論文の概要、ライセンス

# (参考訳) 単目的・多目的凸最適化のための新しい運動量係数をもつ大域収束高速反復収縮保持アルゴリズム [全文訳有]

A globally convergent fast iterative shrinkage-thresholdi ng algorithm with a new momentum factor for single and multi-objective convex optimization ( http://arxiv.org/abs/2205.05262v1 )

ライセンス: CC BY 4.0
Hiroki Tanabe, Ellen H. Fukuda, and Nobuo Yamashita(参考訳) 微分可能関数と凸関数の和で表される目的関数を最小化する凸合成最適化は、機械学習や信号/画像処理で広く使われている。 Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm (FISTA) はこの問題を解く典型的な方法であり、大域収束率は$O(1 / k^2)$である。 近年、これはO(1 / k^2)$大域収束率の証明とともに多目的最適化に拡張されている。 しかし、その運動量係数は古典的であり、イテレートの収束は証明されていない。 本研究では,追加のハイパーパラメータ$(a, b)$を導入することで,単一目的の場合においても新しい一般運動量係数を持つ加速度近位勾配法を提案する。 提案手法はまた,任意の$(a,b)$に対して大域収束率$O(1/k^2)$を持ち,さらに,a$が正のとき,生成した反復列が弱パレート解に収束することを示す。 さらに、様々な$(a,b)$で数値結果を報告し、これらの選択のいくつかが古典的な運動量因子よりも良い結果をもたらすことを示す。

Convex-composite optimization, which minimizes an objective function represented by the sum of a differentiable function and a convex one, is widely used in machine learning and signal/image processing. Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm (FISTA) is a typical method for solving this problem and has a global convergence rate of $O(1 / k^2)$. Recently, this has been extended to multi-objective optimization, together with the proof of the $O(1 / k^2)$ global convergence rate. However, its momentum factor is classical, and the convergence of its iterates has not been proven. In this work, introducing some additional hyperparameters $(a, b)$, we propose another accelerated proximal gradient method with a general momentum factor, which is new even for the single-objective cases. We show that our proposed method also has a global convergence rate of $O(1/k^2)$ for any $(a,b)$, and further that the generated sequence of iterates converges to a weak Pareto solution when $a$ is positive, an essential property for the finite-time manifold identification. Moreover, we report numerical results with various $(a,b)$, showing that some of these choices give better results than the classical momentum factors.
公開日: Wed, 11 May 2022 04:26:00 GMT

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翻訳結果

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英語(論文から抽出)日本語訳スコア
2 2 0 2 y a M 1 1 2 2 0 2 y a m 1 1 である。 0.54
] . C O h t a m ] . C O h t a m 0.43
[ 1 v 2 6 2 5 0 [ 1 v 2 6 2 5 0 0.43
. 5 0 2 2 : v i X r a . 5 0 2 2 : v i X r a 0.42
A globally convergent fast iterative shrinkage-thresholdi ng グローバル収束型高速反復的収縮抑制法 0.58
algorithm with a new momentum factor for single and 新しい運動量係数を用いた単調・単調のアルゴリズム 0.68
multi-objective convex optimization Hiroki Tanabe Ellen H. Fukuda Nobuo Yamashita Department of Applied Mathematics and Physics Graduate School of Informatics Kyoto University Yoshida-Honmachi, Sakyo-ku, Kyoto 606-8501, Japan 多目的凸最適化 田辺弘樹 エレン・H・福田信雄山下応用数学・物理学研究科情報工学京都大学吉田本町(京都府左京区)606-8501 0.68
tanabehiroki@amp.i. 田辺ひろき@amp.i。 0.50
kyoto-u.ac.jp ellen@i.kyoto-u.ac.j p nobuo@i.kyoto-u.ac.j p 京都u.ac.jp ellen@i. kyoto-u.ac.jpnobuo@i . kyoto-u.ac.jp 0.16
Abstract Convex-composite optimization, which minimizes an objective function represented by the sum of a differentiable function and a convex one, is widely used in machine learning and signal/image processing. 概要 微分可能関数と凸関数の和で表される目的関数を最小化する凸合成最適化は、機械学習や信号/画像処理で広く使われている。 0.62
Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm (FISTA) is a typical method for solving this problem and has a global convergence rate of O(1/k2). FISTA(Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm)は、この問題を解決する典型的な手法であり、O(1/k2)の収束率を持つ。 0.76
Recently, this has been extended to multi-objective optimization, together with the proof of the O(1/k2) global convergence rate. 近年、これはO(1/k2)大域収束率の証明とともに多目的最適化に拡張されている。 0.73
However, its momentum factor is classical, and the convergence of its iterates has not been proven. しかし、その運動量係数は古典的であり、イテレートの収束は証明されていない。 0.66
In this work, introducing some additional hyperparameters (a, b), we propose another accelerated proximal gradient method with a general momentum factor, which is new even for the single-objective cases. 本稿では,いくつかの超パラメータ(a,b)を導入することで,単一目的の場合においても新しい運動量係数を持つ加速度近位勾配法を提案する。 0.77
We show that our proposed method also has a global convergence rate of O(1/k2) for any (a, b), and further that the generated sequence of iterates converges to a weak Pareto solution when a is positive, an essential property for the finite-time manifold identification. 提案手法は,任意の (a, b) に対して大域収束率 O(1/k2) をもち,さらに,a が正のとき,生成した反復列が弱パレート解に収束することを示す。
訳抜け防止モード: 提案手法は任意の (a, k2) に対して o(1 / k2 ) の大域収束率を持つことを示す。 さらに、aが正であれば、生成したイテレートの配列が弱いパレート溶液に収束する。 有限時間多様体識別のための本質的性質
0.72
Moreover, we report numerical results with various (a, b), showing that some of these choices give better results than the classical momentum factors. さらに,様々な (a, b) を用いて数値計算を行い, 古典的運動量係数よりも優れた結果が得られることを示す。
訳抜け防止モード: さらに, 各種 (a, b) の数値結果について報告する。 これらの選択のいくつかは 古典的な運動因子よりも良い結果をもたらします
0.76
1. Introduction We consider the following convex-composite single (m = 1) or multi-objective (m ≥ 2) optimization problem: 1. はじめに、以下の凸合成単体 (m = 1) あるいは多目的 (m ≥ 2) 最適化問題を考える。 0.79
(1) min x∈Rn where F : Rn → (R ∪ {∞})m is a vector-valued function with F := (F1, . . . , Fm)(cid:62). (1) min xhtmlrn ここで f : rn → (r , {∞})m は f := (f1, . . . , fm)(cid:62) を持つベクトル値関数である。 0.87
We assume that each component Fi : Rn → R ∪ {∞} is given by 各成分 Fi : Rn → R > {∞} が与えられると仮定する。 0.79
F (x), Fi(x) := fi(x) + gi(x) F (x) fi(x) := fi(x) + gi(x) 0.36
for all i = 1, . . . , m すべての i = 1 に対して , m である。 0.83
with convex and continuously differentiable functions fi : Rn → R, i = 1, . . . , m and closed, proper and convex functions gi : Rn → R ∪ {∞}, i = 1, . . . , m, and each ∇fi is Lipschitz continuous. 凸および連続微分可能関数 fi : Rn → R, i = 1, . . . , m および閉かつ固有かつ凸函数 gi : Rn → R . {∞}, i = 1, . . , m で、各 .fi はリプシッツ連続である。 0.77
As suggested in Tanabe et al (2019), this problem involves many important classes. Tanabe et al (2019)で示唆されているように、この問題は多くの重要なクラスを含んでいる。 0.62
For example, it can express a convex-constrained problem if each gi is the indicator function of a convex set S, i.e., 例えば、各giが凸集合 s の指標関数である場合、すなわち、凸拘束問題を表現することができる。 0.73
(2) (cid:40) (2) (系統:40) 0.54
χS(x) := if x ∈ S, 0, ∞, otherwise. ~S(x) := もし x ∈ S, 0, ∞ なら、そうでなければ。 0.76
Multi-objective optimization has many applications in engineering (Eschenauer et al , 1990), statistics (Carrizosa and Frenk, 1998), and machine learning (particularly multi-task learning (Sener, 2018; Lin et al , 2019) and neural architecture search (Kim et al , 2017; Dong et al , 2018; Elsken et al , マルチ目的最適化には、工学(eschenauer et al , 1990)、統計(carrizosa and frenk, 1998)、機械学習(特にマルチタスク学習(sener, 2018; lin et al , 2019)、ニューラルネットワーク検索(kim et al , 2017; dong et al , 2018; elsken et al )など多くの応用がある。
訳抜け防止モード: 多目的最適化は工学に多くの応用がある(Eschenauer et al, 1990)。 統計(Carrizosa and Frenk, 1998)と機械学習(特にマルチタスク学習) 2018年; Lin et al, 2019年)と神経アーキテクチャ検索(Kim et al, 2017年; Dong et al, 2018年; Elsken et al, 2017年)
0.85
© Hiroki Tanabe, Ellen H. Fukuda, and Nobuo Yamashita. 田辺弘樹、エレン・H・福田、山下信夫。 0.46
License: CC-BY 4.0, see https://creativecomm ons.org/licenses/by/ 4.0/. ライセンス: cc-by 4.0 https://creativecomm ons.org/licenses/by/ 4.0/を参照。 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita 2019)). 田辺、福田、山下 2019)). 0.42
In the multi-objective case, no single point minimizes all objective functions simultaneously in general. 多目的の場合、単一点がすべての目的関数を全て同時に最小化することはない。 0.63
Therefore, we use the concept of Pareto optimality. したがって、パレート最適性の概念を用いる。 0.68
We call a point weakly Pareto optimal if there is no other point where the objective function values are strictly smaller. 目的関数値が厳密に小さい他の点が存在しない場合、ポイントを弱パレート最適と呼ぶ。 0.76
This generalizes the usual optimality for single-objective problems. これは単目的問題に対する通常の最適性を一般化する。 0.51
In other words, single-objective problems are considered to be included in multi-objective ones. 言い換えれば、単一目的問題は多目的問題に含まれると考えられる。 0.46
Hence, in the following, unless otherwise noted, we refer to (1) as multi-objective, including the case where m = 1. したがって、下記のように、他の言及がない限り、(1) は m = 1 の場合を含む多目的(multi-jective)である。
訳抜け防止モード: したがって、下記のように、他の言及がない限り、 ( 1 ) を multi- objective と呼ぶ。 m = 1 の場合を含む。
0.75
One of the main strategies for multi-objective problems is the scalarization approach (Gass and Saaty, 1955; Geoffrion, 1968; Zadeh, 1963), which reduces the original multi-objective problem into a parameterized (or weighted) scalar-valued problem. 多目的問題の主要な戦略の1つはスカラー化アプローチ(Gass and Saaty, 1955; Geoffrion, 1968; Zadeh, 1963)である。
訳抜け防止モード: 多目的問題の主要な戦略の1つはスカラー化アプローチである(Gas and Saaty, 1955 ; Geoffrion, 1968 ; Zadeh, 1963 )。 これは、もともとの多目的問題をパラメータ化された(または重み付けされた)スカラー値の問題に還元する。
0.55
However, it requires an a priori parameters (or weights) selection, which might be challenging. しかし、a事前パラメータ(または重み付け)の選択が必要であり、これは難しいかもしれない。 0.62
The meta-heuristics (Gandibleux et al , 2004) is also popular, but it has no theoretical convergence properties under reasonable assumptions. メタヒューリスティックス(Gandibleux et al , 2004)も人気であるが、合理的な仮定の下では理論的収束性はない。 0.74
Many descent methods have been developed in recent years (Fukuda and Gra˜na Drummond, 2014), overcoming those drawbacks. 近年,これらの欠点を克服する多くの降下法が開発されている(fukuda and gra sna drummond, 2014)。 0.65
They decrease all objective values simultaneously at each iteration, and their global convergence property can be analyzed under reasonable assumptions. 各反復で全ての目的値を同時に減少させ、その大域収束特性は合理的な仮定で解析することができる。 0.71
For example, the steepest descent method (Fliege and Svaiter, 2000; Fliege et al , 2019; D´esid´eri, 2012) converges globally to Pareto solutions for differentiable multi-objective problems. 例えば、最も急降下法(Fliege and Svaiter, 2000; Fliege et al , 2019; D ́esid ́eri, 2012)は、微分可能な多目的問題に対するパレート解に全世界的に収束する。 0.58
From a practical point of view, its applicability has also been reported in multi-task learning (Sener, 2018; Lin et al , 2019). 実践的な観点から見ると、その適用性はマルチタスク学習でも報告されている(sener, 2018; lin et al , 2019)。 0.75
Afterwards, the projected gradient (Fukuda and Gra˜na Drummond, 2013), Newton’s (Fliege et al , 2009; Gon¸calves et al , 2021), trust-region (Carrizo et al , 2016), and conjugate gradient methods (Lucambio P´erez and Prudente, 2018) were also considered. その後, 投影勾配 (fukuda and gra sna drummond, 2013), newton’s (fliege et al , 2009; gon scalves et al , 2021), trust-region (carrizo et al , 2016) および共役勾配法 (lucambio p ́erez and prudente, 2018) も検討された。 0.73
Moreover, the proximal point (Bonnel et al , 2005) and the inertial forward-backward methods (Bot¸ and Grad, 2018) can solve infinite-dimensional vector optimization problems. さらに、近点 (Bonnel et al , 2005) と慣性前向き法 (Bot , and Grad, 2018) は無限次元ベクトル最適化問題を解くことができる。 0.82
(cid:112) (cid:112) (出典:112) (出典:112) 0.67
(cid:112) This paper generalizes the associated factor by t1 = 1, tk+1 = (出典:112) 本稿では、関連因子を t1 = 1, tk+1 = で一般化する。 0.66
For (1), the proximal gradient method (Tanabe et al , 2019, 2022a) is effective. 1) 近位勾配法(tanabe et al, 2019, 2022a)が有効である。 0.59
Using it, the merit function (Tanabe et al , 2022c), which returns zero at the Pareto solutions and strictly positive values otherwise, converges to zero with rate O(1/k) under reasonable assumptions. これを用いて、パレート解で 0 を返し、それ以外は厳密に正の値を返すメリット関数 (tanabe et al , 2022c) は、合理的な仮定の下で o(1/k) 率で 0 に収束する。 0.65
It is also shown that the generated sequence of iterates converges to a weak Pareto solution (Bello-Cruz et al , 2022). また,生成したイテレートの配列は弱パレート溶液に収束することを示した(bello-cruz et al, 2022)。 0.68
On the other hand, the accelerated proximal gradient method (Tanabe et al , 2022b), which generalizes the Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm (FISTA) (Beck and Teboulle, 2009) for convex-composite single-objective problems, has also been considered, along with a proof of the merit function’s O(1/k2) convergence rate. 一方,凸型単一目的問題に対する高速反復縮小しきい値アルゴリズム(fista, beck and teboulle, 2009)を一般化した高速化近位勾配法(tanabe et al , 2022b)も,メリット関数のo(1/k2)収束率の証明とともに検討されている。 0.77
However, the momentum factor used there is classical (t1 = 1, tk+1 = k − atk + b + 1/2 with hyt2 perparameters a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4]. しかし、そこで使われる運動量因子は古典的(t1 = 1, tk+1 = k − atk + b + 1/2)で、 hyt2 のパラメータ a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4] を持つ。 0.77
This is new even in the single-objective context, and it generalizes well-known factors. これは単目的文脈においても新しく、よく知られた因子を一般化する。 0.60
For example, when a = 0 and b = 1/4, it reduces to t1 = 1, tk+1 = k + 1/4 + 1/2, proposed in Nesterov (1983); Beck and Teboulle (2009), and when b = a2/4, it t2 gives tk = (1 − 例えば、a = 0 と b = 1/4 の場合、t1 = 1, tk+1 = k + 1/4 + 1/2 となり、Nesterov (1983); Beck and Teboulle (2009) で提案され、b = a2/4 とすると t2 は tk = (1 −) となる。 0.83
a)k/2 + (1 + a)k/2 + (1 +) 0.42
a)/2, suggested in Chambolle and Dossal (2015); Attouch and Peypouquet (2016); Attouch et al (2018); Su et al (2016). a)Chambolle and Dossal (2015)、Attouch and Peypouquet (2016)、Attouch et al (2018)、Su et al (2016)で提案された/2。 0.83
We show that the merit function converges to zero with rate O(1/k2) for any (a, 評価関数は任意の (a, a) に対して o(1/k2) の割合で 0 に収束する。 0.60
b). In addition, we prove the iterates’ convergence to a weak Pareto solution when a > 0. b)。 さらに、a > 0 のとき、イテレートの弱パレート解への収束が証明される。 0.50
As discussed in Section 4, this suggests that the proposed method might achieve finite-iteration manifold (active set) identification (Sun et al , 2019) without the assumption of strong convexity. 第4節で述べたように、提案手法は強い凸性の仮定なしに有限イテレーション多様体(アクティブ集合)の識別(sun et al , 2019)を達成することができる。 0.80
Furthermore, we carry out numerical experiments with various (a, さらに,様々な (a, a) を用いて数値実験を行う。 0.75
b) and observe that some (a, b) あるもの(a,b)を観察すること 0.67
b) yield better results than the classical factors. b) 古典的要因よりもよい結果が得られる。 0.72
t2 k + 1/4 + 1/2), and the iterates’ convergence is not proven. t2 k + 1/4 + 1/2) であり、イテレートの収束は証明されていない。 0.62
The outline of this paper is as follows. 本論文の概要は以下のとおりである。 0.75
We present some notations and definitions used in this paper in Section 2.1. 本稿では,本論文で用いられる記法と定義を2.1節で示す。 0.67
Section 2.2 recalls the accelerated proximal gradient method for (1) and its associated results. 第2節2は、(1)の加速近位勾配法とその関連結果を想起する。 0.58
We generalize the momentum factor and prove that it preserves an O(1/k2) convergence rate in Section 3, and we demonstrate the convergence of the iterates in Section 4. 運動量係数を一般化し、第3節で o(1/k2) 収束率を維持することを証明し、第4節でイテレートの収束を示す。 0.75
Finally, Section 5 provides numerical experiments and compares the numerical performances depending on the hyperparameters. 最後に、セクション5は数値実験を行い、ハイパーパラメータによる数値性能を比較する。 0.77
2 2 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
2. Preliminaries 2.1 Definitions and notations 2.予備 2.1 定義と表記 0.72
For every natural number d, write the d-dimensional real space by Rd, and define 任意の自然数 d に対して d-次元実空間を rd で書き、定義する 0.79
+ :=(cid:8)v ∈ Rd(cid:12)(cid:12) vi ≥ 0, i = 1, . . . , d(cid:9). + :=(cid:8)v ∈ Rd(cid:12)(cid:12) vi ≥ 0, i = 1, , d(cid:9)。 0.48
Rd Euclidean inner product in Rd, i.e.,(cid:10)v1, v2(cid:11) :=(cid:80)d Rd Rdにおけるユークリッド内積、すなわち(cid:10)v1, v2(cid:11) :=(cid:80)d 0.56
i ≤ v2 i ≤ v2 である。 0.55
i and v1 i < v2 i i と v1 i < v2 i である。 0.75
This induces the partial orders: for any v1, v2 ∈ Rd, v1 ≤ v2 (alternatively, v2 ≥ v1) if v2 − v1 ∈ Rd +. 任意の v1, v2 ∈ Rd, v1 ≤ v2 (alternatively, v2 ≥ v1) に対して、v2 − v1 ∈ Rd + である。 0.89
In other words, v1 ≤ v2 and v1 < v2 and v1 < v2 (alternatively, v2 > v1) if v2 − v1 ∈ int Rd for all i = 1, . . . , d, respectively. 言い換えれば、v1 ≤ v2 と v1 < v2 と v1 < v2 (alternatively, v2 > v1) は、すべての i = 1 に対して v2 − v1 ∈ int Rd である。 0.93
Furthermore, let (cid:104)·,·(cid:105) be the mean that v1 i , and let (cid:107)·(cid:107) be the Euclidean norm, i.e., := さらに、 (cid:104)·,·(cid:105) を v1 i の平均とし、 (cid:107)·(cid:107) をユークリッドノルム、すなわち := とする。 0.78
(cid:112)(cid:104)v, v(cid:105). (cid:112)(cid:104)v, v(cid:105)。 0.39
Moreover, we define the (cid:96)1-norm and (cid:96)∞-norm by (cid:107)v(cid:107)1 :=(cid:80)m さらに (cid:96)1-norm と (cid:96)∞-norm を (cid:107)v(cid:107)1 := (cid:80)m で定義する。 0.81
i=1|vi| and (cid:107)v(cid:107) i=1|vi| および (cid:107)v(cid:107) 0.31
(cid:107)v(cid:107) := maxi=1,...,d|vi|, respectively. (cid:107)v(cid:107) := maxi=1,...,d|vi|。 0.85
i=1 v1 i v2 i=1 v1 私はv2 0.38
∞ + We introduce some concepts used in the problem (1). ∞ + 問題(1)で使用される概念について紹介する。 0.51
Recall that X∗ := {x∗ ∈ Rn | There does not exist x ∈ Rn such that F (x) < F (x∗)} 思い出して X∗ := {x∗ ∈ Rn | F (x) < F (x∗)} となるような x ∈ Rn は存在しない。 0.68
(3) is the set of weakly Pareto optimal solutions for (1). (3) 1) に対する弱パレート最適解の集合である。 0.53
When m = 1, X∗ reduces to the optimal solution set. m = 1 のとき、X∗ は最適解集合に還元される。 0.69
Moreover, define the effective domain of F by さらに、F の有効領域を定義する。 0.69
and write the level set of F on c ∈ Rm as c ∈ Rm 上の F のレベル集合を 0.56
dom F := {x ∈ Rn | F (x) < ∞}, dom F := {x ∈ Rn | F (x) < ∞}, 0.38
(4) Furthermore, we express the image of A ⊆ Rn and the inverse image of B ⊆ (R ∪ {∞})m under F as (4) さらに、F の下の A > Rn の像と B > (R > {∞})m の逆像を表現している。 0.72
F (A) := {F (x) ∈ Rm | x ∈ A} F(A) := {F(x) ∈ Rm | x ∈ A} 0.42
and F −1(B) := {x ∈ Rn | F (x) ∈ B}, そして F −1(B) := {x ∈ Rn | F(x) ∈ B} である。 0.93
LF (c) := {x ∈ Rn | F (x) ≤ c}. LF (c) := {x ∈ Rn | F (x) ≤ c} である。 0.91
respectively. Finally, let us recall the merit function u0 : Rn → R ∪ {∞} for (1) proposed in Tanabe et al それぞれ。 最後に、田辺らで提案された(1)に対するメリット函数 u0 : Rn → R > {∞} を思い出す。 0.65
(2022c): u0(x) := sup z∈Rn (2022c): u0(x) :=sup z・Rn 0.42
min i=1,...,m ミン i=1,...,m 0.46
[Fi(x) − Fi(z)], [Fi(x) − Fi(z)] 0.34
(5) which returns zero at optimal solutions and strictly positive values otherwise. (5) 最適解と厳密な正の値でゼロを返すのです 0.59
The following theorem shows that u0 is a merit function in the Pareto sense. 次の定理は、u0 がパレートの意味でのメリット函数であることを示している。 0.53
Theorem 1 (Tanabe et al , 2022c, Theorem 3.1) Let u0 be defined by (5). 定理 1 (Tanabe et al , 2022c, Theorem 3.1) u0 を (5) で定義する。 0.87
Then, u0(x) ≥ 0 for all x ∈ Rn. このとき、すべての x ∈ Rn に対して u0(x) ≥ 0 となる。 0.72
Moreover, x ∈ Rn is weakly Pareto optimal for (1) if and only if u0(x) = 0. さらに、x ∈ Rn が (1) に対して弱パレート最適であることと u0(x) = 0 であることは同値である。
訳抜け防止モード: さらに、x ∈ Rn は ( 1 ) に対して弱パレート最適である。 u0(x) = 0 である。
0.85
Note that when m = 1, we have m = 1 のとき、我々は 0.62
u0(x) = F1(x) − F ∗1 , u0(x) = F1(x) − F ∗1 , 0.48
where F ∗1 is the optimal objective value. F ∗1 が最適目的値である。 0.80
Clearly, this is a merit function for scalar-valued optimization. これは明らかにスカラー値最適化の利点関数である。 0.73
2.2 The accelerated proximal gradient method for multi-objective optimization 2.2 多目的最適化のための加速近位勾配法 0.70
This subsection recalls the accelerated proximal gradient method for (1) proposed in Tanabe et al (2022b) and its main results. 本節では, 田辺ら(2022b)に提案されている(1)の加速的近位勾配法とその主な成果を思い出す。 0.72
Recall that each Fi is the sum of a continuously differentiable function fi and a closed, proper, and convex function gi, and that ∇fi is Lipschitz continuous with Lipschitz constant Li > 0. 各Fi は連続微分可能関数 fi と閉、固有、凸関数 gi の和であり、かつ yfi はリプシッツ定数 Li > 0 でリプシッツ連続である。
訳抜け防止モード: 各 Fi が連続微分可能関数 fi の和であることを思い出してください。 クローズドで適切な凸関数 gi そして、ジフィはリプシッツ定数 Li > 0 のリプシッツ連続である。
0.75
Define L := max 定義 L :=max 0.54
i=1,...,m Li. i=1,...,m リー 0.38
3 3 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita The method solves the following subproblem at each iteration for given x ∈ dom F , y ∈ Rn, and (cid:96) ≥ L: 田辺、福田、山下 この方法は、与えられた x ∈ dom F , y ∈ Rn および (cid:96) ≥ L に対して、各反復で次の部分確率を解く。 0.59
where ϕacc (cid:96) どこに φacc (出典:96) 0.58
(z; x, y) := max (z; x, y) := max 0.42
i=1,...,m [(cid:104)∇fi i=1,...,m 【cid:104】 0.49
(y), z − y(cid:105) + gi (y), z − y(cid:105) + gi 0.46
(z) + fi (y) − Fi (z) + fi (y)-Fi 0.35
(x)] + (cid:107)z − y(cid:107)2. (x)] + (cid:107)z − y(cid:107)2。 0.39
(cid:96) 2 From the strong convexity, (6) has a unique optimal solution pacc (出典:96)2 強い凸性から (6) は一意な最適解 pacc を持つ 0.73
(cid:96) (x, y), i.e., (出典:96) (x,y)すなわち 0.46
min z∈Rn min (複数形 mins) 0.30
ϕacc (cid:96) φacc (出典:96) 0.53
(z; x, y), pacc (cid:96) (z, x, y) pacc (複数形 paccs) 0.44
(x, y) := argmin z∈Rn (x, y) :=argmin z・Rn 0.41
ϕacc (cid:96) φacc (出典:96) 0.53
(z; x, y). (z; x, y)。 0.79
The following proposition characterizes weak Pareto optimality in terms of the mapping pacc 以下の命題は写像パックの観点で弱パレート最適性を特徴づける 0.75
(cid:96) (6) (出典:96) (6) 0.55
(7) . Proposition 2 (Tanabe et al , 2022b, Proposition 4.1 (i)) Let pacc Rn is weakly Pareto optimal for (1) if and only if pacc This implies that using (cid:107)pacc We state below the accelerated proximal gradient method for (1). (7) . 命題 2 (tanabe et al , 2022b, proposition 4.1 (i)) とすると、pacc rn が (1) に対して弱パレート最適であることは、(cid:107)pacc が (1) の加速近位勾配法以下であることと同値である。 0.54
(x, y) − y(cid:107) ∞ (x, y) − y(cid:107) ∞ 0.50
(cid:96) (cid:96) (出典:96) (出典:96) 0.67
(cid:96) (x, y) = y for some x ∈ Rn. (出典:96) (x, y) = y は、ある x ∈ rn に対して成り立つ。 0.69
(x, y) be defined by (7). (x, y) は (7) で定義される。 0.86
Then, y ∈ < ε for some ε > 0 is reasonable as the stopping criteria. すると y ∈ ε > 0 の <ε > 0 は停止基準として妥当である。 0.71
Algorithm 2.1 Accelerated proximal gradient method for (1) Input: Set x0 = y1 ∈ dom F, (cid:96) ≥ L, ε > 0. アルゴリズム 2.1 (1) 入力に対する加速度的近位勾配法: Set x0 = y1 ∈ dom F, (cid:96) ≥ L, ε > 0 0.84
Output: x∗: A weakly Pareto optimal point 1: k ← 1 2: t1 ← 1 出力: x∗: a weakly pareto optimal point 1: k が 1 2: t1 が 1 である。 0.81
(xk−1, yk) − yk(cid:13)(cid:13) (xk−1, yk) − yk(cid:13)(cid:13) 0.41
≥ ε do 3: while(cid:13)(cid:13 )pacc tk+1 ←(cid:112) ≥ ε である。 3: while(cid:13)(cid:13 )pacc tk+1\(cid:112) 0.56
4: (cid:96) 4: (出典:96) 0.55
5: 6: 7: 8: 9: end while 5: 6: 7: 8: 9: 終了 0.56
(cid:96) xk ← pacc (xk−1, yk) t2 k + 1/4 + 1/2 γk ← (tk − 1)/tk+1 yk+1 ← xk + γk(xk − xk−1) k ← k + 1 (出典:96) xk は pacc (xk−1, yk) t2 k + 1/4 + 1/2 γk を (tk − 1)/tk+1 yk+1 は xk + γk(xk − xk−1) k は k + 1 である。 0.65
∞ Algorithm 2.1 generates (cid:8)xk(cid:9) such that (cid:8)u0(xk)(cid:9) converges to zero with rate O(1/k2) under ∞ アルゴリズム 2.1 は (cid:8) xk(cid:9) を生成し、 (cid:8)u0(xk)(cid:9) は O(1/k2) の速度で 0 に収束する。 0.52
the following assumption. This assumption is also used to analyze the proximal gradient method without acceleration (Tanabe et al , 2022a) and is not particularly strong as suggested in (Tanabe et al , 2022a, Remark 5.2). 以下の仮定。 この仮定は加速度を伴わない近位勾配法 (tanabe et al , 2022a) の解析にも用いられ、特に強いものではない(tanabe et al , 2022a, remark 5.2)。 0.66
Assumption 2.1 (Tanabe et al , 2022a, Assumption 5.1) Let X∗ and LF be defined by (3) and (4), respectively. 仮定 2.1 (Tanabe et al , 2022a, Assumption 5.1) X∗ と LF はそれぞれ (3) と (4) で定義される。 0.89
Then, for all x ∈ LF (F (x0)), there exists x∗ ∈ X∗ such that F (x∗) ≤ F (x) and このとき、すべての x ∈ LF (F (x0)) に対して、F (x∗) ≤ F (x) となる x∗ ∈ X∗ が存在する。 0.89
(cid:13)(cid:13)z − x0(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)z − x0(cid:13)(cid:13)2 0.38
< ∞. (8) R := < ∞. (8) R := 0.43
sup F ∗∈F (X∗∩LF (F (x0)) すっごい f ∗ 7.f (x∗\lf (f (x0))) 0.39
inf z∈F −1({F ∗}) inf z・F−1({F ∗}) 0.62
Theorem 3 (Tanabe et al , 2022b, Theorem 5.2) Under Assumption 2.1, Algorithm 2.1 gener- 定理3 (tanabe et al , 2022b, theorem 5.2) 仮定2.1,アルゴリズム2.1生成元 0.73
ates(cid:8)xk(cid:9) such that ates(cid:8)xk(cid:9) 0.47
where R ≥ 0 is given by (8), and u0 is a merit function defined by (5). R ≥ 0 が (8) で与えられるとき、u0 は (5) で定義されるメリット函数である。 0.86
u0(xk) ≤ 2(cid:96)R (k + 1)2 u0(xk) ≤ 2(cid:96)R (k + 1)2 0.50
for all k ≥ 1, すべての k ≥ 1 に対して 0.83
The following corollary shows the global convergence of Algorithm 2.1. 以下はアルゴリズム 2.1 のグローバル収束を示す。 0.77
every accumulation point of(cid:8)xk(cid:9) generated by Algorithm 2.1 is weakly Pareto optimal for (1). アルゴリズム 2.1 が生成する(cid:8)xk(cid:9) のすべての蓄積点は、(1) に対して弱いパレート最適である。 0.66
Corollary 4 (Tanabe et al , 2022b, Corollary 5.2) Suppose that Assumption 2.1 holds. Corollary 4 (Tanabe et al , 2022b, Corollary 5.2) 仮定 2.1 が成り立つと仮定する。 0.74
Then, 4 そしたら 4 0.52
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
3. Generalization of the momentum factor and convergence rate analysis This section generalizes the momentum factor {tk} used in Algorithm 2.1 and shows that the O(1/k2) convergence rate also holds in that case. 3. 運動量係数の一般化と収束率解析 この節はアルゴリズム 2.1 で使われる運動量係数 {tk} を一般化し、o(1/k2) 収束率もその場合に持つことを示す。 0.76
First, we describe below the algorithm in which we replace line 5 of Algorithm 2.1 by a formula using given constants a ∈ [0, 1) and b ∈ [a2/4, 1/4]: まず、アルゴリズム2.1の行5を与えられた定数 a ∈ [0, 1) と b ∈ [a2/4, 1/4] の式で置き換えるアルゴリズムを以下に説明する。 0.87
Algorithm 3.1 Accelerated proximal gradient method with general stepsizes for (1) Input: Set x0 = y1 ∈ dom F, (cid:96) ≥ L, ε > 0, a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4]. アルゴリズム 3.1 一般化した近似勾配法(1) の次数次数次数次数次法 入力: Set x0 = y1 ∈ dom F, (cid:96) ≥ L, ε > 0, a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4]。 0.79
Output: x∗: A weakly Pareto optimal point 1: k ← 1 2: t1 ← 1 出力: x∗: a weakly pareto optimal point 1: k が 1 2: t1 が 1 である。 0.81
(xk−1, yk) − yk(cid:13)(cid:13) (xk−1, yk) − yk(cid:13)(cid:13) 0.41
3: while(cid:13)(cid:13 )pacc tk+1 ←(cid:112) 3: while(cid:13)(cid:13 )pacc tk+1\(cid:112) 0.40
4: (cid:96) 4: (出典:96) 0.55
5: 6: 7: 8: 9: end while 5: 6: 7: 8: 9: 終了 0.56
(cid:96) xk ← pacc ∞ (xk−1, yk) k − atk + b + 1/2 t2 γk ← (tk − 1)/tk+1 yk+1 ← xk + γk(xk − xk−1) k ← k + 1 (出典:96) xk はpacc ∞ (xk−1, yk) k − atk + b + 1/2 t2 γk , (tk − 1)/tk+1 yk+1 , xk + γk(xk − xk−1) k , k + 1 である。 0.71
≥ ε do The sequence {tk} defined in lines 2 and 5 of Algorithm 2.1 generalizes the well-known momentum factors in single-objective accelerated methods. ≥ ε である。 アルゴリズム 2.1 の行 2 と 5 で定義される列 {tk} は、単目的加速法でよく知られた運動量係数を一般化する。 0.66
For example, when a = 0 and b = 1/4, they coincide with the one in Algorithm 2.1 and the original FISTA (Nesterov, 1983; Beck and Teboulle, k)/2). 例えば、a = 0 と b = 1/4 のとき、アルゴリズム 2.1 のときと元の FISTA (Nesterov, 1983; Beck and Teboulle, k)/2) のときと一致する。 0.82
Moreover, if b = a2/4, then {tk} has the general 2009) (t1 = 1 and tk+1 = (1 + term tk = (1 − a)k/2 + (1 + a)/2, which corresponds to the one used in Chambolle and Dossal (2015); Su et al (2016); Attouch and Peypouquet (2016); Attouch et al (2018). さらに、b = a2/4 ならば {tk} は一般 2009 である (t1 = 1 で tk+1 = (1 + term tk = (1 − a)k/2 + (1 + a)/2 であり、これはChambolle and Dossal (2015); Su et al (2016); Attouch and Peypouquet (2016); Attouch et al (2018) で使われるものに対応する。 0.90
This means that our generalization allows a finer tuning of the algorithm by varying a and b. これは、一般化によって a と b の変化によるアルゴリズムの微調整が可能になることを意味する。 0.60
Theorem 5 Let (cid:8)xk(cid:9) be a sequence generated by Algorithm 3.1 and recall that u0 is given by (5). 定理5(cid:8)xk(cid:9)をアルゴリズム3.1で生成されたシーケンスとし、u0が(5)で与えられることを思い出させる。 0.64
We present below the main theorem of this section. この節の主な定理を下に示す。 0.55
(cid:112) 1 + 4t2 (出典:112) 1 + 4t2 0.53
Then, the following two equations hold: 次に次の2つの方程式が成り立つ。 0.62
(i) Fi(xk) ≤ Fi(x0) for all i = 1, . . . , m and k ≥ 0; (i) すべての i = 1, , m および k ≥ 0 に対して Fi(xk) ≤ Fi(x0) である。 0.87
(ii) u0(xk) = O(1/k2) as k → ∞ under Assumption 2.1. (ii) u0(xk) = o(1/k2) を仮定して k → ∞ とする。 0.74
Part (i) means that (cid:8)xk(cid:9) ⊆ LF (F (x0)), where LF denotes the level set of F (cf. i) は (cid:8)xk(cid:9) > LF (F (x0)) を意味し、LF は F (cf) のレベル集合を表す。 0.88
(4)). Note, Part (ii) Before proving Theorem 5, let us give several lemmas. (4)). 備考 Part (ii) Theorem 5を証明する前に、いくつかの補題をあげましょう。 0.44
First, we present some properties of {tk} まず、tk のいくつかの性質を示す。 0.72
however, that the objective functions are generally not monotonically non-increasing. しかし、目的関数は一般に単調な非拡大ではない。 0.70
also claims the global convergence rate. 世界収束率も主張しています 0.65
and {γk}. と {γk} である。 0.68
Lemma 6 Let {tk} and {γk} be defined by lines 2, 5 and 6 in Algorithm 2.1 for arbitrary a ∈ [0, 1) and b ∈ [a2/4, 1/4]. Lemma 6 は {tk} と {γk} を任意の a ∈ [0, 1) と b ∈ [a2/4, 1/4] に対するアルゴリズム 2.1 の直線で定義する。 0.91
Then, the following inequalities hold for all k ≥ 1. すると、以下の不等式はすべての k ≥ 1 に対して成り立つ。 0.65
(i) tk+1 ≥ tk + (i) tk+1 ≥ tk + 0.47
1 + a k + ; 1 + A k + ; 0.42
4b − a2 (k − 1) + 1 ≤ k; 4b − a2。 (k − 1) + 1 ≤ k; 0.54
1 − a 2 1 − a + 1 − a 2 1 − a + 0.42
and tk ≥ 1 − a √ そして tk ≥ 1 − a である。 0.78
2 4b − a2 2 4b − a2。 0.54
2 2 and tk ≤ 1 − a + ≥ atk; 2 2 そして tk ≤ 1 − a + ≥ atk; 0.56
√ 2 (ii) tk+1 ≤ tk + √ 2 (ii) tk+1 ≤ tk + 0.44
(iii) t2 k − t2 (iii)t2 k − t2 である。 0.49
k+1 + tk+1 = atk − b + k+1 + tk+1 = atk − b + 0.41
(iv) 0 ≤ γk ≤ k − 1 (iv) 0 ≤ γk ≤ k − 1 0.46
k + 1/2 ; 1 4 k + 1/2 ; 1 4 0.41
5 5 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita (v) 1 − γ2 田辺、福田、山下 (v) 1 − γ2 0.45
. k ≥ 1 tk (i) : From the definition of {tk}, we have . k ≥ 1 tk (i) : {tk} の定義からすると 0.55
Proof (cid:113) 証明 (cid:113) 0.50
k − atk + b + t2 k − atk + b + t2 0.48
tk+1 = Since b ≥ a2/4, we get tk+1 = b ≥ a2/4 なので 0.59
(cid:115)(cid:16) tk+1 ≥(cid:12)(cid:12)(cid :12)tk − a (cid:115)(cid:16) tk+1 ≥(cid:12)(cid:12)(cid :12)tk − a 0.39
1 2 = 2 tk − a 2 1 2 = 2 tk − a 2 0.43
(cid:12)(cid:12)(cid :12) + (cid:12)(cid:12)(cid :12) + 0.38
1 2 tk+1 ≥ tk + 1 2 tk+1 ≥ tk + 0.42
1 − a 2 1 − a2 である。 0.66
. (cid:18) . (cid:18) 0.41
b − a2 4 b − a2 4 である。 0.61
(cid:19) + (cid:19) + 0.41
1 2 . (cid:17)2 1 2 . (出典:17)2 0.53
+ . (9) Since t1 = 1 ≥ a/2, we can quickly see that tk ≥ a/2 for any k by induction. + . (9) t1 = 1 ≥ a/2 であるため、誘導により任意の k に対して tk ≥ a/2 がすぐに分かる。 0.49
Thus, we have Applying the above inequality recursively, we obtain 1 − a (k − 1) + t1 = 2 √ α + β ≤ √ β with α, β ≥ 0, we get the first inequality. ですから、私たちは 上記の不等式を再帰的に適用すると、α, β ≥ 0 の 1 − a (k − 1) + t1 = 2 > α + β ≤ > β が得られるので、最初の不等式が得られる。
訳抜け防止モード: ですから、私たちは 上記の不等式を再帰的に適用する。 1 − a ( k − 1 ) + t1 = 2 > α を得る。 + β ≤ √ β with α, β ≥ 0, 最初の不平等が得られます
0.78
tk ≥ 1 − a 2 √ tk ≥ 1 − a 2 である。 0.85
1 + a α + k + 1 + A α + k + 0.42
2 . (ii) : From (9) and the relation Using it recursively, it follows that 2 . (ii)-(9)から再帰的に用いた関係は、次の通りである。 0.53
tk ≤ 1 − a + tk ≤ 1 − a + 0.42
4b − a2 (k − 1) + t1 = 4b − a2。 (k − 1) + t1 = 0.57
1 − a + 1 − a + である。 0.67
√ 2 √ 2 4b − a2 √ 2 √ 2 4b − a2。 0.47
(k − 1) + 1. (k − 1) + 1 である。 0.89
Since a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4], we observe that 4b − a2 a ∈ [0, 1), b ∈ [a2/4, 1/4] なので、4b − a2 が成り立つ。 0.84
1 − a + 1 − a + である。 0.67
√ ≤ 1 − a + √ 1 − a + である。 0.57
√ 2 1 − a2 √ 2 1 − a2 0.44
≤ 1. Hence, the above two inequalities lead to the desired result. ≤ 1. したがって、上記の2つの不等式は望ましい結果をもたらす。 0.56
(iii) : An easy computation shows that (iii) : 計算の容易さから 0.69
2 (cid:20)(cid:113) 2 (cid:20)(cid:113) 0.40
k − t2 t2 k − t2 t2 である。 0.56
k+1 + tk+1 = t2 k+1 + tk+1 = t2 0.32
k − k − atk + b + t2 = atk − b + 1 4 k- k − atk + b + t2 = atk − b + 1 4 0.58
≥ atk, 1 2 (cid:21)2 ≥ atk 1 2 (出典:21)2 0.48
(cid:113) + (cid:113) + 0.41
k − atk + b + t2 k − atk + b + t2 0.48
1 2 where the inequality holds since b ≤ 1/4. 1 2 不等式は b ≤ 1/4 から成り立つ。 0.60
part (i) yields tk ≥ 1. 部分 (i) は tk ≥ 1 となる。 0.81
Again, (iv) : The first inequlity is clear from the definition of γk since もう一度 (iv) : γkの定義から最初の不等式は明らかである。 0.71
the definition of γk and part (i) give ≤ γk の定義と part (複数形 parts) 0.63
tk − 1 tk+1 tk − 1 tk+1 0.42
γk = tk − 1 γk = tk − 1 である。 0.51
tk + (1 − a)/2 tk + (1 − a)/2 0.47
= 1 − 3 − a = 1 − 3 − a である。 0.51
2tk + 1 − a 2tk + 1 − a 0.50
. Combining with part (ii) , we get γk ≤ 1 − . 組み合わせる 部分 (ii) , γk ≤ 1 − 0.41
√ √ 3 − a √ √ 3 − a である。 0.51
(cid:0)1 − a + (cid:0)1 − a + (cid:0)1 − a + k − 1 + (3 − a)/(cid:0)1 − a + (cid:0)1 − a + (cid:0)1 − a + (cid:0)1 − a + k − 1 + (3 − a)/(cid:0)1 − a + 0.49
4b − a2(cid:1) (k − 1) + 3 − a 4b − a2(cid:1) (k − 1) 4b − a2(cid:1) (k − 1) + 3 − a 4b − a2(cid:1) . 4b − a2(cid:1) + 3 − a 4b − a2(cid:1) (k − 1) 4b − a2(cid:1) (k − 1) + 3 − a 4b − a2(cid:1)。 0.46
k − 1 k − 1 である。 0.60
√ √ = = 6 (10) √ √ = = 6 (10) 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
On the other hand, it follows that 一方、次の通りである。 0.56
min a∈[0,1),b∈[a2/4,1/4] ミン a~[0,1],b~[a2/4,1/4] 0.38
1 − a + 1 − a + である。 0.67
4b − a2 3 − a √ 4b − a2。 3-a である。 0.58
= min a∈[0,1) min (複数形 mins) 0.43
1 − a + 1 − a + である。 0.67
1 − a2 3 − a √ 1 − a2 3-a である。 0.48
= 3 2 , (11) = 3 2 , (11) 0.43
where the second equality follows from the monotonic non-decreasing property implied by 第二の等式が単調な非減少性から続くとき 0.61
Combining (10) and (11), we obtain γk ≤ (k − 1)/(k + 1/2). 10) と (11) を組み合わせると γk ≤ (k − 1)/(k + 1/2) が得られる。 0.83
(v) : Part (i) implies that tk+1 > tk ≥ 1. (v) i) は tk+1 > tk ≥ 1 を意味する。 0.55
Thus, the definition of γk implies that したがって γk の定義は 0.70
(cid:18) d da (cid:18) dda 0.30
3 − a √ 1 − a + 3-a である。 1 − a + である。 0.58
1 − a2 (cid:19) 1 − a2 (cid:19) 0.43
= √ 2 1 − a2 + 3a − 1 = √ 2 1 − a2 + 3a − 1 0.44
1 − a2 − a + 1(cid:1)2 √ (cid:0)√ (cid:19)2 (cid:19)2 ≥ 1 − 1 − a2 − a + 1(cid:1)2 . (cid:0). (cid:19)2 (cid:19)2 ≥ 1 − 0.43
(cid:18) tk − 1 (cid:18)tk − 1 0.42
= tk (cid:18) tk − 1 = tk (cid:18)tk − 1 0.42
tk+1 1 − γ2 tk+1 1 − γ2 0.38
k = 1 − > 0 k = 1 − > 0 0.42
for all a ∈ [0, 1). すべての a ∈ [0, 1) に対して。 0.82
1 − a2 2tk − 1 1 − a2 2tk − 1 0.47
t2 k ≥ 2tk − tk t2k ≥ 2tk − tk 0.43
t2 k = 1 tk . t2k = 1tk . 0.48
As in Tanabe et al (2022b), we also introduce σk : Rn → R ∪ {−∞} and ρk : Rn → R for k ≥ 0 Tanabe et al (2022b) と同様に、k ≥ 0 に対して σk : Rn → R > {−∞} と ρk : Rn → R も導入する。 0.88
as follows, which assist the analysis: (cid:2)Fi(xk) − Fi(z)(cid:3) , ρk(z) :=(cid:13)(cid:13)tk+1xk+1 − (tk+1 − 1)xk − z(cid:13)(cid:13)2 分析を補助する。 (cid:2)Fi(xk) − Fi(z)(cid:3) , ρk(z) :=(cid:13)(cid:13)tk+1xk+1 − (tk+1 − 1)xk − z(cid:13)(cid:13)2 0.38
σk(z) := min σk(z) := min 0.48
i=1,...,m . i=1,...,m . 0.42
(12) The following lemma on σk is helpful in the subsequent discussions. (12) σkに関する次の補題は、その後の議論で役立つ。 0.53
Lemma 7 (Tanabe et al , 2022b, Lemma 5.1) Let (cid:8)xk(cid:9) and (cid:8)yk(cid:9) be sequences generated by Lemma 7 (Tanabe et al , 2022b, Lemma 5.1) (cid:8)xk(cid:9) と (cid:8)yk(cid:9) を生成配列とする。 0.80
(cid:16) Algorithm 3.1. (出典:16) アルゴリズム3.1。 0.64
Then, the following inequalities hold for all z ∈ Rn and k ≥ 0: (i) σk+1(z) ≤ − (cid:96) 2 すると、次の不等式はすべての z ∈ Rn と k ≥ 0 に対して成り立つ: (i) σk+1(z) ≤ − (cid:96) 2 0.80
2(cid:10)xk+1 − yk+1, yk+1 − z(cid:11) +(cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:16) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 2(cid:10)xk+1 − yk+1, yk+1 − z(cid:11) + (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2(c id:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)xk+1(cid:13)2(cid:13) 0.32
− (cid:96) − L 2(cid:10)xk+1 − yk+1, yk+1 − xk(cid:11) + − (cid:96) − L 2(cid:10)xk+1 − yk+1, yk+1 − xk(cid:11) + 0.38
(ii) σk(z) − σk+1(z) ≥ (cid:96) 2 (ii) σk(z) − σk+1(z) ≥ (cid:96) 2 0.44
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
+ 2 ; . 2 Therefore, from Lemma 6 (v), we can obtain the following result quickly in the same way as in + 2 ; . 2 したがって、補題6(v)から、以下の結果をinと同じ方法で素早く得ることができる。 0.48
the proof of (Tanabe et al , 2022b, Corollary 5.1). Tanabe et al , 2022b, Corollary 5.1)の証明。 0.65
Lemma 8 Let(cid:8)xk(cid:9) and(cid:8)yk(cid:9) be sequences generated by Algorithm 3.1. Lemma 8 Let(cid:8)xk(cid:9) and(cid:8)yk(cid:9)はアルゴリズム3.1で生成されるシーケンスである。 0.69
Then, we have σk1(z) − σk2(z) そして私たちは σk1(z) − σk2(z) 0.54
for any k2 ≥ k1 ≥ 1. 任意の k2 ≥ k1 ≥ 1 に対して。 0.66
≥ (cid:96) 2 ≥ (cid:96) 2 0.44
(cid:32)(cid:13)(cid :13)xk2 − xk2−1(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)xk1 − xk1−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:32)(cid:13)xk2 − xk2−1(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)xk1 − xk1−1(cid:13)(cid:13) 0.38
k2−1(cid:88) k2−1(cid:88) 0.29
k=k1 1 tk + k=k1 1tk + 0.45
(cid:13)(cid:13)xk − xk−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xk − xk−1(cid:13)(cid:13)2 0.37
(cid:33) We can now show the first part of Theorem 5. (cid:33) 現在、Theorem 5の最初の部分を見ることができる。 0.60
Proof [Proof of Theorem 5 (i)] From Theorem 8, we can prove this part with similar arguments used in the proof of (Tanabe et al , 2022b, Theorem 5.1). 定理 8 から証明[定理 5 (i)] この部分を証明するには、(tanabe et al , 2022b, theorem 5.1) の証明で使われる類似の議論がある。
訳抜け防止モード: Theorem 8 による Theorem 5 ( i ) の証明 [Proof of Theorem 5 (i ) ] 同様の主張を ( Tanabe et al, 2022b, Theorem 5.1 ) の証明に用いて証明することができる。
0.84
7 7 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita used frequently hereafter: 田辺、福田、山下 その後頻繁に使われます 0.50
The next step is to prepare the proof of Theorem 5 (ii). 次のステップは、定理 5 (ii) の証明を作成することである。 0.70
First, we mention the following relation, まず、以下の関係について述べる。 0.68
(cid:13)(cid:13)v2 − v1(cid:13)(cid:13)2 r(cid:88) s(cid:88) (cid:13)(cid:13)v2 − v1(cid:13)(cid:13)2 r(cid:88) s(cid:88) 0.38
+ 2(cid:10)v2 − v1, v1 − v3(cid:11) =(cid:13)(cid:13)v2 − v3(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)v1 − v3(cid:13)(cid:13)2 r(cid:88) + 2(cid:10)v2 − v1, v1 − v3(cid:11) =(cid:13)(cid:13)v2 − v3(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)v1 − v3(cid:13)(cid:13)2 r(cid:88) 0.38
r(cid:88) Ap = r(cid:88) Ap = 0.42
Ap s=1 p=1 Ap s=1。 p=1。 0.45
p=1 s=p , p=1。 s=p , 0.39
(13) (14) for any vectors v1, v2, v3 and sequence {Ap}. (13) (14) 任意のベクトル v1, v2, v3 およびシーケンス {Ap} に対して。 0.54
With these, we show the lemma below, which is similar to (Tanabe et al , 2022b, Lemma 5.2) but more complex due to the generalization of {tk}. これらのことから、以下に示す補題は (Tanabe et al , 2022b, Lemma 5.2) と似ているが、 {tk} の一般化によりより複雑である。 0.78
Lemma 9 Let (cid:8)xk(cid:9) and (cid:8)yk(cid:9) be sequences generated by Algorithm 3.1. Lemma 9 (cid:8)xk(cid:9) と (cid:8)yk(cid:9) をアルゴリズム3.1で生成されるシーケンスとする。 0.70
Also, let σk and ρk be また、σk と ρk を 0.81
defined by (12). 定義は (12) である。 0.71
Then, we have (cid:96) 2 そして私たちは (出典:96)2 0.68
(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13)2 (cid:20) (cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:20) 0.38
≥ 1 1 − a (cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) ≥ 1 1 − a (cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) 0.39
a(t2 k+1 − tk+1) + (cid:20) a(t2) k+1 − tk+1) + (cid:20) 0.36
a2(tp − 1) + a2(tp − 1) + 0.48
(cid:96) (cid:96) (出典:96) (出典:96) 0.67
2(1 − a) 2(1 − a) である。 0.75
+ + 2(1 − a) + + 2(1 − a) である。 0.53
p=1 + (cid:96) 2 p=1。 + (出典:96)2 0.53
ρk(z) + (cid:96) − L ρk(z) + (cid:96)-L 0.46
2 k(cid:88) 2 k(cid:88) 0.42
p=1 t2 p+1 p=1。 t2 p+1 0.38
(cid:18) 1 4 (出典:18)1 4 0.58
k − b σk+1(z) k -b σk+1(z) 0.53
(cid:19) (cid:21) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) (cid:21) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.36
4 − b 4 − b である。 0.60
− b 4 (cid:19) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) p − tp + a(tp − 1) -b 4 (cid:19) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) p − tp + a(tp − 1) 0.40
k tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 k tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 0.55
for all k ≥ 0 and z ∈ Rn. すべての k ≥ 0 と z ∈ Rn に対して。 0.85
Proof Let p ≥ 1 and z ∈ Rn. 証明 p ≥ 1 および z ∈ Rn とする。 0.79
Recall that Theorem 7 gives Theorem 7が与えるリコール 0.74
− σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 − σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 0.40
σp(z) − σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 σp(z) − σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 0.42
(cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2(c id:105) 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) + (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − xp(cid:11) +(cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2(c id:105) (cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2(c id:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) + (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − xp(cid:11) +(cid:13)(cid:13)(cid :13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:105)2( cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13) 0.37
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
+ + 2 , . 2 + + 2 , . 2 0.42
We then multiply the second inequality above by (tp+1 − 1) and add it to the first one: 次に、上の 2 番目の不等式を (tp+1 − 1) で乗算し、最初のものに追加する。
訳抜け防止モード: 次に、上の2番目の不等式を ( tp+1 − 1 ) 最初の1つに追加します
0.76
(tp+1 − 1)σp(z) − tp+1σp+1(z) (tp+1 − 1)σp(z) − tp+1σp+1(z) 0.37
(cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:104) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.37
+ 2(cid:10)xp+1 − yp+1, tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:11)(cid:105) + 2(cid:10)xp+1 − yp+1, tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:11)(cid:105) 0.36
≥ (cid:96) 2 ≥ (cid:96) 2 0.44
tp+1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 tp+1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.32
. (cid:96) − L . (cid:96)-L 0.43
2 tp+1 + 8 2 tp+1 + 8 0.39
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Multiplying this inequality by tp+1 and using the relation t2 Lemma 6 (iii)), we get この不等式を tp+1 で乗算し、関係 t2 lemma 6 (iii) を用いて、 0.76
p = t2 p = t2 である。 0.56
p+1 − tp+1 + (atp − b + 1/4) (cf. p+1 − tp+1 + (atp − b + 1/4) (cf。 0.41
pσp(z) − t2 t2 pσp(z) − t2 t2 0.39
p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 0.33
(cid:104)(cid:13)(ci d:13)tp+1(xp+1 − yp+1)(cid:13)(cid:13)2 (cid:10)xp+1 − yp+1, tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:11)(cid:105) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:104)(cid:13)(ci d:13)tp+1(xp+1 − yp+1)(cid:13)(cid:13)2 (cid:10)xp+1 − yp+1, tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:11)(cid:105) (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.34
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
t2 p+1 + + t2 p+1 + + 0.38
2 + 2tp+1 (cid:18) 2 + 2tp+1 (cid:18) 0.37
atp − b + (cid:19) atp − b + (cid:19) 0.41
1 4 (cid:19) 1 4 (cid:19) 0.41
1 4 σp(z). 1 4 σp(z) である。 0.56
σp(z). σp(z) である。 0.69
Applying (13) to the right-hand side of the last inequality with 最後の不平等の右側に(13)を適用する 0.68
v1 := tp+1yp+1, v1 := tp+1yp+1, 0.29
v2 := tp+1xp+1, v2 := tp+1xp+1, 0.29
v3 := (tp+1 − 1)xp + z. v3 := (tp+1 − 1)xp + z。 0.47
we get pσp(z) − t2 t2 わかった pσp(z) − t2 t2 0.36
(cid:104)(cid:13)(ci d:13)tp+1xp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) (cid:104)(cid:13)tp+1xp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)tp+1yp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) 0.38
p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 0.33
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
t2 p+1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 t2 p+1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.32
(cid:18) + (cid:18) + 0.41
atp − b + Recall that ρp(z) :=(cid:13)(cid:13)tp+1xp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2 atp − b + ρp(z) :=(cid:13)(cid:13)tp+1xp+1 − (tp+1 − 1)xp − z(cid:13)(cid:13)2 0.41
+ 2 line 7 of Algorithm 2.1, we obtain + 2 アルゴリズム2.1の7行目 0.50
pσp(z) − t2 t2 pσp(z) − t2 t2 0.39
p+1σp+1(z) p+1σp+1(z) 0.27
≥ (cid:96) 2 ≥ (cid:96) 2 0.44
[ρp(z) − ρp−1(z)] + [ρp(z) − ρp−1(z)] + 0.48
(cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.34
+ (cid:96) − L + (cid:96)-L 0.43
2 t2 p+1 (cid:18) 2 t2 p+1 (cid:18) 0.37
atp − b + (cid:19) atp − b + (cid:19) 0.41
1 4 σp(z). 1 4 σp(z) である。 0.56
Now, let k ≥ 0. このとき k ≥ 0 とする。 0.73
Theorem 8 with (k1, k2) = (p, k + 1) implies k1, k2) = (p, k + 1) の定理 8 は意味する。 0.79
. Then, considering the definition of yp given in . そして、yp の定義を考える。 0.52
pσp(z) − t2 t2 pσp(z) − t2 t2 0.39
p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 (cid:96) − L p+1σp+1(z) ≥ (cid:96) 2 (cid:96) − L 0.35
+ 2 (cid:19)(cid:34) [ρp(z) − ρp−1(z)] (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:32)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 t2 p+1 + 2 (cid:19)(cid:34) [ρp(z) − ρp−1(z)] (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:32)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 − (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 t2 p+1) 0.41
atp − b + (cid:18) atp − b + (cid:18) 0.41
1 4 + + (cid:96) 2 1 4 + + (出典:96)2 0.49
σk+1(z) k(cid:88) σk+1(z) k(cid:88) 0.39
+ (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 + (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 0.40
(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) 0.37
. 1 tr r=p . 1 tr r=p 0.38
9 9 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita Adding up the above inequality from p = 1 to p = k, the fact that t1 = 1 and ρ0(z) =(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 田辺、福田、山下 上記の不等式を p = 1 から p = k に加えると、t1 = 1 と ρ0(z) =(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 となる。 0.60
leads to σ1(z) − t2 導いてくれる σ1(z) − t2 0.49
k+1σk+1(z) k+1σk+1(z) 0.27
≥ (cid:96) 2 ≥ (cid:96) 2 0.44
ρk(z) −(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) (cid:104) (cid:32) (cid:19) k(cid:88) ρk(z) −(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) (cid:104) (cid:32) (cid:19) k(cid:88) 0.39
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
+ (cid:33)(cid:20) + (cid:33)(cid:20) 0.40
2 + a tp + 2 + あ tp + 0.44
k σk+1(z) + k σk+1(z) + 0.62
(cid:18) 1 k(cid:88) (出典:18)1k(出典:88) 0.61
4 p=1 − b (cid:18) 4 p=1。 -b (cid:18) 0.41
p=1 − (cid:96) 2 p=1。 -(系統:96)2 0.64
atp − b + 1 4 atp − b + 1 4 0.42
t2 k+1 k(cid:88) t2 k+1 k(cid:88) 0.36
p=1 (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:21) (cid:19) k(cid:88) p=1。 (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:21) (cid:19) k(cid:88) 0.41
1 4 1 tr r=p 1 4 1 tr r=p 0.38
(cid:96) 2 (cid:19)(cid:13)(cid :13)xp − xp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:18) k(cid:88) (出典:96)2 (cid:19)(cid:13)(cid :13)xp − xp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:18) k(cid:88) 0.53
atp − b + + atp − b + + 0.42
(cid:96) 2 p=1 (出典:96)2 p=1。 0.58
(cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 0.37
. (15) Let us write the last two terms of the right-hand side for (15) as S1 and S2, respectively. . (15) それぞれ s1 と s2 として (15) の右辺の最後の2つの項を書こう。 0.53
Eq (14) yields Eq (14) の収率 0.90
where the second equality comes from Lemma 6 (iii). 第二の等式は、Lemma 6 (iii) に由来する。 0.65
Thus, we get −(1 − a)tr − b + ですから私たちは −(1 − a)tr − b + 0.61
1 4 r=1 1 4 r=1 である。 0.37
= −(1 − a) = −(1 − a) 0.42
(−t2 r+1 + tr+1 + t2 (-t2) r+1 + tr+1 + t2 0.27
p−1(cid:88) p−1(cid:88) 0.33
r=1 tr + r=1 である。 tr + 0.37
(cid:18) 1 4 (出典:18)1 4 0.58
p−1(cid:88) p−1(cid:88) 0.33
r=1 tr = r=1 である。 tr = 0.37
p − tp t2 1 − a p − tp t2 1 − a 0.48
r=1 (p − 1), r=1 である。 (p − 1) 0.32
− b r − tr) = (cid:19) (cid:18) 1 -b r − tr) = (cid:19) (cid:18) 1 0.40
+ 4 − b (cid:19) p − 1 + 4 -b (cid:19)p − 1 0.41
1 − a 1 − a である。 0.59
. (17) Substituting this into (16), it follows that . (17) これを16に置き換えると、次のようになる。 0.50
S1 + S2 = (cid:96) S1 + S2 = (出典:96) 0.50
2(1 − a) 2(1 − a) である。 0.75
k(cid:88) p=1 k(cid:88) p=1。 0.44
(cid:20) a2(tp − 1) + (cid:20) a2(tp − 1) + 0.44
(cid:18) 1 4 (出典:18)1 4 0.58
− b (cid:19) p − tp + a(tp − 1) -b (cid:19) p − tp + a(tp − 1) 0.42
tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 0.40
. 10 k(cid:88) k(cid:88) . 10 k(cid:88) k(cid:88) 0.42
r=1 p=1 r=1 である。 p=1。 0.38
S2 = = (cid:96) 2 S2 = = (出典:96)2 0.52
(cid:96) 2 atp − b + (出典:96)2 atp − b + 0.56
atr − b + 1 4 atr − b + 1 4 0.42
1 4 atr − b + 1 4 atr − b + 0.42
atp − b + p=1 atp − b + p=1。 0.44
(cid:18) (cid:18) (出典:18)(出典:18) 0.64
r(cid:88) p(cid:88) (cid:19) (cid:32)p−1(cid:88) r(cid:88) p(cid:88) (cid:19) (cid:32)p−1(cid:88) 0.36
− 1 4 r=1 − 1 4 r=1 である。 0.39
r=1 (cid:18) r=1 である。 (cid:18) 0.35
. tr tp (cid:19) 1 (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) 1 (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19)(cid:35)(cid :13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:33) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) p−1(cid:88) . tr tp (cid:19) 1 (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) 1 (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19)(cid:35)(cid :13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:33) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) p−1(cid:88) 0.41
− b 1 4 + 4 -b 1 4 + 4 0.41
Hence, it follows that したがって、次の通りである。 0.52
(cid:34) k(cid:88) (cid:34) k(cid:88) 0.41
p=1 1 tp (cid:18) p=1。 1tp (cid:18) 0.40
p(cid:88) r=1 p(cid:88) r=1 である。 0.36
S1 + S2 = (cid:96) 2 S1 + S2 = (出典:96)2 0.56
= Again t1 = 1 gives = 再び t1 = 1 が与えられる 0.55
−t2 p + tp = -t2 p + tp = 0.35
(cid:34) 1 tp (cid:34) 1tp 0.38
a (cid:96) 2 あ (出典:96)2 0.60
k(cid:88) p−1(cid:88) k(cid:88)p−1(cid:88) 0.35
p=1 tr − t2 p=1。 tr − t2 である。 0.50
p + tp p + tp である。 0.63
(p − tp) . (p − tp) . 0.42
(16) (cid:35)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) (16) (cid:35)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2(c id:19) 0.39
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
(cid:96) σ1(z) + 2 ≥ 1 1 − a (cid:96) σ1(z) + 2 ≥ 1 1 − a 0.49
(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 (cid:20) (cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) (cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 (cid:20) (cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) 0.36
a(t2 (cid:96) a(t2) (出典:96) 0.52
(cid:96) (cid:18) 1 (出典:96) (出典:18)1 0.71
4 k+1 − tk+1) + (cid:20) 4 k+1 − tk+1) + (cid:20) 0.39
a2(tp − 1) + a2(tp − 1) + 0.48
+ + 2(1 − a) + + 2(1 − a) である。 0.53
2(1 − a) 2(1 − a) である。 0.75
+ (cid:96) 2 + (出典:96)2 0.56
ρk(z) + p=1 ρk(z) + p=1。 0.48
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
2 k − b σk+1(z) 2 k -b σk+1(z) 0.50
(cid:19) (cid:21) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) (cid:21) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 0.36
4 − b 4 − b である。 0.60
− b 4 tp t2 p+1 -b 4 tp t2 p+1 0.38
k(cid:88) (cid:104)(cid:13)(ci d:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) − (cid:96) − L k(cid:88) (cid:104)(cid:13)(ci d:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) − (cid:96) − l 0.38
p=1 . 2 (cid:13)(cid:13)x1 − y1(cid:13)(cid:13)2 p=1。 . 2 (cid:13)(cid:13)x1 − y1(cid:13)(cid:13)2 0.42
. σ1(z) ≤ − (cid:96) 2 . σ1(z) ≤ − (cid:96) 2 0.44
(cid:19) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) p − tp + a(tp − 1) (cid:19) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) p − tp + a(tp − 1) 0.41
k (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 k (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 0.61
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Combined with (15) and (17), we have (15)と(17)を組み合わせると 0.58
(cid:104) σ1(z) − t2 (cid:104) σ1(z) − t2 0.42
k+1σk+1(z) k+1σk+1(z) 0.27
ρk(z) −(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) ρk(z) −(cid:13)(cid:13)x1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:105) 0.40
≥ (cid:96) 2 ≥ (cid:96) 2 0.44
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
+ (cid:20) + (cid:20) 0.41
1 1 − a (cid:96) 1 1 − a (cid:96) 0.47
+ + a(t2 k+1 − tk+1) + (cid:20) k(cid:88) + + a(t2) k+1 − tk+1) + (cid:20) k(cid:88) 0.40
a2(tp − 1) + a2(tp − 1) + 0.48
2(1 − a) 2(1 − a) である。 0.75
p=1 k(cid:88) (cid:19) p=1。 k(cid:88) (cid:19) 0.43
p=1 − b t2 p+1 p=1。 -b t2 p+1 0.37
(cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:21)(cid:20) (cid:19) p − tp + a(tp − 1) (cid:13)(cid:13)xk+1 − yk+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:21)(cid:20) (cid:19) p − tp + a(tp − 1) 0.39
σk+1(z) + (cid:96) 2 σk+1(z) + (出典:96)2 0.55
k 2 (cid:18) 1 (cid:18) 1 k 2 (cid:18)1(cid:18)1 0.55
4 − b 4 tp (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:21) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 4 -b 4 tp (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:21)(cid:13)(cid: 13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2) 0.40
. Easy calculations give Lemma 7 (i) with k = 0 and y1 = x0 and (13) with (v1, v2, v3) = (x0, x1, z) lead to . 計算が簡単で k = 0 で Lemma 7 (i) で y1 = x0 で (13) で (v1, v2, v3) = (x0, x1, z) が導かれる。 0.70
From the above two inequalities and the fact that (cid:96) ≥ L, we can derive the desired inequality. 上記の2つの不等式と (cid:96) ≥ L から所望の不等式を導出できるという事実から。
訳抜け防止モード: 上記の2つの不等式と (cid:96 ) ≥ L, 望ましい不平等を導き出すことができます
0.84
Let us define the linear function P : R → R and quadratic ones Q1 : R → R, Q2 : R → R, 線型函数 P : R → R と二次函数 Q1 : R → R, Q2 : R → R を定義する。 0.85
and Q3 : R → R by そして Q3 : R → R by 0.93
P (α) := Q1(α) := P(α) := Q1(α) := 0.66
α2 + , (cid:20) α2 + , (cid:20) 0.42
a2(α − 1) 2 1 − a 4 a(1 − a) a2(α − 1) 2 1 − a 4 a(1 − a) 0.45
(cid:18) 1 − a (cid:18) 1 − a 0.46
4 2 Q3(α) := 4 2 Q3(α) := 0.45
α + 1 . (cid:21) (cid:21) α + 1 . (出典:21)(出典:21) 0.49
α, + 1 − 4b 4(1 − a) 1 − 4b 4(1 − a) α, + 1 − 4b 4(1 − a) 1 − 4b 4(1 − a) 0.44
1 − a 2 1 − a2 である。 0.66
(cid:20) a (cid:19)2 (cid:20) a (cid:19)2 0.41
2 Q2(α) := 2 Q2(α) := 0.46
α2 + + α + 1, α2 + + α + 1, 0.43
(18) The following lemma provides the key relation to evaluate the convergence rate of Algorithm 3.1. (18) 次の補題はアルゴリズム3.1の収束率を評価するための重要な関係である。 0.58
11 11 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita Lemma 10 Under Assumption 2.1, Algorithm 3.1 generates a sequence(cid:8)xk(ci d:9) such that 田辺、福田、山下 lemma 10 under assumption 2.1, algorithm 3.1 はシーケンス(cid:8)xk(cid:9)を生成する。 0.57
(cid:96)R 2 (cid:96)r 2 0.41
≥ Q1(k)u0(xk+1) + ≥ Q1(k)u0(xk+1) + 0.43
(cid:96) 2 Q2(k) (出典:96)2 Q2(k) 0.59
(cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 0.37
k(cid:88) p=1 k(cid:88) p=1。 0.44
+ (cid:96) 2 + (出典:96)2 0.56
P (p) p (複数形 ps) 0.60
(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 k(cid:88) (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 k(cid:88) 0.37
(cid:96) − L (cid:96)-L 0.43
+ 2 p=1 Q3(p)(cid:13)(cid:13 )xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 + 2 p=1。 Q3(p)(cid:13)(cid:13 )xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.42
for all k ≥ 0, where R ≥ 0 and P, Q1, Q2, Q3 : R → R are given in (8) and (18), respectively, and u0 is a merit function defined by (5). すべての k ≥ 0 に対し、R ≥ 0 と P に対して、Q1, Q2, Q3 : R → R はそれぞれ (8) と (18) で与えられ、u0 は (5) で定義される有理関数である。 0.86
Proof Let k ≥ 0. 証明 k ≥ 0 とする。 0.73
With similar arguments used in the proof of Theorem 3 (see (Tanabe et al , 2022b, Theorem 5.2)), we get 同様の議論が Theorem 3 の証明に使われている(Tanabe et al , 2022b, Theorem 5.2)。 0.80
Since ρk(z) ≥ 0, Theorem 9 and the above equality lead to ρk(z) ≥ 0 であるため、定理9と上記の等式は導かれる。 0.69
inf z∈F −1({F ∗}) inf z・F−1({F ∗}) 0.62
σk+1(z) = u0(xk+1). σk+1(z) = u0(xk+1) である。 0.65
(cid:96)R 2 (cid:96)r 2 0.41
≥ 1 1 − a sup ≥ 1 1 − a すっごい 0.48
(cid:20) F ∗∈F (X∗∩LF (F (x0))) (cid:20) f ∗ الf (x∗\lf (f (x0))) 0.35
4 k − b (cid:18) 1 4 k -b (出典:18)1 0.59
(cid:21) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:21) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 1 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.36
k+1 − tk+1) + (cid:20) k+1 − tk+1) + (cid:20) 0.35
(cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) k(cid:88) (cid:20) k+1 − atk+1 + t2 k(cid:88) k(cid:88) 0.36
a2(tp − 1) + a2(tp − 1) + 0.48
a(t2 t2 p+1 a(t2) t2 p+1 0.33
p=1 4 . (cid:96) p=1。 4 . (出典:96) 0.49
(cid:96) + + (出典:96) + + 0.51
+ 2(1 − a) + 2(1 − a) である。 0.59
2(1 − a) (cid:96) − L 2(1 − a) (cid:96) − L 0.50
2 p=1 u0(xk+1) 2 p=1。 u0(xk+1) 0.42
(cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 (cid:19) (cid:19) p − tp + a(tp − 1) (cid:21)(cid:13)(cid :13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:19) (cid:19) p − tp + a(tp − 1) 0.41
k − b 4 − b k -b 4 − b である。 0.60
tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 tp (cid:21)(cid:13)(cid :13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 0.40
We now show that the coefficients of the four terms on the right-hand side can be bounded from below by the polynomials given in (18). 現在、右辺の4項の係数は、18) で与えられる多項式によって下から有界であることが示されている。 0.63
First, by using the relation まずその関係を利用して 0.80
(cid:20) k + 1 (cid:20) k + 1 0.41
− b 1 1 − a -b 1 1 − a 0.39
(cid:18) 1 k+1 − atk+1 + t2 (出典:18)1 k+1 − atk+1 + t2 0.53
(cid:20)(cid:18) 1 − a (cid:20)(cid:18) 1 − a 0.42
tk+1 ≥ 1 − a 2 (cid:19) (cid:21) obtained from Lemma 6 (i) and a ∈ [0, 1), we have (cid:19)(cid:18) 1 − a (cid:18) 1 (cid:21) (cid:19) (cid:19)(cid:18) 1 − a (cid:19) p − tp + a(tp − 1) tk+1 ≥ 1 − a 2 (cid:19) (cid:21) (cid:19) (cid:19) and a ∈ [0, 1), we have (cid:19)(cid:18) 1 − a (cid:18) 1 (cid:21) (cid:19) (cid:19)(cid:18) 1 − a (cid:19) p − tp + a(tp − 1)
訳抜け防止モード: tk+1 ≥ 1 − a 2 ( cid:19 ) ( cid:21 ) は補題 6 ( i ) から得られる。 a ∈ [ 0, 1 ) とすると、 ( cid:19)(cid:18 ) 1 − a ( cid:18 ) 1 ( cid:21 ) ( cid:19 ) ( cid:19)(cid:18 ) 1 − a ( cid:19 ) p − tp である。 + a(tp − 1 )
0.78
(cid:18) 1 − a (cid:18) 1 (cid:18) 1 − a (cid:18) 1 0.43
1 1 − a k + 1 − a 1 1 − a k + 1 − a 0.42
k+1 − tk+1) + k+1 − tk+1) + 0.35
≥ a 1 − a ≥ 1 1 − a ≥ a 1 − a ≥ 1 1 − a 0.42
Again, (19) gives 繰り返しますが (19) 0.71
a 1 − a 1 1 − a a 1 − a 1 1 − a 0.43
(cid:19) − b (cid:19) -b 0.38
k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 0.43
a(t2 (cid:20) a(t2) (cid:20) 0.38
(cid:20) k (cid:20) k 0.62
= k = 2 k + = k = 2 k + 0.57
2 4 2 4 2 1 1 − a 2 4 2 4 2 1 1 − a 0.42
a2(tp − 1) + a2(tp − 1) + 0.48
− b 4 (cid:21) -b 4 (出典:21) 0.49
tp 12 (cid:18) 1 (cid:20) (cid:21) (cid:19) (cid:19) tk+1(tk+1 − a) + tp 12 (cid:18) 1 (cid:20) (cid:21) (cid:19) (cid:19) tk+1(tk+1 − a) + 0.41
(cid:18) 1 4 (出典:18)1 4 0.58
+ − b 4 k = Q1(k). + -b 4 k q1(k) である。 0.57
(19) (cid:19) (19) (cid:19) 0.41
(cid:21) k − b (出典:21) k -b 0.63
tk+1(tk+1 − 1) + 1 − 4b 4(1 − a) tk+1(tk+1 − 1) + 1 − 4b 4(1 − a) 0.45
k = Q2(k). k = q2(k) である。 0.78
1 − 4b 4(1 − a) 1 − 4b 4(1 − a) 0.47
k ≥ a2 1 − a k ≥ a2 1 − a 0.67
(tp − 1) ≥ P (p). (tp − 1) ≥ P (p)。 0.38
Moreover, since tp ≤ p (cf. さらに tp ≤ p (cf) である。 0.81
Lemma 6 (ii)), tk ≥ 1 (cf. Lemma 6 (ii)), tk ≥ 1 (cf。 0.38
Lemma 6 (i)), and b ∈ (a2/4, 1/4], we obtain Lemma 6 (i) と b ∈ (a2/4, 1/4], 0.41
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
It is also clear from (19) that また、(19)から明らかである。 0.68
p+1 ≥ Q3(p). p+1 ≥ Q3(p)。 0.78
t2 Thus, combining the above five inequalities, we get the desired inequality. t2 したがって、上記の5つの不等式を組み合わせると、所望の不等式が得られる。 0.46
Then, we can finally prove the main theorem. そして、最終的に主定理を証明できる。 0.68
Proof [Theorem 5 (ii)] It is clear from Theorem 10 and Q1(k) = O(k2) as k → ∞. 証明 [理論 5 (ii)] 定理 10 と q1(k) = o(k2) は k → ∞ であることから明らかである。 0.86
Remark 11 Theorem 10 also implies the following other claims than Theorem 5 (ii): 注 11 Theorem 10 はまた、Theorem 5 (ii) 以外の主張を暗示する。 0.80
• O(1/k2) convergence rate of •O(1/k2)収束率 0.44
• the absolute convergence of • the absolute convergence of •絶対収束 •絶対収束 0.48
(cid:110)(cid:13)(ci d:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:111) (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:111) (cid:110) (cid:110) k2(cid:13)(cid:13)xk − yk(cid:13)(cid:13)2( cid:111) (cid:110)(cid:13)(ci d:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:111) (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2( cid:110) (cid:110) k2(cid:13)(cid:13)xk − yk(cid:13)(cid:13)2( cid:111) 0.38
k when a > 0; k a > 0 の場合; 0.77
when a > 0; a > 0 の場合; 0.68
when (cid:96) > L. when (cid:96) > L。 0.89
Note that the second one generalize (Chambolle and Dossal, 2015, Corollary 3.2) for single-objective problems. 2つ目は、単目的問題に対する一般化(Chambolle and Dossal, 2015)である。 0.56
4. Convergence of the iterates 4. iteratesの収束 0.32
While the last section shows that Algorithm 3.1 has an O(1/k2) convergence rate like Algorithm 2.1, this section proves the following theorem, which is more strict than Theorem 4 related to Algorithm 2.1: 最後の節ではアルゴリズム 3.1 がアルゴリズム 2.1 と同様に o(1/k2) 収束率を持つことを示しているが、この節は次の定理を証明している。 0.81
Theorem 12 Let (cid:8)xk(cid:9) be generated by Algorithm 3.1 with a > 0. 定理12: (cid:8)xk(cid:9) を > 0 のアルゴリズム 3.1 で生成する。 0.78
Then, under Assumption 2.1, (i) (cid:8)xk(cid:9) is bounded, and it has an accumulation point; では 仮定2.1で (i) (cid:8)xk(cid:9) は有界であり、集積点を有する。 0.73
(ii) (cid:8)xk(cid:9) converges to a weak Pareto optimum for (1). (ii) (cid:8)xk(cid:9)は(1)に最適な弱いパレートに収束する。 0.75
the following two properties hold: The latter claim is also significant in application. 以下の2つの特性は 後者の主張も応用において重要である。 0.72
For example, finite-time manifold (active set) identification, which detects the low-dimensional manifold where the optimal solution belongs, essentially requires only the convergence of the generated sequence to a unique point rather than the strong convexity of the objective functions (Sun et al , 2019). 例えば、最適解が属する低次元多様体を検出する有限時間多様体(能動集合)の同定は、本質的には対象函数の強い凸性ではなく、生成した列の一意点への収束のみを必要とする(Sun et al , 2019)。 0.74
result, obvious from Assumption 2.1 and Theorem 5 (i). 結果は仮定 2.1 と定理 5 (i) から明らかである。 0.73
Again, we will prove Theorem 12 after showing some lemmas. 繰り返しますが、いくつかの補題を見せた後、Theorem 12を証明します。 0.55
First, we mention the following まず 次のようなことを述べます 0.67
Lemma 13 Let (cid:8)xk(cid:9) be generated by Algorithm 3.1. Lemma 13 (cid:8)xk(cid:9) をアルゴリズム 3.1 で生成する。 0.79
Then, for any k ≥ 0, there exists z ∈ X∗ ∩ すると、任意の k ≥ 0 に対して、z ∈ x∗ が成立する。 0.72
LF (F (x0)) (see (3) and (4) for the definitions of X∗ and LF ) such that LF (F (x0)) (X∗ と LF の定義について (3) と (4) を参照) 0.86
σk(z) ≥ 0 and (cid:13)(cid:13)z − x0(cid:13)(cid:13)2 ≤ R, σk(z) ≥ 0 および (cid:13)(cid:13)z − x0(cid:13)(cid:13)2 ≤ R, 0.43
where R ≥ 0 is given by (8). R ≥ 0 は (8) によって与えられる。 0.88
The following lemma also contributes strongly to the proof of the main theorem. 次の補題は主定理の証明に強く貢献している。 0.67
Lemma 14 Let {γq} be defined by line 6 in Algorithm 3.1. Lemma 14 {γq} をアルゴリズム 3.1 の行 6 で定義する。 0.87
Then, we have r(cid:88) そして私たちは r(cid:88) 0.54
p(cid:89) p=s p(cid:89) p=s 0.36
q=s 13 γq ≤ 2(s − 1) q=s 13 γq ≤ 2(s − 1) 0.54
for all s, r ≥ 1. すべての s に対して r ≥ 1 である。 0.65
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita Proof By using Lemma 6 (iv), we see that 田辺、福田、山下 Lemma 6を使って証明する(IV) 0.49
p(cid:89) γq ≤ p(cid:89) p(cid:89) γq ≤ p(cid:89) 0.42
q=s q=s q − 1 q + 1/2 q=s q=s q − 1 q + 1/2 0.35
. Let Γ and B denote the gamma and beta functions defined by . γ と b をガンマ関数とベータ関数で定義されるものとする 0.56
Γ(α) := τ α−1 exp(−τ ) dτ Γ(α) := τ α−1 exp(−τ ) dτ 0.41
and B(α, β) := そして、b(α, β) := 0.84
respectively. Applying the well-known properties: それぞれ。 有名なプロパティの適用: 0.69
0 (cid:90) ∞ 0 (cid:90) ∞ 0.42
(cid:90) 1 0 (cid:90)1 0 0.41
τ α−1(1 − τ )β−1 dτ, τ α−1(1 − τ )β−1 dτ, 0.40
Γ(α) = (α − 1)! Γ(α) = (α − 1)! 0.43
, Γ(α + 1) = αΓ(α), , Γ(α + 1) = αΓ(α), 0.46
and B(α, β) = そして、b(α, β) = 0.86
Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) 0.42
. we get This implies . わかった これは 0.46
p(cid:89) q=s p(cid:89) q=s 0.36
γq ≤ Γ(p)/Γ(s − 1) γq ≤ ~(p)/~(s − 1) 0.41
Γ(p + 3/2)/Γ(s + 1/2) ○(p + 3/2)/○(s + 1/2) 0.37
= B(p, 3/2) B(s − 1, 3/2) = B(p, 3/2) B(s − 1, 3/2) 0.44
. B(p, 3/2)/B(s − 1, 3/2). . B(p, 3/2)/B(s − 1, 3/2) 0.44
Then, it follows from the definition (20) of B that すると、それは B の定義 (20) から従う。 0.79
r(cid:88) p(cid:89) r(cid:88) p(cid:89) 0.42
p=s q=s p=1 p=s q=s p=1。 0.35
γq ≤ r(cid:88) (cid:90) 1 r(cid:88) γq ≤ r(cid:88) (cid:90) 1 r(cid:88) 0.40
0 q=s p=s r(cid:88) p(cid:89) γq ≤ r(cid:88) (cid:90) 1 (cid:90) 1 0 q=s p=s r(cid:88) p(cid:89) γq ≤ r(cid:88) (cid:90) 1 (cid:90) 1 0.35
p=s = 0 p=s p=s = 0 p=s 0.36
τ s−1 − τ r τ s−1 − τ r 0.44
1 − τ = = τ p−1(1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) 1 − τ = = τ p−1(1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) 0.42
τ p−1(1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) τ p−1(1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) 0.41
(1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) (1 − τ )1/2 dτ /B(s − 1, 3/2) 0.43
0 B(s, 1/2) − B(r + 1, 1/2) 0 B(s, 1/2) − B(r + 1, 1/2) 0.45
B(s − 1, 3/2) B(s − 1, 3/2) 0.48
≤ B(s, 1/2) B(s − 1, 3/2) ≤ B(s, 1/2) B(s − 1, 3/2) 0.47
. (20) (21) . (20) (21) 0.43
Using again (21), we conclude that もう一度 (21) を使って 0.65
r(cid:88) p(cid:89) r(cid:88) p(cid:89) 0.42
p=s q=s γq ≤ Γ(s)Γ(1/2)/Γ(s + 1/2) Γ(s − 1)Γ(3/2)/Γ(s + 1/2) p=s q=s γq ≤ γ(s)γ(1/2)/γ(s + 1/2) γ(s − 1)γ(3/2)/γ(s + 1/2) 0.30
= 2(s − 1). 2(s − 1) である。 0.84
our analysis, by Now, we introduce two functions ωk : Rn → R and νk : Rn → R for any k ≥ 1, which will help 私たちの分析は さて、任意の k ≥ 1 に対して 2 つの函数 ωk : Rn → R と νk : Rn → R を導入する。 0.85
(cid:16) 0,(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)xk−1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:17) (出典:16) 0,(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)xk−1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:17) 0.53
ωk(z) := max ωk(z) := max 0.48
νk(z) :=(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13)2 − k(cid:88) νk(z) :=(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13)2 − k(cid:88) 0.42
ωs(z). ωs(z) である。 0.68
, (22) (23) , (22) (23) 0.43
The lemma below describes the properties of ωk and νk. 下記の補題は ωk と νk の性質を記述する。 0.71
s=1 14 s=1。 14 0.44
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Lemma 15 Let(cid:8)xk(cid:9) be generated by Algorithm 3.1 and recall that X∗,LF , ωk, and νk are defined lemma 15 let(cid:8)xk(cid:9) はアルゴリズム 3.1 によって生成され、x∗,lf , ωk, νk が定義されることを思い出す。 0.64
by (3), (4), (22) and (23), respectively. (3)、(4)、(22)、(23)それぞれである。 0.62
Moreover, suppose that Assumption 2.1 holds and that z ∈ X∗ ∩ LF (F (x0)) satisfies the statement of Theorem 13 for some k ≥ 1. さらに、仮定 2.1 が成り立ち、ある k ≥ 1 に対して z ∈ X∗ > LF (F (x0)) が Theorem 13 の文を満たすと仮定する。 0.80
Then, it follows for all r = 1, . . . , k that そして、すべての r = 1 に対して , , , k に対して従う。 0.87
r(cid:88) s=1 r(cid:88) s=1。 0.44
(i) ωs(z) ≤ r(cid:88) (i) ωs(z) ≤ r(cid:88) 0.44
(6s − 5)(cid:13)(cid:13)xs − xs−1(cid:13)(cid:13)2 (6s − 5)(cid:13)(cid:13)xs − xs−1(cid:13)(cid:13)2 0.39
; (ii) νr+1(z) ≤ νr(z). ; (ii) νr+1(z) ≤ νr(z) である。 0.59
Proof s=1 (i) : Let k ≥ p ≥ 1. 証明 s=1。 (i) : k ≥ p ≥ 1 とする。 0.61
From the definition of yp+1 given in line 7 of Algorithm 2.1, we have Algorithm 2.1 の 7 行で与えられる yp+1 の定義から、 0.84
(cid:13)(cid:13)xp+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 = −(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 = −(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11). (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 = −(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 = −(cid:13)(cid:13)(cid :13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11) 0.38
2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) ≤ − 2 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) ≤ − 2 0.38
+ 2(cid:10)xp+1 − yp+1, xp+1 − z(cid:11) + 2γp + 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) + 2(cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 2(cid:10)xp+1 − yp+1, xp+1 − z(cid:11) + 2γp + 2(cid:10)xp+1 − yp+1, yp+1 − z(cid:11) + 2(cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.35
σp+1(z) − 2(cid:96) − L σp+1(z) − 2(cid:96) − L 0.42
(cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11) (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11) 0.37
+ 2γp . (cid:96) + 2γp . (出典:96) 0.48
(cid:96) On the other hand, Lemma 7 (i) gives (出典:96) 一方、Lemma 7 (i) は 0.58
Moreover, Theorem 8 with (k1, k2) = (p + 1, k + 1) implies さらに、 (k1, k2) = (p + 1, k + 1) の定理 8 は意味する。 0.83
− 2 (cid:96) σp+1(z) -2(第96回) σp+1(z) 0.51
σk+1(z) −(cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 σk+1(z) −(cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 0.37
(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 − k(cid:88) (cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 − k(cid:88) 0.38
+ r=p+1 (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 + r=p+1 (cid:13)(cid:13)xr − xr−1(cid:13)(cid:13)2 0.33
1 tr where the second inequality comes from the assumption on z. 1 tr 2番目の不等式は z の仮定によるものです 0.52
Combining the above three inequalities, 上記の3つの不等式を組み合わせる。 0.55
≤ − 2 (cid:96) ≤ − 2 (cid:96) 0.46
≤(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 we get(cid:13)(cid:13)x p+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 ≤ L ≤(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 we get(cid:13)(cid:13)x p+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 ≤ L 0.40
, (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 , (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 0.38
+ γp = L (cid:96) +γp = L (cid:96) 0.42
Using the relation(cid:13)(cid :13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 ≤ − (cid:96) − L 関係(cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)xp+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 ≤ − (cid:96) 0.46
which holds from the definition of yk, we have ykの定義からすると 0.44
+ 2γp (cid:96) + 2γp (出典:96) 0.51
Since 0 ≤ γp ≤ 1 from Lemma 6 (iv) and (cid:96) ≥ L, we obtain Lemma 6 (iv) と (cid:96) ≥ L から 0 ≤ γp ≤ 1 を得るので、我々は得られる。
訳抜け防止モード: Lemma 6 ( iv ) の 0 ≤ γp ≤ 1 である。 cid:96 ) ≥ L とすると
0.89
(cid:13)(cid:13)xp+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − z(cid:13)(cid:13)2 − (cid:107)xp − z(cid:107)2 0.39
(cid:16)(cid:107)xp − z(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)xp−1 − z(cid:13)(cid:13)2 (cid:16)(cid:107)xp − z(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)xp−1 − z(cid:13)(cid:13)2 0.39
≤ γp (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:16)(cid:107)xp − z(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)xp−1 − z ≤γp (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 (cid:16)(cid:107)xp − z(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)xp−1 − z 0.40
(cid:96) (cid:13)(cid:13)2 (出典:96) (cid:13)(cid:13)2 0.53
+ 2γp (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11) (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 + 2γp (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − z(cid:11) (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 0.36
+ + 2(cid:10)xp − xp−1, xp+1 − xp(cid:11)(cid:17) (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 p)(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 + + 2(cid:10)xp − xp−1, xp+1 − xp(cid:11)(cid:17) (cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2 p)(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13) 0.40
+ (γp + γ2 + (γp + γ2 0.44
+ γ2 p . . + γ2 p . . 0.44
, (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − xp(cid:11) =(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)xp+1 − yp+1(cid:13)(cid:13)2 +(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 (cid:16)(cid:107)xp − z(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)xp−1 − z(cid:13)(cid:13)2(c id:17) + 2(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) , (cid:10)xp − xp−1, xp+1 − xp(cid:11) = (cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)xp +1 − yp+1(cid:13)(cid:13)(ci d:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)(c id:13)(cid:13)(cid:1 3)2(cid:16)(cid:107) xp − z(cid:13)(cid:107)2 −(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)2(cid:13 )(cid:13)(cid:13)2(c id:13)(cid:13)(cid:1 3)xp+1 − xp(cid:13)(cid:17)2 0.38
+(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 ωp(z) + 2(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)2(c id:17) +(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 ωp(z) + 2(cid:13)(cid:13)xp − xp−1(cid:13)(cid:13)(ci d:17) 0.39
(cid:16) + γp (出典:16) +γp 0.55
+(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 +(cid:13)(cid:13)xp+1 − xp(cid:13)(cid:13)2 0.38
, ≤ γp 15 , ≤γp 15 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
err 翻訳エラー 0.00
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Taking the square root of both sides and using (22), we get 両側の正方根を取り出して (22) を使って 0.55
where the second equality follows from the definition (22) of ω1. 2番目の等式は ω1 の定義 (22) から従う。 0.73
Considering the definition (23) of νk, we obtain νk の定義 (23) を考えると、我々は得られる。 0.72
Applying the reverse triangle inequality(cid:13)(c id:13)xk − x0(cid:13)(cid:13)−(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13) ≤(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13) to the left-hand side leads 逆三角形不等式(cid:13)(cid:13)xk − x0(cid:13)(cid:13)−(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13) ≤(cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13)を左辺リードに適用する。 0.37
s=1 to + s=1 s=1。 へ + s=1。 0.49
ωs(z). ωs(z) である。 0.68
k(cid:88) (cid:13)(cid:13)2 (cid:13)(cid:13)2 ≤(cid:13)(cid:13)x0 − z (cid:13)(cid:13)xk − z (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)(cid :107)x0 − z(cid:107)2 + k(cid:88) (cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13) ≤ (6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2. k(cid:88) (cid:13)(cid:13)2 ≤(cid:13)(cid:13)(cid :13)x0 − z (cid:13)(cid:13)xk − z (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)(cid :107)x0 − z(cid:107)2 + k(cid:88) (cid:13)(cid:13)xk − z(cid:13)(cid:13) ≤ (6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2。 0.42
(cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)(cid :107)x0 − z(cid:107)2 + (cid:13)(cid:13)xk − x0(cid:13)(cid:13) ≤(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13)(cid:13) + (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)R + k(cid:88) (cid:118)(cid:117)(c id:116)(cid:107)x0 − z(cid:107)2 + (cid:13)(cid:13)xk − x0(cid:13)(cid:13) ≤(cid:13)(cid:13)x0 − z(cid:13) + (cid:118)(cid:117)(c id:117)(cid:116)r + k(cid:88) 0.42
(6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2, (6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2, 0.42
k(cid:88) R + k(cid:88) R+ 0.41
√ ≤ s=1 (6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2 √ ≤ s=1。 (6s − 5)(cid:107)xs − xs−1(cid:107)2 0.43
s=1 has accumulation points. s=1。 蓄積ポイントがあります 0.60
Before proving Theorem 12 (ii), we show the following lemma. Theorem 12 (ii) を証明する前に、以下の補題を示す。 0.79
where the second inequality comes from the assumption on z. 2番目の不等式は z の仮定によるものです 0.61
Moreover, since a > 0, the right-hand さらに、a > 0 なので、右辺は 0.74
of σkj . Therefore, we can regard ¯z to satisfy the statement of Theorem 13 at k = ∞, and thus the inequalities of Theorem 15 hold for any r ≥ 1 and ¯z. σkj である。 したがって、イズを k = ∞ における定理 13 のステートメントを満たすことができるので、定理 15 の不等式は任意の r ≥ 1 とイズに対して成り立つ。 0.67
This means {νk(¯z)} is non-increasing and つまり {νk( sz)} は非増加であり、 0.71
side is bounded from above according to Theorem 10. Theorem 10 によれば、この辺は上から有界である。 0.61
This implies that(cid:8)xk(cid:9) is bounded, and so it Lemma 16 Let (cid:8)xk(cid:9) be generated by Algorithm 3.1 with a > 0 and suppose that Assumption 2.1 holds. つまり、(cid:8)xk(cid:9) は有界であり、Lemma 16 は (cid:8)xk(cid:9) をアルゴリズム 3.1 で a > 0 で生成し、仮定 2.1 が成り立つと仮定する。 0.76
Then, if ¯z is an accumulation point of(cid:8)xk(cid:9), then(cid:8)(cid:13)( cid:13)xk − ¯z(cid:13)(cid:13)(ci d:9) is convergent. このとき、(cid:8)xk(cid:9) の蓄積点であるなら(cid:8)(cid:13)(cid: 13)xk − sz(cid:13)(cid:13)(c id:9) は収束する。 0.68
Proof Assume that(cid:8)xkj(cid:9 ) ⊆(cid:8)xk(cid:9) converges to ¯z. 証明として、(cid:8)xkj(cid:9) >(cid:8)xk(cid:9) は sz に収束する。 0.65
Then, we have σkj (¯z) → 0 by the definition (12) bounded, i.e., convergent. そして、(12) の有界な定義、すなわち収束によって σkj ( σz) → 0 が得られる。 0.75
Hence(cid:8)(cid:13) (cid:13)xk − ¯z(cid:13)(cid:13)(ci d:9) is convergent. 従って(cid:8)(cid:13)(cid: 13)(cid:13)(cid:9)は収束する。 0.77
(cid:111) (cid:18)(cid:13)(cid :13)(cid:13)xk1 j − ¯z1(cid:13)(cid:13)(c id:13)2 −(cid:13)(cid:13)(cid :13)xk1 , and so (cid:13)(cid:13)¯z1 − ¯z2(cid:13)(cid:13)2 (cid:111) (cid:18)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)2 −(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)xk1) で、cid:13)(cid:13)(cid: 13) である。 0.41
(cid:18)(cid:13)(cid :13)(cid:13)xk2 j − ¯z2(cid:13)(cid:13)(c id:13)2(cid:19) j − ¯z1(cid:13)(cid:13)(c id:13)2 −(cid:13)(cid:13)(cid :13)xk2 This yields that (cid:13)(cid:13)¯z1 − ¯z2(cid:13)(cid:13)2 i.e., (cid:8)xk(cid:9) is convergent. (cid:18)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)j-1( cid:13)(cid:13)(cid: 13)2 −(cid:13)(cid:13)(cid :13)(cid:13)(cid:13) xk2 この結果は (cid:13)(cid:13)xk2 が収束する。 0.44
Let xk → x∗. xk → x∗ とする。 0.69
Since (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 → 0, (cid:8)yk(cid:9) is also convergent to x∗. (cid:13)(cid:13)xk+1 − xk(cid:13)(cid:13)2 → 0 であるため、 (cid:8)yk(cid:9) もまた x∗ に収束する。 0.68
Therefore, Theorem 2 したがって、Theorem 2 0.92
(cid:111) (cid:110) j − ¯z2(cid:13)(cid:13)(c id:13)2(cid:19) = −(cid:13)(cid:13)¯z1 − ¯z2(cid:13)(cid:13)2 (cid:111) (cid:110) j − シュズ2(cid:13)(cid:13)(ci d:13)2(cid:19) = −(cid:13)(cid:13) シュズ1 − シュズ2(cid:13)(cid:13)2 0.35
Proof [Theorem 12 (ii)] Suppose that Theorem 16, we see that 証明[理論12(ii)] その定理16を仮定すると 0.57
Finally, we finish the proof of the main theorem. 最後に、主定理の証明を終了する。 0.61
converges to ¯z1 and ¯z2, respectively. それぞれz1とz2に収束する。 0.59
From = lim j→∞ 来歴 = lim j→∞ 0.45
lim j→∞ (cid:110) lim j→∞ (第110回) 0.48
= 0, xk1 j = 0, xk1 j 0.54
and xk2 j . そして xk2 j . 0.49
shows that x∗ is weakly Pareto optimal for (1). x∗ は (1) に対して弱パレート最適である。 0.73
5. Numerical experiments This section compares the performance between Algorithm 3.1 with various a and b and Algorithm 2.1 (a = 0, b = 1/4) through numerical experiments. 5. 数値実験 本稿では,アルゴリズム3.1とアルゴリズム2.1(a = 0, b = 1/4)の性能を数値実験により比較する。 0.81
We run all experiments in Python 3.9.9 すべての実験をPython 3.9.9で実行します 0.57
17 17 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita on a machine with 2.3 GHz Intel Core i7 CPU and 32 GB memory. 田辺、福田、山下 2.3GHzのIntel Core i7 CPUと32GBメモリを搭載したマシン。 0.60
For each example, we test 15 different hyperparameters combining a = 0, 1/6, 1/4, 1/2, 3/4 and b = a2/4, (a2 + 1)/8, 1/4, i.e., 各例について、a = 0, 1/6, 1/4, 1/2, 3/4 と b = a2/4, (a2 + 1)/8, 1/4 を組み合わせた15の異なるハイパーパラメータをテストする。 0.72
  0.85
(a, b) = (0, 0), (0, 1/8), (0, 1/4), (a,b) = (0, 0), (0, 1/8), (0, 1/4), 0.42
(1/6, 1/144), (1/6, 37/288), (1/6, 1/4), (1/6, 1/144), (1/6, 37/288), (1/6, 1/4), 0.40
(1/4, 1/64), (1/4, 17/128), (1/4, 1/4), (1/2, 1/16), (1/2, 5/32), (1/2, 1/4), (1/4, 1/64), (1/4, 17/128), (1/4, 1/4), (1/2, 1/16), (1/2, 5/32), (1/2, 1/4), 0.40
(3/4, 9/64), (3/4, 25/128), (3/4, 1/4) (3/4, 9/64), (3/4, 25/128), (3/4, 1/4) 0.38
 ,  , 0.85
and we set ε = 10−5 for the stopping criteria. そして ε = 10−5 を停止基準に設定した。 0.80
5.1 Artificial test problems (bi-objective and tri-objective) 5.1 人工テスト問題(bi-objectiveとtri-objective) 0.65
First, we solve the multi-objective test problems in the form (1) used in Tanabe et al (2022b), modifications from Jin et al (2001); Fliege et al (2009), whose objective functions are defined by まず、田辺ら(2022b)、Jin et al(2001)、Fliege et al(2009)といった目的関数が定義されている形式の多目的テスト問題を解く。
訳抜け防止モード: まず, 田辺ら (2022b) で用いられる (1 ) 形式の多目的テスト問題を解く。 jin et al (2001 ) ; fliege et al (2009 ) からの修正 目的関数は
0.64
f1(x) = f1(x) = f1(x) = f1(x) = 0.50
(cid:107)x(cid:107)2 , f2(x) = (cid:107)x(cid:107)2 , f2(x) = (cid:107)x(cid:107)2 , f2(x) = (cid:107)x(cid:107)2 , f2(x) = 0.44
1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 0.42
(cid:107)x − 2(cid:107)2, g1(x) = g2(x) = 0, (cid:107)x − 2(cid:107)2, g1(x) = (cid:107)x − 2(cid:107)2, g1(x) = g2(x) = 0, (cid:107)x − 2(cid:107)2, g1(x) = 0.46
1 2n (cid:107)x − 1(cid:107)1, 12n (cid:107)x − 1(cid:107)1, 0.37
    0.85
f1(x) = 1 n2 f1(x) = 1 n2 0.47
i(xi − i)4, f2(x) = exp i(xi − i)4, f2(x) = exp 0.45
f3(x) = n(n + 1) f3(x) = n(n + 1) である。 0.64
f1(x) = 1 n2 f1(x) = 1 n2 0.47
f3(x) = n(n + 1) f3(x) = n(n + 1) である。 0.64
i=1 i(xi − i)4, f2(x) = exp n(cid:88) i=1 である。 i(xi − i)4, f2(x) = exp n(cid:88) 0.40
n(cid:88) i=1 n(第88回) i=1 である。 0.45
n(cid:88) i=1 n(第88回) i=1 である。 0.45
1 n(cid:88) i=1 1 n(第88回) i=1 である。 0.44
1 1 n (cid:32) n(cid:88) 1 1n (cid:32)n(cid:88) 0.40
(cid:33) (cid:107)x(cid:107)1 , g2(x) = + (cid:107)x(cid:107)2 , xi n (cid:33) (cid:107)x(cid:107)1 , g2(x) = + (cid:107)x(cid:107)2 , xi n 0.43
i=1 (cid:32) n(cid:88) i=1 である。 (cid:32)n(cid:88) 0.35
i=1 (cid:33) i=1 である。 (cid:33) 0.35
xi n xin (複数形 xins) 0.28
+ (cid:107)x(cid:107)2 , + (cid:107)x(cid:107)2 , 0.43
(JOS1) (JOS1-L1) (JOS1) (JOS1-L1) 0.38
(FDS) (FDS-CON) (FDS) (FDS-CON) 0.41
(x), i(n − i + 1) exp(−xi), g1(x) = g2(x) = g3(x) = 0, (x) i(n − i + 1) exp(−xi), g1(x) = g2(x) = g3(x) = 0, 0.38
i(n − i + 1) exp(−xi), g1(x) = g2(x) = g3(x) = χRn i(n − i + 1) exp(−xi), g1(x) = g2(x) = g3(x) = シュルン 0.91
+ + where x ∈ Rn, n = 50 and χRn is an indicator function (2) of the nonnegative orthant. + + ここで、x ∈ Rn, n = 50 と , Rn は非負orthant の指標関数 (2) である。 0.56
We choose 1000 initial points, commonly for all pairs (a, b), and randomly with a uniform distribution between c and c, where c = (−2, . . . ,−2)(cid:62) and c = (4, . . . , 4)(cid:62) for (JOS1) and (JOS1-L1), c = (−2, . . . ,−2)(cid:62) and c = (2, . . . , 2)(cid:62) for (FDS), and c = (0, . . . , 0)(cid:62) and c = (2, . . . , 2)(cid:62) for (FDS-CON). ここで c = (−2, . . . . . ,−2)(cid:62) と c = (4, . . . . , 4)(cid:62) は (jos1) と (jos1-l1), c = (−2, . . . . . . . . . . . . . . , 2) (cid:62) は (fds) で c = (0, . . . . . . . . 0)(cid:62) と c = (2, . . . . . . . . . . . . . . . (cid:62) と c = (2, . . . . . . . . . . . . . . . (cid:62)) である。 0.76
Moreover, we use backtracking for updating (cid:96), with 1 as the initial value of (cid:96) and 2 as the constant multiplied into (cid:96) at each iteration (cf. さらに, 1 を初期値 (cid:96) とし, 2 を各イテレーション (cf) において (cid:96) に乗算した定数 (cid:96) とする。 0.79
(Tanabe et al , 2022b, Remark 4.1 (v))). (田辺等、2022b、4.1(v)) 0.44
Furthermore, at each iteration, we transform the subproblem (6) into their dual as suggested in Tanabe et al (2022b) and solve them with the trust-region interior point method (Byrd et al , 1999) using the scientific library SciPy. さらに, 各イテレーションにおいて, サブプロブレム (6) を田辺ら (2022b) の 2 つの双対に変換し, 科学的ライブラリ SciPy を用いて信頼領域内点法 (Byrd et al , 1999) で解いた。 0.76
Figure 1 and Table 1 present the experimental results. 図1と表1は実験結果を示します。 0.90
Figure 1 plots the solutions only for the cases (a, b) = (0, 1/4), (3/4, 1/4), but other combinations also yield similar plots, including a wide range of Pareto solutions. 図1は (a, b) = (0, 1/4), (3/4, 1/4) の場合にのみ解をプロットするが、他の組み合わせもパレート解を含む同様のプロットを生成する。 0.73
Table 1 shows that the new momentum factors are fast enough to compete with the existing ones ((a, b) = (0, 1/4) or b = a2/4) and better than them in some cases. 表1は、新しい運動量因子が既存の因子 ((a, b) = (0, 1/4) や b = a2/4) と競合するのに十分早く、場合によってはそれらより優れていることを示している。 0.66
5.2 Image deblurring (single-objective) 5.2画像デブラリング(single-objective) 0.67
Since our proposed momentum factor is also new in the single-objective context, we also tackle deblurring the cameraman test image via a single-objective (cid:96)2-(cid:96)1 minimization, inspired by Beck and Teboulle (2009). 提案する運動量係数は単一目的文脈でも新しいため,beck と teboulle (2009) にインスパイアされた単目的 (cid:96)2-(cid:96)1 最小化によるカメラマンテスト画像の分離にも取り組んでいる。 0.75
In detail, as shown in Figure 2, to a 256 × 256 cameraman test image with each pixel scaled to [0, 1], we generate an observed image by applying a Gaussian blur of size 9 × 9 詳しくは、図2に示すように、各ピクセルを[0, 1]にスケールした256×256カメラマンテスト画像に対して、サイズ9×9のガウス的ぼかしを適用して観察画像を生成する。 0.88
18 18 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Table 1: Average computational costs to solve the multi-objective examples 表1:多目的例を解くための平均計算コスト 0.89
(a) (JOS1) (b) (JOS1-L1) (a)(JOS1) (b)(JOS1-L1) 0.39
a 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 あ 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 0.49
a 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 あ 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 0.49
b 0 1/8 1/4 1/144 37/288 b 0 1/8 1/4 1/144 37/288 0.36
1/4 1/64 17/128 1/4 1/64 17/128 0.27
1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 0.22
25/128 1/4 25/128 1/4 0.29
Time [s] time (複数形 times) 0.44
Iterations 6.442 5.158 4.207 4.244 5.182 4.268 6.224 7.239 3.205 4.51 4.562 4.466 4.323 3.104 3.741 イテレーション 6.442 5.158 4.207 4.244 5.182 4.268 6.224 7.239 3.205 4.51 4.562 4.466 4.323 3.104 3.741 0.41
97.0 81.217 97.0 81.217 0.25
65.0 67.0 82.0 66.0 99.0 65.0 67.0 82.0 66.0 99.0 0.22
113.566 51.0 72.0 71.0 70.0 67.998 49.0 47.0 113.566 51.0 72.0 71.0 70.0 67.998 49.0 47.0 0.25
(c) (FDS) b (c)(FDS) b 0.41
Time [s] time (複数形 times) 0.44
Iterations 0 1/8 1/4 1/144 37/288 イテレーション 0 1/8 1/4 1/144 37/288 0.43
1/4 1/64 17/128 1/4 1/64 17/128 0.27
1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 0.22
25/128 1/4 25/128 1/4 0.29
29.24 29.797 30.565 24.964 25.375 26.065 22.94 23.311 23.976 17.909 18.14 18.221 13.584 13.674 13.795 29.24 29.797 30.565 24.964 25.375 26.065 22.94 23.311 23.976 17.909 18.14 18.221 13.584 13.674 13.795 0.20
204.438 210.595 214.934 174.393 177.944 182.398 159.737 162.629 166.918 122.653 123.96 125.697 94.176 94.705 94.868 204.438 210.595 214.934 174.393 177.944 182.398 159.737 162.629 166.918 122.653 123.96 125.697 94.176 94.705 94.868 0.20
a 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 あ 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 0.49
a 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 あ 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 0.49
b 0 1/8 1/4 b 0 1/8 1/4 0.37
1/144 37/288 1/144 37/288 0.25
1/4 1/64 17/128 1/4 1/64 17/128 0.24
1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 0.22
1/4 Time [s] 1/4 time (複数形 times) 0.37
Iterations 10.733 11.054 11.122 9.85 9.994 10.399 9.271 9.463 9.662 7.439 7.642 7.723 5.253 5.39 5.678 イテレーション 10.733 11.054 11.122 9.85 9.994 10.399 9.271 9.463 9.662 7.439 7.642 7.723 5.253 5.39 5.678 0.41
157.512 161.065 161.734 141.731 144.863 150.592 135.804 137.108 139.848 109.082 110.204 111.599 77.366 79.425 82.37 157.512 161.065 161.734 141.731 144.863 150.592 135.804 137.108 139.848 109.082 110.204 111.599 77.366 79.425 82.37 0.20
(d) (FDS-CON) (d)(FDS-CON) 0.43
b 0 1/8 1/4 b 0 1/8 1/4 0.36
1/144 37/288 1/144 37/288 0.25
1/4 1/64 17/128 1/4 1/64 17/128 0.24
1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 0.22
1/4 Time [s] 1/4 time (複数形 times) 0.37
Iterations 37.345 37.439 37.94 32.463 38.265 45.661 41.434 33.664 30.772 22.92 23.1 23.539 17.092 17.123 17.115 イテレーション 37.345 37.439 37.94 32.463 38.265 45.661 41.434 33.664 30.772 22.92 23.1 23.539 17.092 17.123 17.115 0.41
259.508 261.522 263.911 227.063 229.736 231.958 209.35 211.69 213.811 158.448 159.685 162.226 118.616 118.063 118.844 259.508 261.522 263.911 227.063 229.736 231.958 209.35 211.69 213.811 158.448 159.685 162.226 118.616 118.063 118.844 0.20
19 19 0.43
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita (a) (JOS1) 田辺、福田、山下 (a)(JOS1) 0.43
(b) (JOS1-L1) (b)(JOS1-L1) 0.33
(c) (FDS) (d) (FDS-CON) (c)(FDS) (d)(FDS-CON) 0.41
Figure 1: Pareto solutions obtained with some (a, b) 図1: (a, b) で得られるパレート溶液 0.65
and standard deviation 4 and adding a zero-mean white Gaussian noise with standard deviation 10−3. そして、標準偏差4と標準偏差10−3のゼロ平均白色ガウスノイズを加える。 0.79
(a) Original (b) Blurred and noisy (a)オリジナル (b)ぼやけた、うるさい 0.71
Figure 2: Deblurring of the cameraman 図2:カメラマンの失敗 0.54
Letting θ, B, and W be the observed image, the blur matrix, and the inverse of the Haar wavelet θ, B, W を観測画像、ぼやけた行列およびハールウェーブレットの逆元とする
訳抜け防止モード: θ, B, W を置く 観察された画像、ぼやけた行列、そしてハールウェーブレットの逆である
0.75
transform, respectively, consider the single-objective problem (1) with m = 1 and 変換は、それぞれ m = 1 と 1 の単目的問題 (1) を考える。 0.71
f1(x) := (cid:107)BW x − θ(cid:107)2 f1(x) := (cid:107)BW x − θ(cid:107)2 0.46
and g1(x) = λ(cid:107)x(cid:107)1 , そして g1(x) = λ(cid:107)x(cid:107)1 である。 0.77
(CAM-DEBLUR) where λ := 2 × 10−5 is a regularization parameter. (CAM-DEBLUR) ここで λ := 2 × 10−5 は正規化パラメータである。 0.74
Unlike in the previous subsection, we can compute ∇f ’s Lipschitz constant by calculating (BW )(cid:62)(BW )’s eigenvalues using the two-dimensional cosine transform (Hansen et al , 2006), so we use it constantly as (cid:96). 前節とは異なり、二次元コサイン変換(hansen et al , 2006)を用いて (bw )(cid:62)(bw ) の固有値を計算することで、f のリプシッツ定数を計算できるので、常に (cid:96) として使うことができる。
訳抜け防止モード: 前節とは異なり、我々は計算できる F のリプシッツ定数 BW ) ( cid:62)(BW ) の固有値を2次元コサイン変換(Hansen et al, 2006)を用いて計算することで、 常に (cid:96 ) として使用しています
0.81
Moreover, we use the observed image’s Wavelet transform as the initial point. さらに,観測画像のウェーブレット変換を初期点として用いる。 0.68
20 0123F10.00.51.01.52. 02.53.0F2(a,b)=(0,0)0123F10.00.51.0 1.52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(0,1/4)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/6,1/144)0123F10.0 0.51.01.52.02.53.0F2 (a,b)=(1/6,37/288)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/6,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/4,17/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/2,1/16)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,5/32)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(3/4,9/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,25/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(3/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(0,0)0123F10.00.51.0 1.52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(0,1/4)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/6,1/144)0123F10.0 0.51.01.52.02.53.0F2 (a,b)=(1/6,37/288)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/6,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/4,17/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/2,1/16)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,5/32)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(3/4,9/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,25/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(3/4,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(0,0)1234F10.51.01.5 2.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/4)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(1/6,1/144)1234F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/6,37/288)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/6,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(1/4,1/64)1234F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/4,17/128)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/2,1/16)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,5/32)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(3/4,9/64)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(3/4,25/128)12345F10 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(0,0)1234F10.51.01.5 2.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/4)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(1/6,1/144)1234F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/6,37/288)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/6,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(1/4,1/64)1234F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/4,17/128)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/2,1/16)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,5/32)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(3/4,9/64)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(3/4,25/128)12345F10 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(0,0)F11000125015001 7502000F25101520F30. 51.01.5(a,b)=(0,1/8)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(0,1/4)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(1/6,1/144)F11000125 0150017502000F251015 20F30.51.01.5(a,b)=(1/6,37/288)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/6,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/4,17/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/16)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,5/32)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.500.751.001.251. 501.75(a,b)=(3/4,9/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.500.751.001.251 .501.75(a,b)=(3/4,25/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.500.751.001.2 51.501.75(a,b)=(3/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(0,0)F11000125015001 7502000F25101520F30. 51.01.5(a,b)=(0,1/8)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(0,1/4)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(1/6,1/144)F11000125 0150017502000F251015 20F30.51.01.5(a,b)=(1/6,37/288)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/6,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/4,17/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/16)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,5/32)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.500.751.001.251. 501.75(a,b)=(3/4,9/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.500.751.001.251 .501.75(a,b)=(3/4,25/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.500.751.001.2 51.501.75(a,b)=(3/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(0,0)F11000120014001 6001800F2102030F30.4 0.60.81.01.2(a,b)=(0,1/8)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(0,1/4)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(1/6,1/144)F11000120 0140016001800F210203 0F30.40.60.81.01.2(a ,b)=(1/6,37/288)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/6,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/4,1/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/4,17/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/2,1/16)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,5/32)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(3/4,9/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(3/4,25/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(3/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(0,0)F11000120014001 6001800F2102030F30.4 0.60.81.01.2(a,b)=(0,1/8)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(0,1/4)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(1/6,1/144)F11000120 0140016001800F210203 0F30.40.60.81.01.2(a ,b)=(1/6,37/288)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/6,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/4,1/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/4,17/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/2,1/16)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,5/32)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(3/4,9/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(3/4,25/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(3/4,1/4) 20 0123F10.00.51.01.52. 02.53.0F2(a,b)=(0,0)0123F10.00.51.0 1.52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(0,1/4)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/6,1/144)0123F10.0 0.51.01.52.02.53.0F2 (a,b)=(1/6,37/288)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/6,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/4,17/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/2,1/16)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,5/32)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(3/4,9/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,25/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(3/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(0,0)0123F10.00.51.0 1.52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(0,1/4)0123F10.00.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/6,1/144)0123F10.0 0.51.01.52.02.53.0F2 (a,b)=(1/6,37/288)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/6,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/4,17/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(1/4,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/2,1/16)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,5/32)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(1/2,1/4)0123F10.00. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(3/4,9/64)0123F10.00 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,25/128)0123F10. 00.51.01.52.02.53.0F 2(a,b)=(3/4,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(0,0)1234F10.51.01.5 2.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/4)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(1/6,1/144)1234F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/6,37/288)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/6,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(1/4,1/64)1234F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/4,17/128)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/2,1/16)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,5/32)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(3/4,9/64)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(3/4,25/128)12345F10 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(0,0)1234F10.51.01.5 2.02.53.0F2(a,b)=(0,1/8)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(0,1/4)1234F10.51.01 .52.02.53.0F2(a,b)=(1/6,1/144)1234F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/6,37/288)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/6,1/4)1234F10.51. 01.52.02.53.0F2(a,b) =(1/4,1/64)1234F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/4,17/128)1234F10. 51.01.52.02.53.0F2(a ,b)=(1/4,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(1/2,1/16)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,5/32)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(1/2,1/4)12345F10.51 .01.52.02.53.0F2(a,b )=(3/4,9/64)12345F10.5 1.01.52.02.53.0F2(a, b)=(3/4,25/128)12345F10 .51.01.52.02.53.0F2( a,b)=(3/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(0,0)F11000125015001 7502000F25101520F30. 51.01.5(a,b)=(0,1/8)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(0,1/4)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(1/6,1/144)F11000125 0150017502000F251015 20F30.51.01.5(a,b)=(1/6,37/288)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/6,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/4,17/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/16)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,5/32)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.500.751.001.251. 501.75(a,b)=(3/4,9/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.500.751.001.251 .501.75(a,b)=(3/4,25/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.500.751.001.2 51.501.75(a,b)=(3/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(0,0)F11000125015001 7502000F25101520F30. 51.01.5(a,b)=(0,1/8)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(0,1/4)F110001250150 017502000F25101520F3 0.51.01.5(a,b)=(1/6,1/144)F11000125 0150017502000F251015 20F30.51.01.5(a,b)=(1/6,37/288)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/6,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/4,17/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.51.01.5(a,b)=(1/4,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/16)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,5/32)F110001250 150017502000F2510152 0F30.51.01.5(a,b)=(1/2,1/4)F1100012501 50017502000F25101520 F30.500.751.001.251. 501.75(a,b)=(3/4,9/64)F110001250 150017502000F2510152 0F30.500.751.001.251 .501.75(a,b)=(3/4,25/128)F1100012 50150017502000F25101 520F30.500.751.001.2 51.501.75(a,b)=(3/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(0,0)F11000120014001 6001800F2102030F30.4 0.60.81.01.2(a,b)=(0,1/8)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(0,1/4)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(1/6,1/144)F11000120 0140016001800F210203 0F30.40.60.81.01.2(a ,b)=(1/6,37/288)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/6,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/4,1/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/4,17/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/2,1/16)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,5/32)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(3/4,9/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(3/4,25/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(3/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(0,0)F11000120014001 6001800F2102030F30.4 0.60.81.01.2(a,b)=(0,1/8)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(0,1/4)F110001200140 016001800F2102030F30 .40.60.81.01.2(a,b)=(1/6,1/144)F11000120 0140016001800F210203 0F30.40.60.81.01.2(a ,b)=(1/6,37/288)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/6,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/4,1/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/4,17/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(1/4,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(1/2,1/16)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,5/32)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(1/2,1/4)F1100012001 40016001800F2102030F 30.40.60.81.01.2(a,b )=(3/4,9/64)F110001200 140016001800F2102030 F30.40.60.81.01.2(a, b)=(3/4,25/128)F1100012 00140016001800F21020 30F30.40.60.81.01.2( a,b)=(3/4,1/4) 0.31
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
Figure 3 shows the reconstructed image from the obtained solution. 図3は、得られた溶液から再構成された画像を示す。 0.62
Images produced by all hyperparameters are similar, so we present only (a, b) = (0, 1/4) and (1/2, 1/4). すべてのハイパーパラメータが生成する画像は似ているので、 (a, b) = (0, 1/4) と (1/2, 1/4) しか存在しない。 0.68
Moreover, we summarize the numerical performance in Table 2 and Figure 4. さらに,表2と図4の数値計算結果を要約する。 0.69
Like the last subsection, this example also suggests that our new momentum factors may occasionally improve the algorithm’s performance even for single-objective problems. 前節と同様に、この例は、我々の新しい運動量要素が、単目的問題であってもアルゴリズムの性能を時折改善する可能性を示唆している。
訳抜け防止モード: 最後の節と同様に、この例も 我々の新しい運動量要素は、単一の客観的な問題であってもアルゴリズムの性能を時折改善する可能性がある。
0.61
(a) (a, b) = (0, 1/4) (a) (a, b) = (0, 1/4) 0.45
(b) (a, b) = (1/2, 1/4) (b) (a, b) = (1/2, 1/4) 0.46
Figure 3: Deblurred image Table 2: Computational costs for the image deblurring 図3:無彩色画像 表2:画像デブラリングの計算コスト 0.74
a 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 あ 0 0 0 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 3/4 3/4 3/4 0.49
b 0 1/8 1/4 b 0 1/8 1/4 0.37
1/144 37/288 1/144 37/288 0.25
1/4 1/64 17/128 1/4 1/64 17/128 0.24
1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 1/4 1/16 5/32 1/4 9/64 25/128 0.22
1/4 Total time [s] 1/4 total time (複数形 total times) 0.40
Iteration counts 558 558 558 460 462 462 421 421 421 305 304 303 368 364 360 イテレーション回数 558 558 558 460 462 462 421 421 421 305 304 303 368 364 360 0.46
85.341 84.796 84.75 73.69 73.853 73.903 68.144 67.447 38.452 27.667 27.995 24.649 33.764 35.112 34.05 85.341 84.796 84.75 73.69 73.853 73.903 68.144 67.447 38.452 27.667 27.995 24.649 33.764 35.112 34.05 0.20
21 21 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita Figure 4: Values of u0(xk) = F1(x) − F1(x∗), where x∗ is the optimal solution estimated from the original image 田辺、福田、山下 図4: u0(xk) = f1(x) − f1(x∗) の値。
訳抜け防止モード: 田辺、福田、山下 図4: u0(xk ) = f1(x ) − f1(x∗ ) の値 x∗ が原画像から推定される最適解である場合
0.65
6. Conclusion We have generalized the momentum factor of the multi-objective accelerated proximal gradient algorithm (Tanabe et al , 2022b) in a form that is even new in the single-objective context and includes the known FISTA momentum factors (Beck and Teboulle, 2009; Chambolle and Dossal, 2015). 結論 我々は,多目的加速近位勾配アルゴリズム(Tanabe et al , 2022b)の運動量係数を,単目的文脈においてさらに新しい形で一般化し,既知のFISTA運動量因子を含む(Beck and Teboulle, 2009; Chambolle and Dossal, 2015)。 0.52
Furthermore, with the proposed momentum factor, we proved under reasonable assumptions that the algorithm has an O(1/k2) convergence rate and that the iterates converge to Pareto solutions. さらに,提案する運動量係数を用いて,アルゴリズムがo(1/k2)収束率を持ち,イテレートがパレート解に収束するという合理的な仮定の下で証明した。 0.72
Moreover, the numerical results reinforced these theoretical properties and suggested the potential for our new momentum factor to improve the performance. さらに, この理論特性を数値的に補強し, 性能向上のための新たな運動量係数の可能性を示唆した。 0.76
As we mentioned in Section 4, our proposed method has the potential to achieve finite-time manifold (active set) identification (Sun et al , 2019) without the assumption of the strong convexity (or its generalizations such as PL conditions or error bounds (Karimi et al , 2016)). 第4節で述べたように、提案手法は、強い凸性(あるいはpl条件や誤差境界(karimi et al , 2016)のような一般化を前提にせずに、有限時間多様体(アクティブ集合)の識別(sun et al , 2019)を実現する可能性を秘めている。 0.72
Moreover, we took a single update rule of tk for all iterations in this work, but the adaptive change of the strategy in each iteration is conceivable. さらに、この作業ですべてのイテレーションに対してtkの1回の更新ルールを適用したが、各イテレーションにおける戦略の適応的な変更は考えられる。 0.70
It might also be interesting to estimate the Lipschitz constant simultaneously with that change, like in Scheinberg et al (2014). また、Schinberg et al (2014)のように、この変化と同時にリプシッツ定数を見積もることも興味深いかもしれない。 0.64
In addition, an extension to the inexact scheme like Villa et al (2013) would be significant. さらに、Villa et al (2013)のような不正確なスキームの拡張も重要である。 0.67
Those are issues to be addressed in the future. これらは将来的に対処すべき問題です。 0.74
Acknowledgements This work was supported by the Grant-in-Aid for Scientific Research (C) (21K11769 and 19K11840) and Grant-in-Aid for JSPS Fellows (20J21961) from the Japan Society for the Promotion of Science. 覚書 この研究は、日本科学振興協会のGrant-in-Aid(21K1176 9と19K11840)とGrant-in-Aid for JSPS Fellows(20J21961)によって支援された。 0.60
References H. Attouch and J. Peypouquet. 参考文献 H. AttouchとJ. Peypouquet。 0.54
The rate of convergence of Nesterov’s accelerated forward-backward method is actually faster than 1/k2. ネステロフの加速前進法の収束速度は実際1/k2よりも速い。 0.67
SIAM Journal on Optimization, 26(3):1824–1834, sep 2016. siam journal on optimization, 26(3):1824–1834, sep 2016を参照。 0.75
ISSN 10526234. ISSN 10526234。 0.41
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URL https://doi.org/10.1 137/15M1046095. URL https://doi.org/10.1 137/15M1046095 0.20
22 020040010−1101103105107(a,b)=(0,0)(a,b)=(0,1/8)(a,b)=(0,1/4)(a,b)=(1/6,1/144)(a,b)=(1/6,37/288)(a,b)=(1/6,1/4)(a,b)=(1/4,1/64)(a,b)=(1/4,17/128)(a,b)=(1/4,1/4)(a,b)=(1/2,1/16)(a,b)=(1/2,5/32)(a,b)=(1/2,1/4)(a,b)=(3/4,9/64)(a,b)=(3/4,25/128)(a,b)=(3/4,1/4) 22 020040010−1101103105107(a,b)=(0,0)(a,b)=(0,1/8)(a,b)=(0,1/4)(a,b)=(1/6,1/144)(a,b)=(1/6,1/4)(a,b)=(1/4,1/64)(a,b)=(1/4,17/128)(a,b)=(1/4,17/128)(a,b)=(1/4,1/4)(a,b)=(1/2,1/16)(a,b)=(1/2,5/32)(a,b)=(1/2,1/4)(a,b)=(1/2,1/4)(a,b)=(1/2,1/4)(a,b)=(4,4,4/64)(a,b)=(a,b)=(4,4,4,4,4)=(a,4,4,4,4)=(a,b) 0.36
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
H. Attouch, Z. Chbani, J. Peypouquet, and P. Redont. H. Attouch、Z. Chbani、J. Peypouquet、P. Redont。 0.43
Fast convergence of inertial dynamics and algorithms with asymptotic vanishing viscosity. 漸近的に消滅する粘性を持つ慣性力学とアルゴリズムの高速収束 0.81
Mathematical Programming, 168(1):123–175, mar 2018. 数学プログラミング 168(1):123–175, mar 2018 0.78
ISSN 1436-4646. ISSN 1436-4646。 0.38
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A. Beck and M. Teboulle. a. beckとm. teboulle。 0.67
A fast iterative shrinkage-thresholdi ng algorithm for linear inverse ISSN 19364954. 線形逆issn 19364954に対する高速反復的縮小抑制アルゴリズム 0.70
doi: problems. SIAM Journal on Imaging Sciences, 2(1):183–202, jan 2009. Doi: 問題だ siam journal on imaging sciences, 2(1):183–202, 2009年1月。 0.55
10.1137/080716542. 10.1137/080716542. 0.25
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Y. Bello-Cruz, J. G. Melo, and R. V. Serra. Y. Bello-Cruz、J. G. Melo、R. V. Serra。 0.38
A proximal gradient splitting method for solving convex vector optimization problems. 凸ベクトル最適化問題を解くための近位勾配分割法 0.82
Optimization, 71(1):33–53, jan 2022. 最適化:71(1):33–53, jan 2022。 0.37
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R. I. Bot¸ and S. M. Grad. R.I.ボットとS.M.グラッド。 0.52
Inertial forward-backward methods for solving vector optimization problems. ベクトル最適化問題を解決する慣性フォワードバックワード法 0.69
Optimization, 67(7):959–974, jul 2018. 最適化, 67(7):959-974, jul 2018。 0.70
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H. Bonnel, A. N. Iusem, and B. F. Svaiter. H. Bonnel、A.N. Iusem、B.F. Svaiter。 0.40
Proximal methods in vector optimization. ベクトル最適化における近似法 0.73
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An interior point algorithm for large-scale nonlinear ISSN 1052-6234. 大規模非線形 issn 1052-6234 のインテリアポイントアルゴリズム 0.77
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G. A. Carrizo, P. A. Lotito, and M. C. Maciel. G. A. Carrizo、P. A. Lotito、M. C. Maciel。 0.79
Trust region globalization strategy for the nonconvex unconstrained multiobjective optimization problem. 非凸非拘束多目的最適化問題に対する信頼領域グローバリゼーション戦略 0.79
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E. Carrizosa and J. B. G. Frenk. E. Carrizosa と J. B. G. Frenk 0.48
Dominating sets for convex functions with some applications. いくつかのアプリケーションで凸関数のセットを支配。 0.66
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A. Chambolle and C. Dossal. A. ChambolleとC. Dossal。 0.87
On the convergence of the iterates of the “Fast Iterative Shrinkage/Thresholdi ng Algorithm”. 高速反復的縮小/thresholdingアルゴリズム」のイテレートの収束について 0.64
Journal of Optimization Theory and Applications, 166(3):968–982, may 2015. journal of optimization theory and applications, 166(3):968–982, may 2015年5月。 0.79
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J. A. D´esid´eri. Multiple-gradient descent algorithm (MGDA) for multiobjective optimization. J.A.D.。 多目的最適化のための多段階降下アルゴリズム(mgda) 0.69
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J.CRMA.2012.03.014. J.CRMA.2012.03.014 0.17
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J. -D. Dong, A. J。 -D。 ドン、A。 0.60
-C. Cheng, D. -C。 チェン d. 0.41
-C. Juan, W. Wei, and M. Sun. -C。 フアン、w・ウェイ、m・サン 0.42
DPP-Net: Device-aware progressive search for Pareto-optimal neural architectures. DPP-Net:Pareto-Optim al Neural Architectureのデバイス対応プログレッシブ検索。 0.64
In V. Ferrari, H. Martial, C. Sminchisescu, and Y. Weiss, editors, Computer Vision – ECCV 2018, pages 540–555. V. Ferrari, H. Martial, C. Sminchisescu, Y. Weiss, editors, Computer Vision – ECCV 2018, pages 540–555。
訳抜け防止モード: V. Ferrari, H. Martial, C. Sminchisescu, Y. Weiss 編集者、コンピュータビジョン、ECCV 2018、ページ540-555。
0.82
Springer Cham, Munich, first ISBN 9783030012519. ミュンヘンのスプリンガー・チャム、最初のisbn 9783030012519。 0.63
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T. Elsken, F. Hutter, and J. H. Metzen. T・エルスケン、F・ハッター、J・H・メッツェン。 0.53
Efficient multi-objective neural architecture search via Lamarckian evolution. lamarckian evolutionによる効率的な多目的ニューラルネットワーク探索。 0.62
In 7th International Conference on Learning Representations, 2019. 第7回「学習表現に関する国際会議」開催。 0.66
URL https://openreview.n et/forum? URL https://openreview.n et/forum? 0.29
id=ByME42AqK7. id=ByME42AqK7。 0.21
H. Eschenauer, J. Koski, and A. Osyczka. H. Eschenauer、J. Koski、A. Osyczka。 0.44
Multicriteria Design Optimization. マルチ基準設計最適化 0.82
Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 1990. ベルリン・ハイデルベルク、ベルリン、ハイデルベルク、1990年。 0.69
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23 23 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
Tanabe, Fukuda, and Yamashita J. Fliege and B. F. Svaiter. 田辺、福田、山下 j. fliegeとb. f. svaiter。 0.52
Steepest descent methods for multicriteria optimization. 多基準最適化のための静的降下法 0.64
Mathdoi: マトドイ(Mathdoi) 0.36
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E. H. Fukuda and L. M. Gra˜na Drummond. E・H・福田とL・M・グラ・シュナ・ドラモンド。 0.37
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E. H. Fukuda and L. M. Gra˜na Drummond. E・H・福田とL・M・グラ・シュナ・ドラモンド。 0.37
A survey on multiobjective descemt methods. 多目的descemt法に関する調査 0.61
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24 24 0.42
英語(論文から抽出)日本語訳スコア
A globally convergent FISTA グローバルに収束したfista 0.57
X. Lin, H. -L. x.リン、h. -L。 0.58
Zhen, Z. Li, Q. Zhang, and S. Kwong. zhen、z. li、q. zhang、s. kwong。 0.66
Pareto multi-Task learning. pareto マルチタスク学習。 0.63
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