# (参考訳) 確率回路上の制約緩和によるクレダルベイズネットワークのロバスト性保証 [全文訳有]

Robustness Guarantees for Credal Bayesian Networks via Constraint Relaxation over Probabilistic Circuits ( http://arxiv.org/abs/2205.05793v1 )

ライセンス: CC BY 4.0
Hjalmar Wijk, Benjie Wang, Marta Kwiatkowska(参考訳) 多くの領域において、分布シフトを受ける決定関数の性能(例えば予測精度)と環境の不確実性に関する最悪の保証が重要である。 本研究では,不確実性がパラメータのクレダル集合によって表現される環境の形式的パラメトリックモデルであるクレダルベイズネットワークに関して,決定関数のロバスト性を定量化する手法を開発した。 特に,最大限界確率(MARmax)問題,すなわち,干潟集合のパラメータに対して得られる事象の最大確率(誤分類など)を決定する問題に対処する。 確率回路上の制約付き最適化問題に問題を忠実に伝達する手法を開発した。 簡単な制約緩和を行うことで、回路の大きさの線形時間におけるmarmax上の保証された上限を得る方法を示す。 さらに理論上、この制約緩和を元のベイズネットワーク構造の観点から特徴づけ、境界の厳密性についての洞察を与える。 提案手法を実装し,上界が密接に近く,他の手法と比較してスケーラビリティが向上していることを示す実験的な証拠を提供する。

In many domains, worst-case guarantees on the performance (e.g., prediction accuracy) of a decision function subject to distributional shifts and uncertainty about the environment are crucial. In this work we develop a method to quantify the robustness of decision functions with respect to credal Bayesian networks, formal parametric models of the environment where uncertainty is expressed through credal sets on the parameters. In particular, we address the maximum marginal probability (MARmax) problem, that is, determining the greatest probability of an event (such as misclassification) obtainable for parameters in the credal set. We develop a method to faithfully transfer the problem into a constrained optimization problem on a probabilistic circuit. By performing a simple constraint relaxation, we show how to obtain a guaranteed upper bound on MARmax in linear time in the size of the circuit. We further theoretically characterize this constraint relaxation in terms of the original Bayesian network structure, which yields insight into the tightness of the bound. We implement the method and provide experimental evidence that the upper bound is often near tight and demonstrates improved scalability compared to other methods.
公開日: Wed, 11 May 2022 22:37:07 GMT

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2 2 0 2 y a M 1 1 2 2 0 2 y a m 1 1 である。 0.54
] I A . s c [ 【私】 A! sc [ 0.50
1 v 3 9 7 5 0 1 v 3 9 7 5 0 0.43
. 5 0 2 2 : v i X r a . 5 0 2 2 : v i X r a 0.42
Robustness Guarantees for Credal Bayesian Networks via Constraint Relaxation 制約緩和によるクレダルベイズネットワークのロバスト性保証 0.66
over Probabilistic Circuits hjalmar.wijk@st-anne s.ox.ac.uk, benjie.wang@keble.ox .ac.uk, marta.kwiatkowska@cs .ox.ac.uk 確率回路を乗り越え Hjalmar.wijk@st-anne s.ac.uk, benjie.wang@keble.ox .ac.uk, marta.kwiatkowska@cs .ox.uk 0.45
Hjalmar Wijk , Benjie Wang , Marta Kwiatkowska Hjalmar Wijk , Benjie Wang , Marta Kwiatkowska 0.43
University of Oxford オックスフォード大学 0.57
Abstract In many domains, worst-case guarantees on the performance (e g , prediction accuracy) of a decision function subject to distributional shifts and uncertainty about the environment are crucial. 概要 多くの領域において、分布シフトを受ける決定関数の性能(例えば予測精度)と環境の不確実性に関する最悪の保証が重要である。 0.62
In this work we develop a method to quantify the robustness of decision functions with respect to credal Bayesian networks, formal parametric models of the environment where uncertainty is expressed through credal sets on the parameters. 本研究では,不確実性がパラメータのクレダル集合によって表現される環境の形式的パラメトリックモデルであるクレダルベイズネットワークに関して,決定関数のロバスト性を定量化する手法を開発した。 0.73
In particular, we address the maximum marginal probability (MARmax) problem, that is, determining the greatest probability of an event (such as misclassification) obtainable for parameters in the credal set. 特に,最大限界確率(MARmax)問題,すなわち,干潟集合のパラメータに対して得られる事象の最大確率(誤分類など)を決定する問題に対処する。 0.73
We develop a method to faithfully transfer the problem into a constrained optimization problem on a probabilistic circuit. 確率回路上の制約付き最適化問題に問題を忠実に伝達する手法を開発した。 0.80
By performing a simple constraint relaxation, we show how to obtain a guaranteed upper bound on MARmax in linear time in the size of the circuit. 簡単な制約緩和を行うことで、回路の大きさの線形時間におけるmarmax上の保証された上限を得る方法を示す。 0.78
We further theoretically characterize this constraint relaxation in terms of the original Bayesian network structure, which yields insight into the tightness of the bound. さらに理論上、この制約緩和を元のベイズネットワーク構造の観点から特徴づけ、境界の厳密性についての洞察を与える。 0.73
We implement the method and provide experimental evidence that the upper bound is often near tight and demonstrates improved scalability compared to other methods. 提案手法を実装し,上界が密接に近く,他の手法と比較してスケーラビリティが向上していることを示す実験的な証拠を提供する。 0.65
1 Introduction Probabilistic models allow us to make quantitative inferences about the behaviour of complex systems, and are an important tool to guide their use and design. 1 確率モデルの導入により、複雑なシステムの振る舞いを定量的に推測できるようになり、それらの利用と設計をガイドするための重要なツールとなる。 0.73
When such models are learnt from data, exposed to potential distribution shifts or are partially unknown, it is important to be able to verify the robustness of inferences on the model to these uncertainties. このようなモデルがデータから学習されたり、潜在的分布シフトに晒されたり、部分的に未知であったりする場合には、モデル上の推論の堅牢性を検証することが重要である。 0.70
This is particularly relevant for decision functions taking action in the model, where much work has gone into verifying worst-case behaviour when exposed to various disturbances or changes in the environment (distribution shifts). これは、様々な障害や環境の変化に晒された場合(分配シフト)に最悪の振る舞いを検証するために多くの作業が費やされたモデルで行動する決定関数に特に関係している。 0.72
Causal Bayesian networks (BNs) [Pearl, 1985] are compelling models for this purpose, since one can perform causal interventions on them, giving rise to families of distributions that share a common structure. Causal Bayesian Network (BNs) [Pearl, 1985] はこの目的のために説得力のあるモデルである。
訳抜け防止モード: Causal Bayesian Network (BNs ) [ Pearl, 1985 ] はこの目的のために魅力的なモデルである。 因果的介入を行うことができるため、共通の構造を共有する分布の族が生まれる。
However, performing useful inference on BNs is often intractable, and one way to address しかし、BN上で有用な推論を行うことは、しばしば難解であり、対処する一つの方法である。 0.50
this is to compile them into more tractable representations such as arithmetic circuits [Darwiche, 2003]. これはそれらを算術回路(Darwiche, 2003)のようなよりトラクタブルな表現にコンパイルする。 0.73
Recent work has shown that such compilation methods can also efficiently compute bounds on a decision function’s robustness to causal interventions [Wang et al , 2021]. 近年の研究では、このようなコンパイル手法が因果介入に対する決定関数の堅牢性(Wang et al , 2021]のバウンダリを効率的に計算できることが示されている。 0.66
A limiting factor on the applicability of these methods is the need to have an exact model, where all non-intervened parameters are known precisely. これらの手法の適用性の制限要因は、すべての非介入パラメータが正確に知られている正確なモデルを持つことである。 0.75
This is difficult to achieve when learning parameters from data, since most settings will only allow reliable determination up to some error bound ǫ. データからパラメータを学習する場合、ほとんどの設定ではエラーバウンドまで信頼できる判断しかできないため、これは難しい。 0.71
In this paper we study robustness of credal Bayesian networks (CrBNs) [Mau´a and Cozman, 2020], a generalisation of Bayesian networks where parameters are only known to be within some credal sets (e g , intervals). 本稿では,credal bayesian networks (crbns) [mau ́a and cozman, 2020] のロバスト性について検討する。
訳抜け防止モード: 本稿では,credal bayesian networks (crbns) [ mau ́a and cozman, 2020] のロバスト性について検討する。 ベイズネットワークの一般化 パラメータはいくつかのクレダル集合(例えば、インターバル)内にあることが知られている。
They can be used to model causal interventions, but are also very well suited to modelling parameters learned from data, as well as modelling of exogenous variables [Zaffalon et al , 2020]. これらは因果的介入のモデル化に使用できるが、データから学習したパラメータのモデリングや、外因性変数のモデリングにも非常に適している [zaffalon et al , 2020]。 0.82
We consider the maximum marginal probability (MARmax) problem for CrBNs and develop a solution by encoding the network as a tractable probabilistic circuit (a credal extension of sum-product networks, called CSPNs). 我々は、CrBNの最大限界確率(MARmax)問題を考察し、ネットワークをトラクタブル確率回路(CSPNと呼ばれる累積ネットワークの断続的拡張)として符号化することで解決する。 0.82
More specifically, this paper makes the following contributions: より具体的には、下記の貢献を行う。 0.63
(i) a method for constructing a probabilistic circuit whose parameters semantically represent the conditional probability distributions of a BN, allowing the transfer of credal inference problems from a highly intractable setting (CrBNs) to a tractable one (CSPN) through constraint relaxation; 一 パラメータがBNの条件確率分布を意味的に表す確率回路の構築方法であって、制約緩和により、高難易度の設定(CrBN)からトラクタブルな設定(CSPN)への移行を可能にすること。 0.75
(ii) algorithms which make use of this transfer to compute upper and lower bounds on probabilities of events under many forms of parameter uncertainty; (ii)多くのパラメータの不確かさの形で事象の確率の上限及び下限を計算するためにこの伝達を利用するアルゴリズム 0.80
(iii) a characterization of the tightness of the upper bound in terms of the network structure; and (iii)ネットワーク構造における上界の密着性の特徴 0.50
(iv) an evaluation on a set of benchmarks, demonstrating comparable precision and significantly improved scalability compared to state-of-the-art credal network inference, while also providing formal guarantees. (iv) 一連のベンチマークの評価を行い、その精度とスケーラビリティを最先端のクレダルネットワーク推論と比較して著しく向上し、また正式な保証も提供した。 0.69
Due to space constraints some details and proofs can the extended paper at 空間の制約のため、いくつかの詳細と証明は拡張された紙にできる。 0.56
be found in the Appendix of http://www.fun2model .org/bibitem.php? http://www.fun2model .org/bibitem.php? 0.30
key=WWK22 1.1 Related Work キー=wwk22 1.1 関連作業 0.58
The problem of robustness of inferences under imprecise knowledge of the distribution has been studied under many guises. 不正確な分布の知識の下での推論のロバスト性の問題は多くの好意の下で研究されてきた。 0.60
In the machine learning community, there has been much work on robustness of classifiers to simple adversarial 機械学習コミュニティでは、単純な敵への分類器のロバスト性について多くの研究がなされてきた 0.57
attacks or distribution shifts [Qui˜nonero-Candela et al , 2009; Zhang et al , 2015; Lipton et al , 2018]. 攻撃または分配のシフト [Qui snonero-Candela et al , 2009; Zhang et al , 2015; Lipton et al , 2018] 0.89
Motivated by safety concerns, methods have been developed to compute formal guarantees of robustness through constraint solv[Katz et al , 2017; Narodytska et al , 2018] or output ing reachability analysis [Ruan et al , 2018]. 安全性への懸念から,制約ソルバ[katz et al , 2017; narodytska et al , 2018]あるいはoutput ing reachability analysis [ruan et al , 2018]によるロバストネスの形式的保証を計算する手法が開発された。 0.81
However, these methods do not model the environment, and are thus limited in the types of distributional shifts they can address. しかし、これらの手法は環境をモデル化せず、そのために対処できる分布シフトの種類に制限される。 0.78
instance, analysis is concerned with the 例えば 分析 は concerned (複数形 concerneds) 0.50
In the Bayesian network literature, ベイジアン・ネットワーク文学において。 0.71
robustness has primarily been studied in terms of the effect of parameters on inference queries, such as marginal probabilities. 頑健性は主に、パラメータが推論クエリ(例えば限界確率)に与える影響について研究されている。
訳抜け防止モード: 頑健性は、主に推論クエリに対するパラメータの影響の観点から研究されている。 限界確率などです
[Coup´e et al , 2000; sensitivity For Chan and Darwiche, 2004] effect of small, local changes/perturbation s to parameters. [coup ́e et al, 2000; sensitivity for chan and darwiche, 2004] パラメータに対する小さな局所的な変化/摂動の影響。 0.85
Closer to our work is the formalism of credal networks [Mau´a and Cozman, 2020], which imprecise knowledge by positing sets of parameters for each conditional distribution, rather than precise values. 私たちの研究に近いのは、正確な値ではなく、各条件分布にパラメータの集合を仮定することで、知識を不正確なものにする、(Mau ́a and Cozman, 2020] クレダルネットワークの形式主義である。
訳抜け防止モード: 私たちの仕事に近いのは、credalネットワークの形式化です [ mau ́a and cozman, 2020]。 正確な値ではなく、各条件分布のパラメータの集合を仮定することで、知識を損なう。
Inference then corresponds to computing maximal (or minimal) probabilities over the possible parameter values. 推論は、可能なパラメータ値に対する最大(または最小)確率の計算に対応する。 0.75
Unfortunately, exact methods for inference in credal networks do not perform well except for smaller networks with simple credal sets, or in special cases such as polytrees [Fagiuoli and Zaffalon, 1998; De Campos and Cozman, 2007]. 残念なことに、単純なクレダル集合を持つ小さなネットワークやポリツリー(Fagiuoli and Zaffalon, 1998; De Campos and Cozman, 2007)のような特殊なケースを除いて、クレダルネットワークにおける正確な推論方法はうまく機能しない。 0.62
On the other hand, approximate methods [Cano et al , 2007; Antonucci et al , 2010; Antonucci et al , 2015] usually cannot provide theoretical guarantees (upper bounds), limiting their applicability in safety-critical scenarios. 一方、近似法(cano et al , 2007; antonucci et al , 2010; antonucci et al , 2015)は通常、理論的な保証(上限)を提供できず、安全クリティカルなシナリオでの適用性を制限する。
訳抜け防止モード: 一方、近似手法 [Cano et al, 2007 ; Antonucci et al, 2010 ; Antonucci et al, 2015 ] は通常、理論的保証(上限)を提供できない。 安全性 - 重要なシナリオにおける適用性を制限する。
represent This paper builds on work showing the tractability of credal inference for certain probabilistic circuits [Mau´a et al , 2017] [Mattei et al , 2020]. 代表 本稿では, ある確率回路 [Mau ́a et al , 2017] [Mattei et al , 2020] における, 震源推定のトラクタビリティについて述べる。 0.67
Our key contribution is a method for mapping credal network problems into tractable credal inference problems on probabilistic circuits, which affords not only greater scalability compared to the state-of-the-art in credal network inference, but also provides formal guarantees. 我々の重要な貢献は、確率的回路上でcredalネットワーク問題を扱いやすいcredal推論問題にマッピングする方法であり、credalネットワーク推論における最先端技術よりも高いスケーラビリティを実現するだけでなく、形式的な保証を提供する。 0.55
Finally, methods for providing robustness guarantees for classifiers in combination with a Bayesian network environment model have recently been proposed [Wang et al , 2021]. 最後に,ベイジアンネットワーク環境モデルと組み合わせて分類器の堅牢性を保証する手法が最近提案されている[Wang et al , 2021]。 0.85
Our paper generalizes and extends their work, enabling efficient computation for broader and more realistic classes of parameter uncertainty. 本稿では,パラメータの不確実性のより広範かつ現実的なクラスに対する効率的な計算を可能にする。 0.69
2 Background A Bayesian network (BN) N = (G, Θ) over discrete variables V = {V1, ..., Vn} consists of a directed acyclic graph (DAG) G = (V , E) and a set of parameters Θ. 2 背景 離散変数 V = {V1, ..., Vn} 上のベイズネットワーク (BN) N = (G, ) は、有向非巡回グラフ (DAG) G = (V , E) とパラメータの集合 を成す。 0.72
It is a factoring of a joint probability distribution pN into conditional distributions for each variable, such that 共役確率分布 pN の各変数の条件分布への分解である。 0.62
pN (V1, ..., Vn) = pN (V1, ..., Vn) = 0.42
n Y i=1 n Y i=1 である。 0.39
pN (Vi|pa(Vi)), pN(Vi|pa(Vi)) 0.45
where the parents pa(Vi) of Vi are the set of variables Vj such that (Vj , Vi) ∈ E. Θ is the set of parameters of the form: ここで、vi の親 pa(vi) は変数 vj の集合であり、(vj , vi) ∈ e. θ は形式のパラメータの集合である。 0.68
θvi|ui = pN (Vi = vi|Ui = ui), θvi|ui = pN (Vi = vi|Ui = ui) 0.43
for each instantiation vi, ui of a variable Vi and its parents Ui. インスタンス毎に、変数 Vi とその親 Ui の ui を指定します。 0.67
Given a Bayesian network model, to obtain useful information about the distribution we will need to perform inference. ベイズネットワークモデルが与えられた場合、分布に関する有用な情報を得るためには推論を行う必要がある。 0.74
For example, we might wish to obtain the probability pN (W = w) for some subset of variables W ⊆ V , a procedure known as marginalization. 例えば、変数のある種の部分集合に対して確率 pN (W = w) を得たいかもしれない。
訳抜け防止モード: 例えば、変数のある種の部分集合に対して確率 pN (W = w ) を得たいかもしれない。 限界化と呼ばれる方法。
In the worst case, marginal inference in Bayesian networks is known to be #P-complete, though many practical inference methods exist. 最悪の場合、ベイズネットワークの限界推論は#p完全であることが知られているが、多くの実用的な推論方法が存在する。 0.49
Given a classifier, we can represent its input-output behaviour using a decision function F : X → Y , which observes some subset X ⊆ V and tries to predict Y ∈ V . 分類器が与えられたとき、決定関数 F : X → Y を用いて入力出力の振る舞いを表現できる。
訳抜け防止モード: 分類器が与えられた場合、決定関数 F : X → Y を用いて入力-出力動作を表現することができる。 ある部分集合 X × V を観測し、Y ∈ V を予測しようとする。
To combine this with a Bayesian network environment model N , we follow [Wang et al , 2021] in the construction of an augmented BN NF , which is a Bayesian network based on N where an additional variable (node) ˆY is added with pa( ˆY ) = X and pNF ( ˆY = ˆy|X = x) = 1[ˆy = F (x)]. これをベイズ的ネットワーク環境モデル N と組み合わせるために、[Wang et al , 2021] は N に基づくベイズ的ネットワークである拡張BN NF の構築に従う。
訳抜け防止モード: これをベイズネットワーク環境モデルNと組み合わせる。 我々は、拡張BNNFの構築において[Wang et al, 2021 ]に従う。 これは N に基づくベイズネットワークであり、追加の変数 (ノード ) {\displaystyle N} を pa ( >Y ) = X と pNF ( >Y = >y|X = x ) = 1[>y = F ( x ) ] で加える。
NF is thus a unified model of environment and decision maker, and inference on the model can answer questions such as the prediction accuracy pNF ( ˆY = Y ). したがってnf は環境と意思決定者の統一モデルであり、モデル上の推論は予測精度 pnf (y = y ) のような質問に答えることができる。 0.77
3 Robust Inference on Bayesian Networks 3 ベイズネットワーク上のロバスト推論 0.79
It is rarely the case that we can specify the parameters of a Bayesian network with complete certainty before performing inference. 推論を行う前にベイズネットワークのパラメータを完全な確実性で指定できるのは滅多にない。 0.65
Firstly, whether the parameters are learned from data or elicited from expert knowledge, the knowledge that we obtain regarding the parameters is typically imprecise, specified as sets or intervals. 第一に、パラメータがデータから学習されるか、専門家の知識から抽出されるかに関わらず、パラメータに関する知識は通常不正確であり、集合や間隔として指定される。 0.60
Secondly, when the Bayesian network is imbued with a causal interpretation, one is often concerned about potential distribution shift, modelled by causal interventions, and their effect on inference queries. 第二に、ベイズネットワークに因果解釈が組み込まれている場合、因果的介入によってモデル化された潜在的分布シフトと推論クエリへの影響がしばしば懸念される。 0.81
As a running example, consider a fictional scenario depicted in Figure 1, where patients are infected by some unobservable strain S of a disease, with some strains much more severe than others, and a decision rule F must be created based on observable symptoms V and test results R that decides whether to administer an expensive treatment option. 例えば、図1に示す架空のシナリオでは、患者が病気の観察不能なs株に感染し、他の菌株よりもはるかに重篤な場合があり、観察可能な症状vと、高価な治療オプションを管理するかどうかを判定する試験結果rに基づいて決定規則fを作成する必要がある。 0.78
While it is desirable to save resources by only administering treatment for the more severe strains, the result of denying treatment to a patient with a severe strain would be disastrous, so a guarantee is needed that the decision rule has a robustly low probability of an erroneous decision. より重度な系統に対してのみ治療を行うことで資源を節約することが望ましいが、重度な系統の患者に対する治療を拒否することは悲惨な結果となるため、決定ルールが誤った決定の可能性が極めて低いという保証が必要である。 0.80
To provide such a guarantee we model the system as an augmented BN NF over variables {S, V, R, T }, where T is binary and deterministic, given by F (v, r). そのような保証を得るために、我々はシステムを変数 {S, V, R, T } 上の拡張BN NFとしてモデル化する。
訳抜け防止モード: 保証をすること 我々は、そのシステムを変数 { s, 上の拡張bn nfとしてモデル化する。 ここで t は二元的かつ決定論的である。 f ( v , r ) で与えられる。
However, we do not have precise knowledge over the parameters of the BN, so we instead design intervals which specify the range of values a parameter could take. しかし、BNのパラメータについて正確な知識を持っていないため、パラメータが取ることのできる値の範囲を指定した間隔を設計する。 0.78
We start with θS, the distribution over the strains. まず、ひずみ上の分布であるθSから始める。 0.71
We expect that the decision rule will be deployed across a variety of areas and times, and as such we are concerned about distributional shifts in θS. 我々は,決定ルールが様々な領域や時間にわたって展開されることを期待し,θSの分布シフトを懸念する。 0.78
We could thus decide to allow any probability distribution across the strains, i.e. θS=s ∈ [0, 1]. したがって、任意の確率分布、すなわち θs=s ∈ [0, 1] を許容することを決定できる。 0.81
We imagine the tests used are very well understood, and we know θR|s exactly. 使用するテストは非常によく理解されており、θR|sを正確に知っています。 0.65
Moving onto the parameters θV |s, describing the symptoms of a particular strain, we might expect that these, unlike θS , are relatively fixed across different settings. パラメータ θV |s に移動して、特定のひずみの症状を記述すると、θS とは異なり、これらは異なる設定で相対的に固定される。 0.67
However, gathering enough data on each strain and symptom combination to be certain of this (fixed) parameter value might turn out to be challenging. しかし、この(固定された)パラメータ値に確信を持てるような、各ひずみと症状の組み合わせに関する十分なデータを集めることは困難である。 0.70
In this case it might be suitable to この場合は適当かもしれない 0.73
Symptoms V Strain S 症状 V ひずみ S 0.42
Treatment T Test Results 治療 T テスト 結果 0.68
R Figure 1: The DAG of an augmented BN modelling a simple fictional medical treatment scenario. R 図1: 単純な架空の医療シナリオをモデル化した拡張BNのDAG。 0.60
take mean estimates of the parameter values θ∗ select some confidence interval [θ∗ V =v|s − ǫ, θ∗ パラメータ値 θ∗ の平均推定値を取ると、ある信頼区間 [θ∗ V =v|s − s, θ∗] を選択する。 0.65
V =v|s, and then V =v|s + ǫ]. V =v|s, そして V =v|s + s] である。 0.71
3.1 Credal Bayesian Networks To formalize the prior discussion, we use credal Bayesian networks [Mau´a and Cozman, 2020], a framework that encompasses both causal interventions and imprecise knowledge of parameters. 3.1 クレダルベイズネットワーク 以前の議論を形式化するために、私たちは、因果的介入とパラメータの不正確な知識の両方を含む、クレダルベイズネットワーク(Mau ́a and Cozman, 2020)を使用します。
訳抜け防止モード: 3.1 クレダルベイズネットワーク 事前の議論を形式化するために credal bayesian networks [ mau ́a and cozman, 2020] を使っています。 因果的介入とパラメータの知識を含まないフレームワーク。
Definition 1. Let pΘ, Θ ∈ Θ, be any parameterised probability distribution, where Θ is the set of allowed parameter values. 定義1。 pθ, θ ∈ θ を任意のパラメータ化確率分布とし、θ を許容されるパラメータ値の集合とする。 0.76
Then we call C ⊆ Θ a credal set for this parameterisation, and the credal family Cp[C] = {pΘ′|Θ′ ∈ C} is the family of distributions where the parameters are in C. すると、このパラメタライズのためのクレダル集合 c を θ と呼び、クレダル族 cp[c] = {pθ′|θ′ ∈ c} はパラメータが c にあるような分布の族である。
訳抜け防止モード: すると C は、このパラメータ化のためのクレダル集合である。 そして、クレダル族 Cp[C ] = { p ′|\′ ∈ C } は、パラメータが C に属する分布の族である。
This is a maximally expressive formalism for credal uncertainty. これは不確実性の最大表現形式である。 0.65
However, an independence assumption between the uncertainty of different conditional distributions in a BN (sometimes known as the strong extension [Cozman, 2000]) is usually assumed: [Cozman, 2000] A Credal BN (CrBN) Definition 2. しかしながら、BN 内の異なる条件分布の不確実性(強拡大 (Cozman, 2000) と呼ばれることもある)の間の独立性の仮定は通常、[Cozman, 2000] クレダル BN (CrBN) 定義 2 と仮定される。 0.90
CN [C] = {NΘ |Θ ∈ C} over a BN NΘ = (G, Θ) is a credal family satisfying bn nθ = (g, θ) 上の cn[c] = {nθ |θ ∈ c} はクレダル族である。 0.62
C = Y CVi|ui, C = Y CVi|ui 0.42
Vi,ui i.e. the credal set decomposes as a cartesian product of separate credal sets for each variable Vi and instantiation of its parent variables ui. vi,ui すなわち、クレダル集合は、各変数 Vi に対する別々のクレダル集合と、その親変数 ui のインスタンス化のカルデシアン積として分解される。
訳抜け防止モード: vi,ui クレダル集合は、各変数 vi に対する分離クレダル集合のデカルト積として分解される。 親変数 ui のインスタンス化。
Since augmented Bayesian networks are simply Bayesian networks with an additional deterministic node (the decision function), we can convert any credal set over a Bayesian network model N to a credal set over NF by maintaining the credal sets for all variables, while assuming the conditional distribution for the new variable ˆY is known exactly. 拡張ベイズネットワークは、付加的な決定論的ノード(決定関数)を持つベイズネットワークであるので、ベイズネットワークモデル n 上の任意のクレダル集合を、すべての変数のクレダル集合を維持しながら、nf 上のクレダル集合に変換することができる。
訳抜け防止モード: 拡張ベイジアンネットワークは単にベイジアンネットワークであり、追加の決定論的ノード(決定関数)を持つからである。 ベイズネットワークモデル N 上の任意のクレダル集合を NF 上のクレダル集合に変換することは、すべての変数に対するクレダル集合を維持することである。 同時に、新しい変数 yY の条件分布を正確に仮定する。
This framework then fully generalizes the “interventional robustness problem” introduced by [Wang et al , 2021] to allow arbitrary credal sets for parameters; see Appendix for details. このフレームワークは[wang et al , 2021] によって導入された"interventional robustness problem" を完全に一般化し、パラメータの任意のクレーダルセットを可能にする。 0.65
s1 s2 s3 θR θV s1 s2 s3 θR θV 0.38
0.95 0.2 ± 0.1 0.95 0.2 ± 0.1 0.27
0.05 0.8 ± 0.1 0.05 0.8 ± 0.1 0.27
0.5 0.6 ± 0.2 0.5 0.6 ± 0.2 0.27
Table 1: Credal sets for symptom and test result parameters. 表1: 症状とテスト結果パラメータのためのクレダルセット。 0.69
Definition 3. Given an (augmented) CrBN CN [C] 定義3。 CrBN CN[C]が与えられた 0.52
and an event e (an instantiation of a subset of the variables), the maximum marginal probability (MARmax) problem is that of determining そして、事象 e(変数の部分集合のインスタンス化)において、最大限界確率(marmax)問題は決定する問題である。 0.78
MARmax(N , C, e) = max Θ∈C marmax(n , c, e) = max θ الc 0.43
pNΘ (e). pnθ (e) である。 0.54
This generalization of causal interventions enables many new problems to be considered, as causal interventions require parameters to be known exactly or be entirely unknown. この因果的介入の一般化は、因果的介入はパラメータを正確に知るか、完全に未知である必要があるため、多くの新しい問題を考慮できる。
訳抜け防止モード: この因果介入の一般化は 考慮すべき多くの新しい問題 因果的介入はパラメータを正確に知るか 完全に未知にする
Crucially, it allows us to model parameters which are estimated from data to be within some interval. 重要なのは、データから推定されるパラメータを一定間隔内でモデル化できることです。 0.76
It also allows the degree of uncertainty to depend on the value of the parents, as it might if some parent values are rare and lack data points. また、親の値がまれでデータポイントが欠如している場合のように、親の値に依存する不確実性の度合いが許される。 0.73
As an illustration we now define a CrBN over NF to formalize the treatment scenario in Figure 1. 図1に示すように、NF 上の CrBN を定義して、治療シナリオを形式化する。 0.78
We imagine there are three strains s1, s2, s3, of which only s3 is severe and requires treatment. s1, s2, s3の株が3つあり、そのうちs3のみが重篤で治療を必要とする。 0.68
We take V and R to be binary variables (symptomatic/asympto matic and positive/negative test). V と R を二変数(シンプトマティック/アシンポティック/正負検定)とみなす。 0.64
We wish to be able to apply the decision rule in any situation where the prevalence of s3 is at most 0.1, so we assign CS = {θ ∈ Z3|θS=s3 < 0.1}, where Z3 is the threedimensional probability simplex. 我々は、s3 が最大 0.1 の状況で決定規則を適用することができるようにしたいので、cs = {θ ∈ z3|θs=s3 < 0.1} を割り当てる。 0.76
We use singleton credal sets for R and confidence intervals for V , with the values given in Table 1. 我々は、R に対してシングルトン・クレーダル集合と V に対する信頼区間を使い、表 1 に値を与える。
訳抜け防止モード: 我々は、R と V の信頼区間にシングルトンクレダル集合を用いる。 表1の値で指定します。
The decision rule to be analysed gives treatment when R = V , since this is unlikely for s1 and s2. 解析される決定規則は、s1 と s2 では不可能であるため、R = V のときの治療を与える。 0.68
This is an instance of the maximum marginal probability MARmax problem, where the CrBN CN [C] is as specified above, and the event of interest is e = (T = 0) ∧ (S = s3). これは、CrBN CN [C] が上述したように指定され、興味のある事象は e = (T = 0) > (S = s3) となる最大限界確率 MARmax 問題の例である。 0.83
4 Credal Robustness via Probabilistic Circuits 確率回路による4つのクレダルロバスト性 0.62
In this section, we present an efficient method for bounding MARmax credal robustness for Bayesian networks with guarantees. 本稿では,ベイジアンネットワークにおけるMARmaxの耐震性に保証を付与する効率的な手法を提案する。 0.73
In particular, the method returns an upper bound on MARmax. 特に、このメソッドは MARmax 上の上限を返す。 0.60
In the treatment example, this would mean that we can be certain that the probability of denying treatment to a patient with the severe strain does not exceed the computed value, assuming all parameters lie within the credal sets. 治療例では,全てのパラメータが干潟内に存在すると仮定して,重度ひずみのある患者に対する治療を否定する確率が計算値を超えないことが確実である。 0.72
Our method is based upon establishing a correspondence between credal BNs and credal sum-product networks (CSPN) [Mau´a et al , 2017], a recently proposed model which introduces uncertainty sets over the weights of a sum-product network. 本手法は,最近提案された累積ネットワークの重みに関する不確実性を考慮したモデルであるCSPN (Credal sum-product Network) [Mau ́a et al , 2017] の対応性を確立することに基づく。 0.77
In particular, we develop an algorithm for compiling CrBNs into equivalent CSPNs. 特に,CrBNを等価なCSPNにコンパイルするアルゴリズムを開発した。 0.78
By efficiently solving a similar credal maximization problem on the CSPN, we can derive upper bounds on MARmax for the original CrBN. CSPN 上の同様のクレダル最大化問題を効率的に解くことにより、元の CrBN に対して MARmax 上の上限を導出できる。 0.71
3.2 Problem Definition In the treatment example we wished to guarantee the worstcase probability of an event occurring over a CrBN. 3.2 問題定義 治療例では、CrBN上で発生した事象の最悪の確率を保証したいと考えています。
訳抜け防止モード: 3.2 問題定義 私たちが望む治療例 CrBN上で発生した事象の最悪の確率を保証する。
We will now formalise this problem. 私たちは今この問題を定式化します。 0.55
4.1 Compilation to Arithmetic Circuits 4.1 算術回路へのコンパイル 0.67
The first step of our method is to compile the credal Bayesian network to an arithmetic circuit. この手法の最初のステップは、credal bayesian networkを算術回路にコンパイルすることである。 0.76
To describe this, we first consider an alternative representation of a Bayesian network. これを説明するために、まずベイズネットワークの代替表現を考える。 0.67
Definition 4. [Darwiche, 2003] The network polynomial of a BN N is defined as 定義4。 [darwiche, 2003] bn n のネットワーク多項式は、次のように定義される。 0.51
lN [λ, Θ] = X ln[λ, θ] = x 0.35
n Y θvi|uiλvi , n Y θvi|uiλvi である。 0.37
v1,...,vn i=1 V1... VN i=1 である。 0.36
where λvi are indicator variables for variable Vi, which take the value 1 if Vi = vi and 0 otherwise. λvi は変数 Vi の指標変数であり、 Vi = vi と 0 がなければ値 1 を取る。 0.82
The network polynomial is a multilinear function which unambigously encodes the graphical structure of the Bayesian network, for any value of the parameters Θ. ネットワーク多項式は、パラメータ θ の任意の値に対して、ベイジアンネットワークのグラフィカルな構造を曖昧に符号化する多重線型関数である。 0.76
In particular, one can obtain the joint probability pN (v1, ..., vn) for any instantiation v1, ..., vn by setting the indicator variables and evaluating the network polynomial. 特に、指標変数を設定してネットワーク多項式を評価することにより、任意のインスタンス化 v1, ..., vn に対して結合確率 pN (v1, ..., vn) を得ることができる。 0.80
Unfortunately, it has an exponential number of terms in the number of variables of the BN, which means we cannot use it directly. 残念ながら、BN の変数数に指数的な数の項があるので、直接使うことはできない。 0.59
The goal of compilation is to represent the network polynomial more efficiently, by exchanging sums and products where possible. コンパイルの目的は、可能な限り和と積を交換することで、ネットワーク多項式をより効率的に表現することである。
訳抜け防止モード: コンパイルの目標は 可能な限り和と積を交換することで、ネットワーク多項式をより効率的に表現する。
The result of such a procedure can be interpreted as a rooted directed acyclic graph (DAG) called an arithmetic circuit. このような手順の結果は、算術回路と呼ばれるルート指向非巡回グラフ(DAG)と解釈できる。 0.72
Definition 5. [Darwiche, 2003] An arithmetic circuit (AC) T over variables V and parameters Θ is a rooted DAG, whose internal nodes are labelled with + or × and whose leaf nodes are labelled with indicator variables λv 定義5。 [Darwiche, 2003]変数 V 上の算術回路(AC)T とパラメータ > はルート付き DAG であり、内部ノードは + または × でラベル付けされ、葉ノードは指標変数 λv でラベル付けされている。 0.59
or non-negative parameters. あるいは非負のパラメータ。 0.70
For an internal node t we will write Tt for the arithmetic circuit containing t and all its descendants. 内部ノード t に対して、t とすべての子孫を含む演算回路に対して Tt を記述する。 0.78
Definition 6. [Chan and Darwiche, 2006] A complete subcircuit α of an AC is obtained by traversing the circuit topdown, choosing one child of every visited +-node and all children of every visited ×-node. 定義6。 [chan and darwiche, 2006] acの完全なサブサーキットαは、回路トップダウンを走査し、訪問する+ノードの1人の子供と訪問する×ノードのすべての子供を選択することで得られる。 0.52
The term term(α) of α is the product of all leaf nodes visited (i.e. all indicator and parameter variables). α の項(α) は訪問したすべての葉ノードの積である(つまり、すべての指標とパラメータ変数)。 0.79
The AC polynomial lT [λ, Θ] is the sum of the terms of all complete subcircuits. AC多項式 lT[λ, λ] はすべての完備部分回路の項の和である。 0.75
Compilation will produce an AC T which has the same polynomial as the BN, i.e. lN [λ, Θ] = lT [λ, Θ]. コンパイルは bn と同じ多項式を持つac t、すなわち ln [λ, θ] = lt [λ, θ] を生成する。
訳抜け防止モード: コンパイルは BN と同じ多項式を持つ ACT を生成する。 すなわち lN [ λ, λ ] = lT [ λ, Θ ] .
In addition, it will satisfy technical conditions called decomposability, determinism and smoothness, which allow us to perform many inference queries in linear time in the size of the circuit. さらに、分解性、決定性、滑らか性といった技術的条件を満たすことで、回路サイズにおいて線形時間で多くの推論クエリを実行できる。 0.67
In [Wang et al , 2021] a method is described for compiling an augmented BN to a smooth, decomposable and deterministic AC, which allows one to tractably compute marginal probabilities involving both the decision function and Bayesian network variables. Wang et al , 2021]では、拡張BNを滑らかで分解可能で決定論的なACにコンパイルし、決定関数とベイズネットワーク変数の両方を含む限界確率を抽出することができる方法が述べられている。 0.79
In order to support further queries, they additionally impose ordering constraints on the AC. さらにクエリをサポートするために、acに順序付けの制約を課している。 0.61
i , ..., vn i , ..., vn 0.35
Definition 7. A +-node t with children t1, ..., tn in an arithmetic circuit T splits on variable Vi if there exists an ordering of the domain v1 i of Vi such that all complete subcircuits of Tti contain the indicator λvi . 定義 7. 演算回路 T における子 t1, ..., tn を持つ A +-ノード t は、Vi の領域 v1 i の順序が存在するとき変数 Vi 上で分裂し、Tti のすべての完全部分回路は λvi を含む。 0.80
Definition 8. Let σ = (V1, ..., Vn) be a topological ordering of the variables in BN N . 定義 8. σ = (V1, ..., Vn) を BN N の変数の位相的順序付けとする。 0.74
We say that an (smooth, decomposable, deterministic) arithmetic circuit T computes the BN N respecting σ if: 我々は、(滑らかで分解可能で決定論的)演算回路Tがσを尊重するBNNを計算すると言う。 0.64
1. lT [λ, Θ] = lN [λ, Θ] 1. lt [λ, θ] = ln [λ, θ] 0.42
2. Each +-node in T splits on some variable Vi. 2. T における各 +-ノードは、ある変数 Vi 上で分割される。 0.61
We define split(t) for a +-node t to be the variable it splits on. 定義します a +-node t に対して split(t) は、それが分割する変数である。 0.77
3. The variables are split respecting the topological order. 3.変数はトポロジ的順序に関して分割される。 0.69
That is, if Vi = split(t), Vj = split(t′), then t′ is a descendant of t =⇒ j > i. すなわち、Vi = split(t) と Vj = split(t′) とすると、t′ は t = ... j > i の子孫である。 0.82
In other words, it is required that the AC represents the same polynomial as the BN, and further that the AC satisfies particular structural constraints that mean that the AC must split on parents before children. 言い換えれば、ACはBNと同じ多項式であり、ACは特定の構造的制約を満たすことが要求される。
訳抜け防止モード: 言い換えれば、必要である。 ACはBNと同じ多項式を表す。 さらに、ACは特定の構造的制約を満たすので、ACは子供の前に親に分割しなければならない。
This leads to the following new result, which intuitively means that, when an AC splits on variable V , the values of its parents are already known. これは直観的には、acが変数 v 上で分割されたとき、親の値は既に知られていることを意味する。
訳抜け防止モード: これは、直感的には、次の新しい結果につながる。 AC が変数 V を割ると、その親の値はすでに知られている。
Lemma 1. Suppose that T computes N respecting some topological order. レマ1号。 T が N を位相順に計算するとする。 0.57
Let t be a +-node in T splitting on some variable V . t をある変数 V 上の T の分割の +-ノードとする。 0.76
Then all complete subcircuits α which include t must agree on the value of its parents paN (V ). t を含むすべての完全部分回路 α は、その親 pan (v) の値について合意しなければならない。 0.65
The AC compiled from the treatment example (Figure 1) is too large to include in its entirety, but Figure 2a shows one branch from the root sum node, with +-nodes labelled with the variable they split on. 処理例(図1)からコンパイルされたACは全体に含まれるには大きすぎるが、図2aはルート和ノードからの1つの分岐を示し、+-ノードは分割した変数でラベル付けされている。 0.73
Notice that the topological order (S, R, V, T ) is respected, and that, at every +-node, the value of the parents of the splitting variable are already “known”. 位相的順序 (S, R, V, T ) が尊重され、すべての +-ノードにおいて、分割変数の親の値は既に「知られている」ことに注意してください。 0.73
4.2 Compiling to Credal SPNs While this compiled AC allows us to efficiently compute marginals for given parameter values Θ, it does not effectively represent credal sets, and thus finding maximizing parameter values is challenging (one would need to solve constraints potentially spread out across the whole circuit). 4.2 クレダルSPNへのコンパイル このコンパイルされたACにより、与えられたパラメータ値の限界を効率的に計算できるが、効果的にクレダル集合を表現できないため、パラメータ値の最大化は困難である(回路全体に広がる制約を解く必要がある)。 0.73
In the next step of our method, we further compile the AC to a sum-product network (SPN). 提案手法の次のステップでは、ACをSPN(sum-product network)にコンパイルする。 0.66
SPNs differ from ACs in that they lack parameter nodes and instead have parameters (i.e. weights) associated with branches from sum nodes. SPNは、パラメータノードがなく、代わりに和ノードからの分岐に関連するパラメータ(重み)を持つという点でACと異なる。 0.80
Definition 9. [Poon and Domingos, 2011] A sum-product network (SPN) over variables V and with weights W is a rooted DAG whose internal nodes are labelled with either + or ×, and whose leaf nodes are labelled with indicator variables λv. 定義 9. [Poon and Domingos, 2011] 変数 V および重み W 上の和積ネットワーク (SPN) は、内部ノードが + または × でラベル付けされ、葉ノードが指標変数 λv でラベル付けされたルート付き DAG である。 0.82
The branches of a sum node ti with k branches are labelled with weights wi,1, . k枝の和ノードtiの枝は、重み wi,1, でラベル付けされる。 0.64
., wi,k. Definition 10. A complete subcircuit α of an SPN S is obtained by traversing the circuit top-down, choosing one child of every visited +-node and all children of every visited ×node. とwi,k。 定義 10)SPN Sの完全なサブ回路αは、回路上を走行し、訪問したすべての+ノードの1人の子供と訪問したすべての×ノードのすべての子供を選択する。 0.64
The term term(α) of α is the product of all leaf nodes visited (i.e. all indicators) and all weights wij along branches chosen by the subcircuit. α の項(α) は訪問したすべての葉ノード(すなわちすべての指標)の積であり、全ての重みwij はサブサーキットによって選択される枝に沿って表される。 0.73
The SPN-polynomial lS[λ, W ] is the sum of the terms of SPN-多項式 lS[λ, W ] は項の和である 0.73
all complete subcircuits. Our 完全なサブ回路だ 我々の 0.67
compilation in differs [Rooshenas and Lowd, 2014] in that we make use of the particular structure of the AC, shown in Lemma 1, to make sure the weights on the sum nodes directly correspond to the parameters in the BN (which would not be the case under standard compilation). 編纂 例えば、[Rooshenas と Lowd, 2014] は Lemma 1 で示されている AC の特定の構造を利用し、和ノードの重みが BN のパラメータと直接対応していることを確認する(標準コンパイルではそうはならない)。 0.44
from that presented At a high level, the compilation only involves two steps: そこから 発表 高いレベルでは、コンパイルは2つのステップのみを含む。 0.63
1. For each sum node t splitting on Vi, assign weights over branches according to θVi|ui , where all variables in ui are known due to Lemma 1. 1. vi 上の各和ノード t に対して、θvi|ui に従って分岐上の重みを割り当てる。
訳抜け防止モード: 1 . Vi 上で分割する各和ノード t に対して、θVi|ui に従って枝上の重みを割り当てる。 ui のすべての変数が Lemma 1 によって知られている。
2. Remove all parameter nodes. 2. パラメータノードをすべて削除する。 0.86
+S c1 × c2 +S c1 × c2 0.41
λs3 θs3 +R λs3 θs3 +R 0.33
× × λR θR|s3 +V × × λR θR|s3 +V 0.37
λ ¯R θ ¯R|s3 +V λ-r である。 θ は r|s3 +v である。 0.37
× × × × +S θs3 c1 × × × × × +S θs3 c1 × 0.41
c2 λs3 +R c2 λs3 + R 0.34
θR|s3 × θ ¯R|s3 × θR|s3 × θ は r|s3 × である。 0.26
λR +V θV |s3 × λR + V θV |s3 × 0.32
λ ¯R +V θV |s3 × λ-R+V-θV |s3 × 0.60
θ ¯V |s3 × θ ¯V |s3 × θ:v |s3 × θ:v |s3 × 0.33
λT λ ¯V λT λv である。 0.44
θ ¯V |s3 θ (複数形 θs) 0.26
λ ¯T λV λ-t である。 λV 0.40
θV |s3 λT λ ¯V θV |s3 λT λv である。 0.39
λ ¯T λV λ-t である。 λV 0.40
(a) AC compiled from the augmented BN (a)拡張BNからコンパイルされたAC 0.88
(b) SPN compiled from the AC (b)ACからコンパイルされたSPN 0.84
0.07 0.1 0.7 0.07 0.1 0.7 0.24
0 0 0.7 1 0.5 0.6 0 0 0.7 1 0.5 0.6 0.36
0.5 0.8 1 0.4 0 0.5 0.8 1 0.4 0 0.52
0.6 0.8 1 0.8 1 0.6 0.8 1 0.8 1 0.33
0.6 1 0.2 0 0.6 1 0.2 0 0.35
0 1 1 1 (c) Execution of MARmax(S, ¯T ∧s3) on the constructed CSPN S over the SPN. 0 1 1 1 (c)SPN上に構築されたCSPN S上でのMARmax(S, >T >s3)の実行。 0.47
Figure 2: Illustration of Algorithm 2 for the treatment example. 図2: 治療例のためのアルゴリズム2の図示。 0.77
Due to space constraints we show only the S = s3 branch of the AC/SPN. 空間制約のため、AC/SPN の S = s3 分岐のみを示す。 0.79
To algorithmically decide which parameters correspond to a particular sum node we construct a notion of ’possible values’ for variables at nodes in the SPN. 特定の和ノードに対応するパラメータをアルゴリズムで決定するために、spn内のノードの変数に対する’possible value’の概念を構築します。 0.82
We first say that a node ’conditions’ on V = v if the node is a parameter node θW =w|V =v,U =u, and define V = v 上のノード ’ Conditions’ は、ノードがパラメータノード θW =w|V =v,U =u であるときに初めて述べ、定義する。 0.81
Pt(V ) = {v : ∃t′ ∈ descendants(t), t′ conditions on V = v}. V = v 上の Pt(V ) = {v : t′ ∈ の子孫(t), t′ 条件。 0.84
Corollary 1. For any sum node t splitting on V , if W is a parent of V then Pt(W ) must contain exactly one possible value. 第1話。 V 上の任意の和ノード t に対して、W が V の親であれば、Pt(W ) はちょうど1つの可能な値を含む必要がある。 0.52
Proof. Any complete subcircuit corresponds to a term of the network polynomial, and must contain a parameter θV |wi,ui for some wi, ui. 証明。 任意の完全部分回路はネットワーク多項式の項に対応し、ある wi, ui に対してパラメータ θV |wi,ui を含む必要がある。 0.71
This parameter cannot occur as an ancestor of t, since it would then be impossible to satisfy Definition 7, and so it must be a descendant. このパラメータは、定義7を満たすことが不可能であるため、t の祖先として発生できないため、子孫でなければならない。 0.70
Thus Pt(V ) is non-empty. したがって、Pt(V) は空でない。 0.68
By Lemma 1, it cannot contain more than 1 element. Lemma 1 では 1 個以上の元素を含まない。 0.64
These sets uniquely determine the values of all parents, and thus which parameters to use. これらの集合は一意にすべての親の値を決定し、どのパラメータを使用するかを決定する。 0.64
The sets can be efficiently computed , as described in Algorithm 1. アルゴリズム1に記載されているように、集合を効率的に計算することができる。 0.59
Figure 2b shows the result for the AC in Figure 2a. 図2bは、図2aのACの結果を示しています。 0.64
Algorithm 1: SPN compilation from AC アルゴリズム1:ACからのSPNコンパイル 0.78
Input: AC T computing N and satisfying Definition 8. 入力: ac t computing n と fulling definition 8。 0.73
Result: An SPN computing N where all sum node weights 結果: すべての和ノードが重み付けされるSPN計算N 0.81
correspond to a CPT θVi|ui CPT θVi|ui に対応する 0.71
1 begin 2 3 4 1 開始 2 3 4 0.41
5 6 For indicator nodes t, assign Pt(V ) = {}; For parameter nodes θv|u1,u2,...,, assign Pt(Ui) = {ui} if Ui ∈ pa(V ) and Pt(Ui) = {} otherwise; 5 6 指標ノード t に対して、Pt(V) = {}; パラメータノード θv|u1,u2,... に対して、Ui ∈ pa(V) と Pt(Ui) = {} がなければ、Pt(Ui) = {ui} を割り当てる。 0.57
For inner nodes t compute Pt(V ) = Sc∈children(t) For sum nodes t, label the edges according to 内部ノード t に対して Pt(V ) = Scıchildren(t) 和ノード t に対して、エッジをそれに従ってラベル付けする。
訳抜け防止モード: 内部ノード t に対して Pt(V ) = Scıchildren(t ) 和ノード t に対して計算する。 label (複数形 labels)
Pc(V ); pc (複数形 pcs) 0.49
θV |u1,u2,..., where t splits on V and ui is the unique value in Pt(Ui); θv |u1,u2,..., ここで t は v 上で分割され、ui は pt(ui); の唯一の値である。
訳抜け防止モード: θV |u1,u2, ..., where V と ui 上の t は Pt(Ui) のユニークな値である。
Remove all parameter nodes. すべてのパラメータノードを削除する。 0.68
Proposition 1. Given an arithmetic circuit T which computes N satsifying some topological order, the SPN S compiled as above satisfies 第1話。 ある位相順序を満足させるNを演算する演算回路Tが与えられたとき、上記のようにコンパイルされたSPNS 0.51
lT [λ, Θ] = lS[λ, Θ]. lt[λ, θ] = ls[λ, θ] である。 0.79
Proof. We can put the complete subcircuits of T and S in a one-to-one correspondence by the choice of branch at each sum node (since only the parameter nodes/weights have changed). 証明。 各和ノードでの分岐の選択により、T と S の完全部分回路を 1 対 1 対応にすることができる(パラメータノード/重みのみが変化しているため)。 0.68
Let αT be a subcircuit of T , and αS the corresponding subcircuit of S. For every variable V , αT contains exactly one +-node splitting on V , and exactly one parameter of the form θV |pa(V ). αt を t の部分回路とし、αs を s の対応する部分回路とする: すべての変数 v に対して、αt は v 上のちょうど 1 つの +-ノード分割と θv |pa(v) という形のパラメータを含む。
訳抜け防止モード: αT を T の部分回路とし、αS を S の対応する部分回路とする。 αT は V 上のちょうど 1 + -ノード分割と θV |pa(V) の形の1つのパラメータを含む。
The compilation procedure moves this parameter to be a weight of the +-node splitting on V , so that the overall term is unchanged. コンパイル手順は、このパラメータを V 上の +-ノード分割の重みに移動するので、全体的な項は変わらない。 0.72
Applying this to all variables, we have that term(αT ) = term(αS), and thus the result. これをすべての変数に適用すると、この項(αT ) = term(αS) が存在し、その結果が得られる。 0.75
For credal families over SPNs satisfying an independence requirement between all sum nodes (such that knowing the weights of one sum node does not affect your uncertainty over other weights), MARmax can be computed efficiently. すべての和ノード間の独立要件を満たすSPN上のクレダル族(例えば、1つの和ノードの重みを知ることは、他の重みに対する不確実性に影響を与えない)に対して、MARmaxは効率的に計算できる。 0.63
These are exactly the Credal SPNs introduced in [Mau´a et al , 2017]. これらはまさに[Mau ́a et al , 2017]で導入されたCredal SPNです。 0.68
Definition 11. [Mau ´a et al , 2017] A Credal SPN (CSPN) is a credal family CS[C] over an SPN S satisfying 定員11名。 [Mau ́a et al , 2017] クレダルSPN (CSPN) は、SPN S を満たすクレダル族 CS[C] である。 0.63
C = n Y i=1 C = n Y i=1 である。 0.40
Ci, where Ci is a subset of a probability simplex on the weights of sum node i. チ。 ここで ci は和ノード i の重み付け上の確率単純性の部分集合である。 0.58
We can construct a credal family over the compiled SPN, which is equivalent to our CrBN, by requiring all sum nodes that split on a variable Vi and have parents ui to 私たちは、変数 Vi 上に分割され、親 ui を持つすべての和ノードを要求することにより、コンパイルされた SPN の上に、CrBN と同等のクレダル族を構築することができる。 0.66
(i) all have the same weights and (i)すべて同じ重さで 0.62
(ii) have that weight be in CVi|ui . (二)その重量をCVi|uiとする。 0.76
However, this will not in general be a CSPN, since しかし、これは一般的にはCSPNではない。 0.71
(i) breaks the independence requirement (observing the weights of one sum node will change the credal set for a different sum node if they both split on the same variable with the same values of the parents). (i)独立性要件を破る(親と同じ値を持つ同じ変数で分割された場合、1つの和ノードの重みが別の和ノードのクレダルセットを変更する)。 0.70
We can, however, construct a CSPN by removing requirement (i), which creates a strictly larger credal family. しかし、要件(i)を取り除いてcspnを構築することはでき、それによって厳密に大きなクレダルファミリーが形成される。
訳抜け防止モード: しかし、要求(i)を除去することでCSPNを構築することができる。 より大きなクレダル・ファミリーを 生み出します
This relaxation is the final step of our compilation process. この緩和はコンパイルプロセスの最終ステップです。 0.56
Lemma 2. For a CrBN CN [CN ] and its compiled CSPN CS[CS], レマ2号。 CrBN CN [CN ] とそのコンパイルされた CSPN CS[CS] について。 0.69
max Θ∈CS max (複数形 maxs) 0.27
lS[λ, Θ] ≥ max Θ′∈CN ls[λ, θ] ≥ max θ′cncn である。 0.63
lN [λ, Θ′]. ln [λ, θ′] である。 0.72
Proof. For any given Θ ∈ CN we have lS[λ, Θ] = lN [Θ, λ], by Proposition 1 and the fact that S computes N . 証明。 任意の x ∈ CN に対して、命題 1 と S が N を計算するという事実により lS[λ, λ] = lN[ , λ] が成立する。 0.70
The only way to violate the inequality is if Θ /∈ CS. 不等式を破る唯一の方法は、θ / tasktop cs である。 0.55
But CS only demands that at each sum node t splitting on Vi the parameters are in CVi|ui , which will certainly be true if Θ ∈ CN . しかし CS は、各和ノード t が Vi 上で割ったとき、パラメータが CVi|ui 内であることを要求している。 0.65
If we apply this to construct a CSPN for our treatment example, it will be a CSPN over the SPN in Figure 2b, where the weights of the sum nodes are constrained by the credal sets of the CrBN defined in Section 3.2. これを用いて治療例の CSPN を構築すると、図2b の SPN 上の CSPN となり、ここでは和ノードの重みは、セクション3.2 で定義された CrBN のクレダル集合によって制約される。 0.79
4.3 Solving MARmax 4.3 marmax の解法 0.52
Analogously to CrBNs, we can define the maximum marginal probability problem for CSPNs as MARmax(S, C, e) = maxΘ∈C lS[λe, Θ], where λe refers to the appropriate instantiation of the indicators for the event e. CrBNs と類似して、CSPNs の最大限界確率問題を MARmax(S, C, e) = max ⋅C lS[λe, λ] と定義することができる。
訳抜け防止モード: CrBN と類似して、CSPN の最大限界確率問題を MARmax(S,) と定義できる。 C, e ) = max ∂C lS[λe, s ], ここでは λe は事象の指標の適切なインスタンス化を指す。
While MARmax for the AC (and BN) is intractable, we can AC (and BN) に対する MARmax は難解であるが、我々はそうすることができる。 0.70
compute it efficiently for a CSPN [Mau´a et al , 2017]. CSPN[Mau ́a et al , 2017]のために効率的に計算する。 0.76
Proposition 2. Given a Credal SPN CS[Qn i=1 Ci], we can solve MARmax for this family of distributions in O(|S|L), where L is an upper bound on solving maxwi Pj wij cj subject to wi ∈ Ci. 第2話。 credal spn cs[qn i=1 ci] が与えられると、o(|s|l) におけるこの分布の族に対する marmax を解くことができ、ここで l は wi ∈ ci に従えば maxwi pj wij cj を解く上界である。 0.55
Proof. If we assume the maximum possible value of the children c1, ..., cj of a sum node ti are known, finding the maximum possible value of ti can be done by solving maxwi Pj wij cj subject to wi ∈ Ci. 証明。 和ノードti の子供 c1, ..., cj の最大値が知られていると仮定すると、i の最大値を見つけることは、wi ∈ Ci に従属する maxwi Pj wij cj を解くことで得られる。 0.68
The same is true for product nodes, with the maximum value being the product of the maximum values of its children. 同じことが製品ノードにも当てはまり、最大値は子供の最大値の積である。 0.66
By induction we can find the maximum possible value of the root node through bottomup evaluation. 誘導により、ボトムアップ評価により、ルートノードの最大値を見つけることができる。 0.74
For details see [Mau´a et al , 2017]. 詳細は[Mau ́a et al , 2017]を参照。 0.85
Figure 2c illustrates the computation on the CSPN compiled from the treatment example. 図2cは、処理例からコンパイルされたCSPNの計算を例示します。 0.67
The algorithm evaluates nodes bottom up in the graph, with the indicators set to their appropriate value (λT = λs1 = λs2 = 0, the rest 1). アルゴリズムはグラフの底辺のノードを評価し、指標は適切な値に設定される(λT = λs1 = λs2 = 0, the rest 1)。 0.86
The s1, s2 branches always lead to an indicator with the value 0. s1,s2分岐は常に値0の指標となる。 0.79
When a sum node is reached, the maximizing weights allowed by the credal set at that sum node are picked. 和ノードが到達すると、その和ノードで設定されたクレダルで許容される最大重みが選択される。 0.64
For the left +V node this means assigning θV |s3 the lowest weight allowed (0.4), while the right +V is instead maximized with the highest weight allowed (0.8). 左 +V ノードは θV |s3 を最低重量 (0.4) に割り当てることを意味し、右 +V は最高重量 (0.8) で最大化される。 0.83
No choice is made at +R since it is a singleton, and at +S the maximum weight for s3 (0.1) is chosen. シングルトンであるため、+R では選択されず、+S では s3 (0.1) の最大重量が選択される。 0.77
This demonstrates that MARmax(S, C, ¯T ∧s3) = 0.07. これはmarmax(s, c, ) = 0.07 であることを示している。 0.56
Our overall method CUB is summarized in Algorithm 2. CUBの全体的な手法はアルゴリズム2にまとめられている。 0.65
The following theorem, which follows directly from Lemma 2, shows that we do indeed return an upper bound: Theorem 2. Lemma 2 から直接従う次の定理は、実際に上界を返すことを示す: Theorem 2。 0.64
The output MARmax(S, CS, e) returned by Algorithm 2 satisfies Algorithm 2 で返される出力 MARmax(S, CS, e) は満足する 0.90
MARmax(S, CS , e) ≥ MARmax(N , CN , e) MARmax(S, CS , e) ≥ MARmax(N , CN , e) 0.42
Thus, we find that the probability of not assigning treatment to a patient with the severe strain in the treatment example can be no greater than MARmax(S, C, ¯T ∧ s3) = 0.07. したがって, 治療例中の重篤な病変を有する患者に治療を割り当てない確率は, MARmax(S, C, s3) = 0.07 以下であることが判明した。 0.77
Algorithm 2: Upper Bounding for MARmax Input: Credal Bayesian Network CN [CN ], event e, order σ Result: Upper bound on MARmax(N , CN , e) アルゴリズム2:MARmaxへの上界入力:Credal Bayesian Network CN [CN ], event e, order σ 結果:MARmax(N, CN , e)上の上界 0.74
1 begin 2 3 Compile N to AC obeying topological order σ; Construct a credal SPN CS [CS ] from the AC; Compute MARmax(S, CS , e) for this credal SPN; 1 開始 2 3 トポロジカル秩序 σ に従って N を AC にコンパイルし、AC からクレーダル SPN CS[CS ] を構築し、このクレーダル SPN に対して Compute MARmax(S, CS , e) を生成する。 0.51
4 5 Return MARmax(S, CS , e) 4 5 MARmax(S, CS, e)を返す 0.84
4.4 Tightness of Upper Bound Though our algorithm provides an upper bound on MARmax for the Bayesian network, it will not typically be tight. 4.4 上限の厳密性 アルゴリズムはベイズネットワークのmarmax上の上限を提供するが、通常は厳密ではない。 0.66
This is illustrated in Figure 2c, where the two different sum nodes representing θV |s3 are assigned different weights by the maximization in the CSPN, while this is not possible for the original CrBN. これは図2cで示され、θV |s3 を表す2つの異なる和ノードは CSPN の最大化によって異なる重みに割り当てられるが、元の CrBN では不可能である。 0.75
We will now provide a precise characterization of the looseness of the upper bound, using the concept of structural enrichment to find an enriched CrBN which can be put in a 1-1 correspondence with the CSPN. 我々は,構造富化の概念を用いて,cspnと1-1対応可能な富化crbnを求めることで,上界のゆるさの正確な特徴付けを行う。 0.63
Definition 12. A structural enrichment of a CrBN CN [C] is a new CrBN CN ′ [C′] with a new underlying graph (V , E′) such that E ⊆ E′, and a new credal set given by 定員12名。 crbn cn [c] の構造的豊かさは、新しい crbn cn ′ [c'] であり、新しい基底グラフ (v , e′) を持ち、e ~ e′ と与えられた新しいクレダル集合である。
訳抜け防止モード: 定員12名。 CrBN CN [ C ] の構造エンリッチメントは、新しい基盤グラフ (V,) を持つ新しい CrBN CN ′ [ C′ ] である。 E > E′ となるような E′ ) と、与えられた新しいクレダル集合
(∀wi ∈ Wi)C′ (\wi ∈ wi)c' である。 0.41
Vi|ui,wi = CVi|ui, Vi|ui,wi = CVi|ui 0.40
where Ui are the parents of Vi in N , while Wi are the newly added parents in N ′ which were not parents in N . Ui は N の Vi の親であり、Wi は N の親ではない N' の親である。 0.58
To illustrate this, suppose that we had a BN with 3 variables A, B, C, where A is the only parent of C and we have the credal set θC=0|A=0 ∈ [0.3, 0.8]. これを説明するために、3つの変数 A, B, C を持つ BN が存在し、A が C の唯一の親であり、クレダル集合 θC=0|A=0 ∈ [0.3, 0.8] を持つと仮定する。 0.69
If we now consider a structurally enriched BN where A, B are both parents of C, then we have the same interval θC=0|A=0,B=b ∈ [0.3, 0.8] for b ∈ {0, 1}, but, crucially, the parameters for b = 0 and b = 1 can take different values in this interval. A, B がともに C の親であるような構造的にリッチな BN を考えると、b ∈ {0, 1} に対して θC=0|A=0,B=b ∈ [0.3, 0.8] が同じ間隔を持つが、重要なことに、b = 0 と b = 1 のパラメータはこの間隔で異なる値を取ることができる。 0.77
Definition 13. Given a CrBN CN [C] and ordering σ, the maximal structural enrichment C is the (unique) structurally enriched CrBN which has an edge (Vi, Vj) for all i <σ j. 定員13名。 CrBN CN[C] と順序 σ が与えられたとき、最大構造エンリッチメント C は、すべての i <σ j に対して辺 (Vi, Vj) を持つ(一意)構造エンリッチメント CrBN である。 0.71
[C+ σ ] N + σ [C+σ ] N + σ 0.44
The maximal structural enrichment of a CrBN with some ordering simply allows for the choice of parameters (within the credal set) at some variable to depend on all variables earlier in the order. ある順序を持つ crbn の最大構造的豊かさにより、ある変数におけるパラメータ(クレダル集合を含む)の選択は、順序においてより早くすべての変数に依存することができる。 0.76
In the case of the treatment example, the ordering S, R, V, T (used for compilation in Figure 2a) would give a structurally enriched CrBN where the parameter θV |s3 is allowed to depend on R, as it does in the CSPN (Figure 2c). 処理例の場合、順序付け S, R, V, T (図2aのコンパイルに使用される) は、CSPN (図2c) のようにパラメータ θV |s3 が R に依存することができる構造的にリッチな CrBN を与える。 0.84
Theorem 3. The output MARmax(S, C, e) returned by Algorithm 2 using ordering σ satisfies 理論3。 順序σ満足度を用いたアルゴリズム2で返される出力MARmax(S, C, e) 0.73
MARmax(S, C, e) = MARmax(N + MARmax(S, C, e) = MARmax(N +) 0.45
σ , C+ σ , e). σ, C+ σ , e) である。 0.60
An implication of this result (see Appendix for the proof) is that the ordering σ used when compiling the SPN can affect the tightness of the bound. この結果(証明の Appendix を参照)は、SPN をコンパイルする際に使われる順序 σ が境界の厳密性に影響を与えることを示唆している。 0.75
Consequently, it is possible to search over topological orderings to obtain a better bound, at the cost of additional computation; we exploit this in our experiments as the method CUBmax. その結果, 新たな計算コストを伴って, トポロジカル順序を探索し, より優れた境界を求めることが可能となり, 実験では CUBmax の手法としてこれを利用した。 0.79
It also demonstrates これはまた 0.56
that if we do, in fact, want to bound the probability of an event in a maximally ordered enrichment, then Algorithm 2 will give an exact result. 実際、最大に順序付けられたエンリッチメントで事象の確率を制限したい場合、アルゴリズム2は正確な結果を与える。
訳抜け防止モード: 実際、もし我々が、最大に順序付けられた富みの中で事象の確率を制限したいなら、 するとアルゴリズム2は正確な結果を与える。
We can also make use of this result to lower bound この結果を使って 限界を下げることもできます 0.75
N + σ [C+ N + σ 【c+】 0.50
Vi|ui,wi MARmax. Vi|ui,wi マーマックス 0.46
We can project the optimal parameters θ+ σ ] to obtain parameters θVi|ui = θ+ found for C Vi|ui,w∗ i valid for CN [C], by fixing some w∗ i for each credal set. 最適パラメータ θ+ σ ] を投影して、c vi|ui,w∗ i が cn [c] に対して有効であるパラメータ θvi|ui = θ+ を得ることができる。 0.74
It is not guaranteed that the exact solution for CN [C] will be such a projection, but it is much easier to search over projections than parameter values and this can provide a strong lower bound in many cases, or serve as a way to initialize a more thorough search algorithm. cn[c] の正確な解がそのような射影であることは保証されていないが、パラメータ値よりも射影上の探索はずっと容易であり、多くのケースにおいて強い下界を与えるか、より詳細な探索アルゴリズムを初期化する方法として役立つ。
訳抜け防止モード: CN [ C ] の正確な解がそのような射影であることは保証されていない。 しかし パラメータ値よりも 投射を探索するのがずっと簡単です これは多くの場合 強い下限を与えることができます より徹底的な検索アルゴリズムを 初期化する方法として 役立ちます
In our experiments we will evaluate a local greedy search algorithm CLB, which is initialized to an arbitrary projection given by some wi for each credal set Ci, and tries a series of local changes wi → w′ i, keeping any that increase the probability. 実験では、各クレダル集合 Ci に対して任意の wi によって与えられる任意の射影に初期化される局所グリーディ探索アルゴリズム CLB を評価し、その確率を増大させるような一連の局所変化 wi → w′ i を試す。 0.79
It terminates if it reaches parity with the upper bound or no local improvement can be found. 上界と同値に達するか、局所的な改善が見つからない場合は終了する。 0.54
Note that there is no guarantee of convergence to the upper bound – by Theorem 3 it is only possible when MARmax(N + σ , e) = MARmax(N , C, e), and even when this holds CLB can get stuck in local optima. 定理3により、 MARmax(N + σ , e) = MARmax(N , C, e) が成り立つときのみ可能であり、これが成り立つとしても CLB は局所最適状態に留まる。
訳抜け防止モード: 上界への収束の保証がないことに注意せよ – 定理 3 によれば、marmax(n + σ) の場合のみ可能である。 e ) = marmax(n, c, e ) そして、その時でさえ これはclbを保持します 局所的なオプティマで 行き詰まります
σ , C+ 5 Experimental Results σ, C+ 5 実験結果 0.64
on our method evaluate オン 私達 方法 評価 0.57
CREPO We [Caba˜nas and Antonucci, 2021] credal inference benchmark, which consists of 960 queries over 377 small-to-moderately sized networks, and, to evaluate scalability, hepar2, a 70-node Bayesian network. crepo we [caba snas and antonucci, 2021] credal推論ベンチマークは、377の小規模からモードのネットワーク上の960のクエリで構成され、スケーラビリティを評価するために70ノードのベイズネットワークであるhepar2を評価する。
訳抜け防止モード: CREPO We [Caba 'nas and Antonucci, 2021 ] credal inference benchmark, 377の小さな - to- サイズのネットワーク上で960のクエリで構成されています。 スケーラビリティを評価するために ヘパー2 - 70ノードのベイズネットワーク。
We include three of our methods1: methods1には3つの方法があります 0.49
(i) CUB, which computes an upper bound; (i)上界を計算するCUB 0.44
(ii) CUBmax, which searches over (n = 30) orderings to obtain a better bound; and (ii) (n = 30) の順序を検索してより良い境界を得る CUBmax 0.73
(iii) CLB, which computes a lower bound as described in Section 4.4 (capped to n = 100 steps). (iii)CLBは、セクション4.4(n = 100ステップ)に記載されているような下界を計算する。 0.81
the We compare the performance of our methods to exact credal variable elimination [Cozman, 2000] (where feasible) and ApproxLP [Antonucci et al , 2015], an approximate method returning a lower bound which has been shown to be state-of-the-art both in terms of scalability and accuracy of inferences. その... 提案手法の性能と正確なクレーダル変数除去 [cozman, 2000] (実行可能) と approxlp [antonucci et al , 2015] を比較した。
訳抜け防止モード: その... 我々は,本手法の性能を正確なクレダル変数除去法と比較した [Cozman, 2000 ] ApproxLP [Antonucci et al, 2015 ] は、示されている下界を返す近似メソッドである。 スケーラビリティと推論の正確性の両面で、最先端の - 最先端の - 技術であること。
We do not consider comparison to the IntRob algorithm presented in [Wang et al , 2021] as it cannot address arbitrary credal sets, and Algorithm 2 is equivalent to theirs in the limited cases where both can be applied (when all credal sets are either singletons or maximal). Wang et al , 2021] で示される IntRob アルゴリズムは任意のクレダル集合に対処できないため比較はできないが、アルゴリズム 2 はどちらも適用可能な限られた場合(全てのクレダル集合がシングルトンか最大値である場合)にそれらのアルゴリズムと等価である。 0.77
We split CREPO into two subsets, CREPO-exact (768 queries), where an exact solution could be computed, and CREPO-hard (192 queries), where it ran out of memory (16GB). CREPO-exact(768クエリ)とCREPO-hard(192クエリ)の2つのサブセットに分割した。
訳抜け防止モード: CREPOを2つのサブセットに分割しました。 正確なソリューションが計算可能で、CREPOがハード(192クエリ)です。 メモリが切れた場所(16GB)。
Since other methods do not support inferences involving decision functions, we use an augmented BN only for hepar2, where both the exact and ApproxLP methods run out of memory even without a decision function. 他のメソッドは決定関数を含む推論をサポートしていないので、決定関数なしでも正確なメソッドとおよそlpメソッドの両方がメモリ切れとなるhepar2に対してのみ拡張bnを使用する。 0.71
In Table 2, for all benchmarks we report the time taken by each method. 表2では、すべてのベンチマークについて、各メソッドに要する時間を報告します。 0.60
For CREPO-exact, we compute the average difference in computed probability to the exact result (positive/negative for upper/lower bounds respectively), while for the other sets we report the average difference to the best upper bound. CREPO-exactでは、計算された確率の平均差を正確な結果(それぞれ上値と下値の正/負)に計算し、他のセットでは最上値に平均差を報告する。 0.76
Remarkably, we see that our upper-bounding and 驚くべきことに、私たちの上界と上界は 0.54
1Code for algorithms 1コード ですから アルゴリズム 0.66
and experiments available そして 実験 利用可能 0.69
at https://github.com/H jalmarWijk/credal-bo und に https://github.com/H jalmarWijk/credal-bo und 0.46
Network Exact ApproxLP CLB ネットワーク Exact ApproxLP CLB 0.61
CREPO-exact CREPO-exact 0.29
Diff Time(ms) Diff (複数形 Diffs) 0.69
0 626 CREPO-hard 0 626 CREPO-hard 0.36
Hepar2 Diff Time(ms) ヘパー2 Diff (複数形 Diffs) 0.54
Diff Time (s) Diff (複数形 Diffs) 0.66
- - -0.0523 384 - - -0.0523 384 0.38
-0.0529 1154 -0.0529 1154 0.29
- -0.0432 46(6) - -0.0432 46(6) 0.60
-0.0742 65(6) -0.0742 65(6) 0.39
-0.0917 429(287) -0.0917 429(287) 0.78
CUB 0.0018 2(6) カブ 0.0018 2(6) 0.45
0.0220 2(6) 0.0220 2(6) 0.44
0 4(287) CUBmax 0.0015 209(618) 0 4(287) CUBmax 0.0015 209(618) 0.67
0 231(618) 0 231(618) 0.85
- Table 2: Average computation time (compilation time in parenthesis) and difference in computed probability to exact/upper bound. - 表2: 平均計算時間(括弧における計算時間)と計算確率の正確/アップパーバウンドへの差。 0.61
− indicates the method ran out of memory (16GB). -は、メモリを使い果たしたメソッド(16GB)を示す。 0.72
lower-bounding algorithms dominate ApproxLP on CREPOexact, with better lower bounds being produced in an order of magnitude less time. 低バウンディングアルゴリズムはCREPOexact上のApproxLPを支配し、より低いバウンドは桁違いに少ない時間で生成される。 0.75
Given the simplicity of the greedy iteration in CLB, this is primarily explained by the effectiveness of projection from the upper bound as a starting heuristic. CLB における欲求反復の単純さを考えると、これは上界からの射影を始ヒューリスティックとしての有効性によって主に説明される。 0.67
On CREPO-hard, our upper bounding is the only method capable of providing guarantees. crepo-hardでは、アッパーバウンダリングだけが保証を提供する唯一の方法です。 0.53
Meanwhile, our lower bound performs worse on average than ApproxLP, but only by a small amount, while using significantly less time. 一方, 平均値よりも下限は低いが, 少ない量のみであり, かなり少ない時間を用いる。
訳抜け防止モード: 一方、我々の下限は平均でおよそlpより悪い。 しかし、ほんの少しだけ、はるかに少ない時間を使うだけである。
Finally, we see that our method is the only one to scale to the challenging hepar2 network, completing in a reasonable amount of time even with the significant additional computational expense of incorporating a decision function. 最後に,本手法がヘパー2ネットワークにスケールする唯一の方法であることが確認された。
訳抜け防止モード: 最後に,本手法がヘパー2ネットワークにスケールする唯一の方法であることを示す。 決定関数を組み込んだ計算コストが大幅に増大しても、妥当な時間内に完了すること。
6 Conclusions We have demonstrated how to construct an SPN whose parameters (sum node weights) can be semantically interpreted as representing specific conditional probability distributions in a CrBN. 6つの結論 我々は,パラメータ(仮定ノード重み)をCrBN内の特定の条件確率分布を表すものとして意味論的に解釈できるSPNを構築する方法を示した。 0.67
The result relies on a novel SPN compilation technique, which ensures that その結果、新しいSPNコンパイル技術に頼っている。 0.51
(i) all sum nodes correspond to some variable V and i) すべての和ノードは、ある変数 V に対応し、 0.83
(ii) that the values of all parents of V can be uniquely determined. (II) V のすべての親の値が一意に決定可能であること。 0.81
This is significant as (after applying constraint relaxation) it enables a direct mapping of the credal sets of the CrBN to a CSPN, which, unlike the CrBN, can be tractably maximized. これは(制約緩和を適用した後) CrBN のクレダル集合を CSPN へ直接マッピングできるためであり、CrBN とは違い、トラクタブルに最大化することができる。 0.78
This gives an efficient method to analyse robustness of decision functions learnt from data in the presence of imprecise knowledge, distributional shifts and exogenous variables. これにより、不正確な知識、分布シフト、外因性変数の存在下でデータから学習した決定関数の堅牢性を分析する効率的な方法が得られる。 0.66
Our method provides formally guaranteed upper and lower bounds on the probability of an event of interest, and the experimental evaluation has additionally demonstrated that it compares favourably in accuracy to stateof-the-art approximate methods while being orders of magnitude faster. 提案手法は,興味のある事象の確率の上限と下限を正式に保証し,その精度を最先端の近似手法と比較し,精度が桁違いに高速であることを示す。 0.68
In future work the upper bound could be improved through reintroducing some of the dropped equality constraints between weights of sum nodes in the CSPN, though this will involve trade-offs between computational challenge and accuracy. 将来の研究では、上界は CSPN の和ノードの重みの間の等式制約のいくつかを再導入することで改善されるが、これは計算チャレンジと精度のトレードオフを含む。 0.63
The methodology could also be extended to handle more challenging queries such as maximum expectations, by imposing additional structure on the compiled circuit. この手法は、コンパイルされた回路に構造を追加することで、最大期待値などのより困難なクエリを扱うように拡張することもできる。
訳抜け防止モード: 方法論も拡張できるかもしれない 最大限の期待など より困難なクエリを処理します コンパイルされた回路に 追加構造を加えることで
Acknowledgements This project was funded by the ERC under the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme (FUN2MODEL, grant agreement No. 834115), and by the Future of Humanity Institute, Oxford University. 覚書 このプロジェクトは欧州連合のHorizon 2020 Research and Innovation Program(FUN2MODEL, grant agreement No. 834115)とオックスフォード大学のFuture of Humanity Instituteによって資金提供された。 0.58
References [Antonucci et al , 2010] Alessandro Antonucci, Yi Sun, Cassio P. de Campos, and Marco Zaffalon. 参考文献 [Antonucci et al , 2010]Alessandro Antonucci、Yi Sun、Cassio P. de Campos、Marco Zaffalon。
訳抜け防止モード: 参考文献 [antonucci et al, 2010 ] alessandro antonucci, yi sun, カシオ・p・デ・カンポス(cassio p. de campos)とマルコ・ザファロン(marco zaffalon)。
Generalized loopy 2u: A new algorithm for approximate inference in credal networks. generalized loopy 2u: credal networkにおける近似推論のための新しいアルゴリズム。 0.81
Int. J. Approx. Reasoning, 51(5):474–484, jun 2010. イント jの略。 推理、51(5):474–484、2010年6月。 0.53
[Antonucci et al , 2015] Alessandro Antonucci, Cassio P. de Campos, David Huber, and Marco Zaffalon. Alessandro Antonucci氏、Cassio P. de Campos氏、David Huber氏、Marco Zaffalon氏。 0.57
Approximate credal network updating by linear programming with applications to decision making. 線形プログラミングによるクレーダルネットワークの近似更新と意思決定への応用 0.77
Int. J. Approx. Reasoning, 58:25–38, 2015. イント jの略。 2015年、58:25-38。 0.51
[Caba˜nas and Antonucci, 2021] Rafael 【カバ・イナスとアントヌッチ、2021年]ラファエル 0.54
and Alessandro Antonucci. そしてAlessandro Antonucci。 0.75
Crepo: An open repository to benchmark credal network algorithms. crepo: credalネットワークアルゴリズムをベンチマークするためのオープンリポジトリ。 0.77
arXiv preprint arXiv:2105.04158, 2021. arxiv プレプリント arxiv:2105.04158, 2021。 0.41
Caba˜nas [Cano et al , 2007] Andr´es Cano, Manuel G´omez, Seraf´ın Moral, and Joaqu´ın Abell´an. カバ・シナス [Cano et al , 2007]Andr ́es Cano, Manuel G ́omez, Seraf ́ın Moral, Joaqu ́ın Abell ́an. 0.32
Hill-climbing and branchand-bound algorithms for exact and approximate inference in credal networks. 干潟ネットワークにおける正確な近似推定のためのヒルクライミングと分岐結合アルゴリズム 0.62
Int. J. Approx. Reasoning, 44(3):261– 280, 2007. イント jの略。 2007年、44(3):261-280頁。 0.53
Reasoning with Imprecise Probabilities. 不正確な確率で推論する。 0.47
[Chan and Darwiche, 2004] Hei Chan and Adnan Darwiche. [Chan and Darwiche, 2004]Hei ChanとAdnan Darwiche。 0.38
Sensitivity analysis in bayesian networks: From single to multiple parameters. ベイズネットワークにおける感度解析:単一パラメータから複数パラメータへ 0.87
In UAI, page 67–75, Arlington, Virginia, USA, 2004. uai, page 67-75, arlington, virginia, usa, 2004。 0.63
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On the robustness of most probable explanations. 最も可能性の高い説明の堅牢性について 0.51
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[Coup´e et al , 2000] Veerle M. H. Coup´e, Linda C. Van Der Gaag, and J. Dik F. Habbema. J. Dik F. Habbema. [Coup ́e et al , 2000] Veerle M. H. Coup ́e, Linda C. Van Der Gaag, J. Dik F. Habbema.
訳抜け防止モード: [クーデター等、2000年]veerle m.h.クーデター linda c. van der gaagとj. dik f. habbema。
Sensitivity analysis: An aid for belief-network quantification. 感度分析: 信念ネットワークの定量化を支援する。 0.72
Knowl. Eng. 知っている。 Eng! 0.45
Rev. , 15(3):215–232, sep 2000. レヴ 15(3):215–232, sep 2000。 0.37
[Cozman, 2000] Fabio G. Cozman. Cozman, 2000] Fabio G. Cozman. 0.38
Credal networks. 致命的なネットワーク。 0.47
Artifi- cial Intelligence, 120(2):199–233, 2000. Artifi cial Intelligence, 120(2):199–233, 2000。 0.41
[Darwiche, 2003] Adnan Darwiche. [Darwiche, 2003]Adnan Darwiche. 0.36
A differential approach to inference in bayesian networks. ベイズネットワークにおける推論に対する微分的アプローチ 0.61
Journal of the ACM (JACM), 50(3):280–305, 2003. The Journal of the ACM (JACM), 50(3):280–305, 2003 0.46
[De Campos and Cozman, 2007] Cassio Polpo De Campos and Fabio Gagliardi Cozman. [De Campos and Cozman, 2007]Cassio Polpo De CamposとFabio Gagliardi Cozman。 0.39
Inference in credal networks through integer programming. credalネットワークにおける整数計画による推論 0.64
In Proceedings of the Fifth International Symposium on Imprecise Probability: Theories andApplications, 2007. 第5回不正確な確率:理論と応用に関する国際シンポジウム2007参加報告 0.72
[Fagiuoli and Zaffalon, 1998] Enrico Fagiuoli and Marco Zaffalon. [Fagiuoli and Zaffalon, 1998]Enrico Fagiuoli and Marco Zaffalon. 0.40
interval propagation algorithm for polytrees with binary variables. バイナリ変数を持つポリツリーの間隔伝搬アルゴリズム。 0.78
Artif. Intell. アーティフ インテリ。 0.49
, 106(1):77–107, nov 1998. 106(1):77–107, nov 1998。 0.43
2u: An exact [Huber et al , 2020] D. Huber, R. Caba˜nas, A. Antonucci, and M. Zaffalon. 2u: 正確には [Huber et al , 2020]D. Huber、R. Caba 'nas、A. Antonucci、M. Zaffalon。 0.57
CREMA: a Java library for credal network inference. CREMA: クレダルネットワーク推論のためのJavaライブラリ。 0.66
In M. Jaeger and T.D. Nielsen, editors, Proceedings of the 10th International Conference on Probabilistic Graphical Models (PGM 2020), Proceedings of Machine Learning Research, Aalborg, Denmark, 2020. M. Jaeger と T.D. Nielsen では、編集者、Proceedings of the 10th International Conference on Probabilistic Graphical Models (PGM 2020), Proceedings of Machine Learning Research, Aalborg, Denmark, 2020 がある。 0.89
PMLR. [Katz et al , 2017] Guy Katz, Clark Barrett, David L Dill, Kyle Julian, and Mykel J Kochenderfer. PMLR。 Katz et al , 2017] Guy Katz氏、Clark Barrett氏、David L Dill氏、Kyle Julian氏、Mykel J Kochenderfer氏。
訳抜け防止モード: PMLR。 [katz et al, 2017] guy katz, clark barrett, デビッド・l・ディル、カイル・ジュリアン、ミケル・j・コチェンダー。
Reluplex: An Reluplex: An 0.42
efficient smt solver for verifying deep neural networks. ディープニューラルネットワークを検証する 効率的なsmtソルバ。 0.64
In CAV, pages 97–117. CAV 97-117頁。 0.25
Springer, 2017. 2017年、スプリンガー。 0.54
[Lipton et al , 2018] Zachary Lipton, Yu-Xiang Wang, and Alexander Smola. [Lipton et al , 2018]Zachary Lipton氏、Yu-Xiang Wang氏、Alexander Smola氏。 0.41
Detecting and correcting for label shift with black box predictors. ブラックボックス予測器を用いたラベルシフトの検出と修正 0.82
In ICML, pages 3122–3130. ICMLでは3122-3130頁。 0.74
PMLR, 2018. 2018年、PMLR。 0.68
[Mattei et al , 2020] Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, and Denis Deratani Mau´a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena. (Mattei et al , 2020)Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, Denis Deratani Mau ́a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena
訳抜け防止モード: [Mattei et al, 2020 ] Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, そして、Denis Deratani Mau ́a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena。
Tractable inference in credal sentential decision diagrams. 震源決定図におけるトラクタブル推論 0.42
International Journal of Approximate Reasoning, 125:26–48, 2020. international journal of approximate reasoning, 125:26-48, 2020) を参照。 0.57
[Mau´a and Cozman, 2020] Denis Deratani Mau´a [Mau ́a and Cozman, 2020]Denis Deratani Mau ́a 0.40
and Fabio Gagliardi Cozman. そしてFabio Gagliardi Cozman。 0.74
Thirty years of credal networks: Specification, algorithms and complexity. クレーダルネットワークの30年: 仕様、アルゴリズム、複雑さ。 0.72
Int. J. Approx. Reasoning, 126:133–157, 2020. イント jの略。 126:133–157, 2020。 0.45
[Mau´a et al , 2017] Denis D Mau´a, Fabio G Cozman, Diarmaid Conaty, and Cassio P Campos. Mau ́a et al , 2017] Denis D Mau ́a, Fabio G Cozman, Diarmaid Conaty, Cassio P Campos 0.42
Credal sum-product networks. credal sum-product networkの略。 0.47
In Proceedings of the Tenth International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications, pages 205–216. 第10回不正確な確率に関する国際シンポジウム(the 10th international symposium on imprecise probability: theory and applications)第205-216頁。 0.50
PMLR, 2017. 2017年、PMLR。 0.66
[Narodytska et al , 2018] Nina Narodytska, [Narodytska et al , 2018]Nina Narodytska, 0.36
Shiva Kasiviswanathan, Leonid Ryzhyk, Mooly Sagiv, and Toby Walsh. Shiva Kasiviswanathan、Leonid Ryzhyk、Mooly Sagiv、Toby Walsh。 0.31
Verifying properties of binarized deep neural networks. 二項化ディープニューラルネットワークの検証特性 0.69
In AAAI, volume 32, 2018. aaai』第32巻、2018年。 0.40
[Pearl, 1985] Judea Pearl. [Pearl, 1985]ジュデア・パール。 0.74
Bayesian networks: A model of self-activated memory for evidential reasoning. ベイズネットワーク(Bayesian Network): 明白な推論のための自己活性化メモリのモデル。 0.52
In Proceedings of the 7th conference of the Cognitive Science Society, University of California, Irvine, CA, USA, pages 15–17, 1985. カリフォルニア大学アーバイン校認知科学協会第7回会議の議事録、1985年15-17頁。 0.52
[Poon and Domingos, 2011] Hoifung (『poon and domingos』2011年)『hoifung』 0.51
Pedro Domingos. ペドロ・ドミンゴス。 0.54
Sum-product networks: A new deep architecture. Sum-product Network: 新しいディープアーキテクチャ。 0.74
In UAI, page 337–346, July 2011. 2011年7月、UAI337-346頁。 0.64
[Qui˜nonero-Candela et al , 2009] Joaquin [クイ・シノネロ・カンデラら,2009]ジョアキン 0.54
Qui˜noneroCandela, Masashi Sugiyama, Neil D Lawrence, and Anton Schwaighofer. キ・シノエロ・カンデラ、杉山正、ニール・ド・ローレンス、アントン・シュヴァイオファー。 0.43
Dataset shift in machine learning. 機械学習におけるデータセットシフト。 0.72
Mit Press, 2009. 2009年、mit出版。 0.54
Poon and [Rooshenas and Lowd, 2014] Amirmohammad Rooshenas and Daniel Lowd. プーン そして [Rooshenas and Lowd, 2014]Amirmohammad Rooshenas氏とDaniel Lowd氏。 0.55
Learning sum-product networks with direct and indirect variable interactions. 直接的および間接的な変数相互作用による総生産ネットワークの学習。 0.62
In ICML, pages 710–718. ICMLでは710-718頁。 0.80
PMLR, 2014. 2014年、PMLR。 0.67
[Ruan et al , 2018] Wenjie Ruan, Xiaowei Huang, and Marta Kwiatkowska. [Ruan et al , 2018]Wenjie Ruan、Xiaowei Huang、Marta Kwiatkowska。 0.35
Reachability analysis of deep neural networks with provable guarantees. 証明可能な保証を持つ深層ニューラルネットワークの到達可能性解析 0.70
In IJCAI, IJCAI’18, page 2651–2659. ijcai, ijcai'18, 2651-2659頁。 0.47
AAAI Press, 2018. AAAIプレス、2018年。 0.78
[Wang et al , 2021] Benjie Wang, Clare Lyle, and Marta Kwiatkowska. Wang et al , 2021] Benjie Wang, Clare Lyle, Marta Kwiatkowska 0.32
Provable guarantees on the robustness of decision rules to causal interventions. 因果的介入に対する決定ルールの堅牢性に関する証明可能な保証。 0.55
In IJCAI, 2021. 2021年、IJCAIに入社。 0.62
[Zaffalon et al , 2020] Marco Zaffalon, Alessandro Antonucci, and Rafael Caba˜nas. [Zaffalon et al , 2020]Marco Zaffalon氏、Alessandro Antonucci氏、Rafael Caba 'nas氏。 0.43
Structural causal models are (solvable by) credal networks. 構造因果モデルは(解決可能な)クレーダルネットワークである。 0.70
In International Conference on Probabilistic Graphical Models, pages 581–592. International Conference on Probabilistic Graphical Models, page 581–592。 0.42
PMLR, 2020. PMLR、2020年。 0.88
[Zhang et al , 2015] Kun Zhang, Mingming Gong, and Bernhard Sch¨olkopf. [Zhang et al , 2015] Kun Zhang, Mingming Gong, Bernhard Sch solkopf. 0.42
Multi-source domain adaptation: A causal view. マルチソースドメイン適応:因果ビュー。 0.70
In AAAI, 2015. 2015年、AAAI。 0.69
A Proofs A.1 Proof of Lemma 1 証明 A.1 Lemma 1の証明 0.46
Lemma 1. Suppose that T computes N respecting some topological order. レマ1号。 T が N を位相順に計算するとする。 0.57
Let t be a +-node in T splitting on some variable V . t をある変数 V 上の T の分割の +-ノードとする。 0.76
Then all complete subcircuits α which include t must agree on the value of its parents paN (V ). t を含むすべての完全部分回路 α は、その親 pan (v) の値について合意しなければならない。 0.65
Proof. First, we show that the part of the subcircuit ”external to” the sub-AC Tt is sufficient to determine the value of the parents of V . 証明。 まず, v の親の値を決定するには,subcircuit の "external to" 部分の部分で十分であることを示す。 0.63
Suppose that α, α′ are two complete subcircuits which both include t and differ only in the chosen +-node children in the sub-AC from t. α, α′ は 2 つの完全なサブ回路であり、どちらも t を含み、サブAC の t から選択された+ノードの子供にのみ異なると仮定する。 0.63
Since T respects a topological ordering, by Defn. T は、Defn による位相順序を尊重する。 0.63
8 no nodes in Tt split on any variable in paN (V ). Tt のノードは paN (V ) の任意の変数で分割されない。 0.76
Then, these subcircuits must assign the same values to paN (V ). 次に、これらのサブ回路は同じ値をpaN (V) に割り当てなければならない。 0.67
Now for the main result, suppose for contradiction there exist two complete subcircuits α1, α2 which both include t and specify different values u1, u2 for paN (V ) through indicators. 主要な結果について、矛盾があると仮定すると、2つの完全なサブ回路 α1, α2 が存在し、どちらも t を含み、インジケータを通してpaN (V) に対する異なる値 u1, u2 を指定できる。
訳抜け防止モード: 主要な結果について、矛盾があると仮定すると、2つの完全なサブ回路 α1 が存在する。 tを含むα2 paN ( V ) の異なる値 u1, u2 をインジケータで指定する。
We will write α1 = (α1P , α1S ), where α1P (prefix) is the part of the subcircuit external to Tt, and α1S (suffix) is the part internal to Tt (similar for α2). ここでは、α1 = (α1P , α1S ) と書けば、α1P (prefix) は Tt のサブサーキットの部分であり、α1S (suffix) は Tt の内側の部分である。 0.82
Now we consider constructing a subcircuit α′ 2 = (α2P , α1S ) which has the prefix of α2, but suffix of α1. 現在、α2 の接頭辞を持つ部分循環 α′ 2 = (α2P , α1S ) を構築することを検討している。 0.70
Comparing α1, α′ 2, we see that they are identical in Tt, meaning that they specify the same value of V (say, v), but they specify different values u1, u2 of paN (V ). α1, α′の比較 2 は tt において同一であること、つまり v の同じ値(例えば v)を定めるが、pan (v) の異なる値 u1, u2 を定めることを意味する。 0.55
Since each subcircuit corresponds to a term of the network/AC polynomial, the subcircuits must contain parameters θv|u1, θv|u2 respectively. 各サブ回路はネットワーク/AC多項式の項に対応するため、各サブ回路はパラメータ θv|u1 と θv|u2 を含む必要がある。 0.61
Since these parameters depend on the value of V , they must appear in Tt. これらのパラメータは v の値に依存するので、tt に現れなければならない。 0.67
But this is a contradiction as both subcircuits are identical in that sub-AC. しかし、どちらのサブ回路もそのサブACと同一であるため、これは矛盾である。 0.57
A.2 Proof of Theorem 3 Theorem 3. A.2 Theorem 3 Theorem 3 の証明。 0.55
The output MARmax(S, C, e) returned by Algorithm 2 using ordering σ satisfies 順序σ満足度を用いたアルゴリズム2で返される出力MARmax(S, C, e) 0.87
MARmax(S, C, e) = MARmax(N + MARmax(S, C, e) = MARmax(N +) 0.45
σ , C+ σ , e). σ, C+ σ , e) である。 0.60
To prove Theorem 3 we will introduce an expansion operation EX on SPNs, which intuitively ‘distributes’ all products over the sum nodes, so that product nodes only have leaf node children. 定理 3 を証明するために、sns 上の拡張操作 ex を導入する。これは直観的にすべての積を和ノード上で「分配する」ので、積ノードはリーフノード子しか持たない。
訳抜け防止モード: Theorem 3 の証明 SPN 上の EX の拡張操作を導入します。これは直感的にすべての製品を和ノード上に配布します。 製品ノードには葉ノードの子供しかいないのです
As we perform the expansion we will use labels on the sum nodes to track their origin in the original SPN. 拡張を実行すると、sumノードのラベルを使って元のspnでそれらの起源を追跡します。 0.72
Definition 14. Let S be a SPN respecting the ordering σ, where each sum node is given a unique label. 定員14名。 S を順序 σ を尊重する SPN とし、各和ノードには一意なラベルが与えられる。 0.67
We define the expanded SPN EX(S) to be an SPN constructed as follows: 拡張されたSPN EX(S)は、以下のように構築されたSPNと定義する。 0.66
• If the root t is a single leaf node, then EX(S) = S; • 根 t が単葉ノードであれば、EX(S) = S; 0.66
• If the root t is a sum node labelled l with children t1, ..., tn, then EX(S) is a sum node also labelled l with children EX(St1 ), ..., EX(Stn ) and the same weights; • 根 t が子 t1, ..., tn で l とラベル付けされた和ノードであれば、ex(s) は子 ex(st1 ), ..., ex(stn ) と共に l とラベル付けされた和ノードであり、同じ重みを持つ。
訳抜け防止モード: • ルート t が l に子 t1 をラベル付けした和ノードであれば、 tn, EX(S ) は児 EX(St1 ) と l をラベル付けした和ノードである。 ...、EX(Stn )と同じ重さ。
• If the root is a product node which has only leaf nodes •根が葉ノードのみを持つ製品ノードである場合 0.79
as children, then EX(S) = S; 子供の場合、EX(S) = S; 0.70
• If the root is a product node t with at least one product node child p, then EX(S) is the result of applying EX to a single product node with all the children of t and p together; • 根が少なくとも1つの製品ノード子pを持つ製品ノードtであれば、ex(s) は、t と p のすべての子からなる単一製品ノードに ex を適用する結果である。 0.77
• If the root is a product node t with at least one sum node child and no product node children, then let s (labelled l) be the first sum node child in σ, let s1, ..., sn be the children of s and let t1, ..., tm be the other children of • 根が少なくとも1つの和ノード子を持ち、積ノード子がない積ノードtであれば、s (labelled l) を σ の最初の和ノード子とし、s1, ..., sn を s の子とし、t1, ..., tm を t1, ..., tm を他の子とする。
訳抜け防止モード: •ルートが少なくとも1つの和ノード子を持つ積ノードtである場合 製品ノードの子がいなければ、s (ラベル付き l ) を σ の最初のsumノード子にします。 s1... snをsの子にして t1... tmを他の子供たちに
t. Then EX(S) is a sum node (labelled l) with n children EX(p1), ..., EX(pn), and weights identical to t. ex(s) は n 個の子 ex(p1), ..., ex(pn) を持つ和ノード (ラベル付き l) で、重みは同一である
訳抜け防止モード: t. then EX(S ) is a sum node ( labeled l ) with n children EX(p1 ) ...、EX(pn )、および重みは同一である
s. Each SPN pi has a product node at the root and children t1, ..., tm, si, labelled with their original labels. s. 各spn pi は根元に製品ノードを持ち、t1, ..., tm, si は元のラベルでラベル付けされている。 0.78
It should be noted that each of these operations performs recursive calls on SPNs with fewer nodes than the original SPN. 各操作は、元のSPNよりも少ないノードを持つSPNに対して再帰呼び出しを実行することに注意する必要がある。 0.69
Thus the recursion will always finish. したがって、再帰は常に終わる。 0.66
Lemma 3. For any SPN S respecting ordering σ, the expanded SPN EX(S) has the same SPN polynomial lS[λ, Θ] = lEX(S)[λ, Θ]. 第3弾。 順序 σ を尊重する任意の SPN S に対して、拡張 SPN EX(S) は同じ SPN 多項式 lS[λ, >] = lEX(S)[λ, >] を持つ。
訳抜け防止モード: 第3弾。 順序 σ を尊重する任意の SPN S に対して、拡張 SPN EX(S ) は同じ SPN 多項式 lS[λ を持つ。 Θ ] = lEX(S)[λ , Θ ] .
Further, EX(S) also respects σ, and all its product nodes have only leaf nodes as children. さらに、EX(S) はσ を尊重し、すべての製品ノードは葉ノードのみを子供として持つ。 0.73
Proof. We will prove this by induction on the SPNs EX(St), where we proceed in reverse topological order of the nodes t in the SPN (i.e. children before parents). 証明。 本研究は,SPNs EX(St)において,SPNのノードtの逆トポロジカルな順序で進行する(つまり,親より前の子供)。 0.63
First, if the root is a leaf node or a product node with only 第一に、ルートがリーフノードか、ただの積ノードである場合 0.65
leaf node children then all the statements are trivially true. リーフノードの子供なら 全ての主張は 自明に真実だ 0.61
If the root is a sum node t labelled l with children t1, ..., tn, then the SPN polynomial is the weighted sum of the polynomials of the expanded children which are unchanged (by the induction hypothesis), where the weights (parameters) are the same as in the original SPN. 根が子 t1, ..., tn で l にラベル付けされた和ノード t であれば、spn 多項式は拡大された子の多項式の重み付き和であり、その重み(パラメータ)は元のspnと同じである(帰納的仮説により)。
訳抜け防止モード: 根が l に子 t1 とラベルづけされた和ノード t であれば ..., tn, そして、spn多項式は(帰納的仮説によって)変化しない拡大された子供の多項式の重み付き和である。 重み(パラメータ)は元のspnと同じである。
Further, the expanded children split on the same variables as before, respecting ordering, so the sum node as a whole does so as well. さらに、拡張された子供は、前と同じ変数に分割し、順序を尊重するので、全体としての和ノードも同様に行う。 0.75
If the root is a product node with another product node as a child, then it is enough to observe that (by the associativity of products) moving all children to one product node has no effect on the polynomial or ordering - the remaining result follows from the inductive hypothesis on the combined product node. 根が別の積ノードを持つ積ノードであるならば、(製品の結合性によって)すべての子を1つの積ノードに移動させると、多項式や順序に何の影響も及ぼさないのが十分である。
訳抜け防止モード: ルートが製品ノードで、別の製品ノードが子供である場合、 そして、(製品の結合性によって)観察するには十分である。 すべての子どもを一つの製品ノードに移すと、多項式や順序に影響を与えない -残りの結果は合成積ノード上の帰納的仮説から導かれる。
It remains to show the result for product nodes with at least one sum node child (and no product node children). 製品ノードが少なくとも1つの和ノード子(製品ノード子)を持つ場合の結果は、まだ示されていない。 0.76
Adopting the same notation used in the definition, we will show that the sum node s must split on a variable Vi such that Vi < Vj for all other variables Vj split on somewhere in S. For Vk split on at one of the other sum node children t1, ..., tm we have Vi < Vk by construction. 定義で使われる同じ表記法を採用すると、和ノード s が変数 Vi 上で分割されなければならないことを示し、他の変数 Vj に対して Vi < Vj が S のどこかで分裂することを示す。
訳抜け防止モード: 定義で使われるのと同じ表記法を採用する。 和ノード s が変数 Vi 上で分割されなければならないことを示し、他の変数 Vj に対して Vi < Vj が S のどこかで分割されることを示す。 Vk は他のsum node children t1 で分割する。 tm, tm にはvi < Vk という構造がある。
For some Vj split on elsewhere any node splitting on it must be a descendant of either s or some tk, and since S obeys the ordering condition Vk < Vj which shows the claim by transitivity. Vj が他の場所で分割される場合、それは s または tk のいずれかの子孫でなければならず、S は推移性による主張を示す順序条件 Vk < Vj に従う。 0.73
This (along with the inductive hypothesis) shows that ordering is respected. これは(帰納的仮説とともに)順序付けが尊重されることを示す。 0.61
The polynomial being the same follows immediately from the distributive law. 同じ多項式は分配法則からすぐに従う。 0.54
leaf nodes, and product nodes with only leaf nodes as children. 葉ノード、および子供の葉ノードのみを持つ製品ノード。 0.75
The overall procedure only produces sum nodes, 全体の手続きは合計ノードのみを生成する。 0.67
Note that requiring all product nodes to have only leaf node children is a very restrictive condition. すべてのプロダクトノードにリーフノードの子供しか持たなければならないのは、非常に制約のある条件である。 0.60
Any complete subcircuit of such an SPN must be a single path of sum nodes t1, ..., tn followed by a single product node containing all its leaf nodes at the end. そのようなSPNの任意の完全部分回路は、和ノード t1, ..., tn の単一経路でなければならない。
訳抜け防止モード: そのようなSPNの任意の完全部分回路は、和ノード t1 の単一経路でなければならない。 tnは最後にすべての葉ノードを含む1つの製品ノードに続きます。
We can now prove Theorem 3. 現在、Theorem 3を証明できます。 0.79
Proof. Given the CrBN CN [CN ] (with maximal ordered enN ]), let CS[CS] be the CSPN constructed by richment C Algorithm 2 respecting ordering σ. 証明。 CrBN CN [CN ] (最大順序 enN ]) を与えられたとき、CS[CS] を σ を尊重する C アルゴリズム 2 による CSPN とする。
訳抜け防止モード: 証明。 CrBN CN [ CN ] (最大順序 enN ] ) が与えられたとき CS[CS ] を σ を尊重するリッチメント C アルゴリズム 2 で構築された CSPN とする。
[C+ N + σ 【c+】 N + σ 0.50
We now define credal sets C− 現在、クレダル集合 C− を定義する。 0.47
the weights/parameters of the expanded SPN EX(S). 拡張SPN EX(S)の重量/パラメータ。 0.70
In both, for a sum node s in EX(S), we assign individual credal sets Ci to the weights of s from the node with the same label in the original SPN S. However, for C− S , we additionally impose the constraint that sum nodes with the same label in EX(S) must also have the same weights; CEX(S)[C− S ] is thus not a CSPN (while CEX(S)[C+ どちらも、EX(S) の和ノード s に対して、個々のクレダル集合 Ci を元の SPN S の同じラベルを持つノードから s の重みに割り当てるが、C−S については、EX(S) の同じラベルを持つ和ノードも同じ重みを持つ必要があるという制約を加味する;CEX(S)[C−S ] は CSPN ではない(ただし CEX(S)[C+ )。 0.79
S and C+ S over S と C+ S Over 0.65
S ] is). we s ] である。 私たち 0.57
Firstly, show that S , e). まず第一に S , e) を示す。 0.63
= MARmax(EX(S), C− Since S and EX(S) have the same polynomial, the distributions are equivalent (for the same parameters). = MARmax(EX(S), C− S と EX(S) は同じ多項式を持つので、分布は(同じパラメータに対して)同値である。 0.88
Further, since the credal sets CS , C− S are the same by construction, the maximal marginal probability (and parameter assignment) is the same for both. さらに、クレダル集合 CS , C− S は構成によって同じであるため、最大辺確率(およびパラメータ割り当て)はどちらも同じである。 0.78
MARmax(S, CSe) MARmax(S, CSe) 0.42
that is, Second, we that, since CEX(S)[C+ S ] それは... 次に cex(s)[c+ s ] なので 0.42
show that MARmax(EX(S), C+ S , e), marmax(ex(s), c+ s , e) を示す 0.69
S , e) = MARmax(EX(S), C− that the same value can be obtained despite the additional constraints on C− S . S , e) = MARmax(EX(S), C− は C− S 上の追加の制約にもかかわらず同じ値が得られる。 0.83
Recall is a CSPN, we can find MARmax(EX(S), C+ S , e) by maximizing the weights at each sum node locally based on the maximized value of its children (2). リコールはcspnであり、マーマックス(ex(s), c+ s , e) は子供の最大値に基づいて各和ノードの重みを局所的に最大化することで見つけることができる(2)。 0.70
Looking at the definition of the expansion process (Defn. 14), we see that the only way in which two sum nodes r, r′ in EX(S) can have the same label is if two product nodes in the original SPN have a common sum node child (with that label). 拡張過程の定義 (defn. 14) を見ると、ex(s) の 2つの和ノード r, r′ が同じラベルを持つ唯一の方法は、元の spn の 2つの積ノードが共通の和ノード子を持つ(そのラベルを持つ)場合である。 0.76
Then, using similar notation as in the Definition, r will have children EX(p1), ..., EX(pn), where pi is an SPN with a product node root and children t1, ..., tm, si, while r′ 1), ..., EX(p′ will have children EX(p′ i is an SPN with product node root and children t′ m′ , si. ここで、r は子元 ex(p1, ..., ex(pn) を持ち、pi は積ノード根を持つ spn で、子元 t1, ..., tm, si, while r′ 1), ..., ex(p′) は子元 ex(p′ i は積ノード根を持つ spn と子 t′ m′, si を持つ。
訳抜け防止モード: すると、定義に類似の表記を用いると、r は ex(p1 ) を持つ。 ..., ex(pn ) ここで pi は積ノードルートを持つ spn である。 そして、t1, ..., tm, si, while r′ 1)。 ..., ex(p' は子を ex(p′) とする。 i は積ノードルートを持つ spn であり、子 t′ m′, si を持つ。
Since applying EX does not change the SPN polynomial, the ith child [λ, Θ]. EXを適用するとSPN多項式が変化しないので、ith子[λ, λ]が変化する。 0.65
j=1 lSti of r has polynomial lSpi functions of Since SPN polynomials are multilinear their parameters, each parameter can appear in only Thus we can maxone of [λ, Θ] = imize each separately, [λ, Θ] Qm = j=1 maxΘ∈C+ maxΘ∈C+ [λ, Θ] Qm j=1 c := maxΘ∈C+ Qm is independent of i. r の j=1 lsti は多項式 lspi 関数を持ち、spn 多項式は多線型なパラメータであるため、各パラメータは [λ, θ] = imize each, [λ, θ] qm = j=1 maxθسc+ maxθسc+ [λ, θ] qm j=1 c := maxθسc+ qm は i とは独立である。 0.77
Apply[λ, Θ] to the ith child of r′, we get ing a similar argument [λ, Θ] Qm j=1 c′ where maxΘ∈C+ c′ is again independent of i. r′ の i 番目の子に[λ, >] を適用すると、同様の議論をする [λ, >] Qm j=1 c′ が成立する。 0.69
Thus we see that the value of the ith child of r and r′ are proportional, and hence the same choice of parameters/weights for r, r′ maximize both. したがって、r と r′ の i 番目の子の価値は比例するので、r, r′ のパラメータと重みの同じ選択がどちらも最大である。 0.72
Thus we have that the maximizing weight in C+ S , and MARmax(EX(S), C+ したがって、C+ S と MARmax(EX(S), C+ の最大化重みを持つ。 0.83
lSp′ := Qm′ j=1 maxΘ∈C+ lSp′ := Qm′ j=1 max ∂C+ 0.26
S , e) = MARmax(EX(S), C− S , e) = MARmax(EX(S), C− 0.43
n) where p′ 1, ..., t′ n) p′ 1, ..., t′ のとき 0.86
lSpi [λ, Θ] c lspi[λ, θ] c 0.39
[λ, Θ] = maxΘ∈C+ [λ, >] = max ~C+ 0.40
S is also in C− S も C− に含まれる 0.78
the RHS polynomials. [λ, Θ] Qm RHS多項式。 [λ, θ]qm 0.36
j=1 maxΘ∈C+ j=1 maxθhtmlc+ 0.18
lStj where [λ, Θ] = lSsi lstjはどこ? [λ, s] = lSsi 0.41
maxΘ∈C+ max (複数形 maxs) 0.13
lSsi lSsi S , e). lSsi lSsi S, e)。 0.58
[λ, Θ] lSt′ [λ, Θ] lSt' 0.39
j S lStj S j S lStj S 0.43
lSsi S S S lSsi S S S 0.43
i.e. S S S i.e. S S S 0.41
i σ , C+ Finally, we want to show that MARmax(EX(S), C+ 私は σ, C+ 最後に marmax(ex(s), c+ が 0.49
S , e) = MARmax(N + N , e). s , e) = marmax(n + n , e) である。 0.78
We have already established that the product nodes in EX(S) have only leaf node children. EX(S)の製品ノードは、葉ノードの子供しか持たないことをすでに確立しています。 0.74
Thus, each product node must correspond to a particular instantiation of the variables, and the sum nodes from the root must branch out to cover all of these instantiations. したがって、各積ノードは変数の特定のインスタンス化に対応する必要があり、根からの和ノードはこれらのインスタンス化を全てカバーするために分岐する必要がある。 0.70
Since EXS respects the ordering σ, this means that EX(S) takes the form of a rooted tree which splits on each variable in succession EXS は順序 σ を尊重するので、これは EX(S) がそれぞれの変数を次々に分割するルート木の形を取ることを意味する。 0.79
in the order σ. 順序 σ において。 0.81
This also provides a very clear semantics for the weight on each edge of a sum node t: it is simply θvi|ui , where vi is the value corresponding to that edge of the variable Vi which t is splitting on, and ui records the values of all variables before Vi in the ordering σ (which is unique as the SPN is a tree). これはまた、和ノード t の各辺の重みに対する非常に明確な意味論を提供する: 単に θvi|ui であり、ここで vi は t が分割されている変数 vi の辺に対応する値であり、ui は vi の前に vi の値を順序 σ に記録する。
訳抜け防止モード: これはまた和ノード t の各辺の重みに対する非常に明確な意味論も提供する。 :単にθvi|ui である。 vi は t が割り切れている変数 Vi のエッジに対応する値です。 そして ui は σ の順序付けで Vi の前にすべての変数の値を記録する(SPN が木であるのに一意である)。
It is then apparent that EX(S) precisely deN ]. すると EX(S) が正確に deN であることがわかる。 0.77
Further, the credal sets scribes the polynomial of C N and C+ C+ All さらに、クレダル集合はCNとC+C+Allの多項式を記述する。 0.69
S are the same by construction, so we are done. Sは建設で同じなので、終わりです。 0.62
together, we have S , e) = MARmax(EX(S), C+ 私たちは一緒に S , e) = MARmax(EX(S), C+ 0.62
that MARmax(S, CSe) = S , e) = MARmax(S, CSe) = S , e) = 0.38
[C+ N + σ 【c+】 N + σ 0.50
MARmax(EX(S), C− MARmax(N + MARmax(EX(S), C− MARmax(N +) 0.45
σ , C+ N , e), as required. σ, C+ N, e) が必要であった。 0.63
B Comparison to Intervention Sets B インターベンションセットとの比較 0.83
Bayesian networks are particularly convenient for studying data-generating processes which include some adversary or unknown process that could seemingly arbitrarily intervene on the behaviour of certain variables in our system, thus changing the distribution. ベイジアンネットワークは、システム内の特定の変数の振る舞いに任意に介入し、分布を変化させる可能性のある、敵対的あるいは未知のプロセスを含むデータ生成過程を研究するのに特に便利である。 0.72
[Wang et al , 2021] formalize this by defining intervention sets where some subset of variables W ⊆ V . [wang et al , 2021] は、変数 w のサブセットが v であるような介入集合を定義することで、これを形式化する。 0.57
In this section, we show how our formulation of credal sets over augmented BNs generalizes their definitions. 本稿では、拡張bns上のクレダル集合の定式化がそれらの定義をどのように一般化するかを示す。 0.50
[Wang et al , 2021] consider parametric interventions on variables W in a BN N which assign new values to all the parameters associated with variables in W . Wang et al , 2021] は BN N における変数 W に対するパラメトリック介入を考慮し、新しい値を W の変数に関連する全てのパラメータに割り当てる。 0.88
Each such intervention leads to a new BN N ′ with a new joint distribution pN ′ . それぞれの介入は、新しい結合分布pN′を持つ新しいBNN′につながる。 0.65
We define IN [W ] to be the family of distributions arising from some parametric intervention on W in N . 我々は IN [W ] を N における W に対するパラメトリックな介入から生じる分布の族と定義する。 0.83
A structural intervention on W in N can further introduce new edges to the graph through a context function CW : V → P(V ), allowing the variables in W to depend on variables which previously they could not. N における W に対する構造的介入は、文脈関数 CW : V → P(V ) を通じてグラフに新たなエッジを導入することができ、W の変数は以前にできなかった変数に依存することができる。 0.84
We define IN [W , CW ] to be the family of distributions arising from some structural intervention with context function CW on W in N . 我々は IN [W , CW ] を N の W 上の文脈関数 CW に対する構造的介入から生じる分布の族として定義する。 0.82
B.1 Credal Sets The interventional families of distributions assume that for each variable we either have complete certainty about its behaviour (if it is not an intervenable variable), or its behaviour is completely unknown (if it is an intervenable variable). B.1 credal set the interventional family of distributions(英語版)は、各変数に対してその振る舞いについて完全な確実性(もしそれが内在変数でないなら)を持つか、その振る舞いが完全に未知である(内在変数であれば)と仮定する。 0.49
This does not allow us to represent other forms of uncertainty, such as that which might arise from learning a model from data. これにより、データからモデルを学ぶことから生じる可能性のあるような、他の形式の不確実性を表現することができません。 0.68
However, these can be represented by credal sets. しかし、これらはクレダル集合で表現できる。 0.54
Proposition 3. For any BN N and subset of the variables W , there exists a CrBN CN [C] such that 第3話。 変数 W の任意の BN N と部分集合に対して、CrBN CN[C] が存在する。 0.62
IN [W ] = CN [C]. in [w ] = cn [c] である。 0.67
Proof. Given W , construct a CrBN CN [C] with a credal set such that CVi|ui is maximal (all probability distributions allowed) if Vi ∈ W , and a singleton containing only the parameter value in N otherwise. 証明。 W が与えられたとき、CVi|ui が極大(すべての確率分布が許される)となるようなクレダル集合を持つ CrBN CN [C] と、N 内のパラメータ値のみを含むシングルトンを構成する。 0.72
For any BN N ′ ∈ IN [W ] it will differ from N only for parameters related to variables in W . 任意の BN N ′ ∈ IN [W ] に対して、これは W の変数に関連するパラメータのみ N と異なる。 0.88
Since these are allowed to take any value by the credal set C, we must have N ′ ∈ CN [C]. これらはクレダル集合 C によって任意の値を取ることができるので、N ′ ∈ CN [C] を持つ必要がある。 0.68
Likewise, for any N ′ ∈ CN [C] it can differ from N only for parameters of variables in W , so there will be some intervention generating N ′. 同様に、任意の N ′ ∈ CN[C] に対して、これは W 内の変数のパラメータのみ N と異なるため、N ′ を生成する何らかの介入が存在する。 0.78
This demonstrates that the notion of CrBNs generalizes the notion of parametric interventions. このことは、CrBN の概念がパラメトリック介入の概念を一般化していることを示している。 0.49
It can also generalize 一般化することもできます 0.56
traditionally assumes the credal set is specified by a finite set of vertices. 伝統的に、クレダル集合は有限個の頂点集合によって指定される。 0.57
Our algorithm is entirely agnostic regarding the credal set representation, but in order to allow comparisons with both of these approaches we use Polco (through CREMA [Huber et al , 2020]) to convert between them. 我々のアルゴリズムは, 干潟集合の表現を全く知らないが, これら2つのアプローチを比較するために, Polco (CREMA (Huber et al , 2020]) を用いてそれらの変換を行う。 0.73
structural interventions, though we need a CrBN on a structurally enriched graph. 構造的介入は、構造的にリッチなグラフ上に CrBN が必要である。 0.71
Here we reproduce our definition of structural enrichments for CrBNs from the main paper: ここでは、CrBNの構造エンリッチメントの定義を本文から再現する。 0.63
Definition 12. A structural enrichment of a CrBN CN [C] is a new CrBN CN ′ [C′] with a new underlying graph (V , E′) such that E ⊆ E′, and a new credal set given by 定員12名。 crbn cn [c] の構造的豊かさは、新しい crbn cn ′ [c'] であり、新しい基底グラフ (v , e′) を持ち、e ~ e′ と与えられた新しいクレダル集合である。
訳抜け防止モード: 定員12名。 CrBN CN [ C ] の構造エンリッチメントは、新しい基盤グラフ (V,) を持つ新しい CrBN CN ′ [ C′ ] である。 E > E′ となるような E′ ) と、与えられた新しいクレダル集合
(∀wi ∈ Wi)C′ (\wi ∈ wi)c' である。 0.41
Vi|ui,wi = CVi|ui, Vi|ui,wi = CVi|ui 0.40
where Ui are the parents of Vi in N , while Wi are the newly added parents in N ′ which were not parents in N . Ui は N の Vi の親であり、Wi は N の親ではない N' の親である。 0.58
Proposition 4. For any BN N , subset of the variables W , ordering σ, and context function [Wang et al , 2021] CW whose edges respect σ, there exists a structurally enriched CrBN CN [C] such that 第4話。 任意のBN N , 変数 W の部分集合, σ の順序付け, 文脈関数 [Wang et al , 2021] CW に対して、辺が σ を尊重するような構造的にリッチな CrBN CN [C] が存在する。 0.65
I′ N [W , CW ] = CN [C]. i′ n [w , cw ] = cn [c] である。 0.74
Proof. We construct CN ′[C′] from N and W as in the proof of Proposition 3. 証明。 命題3の証明のように、N と W から CN ′[C′] を構築する。 0.65
We then construct the structural enrichment CN [C] of CN ′ [C′], where we add all edges given by the context function CW (guaranteed to be possible since the context function is compatible with σ). 次に、CN ′ [C′] の構造エンリッチメント CN[C] を構築し、文脈関数 CW が与えるすべてのエッジを追加する(文脈関数がσ と互換であることから、可能であることが保証される)。 0.81
For Vi ∈ W , after observing any value for the newly added parents, the credal sets for any value of the remaining parents must be maximal (allow any probability distribution) by construction, and so the credal sets must be maximal for all values of all parents. Vi ∈ W の場合、新しく加わった親に対する任意の値を観察した後、残りの親の任意の値に対するクレダル集合は構成によって最大(任意の確率分布を許容)でなければならない。 0.66
For Vi /∈ W , after observing any value for the newly added parents the value must be a singleton for all values of the old parents by construction, so it must be a singleton for all values of all parents. 新しく加わった親にとっての価値を観察した後、その価値は建設によって古い親のすべての値に対してシングルトンでなければならないので、すべての親のすべての値に対してシングルトンでなければならない。 0.70
As in Proposition 3, we thus have CN [C] = I′ 命題3のように、CN[C] = I′ となる。 0.71
N [W , CW ]. n[w , cw ] である。 0.70
This demonstrates that CrBNs fully generalize families found by allowing causal interventions of the type in [Wang et al , 2021]. これは CrBN が[Wang et al , 2021] の型に因果的介入を許すことによって、家族を完全に一般化していることを示している。 0.54
C Experimental Details C.1 C 実験の詳細 C.1 0.59
CREPO The full list of queries and models included in the benchmark is given at https://github.com/I DSIA/crepo. CREPO ベンチマークに含まれるクエリとモデルの完全なリストは、https://github.com/I DSIA/crepo.orgで公開されている。 0.46
The split into exact and hard is post-hoc and per-query, based on which queries ran out of memory (16GB) when running credal variable elimination. クレーダル変数の除去を実行すると、どのクエリがメモリを使い果たした(16GB)かに基づいて、正確かつハードに分割される。 0.62
C.2 hepar2 the hepar2 parameters (other C.2 ヘパー2 hepar2 パラメータ(他) 0.64
to our knowledge no existing credal Since there is than the ones sets over in [Wang et al , 2021], where our generalized algorithm exactly matches as expected), we create credal sets by allowing perturbations of ǫ = 0.1 The results are averaged over to all parameters. 我々の知識に拠れば、既存のクレダルは存在せず、[Wang et al , 2021] に設定されているもの以上のものが存在するので、一般化されたアルゴリズムは正確には期待どおりに一致している)。
訳抜け防止モード: 我々の知る限りでは、現存の決壊は起こらない。 2021年、我々の一般化されたアルゴリズムは、正確には予想どおりに一致します)。 潮の集合を創りだします この結果は、すべてのパラメータに対して平均化されます。
100 randomized queries; list can be found at https://github.com/H jalmarWijk/credal-bo und 100のランダムなクエリ。リストはhttps://github.com/h jalmarwijk/credal-bo undにある。 0.46
the full their results, 全体 彼らの 結果だ 0.51
C.3 Credal Set Representation C.3 Credal Set Representation 0.51
As ApproxLP is based on solving linear programming instances, it requires credal sets to be represented as a set of linear constraints. ApproxLPは線形プログラミングインスタンスの解法に基づいているため、線形制約の集合として表されるクレダルセットが必要である。 0.77
Meanwhile, credal variable elimination 一方、クレダル変数除去 0.57

翻訳にはFugu-Machine Translatorを利用しています。