アルゴリズム 3. 実乗法の数 0.52
(1,3)-model (2,2)-model (1,3)-モデル (2,2)-モデル 0.80
non-commutative non‐commutative 0.29
commutative commutative~ 0.36
concept is not clear not valid (𝑅𝑝,𝑠 ≠ 𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠) requires four right-side 2-D quaternion DFTs 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁𝑀 概念は有効でない(rp,s,m-sqp,s) 右辺の2次元四元数 dfts 6m2ddft + 16nm を必要とする。 0.62
unique concept valid (𝑅𝑝,𝑠 = 𝑉𝑁−𝑝,𝑀−𝑠𝑄𝑝,𝑠) requires six 2-D complex DFTs ≥ 6𝑚2𝐷𝐷𝐹𝑇 + 16𝑁𝑀 ユニークな概念(Rp,s = VN−p,M−sQp,s)は、6つの2次元複素DFTs ≥ 6m2DDFT + 16NMを必要とする 0.64
Table 1. Comparison of two models of quantum algebra. 表1。 量子代数の2つのモデルの比較 0.77
5. CONCLUSION An effective calculation method of the correlation function in the commutative (2,2)-model of quaternions is described for signals and color images. 5. 結論 信号とカラー画像に対して、四元数の可換(2,2)-モデルにおける相関関数の効率的な計算法について述べる。 0.56
The correlation between quaternion signals and images is calculated by using the multiplication of their quaternion DFTs. 四元数DFTの乗算を用いて、四元数信号と画像の相関を計算する。 0.59
The complexity of the correlation of color images is two times higher than in complex algebra. カラー画像の相関の複雑さは複素代数の2倍である。 0.69
We plan to use (1) the developed tools in different practical applications and (2) random correlation concepts in the quaternion domain. 我々は,(1)開発ツールを異なる応用に適用し,(2)四元数領域におけるランダムな相関概念を用いる計画である。 0.81
Conflicts of Interest: The author(s) declare that there are no conflicts of interest regarding the publication of this paper. conflicts of interest: the author(s)は、本論文の出版に関して利害関係の衝突はないと宣言する。 0.81
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0.55
Inst. Comput. インスト。 Comput 0.36
Sci. Appl. Math. Sci アプリ。 数学 0.35
, Christian-Albrechts- Univ. クリスチャン=アルブレヒト=ユニフ。 0.33
Kiel, Germany, 1999. ドイツのキール、1999年。 0.67
13 13 0.85
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
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