In many domains, worst-case guarantees on the performance (e.g., prediction
accuracy) of a decision function subject to distributional shifts and
uncertainty about the environment are crucial. In this work we develop a method
to quantify the robustness of decision functions with respect to credal
Bayesian networks, formal parametric models of the environment where
uncertainty is expressed through credal sets on the parameters. In particular,
we address the maximum marginal probability (MARmax) problem, that is,
determining the greatest probability of an event (such as misclassification)
obtainable for parameters in the credal set. We develop a method to faithfully
transfer the problem into a constrained optimization problem on a probabilistic
circuit. By performing a simple constraint relaxation, we show how to obtain a
guaranteed upper bound on MARmax in linear time in the size of the circuit. We
further theoretically characterize this constraint relaxation in terms of the
original Bayesian network structure, which yields insight into the tightness of
the bound. We implement the method and provide experimental evidence that the
upper bound is often near tight and demonstrates improved scalability compared
to other methods.
Abstract In many domains, worst-case guarantees on the performance (e g , prediction accuracy) of a decision function subject to distributional shifts and uncertainty about the environment are crucial.
In this work we develop a method to quantify the robustness of decision functions with respect to credal Bayesian networks, formal parametric models of the environment where uncertainty is expressed through credal sets on the parameters.
In particular, we address the maximum marginal probability (MARmax) problem, that is, determining the greatest probability of an event (such as misclassification) obtainable for parameters in the credal set.
We further theoretically characterize this constraint relaxation in terms of the original Bayesian network structure, which yields insight into the tightness of the bound.
We implement the method and provide experimental evidence that the upper bound is often near tight and demonstrates improved scalability compared to other methods.
1 Introduction Probabilistic models allow us to make quantitative inferences about the behaviour of complex systems, and are an important tool to guide their use and design.
When such models are learnt from data, exposed to potential distribution shifts or are partially unknown, it is important to be able to verify the robustness of inferences on the model to these uncertainties.
This is particularly relevant for decision functions taking action in the model, where much work has gone into verifying worst-case behaviour when exposed to various disturbances or changes in the environment (distribution shifts).
Causal Bayesian networks (BNs) [Pearl, 1985] are compelling models for this purpose, since one can perform causal interventions on them, giving rise to families of distributions that share a common structure.
Recent work has shown that such compilation methods can also efficiently compute bounds on a decision function’s robustness to causal interventions [Wang et al , 2021].
近年の研究では、このようなコンパイル手法が因果介入に対する決定関数の堅牢性(Wang et al , 2021]のバウンダリを効率的に計算できることが示されている。
0.66
A limiting factor on the applicability of these methods is the need to have an exact model, where all non-intervened parameters are known precisely.
In this paper we study robustness of credal Bayesian networks (CrBNs) [Mau´a and Cozman, 2020], a generalisation of Bayesian networks where parameters are only known to be within some credal sets (e g , intervals).
本稿では,credal bayesian networks (crbns) [mau ́a and cozman, 2020] のロバスト性について検討する。 訳抜け防止モード: 本稿では,credal bayesian networks (crbns) [ mau ́a and cozman, 2020] のロバスト性について検討する。 ベイズネットワークの一般化 パラメータはいくつかのクレダル集合(例えば、インターバル)内にあることが知られている。
0.67
They can be used to model causal interventions, but are also very well suited to modelling parameters learned from data, as well as modelling of exogenous variables [Zaffalon et al , 2020].
これらは因果的介入のモデル化に使用できるが、データから学習したパラメータのモデリングや、外因性変数のモデリングにも非常に適している [zaffalon et al , 2020]。
0.82
We consider the maximum marginal probability (MARmax) problem for CrBNs and develop a solution by encoding the network as a tractable probabilistic circuit (a credal extension of sum-product networks, called CSPNs).
More specifically, this paper makes the following contributions:
より具体的には、下記の貢献を行う。
0.63
(i) a method for constructing a probabilistic circuit whose parameters semantically represent the conditional probability distributions of a BN, allowing the transfer of credal inference problems from a highly intractable setting (CrBNs) to a tractable one (CSPN) through constraint relaxation;
(ii) algorithms which make use of this transfer to compute upper and lower bounds on probabilities of events under many forms of parameter uncertainty;
(iii) a characterization of the tightness of the upper bound in terms of the network structure; and
(iii)ネットワーク構造における上界の密着性の特徴
0.50
(iv) an evaluation on a set of benchmarks, demonstrating comparable precision and significantly improved scalability compared to state-of-the-art credal network inference, while also providing formal guarantees.
Due to space constraints some details and proofs can the extended paper at
空間の制約のため、いくつかの詳細と証明は拡張された紙にできる。
0.56
be found in the Appendix of http://www.fun2model .org/bibitem.php?
http://www.fun2model .org/bibitem.php?
0.30
key=WWK22 1.1 Related Work
キー=wwk22 1.1 関連作業
0.58
The problem of robustness of inferences under imprecise knowledge of the distribution has been studied under many guises.
不正確な分布の知識の下での推論のロバスト性の問題は多くの好意の下で研究されてきた。
0.60
In the machine learning community, there has been much work on robustness of classifiers to simple adversarial
機械学習コミュニティでは、単純な敵への分類器のロバスト性について多くの研究がなされてきた
0.57
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
attacks or distribution shifts [Qui˜nonero-Candela et al , 2009; Zhang et al , 2015; Lipton et al , 2018].
攻撃または分配のシフト [Qui snonero-Candela et al , 2009; Zhang et al , 2015; Lipton et al , 2018]
0.89
Motivated by safety concerns, methods have been developed to compute formal guarantees of robustness through constraint solv[Katz et al , 2017; Narodytska et al , 2018] or output ing reachability analysis [Ruan et al , 2018].
安全性への懸念から,制約ソルバ[katz et al , 2017; narodytska et al , 2018]あるいはoutput ing reachability analysis [ruan et al , 2018]によるロバストネスの形式的保証を計算する手法が開発された。
0.81
However, these methods do not model the environment, and are thus limited in the types of distributional shifts they can address.
しかし、これらの手法は環境をモデル化せず、そのために対処できる分布シフトの種類に制限される。
0.78
instance, analysis is concerned with the
例えば 分析 は concerned (複数形 concerneds)
0.50
In the Bayesian network literature,
ベイジアン・ネットワーク文学において。
0.71
robustness has primarily been studied in terms of the effect of parameters on inference queries, such as marginal probabilities.
[Coup´e et al , 2000; sensitivity For Chan and Darwiche, 2004] effect of small, local changes/perturbation s to parameters.
[coup ́e et al, 2000; sensitivity for chan and darwiche, 2004] パラメータに対する小さな局所的な変化/摂動の影響。
0.85
Closer to our work is the formalism of credal networks [Mau´a and Cozman, 2020], which imprecise knowledge by positing sets of parameters for each conditional distribution, rather than precise values.
私たちの研究に近いのは、正確な値ではなく、各条件分布にパラメータの集合を仮定することで、知識を不正確なものにする、(Mau ́a and Cozman, 2020] クレダルネットワークの形式主義である。 訳抜け防止モード: 私たちの仕事に近いのは、credalネットワークの形式化です [ mau ́a and cozman, 2020]。 正確な値ではなく、各条件分布のパラメータの集合を仮定することで、知識を損なう。
0.66
Inference then corresponds to computing maximal (or minimal) probabilities over the possible parameter values.
推論は、可能なパラメータ値に対する最大(または最小)確率の計算に対応する。
0.75
Unfortunately, exact methods for inference in credal networks do not perform well except for smaller networks with simple credal sets, or in special cases such as polytrees [Fagiuoli and Zaffalon, 1998; De Campos and Cozman, 2007].
残念なことに、単純なクレダル集合を持つ小さなネットワークやポリツリー(Fagiuoli and Zaffalon, 1998; De Campos and Cozman, 2007)のような特殊なケースを除いて、クレダルネットワークにおける正確な推論方法はうまく機能しない。
0.62
On the other hand, approximate methods [Cano et al , 2007; Antonucci et al , 2010; Antonucci et al , 2015] usually cannot provide theoretical guarantees (upper bounds), limiting their applicability in safety-critical scenarios.
一方、近似法(cano et al , 2007; antonucci et al , 2010; antonucci et al , 2015)は通常、理論的な保証(上限)を提供できず、安全クリティカルなシナリオでの適用性を制限する。 訳抜け防止モード: 一方、近似手法 [Cano et al, 2007 ; Antonucci et al, 2010 ; Antonucci et al, 2015 ] は通常、理論的保証(上限)を提供できない。 安全性 - 重要なシナリオにおける適用性を制限する。
0.84
represent This paper builds on work showing the tractability of credal inference for certain probabilistic circuits [Mau´a et al , 2017] [Mattei et al , 2020].
代表 本稿では, ある確率回路 [Mau ́a et al , 2017] [Mattei et al , 2020] における, 震源推定のトラクタビリティについて述べる。
0.67
Our key contribution is a method for mapping credal network problems into tractable credal inference problems on probabilistic circuits, which affords not only greater scalability compared to the state-of-the-art in credal network inference, but also provides formal guarantees.
Finally, methods for providing robustness guarantees for classifiers in combination with a Bayesian network environment model have recently been proposed [Wang et al , 2021].
最後に,ベイジアンネットワーク環境モデルと組み合わせて分類器の堅牢性を保証する手法が最近提案されている[Wang et al , 2021]。
0.85
Our paper generalizes and extends their work, enabling efficient computation for broader and more realistic classes of parameter uncertainty.
本稿では,パラメータの不確実性のより広範かつ現実的なクラスに対する効率的な計算を可能にする。
0.69
2 Background A Bayesian network (BN) N = (G, Θ) over discrete variables V = {V1, ..., Vn} consists of a directed acyclic graph (DAG) G = (V , E) and a set of parameters Θ.
2 背景 離散変数 V = {V1, ..., Vn} 上のベイズネットワーク (BN) N = (G, ) は、有向非巡回グラフ (DAG) G = (V , E) とパラメータの集合 を成す。
0.72
It is a factoring of a joint probability distribution pN into conditional distributions for each variable, such that
共役確率分布 pN の各変数の条件分布への分解である。
0.62
pN (V1, ..., Vn) =
pN (V1, ..., Vn) =
0.42
n Y i=1
n Y i=1 である。
0.39
pN (Vi|pa(Vi)),
pN(Vi|pa(Vi))
0.45
where the parents pa(Vi) of Vi are the set of variables Vj such that (Vj , Vi) ∈ E. Θ is the set of parameters of the form:
Given a classifier, we can represent its input-output behaviour using a decision function F : X → Y , which observes some subset X ⊆ V and tries to predict Y ∈ V .
分類器が与えられたとき、決定関数 F : X → Y を用いて入力出力の振る舞いを表現できる。 訳抜け防止モード: 分類器が与えられた場合、決定関数 F : X → Y を用いて入力-出力動作を表現することができる。 ある部分集合 X × V を観測し、Y ∈ V を予測しようとする。
0.72
To combine this with a Bayesian network environment model N , we follow [Wang et al , 2021] in the construction of an augmented BN NF , which is a Bayesian network based on N where an additional variable (node) ˆY is added with pa( ˆY ) = X and pNF ( ˆY = ˆy|X = x) = 1[ˆy = F (x)].
これをベイズ的ネットワーク環境モデル N と組み合わせるために、[Wang et al , 2021] は N に基づくベイズ的ネットワークである拡張BN NF の構築に従う。 訳抜け防止モード: これをベイズネットワーク環境モデルNと組み合わせる。 我々は、拡張BNNFの構築において[Wang et al, 2021 ]に従う。 これは N に基づくベイズネットワークであり、追加の変数 (ノード ) {\displaystyle N} を pa ( >Y ) = X と pNF ( >Y = >y|X = x ) = 1[>y = F ( x ) ] で加える。
0.82
NF is thus a unified model of environment and decision maker, and inference on the model can answer questions such as the prediction accuracy pNF ( ˆY = Y ).
したがってnf は環境と意思決定者の統一モデルであり、モデル上の推論は予測精度 pnf (y = y ) のような質問に答えることができる。
0.77
3 Robust Inference on Bayesian Networks
3 ベイズネットワーク上のロバスト推論
0.79
It is rarely the case that we can specify the parameters of a Bayesian network with complete certainty before performing inference.
推論を行う前にベイズネットワークのパラメータを完全な確実性で指定できるのは滅多にない。
0.65
Firstly, whether the parameters are learned from data or elicited from expert knowledge, the knowledge that we obtain regarding the parameters is typically imprecise, specified as sets or intervals.
Secondly, when the Bayesian network is imbued with a causal interpretation, one is often concerned about potential distribution shift, modelled by causal interventions, and their effect on inference queries.
As a running example, consider a fictional scenario depicted in Figure 1, where patients are infected by some unobservable strain S of a disease, with some strains much more severe than others, and a decision rule F must be created based on observable symptoms V and test results R that decides whether to administer an expensive treatment option.
While it is desirable to save resources by only administering treatment for the more severe strains, the result of denying treatment to a patient with a severe strain would be disastrous, so a guarantee is needed that the decision rule has a robustly low probability of an erroneous decision.
To provide such a guarantee we model the system as an augmented BN NF over variables {S, V, R, T }, where T is binary and deterministic, given by F (v, r).
そのような保証を得るために、我々はシステムを変数 {S, V, R, T } 上の拡張BN NFとしてモデル化する。 訳抜け防止モード: 保証をすること 我々は、そのシステムを変数 { s, 上の拡張bn nfとしてモデル化する。 ここで t は二元的かつ決定論的である。 f ( v , r ) で与えられる。
0.67
However, we do not have precise knowledge over the parameters of the BN, so we instead design intervals which specify the range of values a parameter could take.
We start with θS, the distribution over the strains.
まず、ひずみ上の分布であるθSから始める。
0.71
We expect that the decision rule will be deployed across a variety of areas and times, and as such we are concerned about distributional shifts in θS.
我々は,決定ルールが様々な領域や時間にわたって展開されることを期待し,θSの分布シフトを懸念する。
0.78
We could thus decide to allow any probability distribution across the strains, i.e. θS=s ∈ [0, 1].
したがって、任意の確率分布、すなわち θs=s ∈ [0, 1] を許容することを決定できる。
0.81
We imagine the tests used are very well understood, and we know θR|s exactly.
使用するテストは非常によく理解されており、θR|sを正確に知っています。
0.65
Moving onto the parameters θV |s, describing the symptoms of a particular strain, we might expect that these, unlike θS , are relatively fixed across different settings.
R Figure 1: The DAG of an augmented BN modelling a simple fictional medical treatment scenario.
R 図1: 単純な架空の医療シナリオをモデル化した拡張BNのDAG。
0.60
take mean estimates of the parameter values θ∗ select some confidence interval [θ∗ V =v|s − ǫ, θ∗
パラメータ値 θ∗ の平均推定値を取ると、ある信頼区間 [θ∗ V =v|s − s, θ∗] を選択する。
0.65
V =v|s, and then V =v|s + ǫ].
V =v|s, そして V =v|s + s] である。
0.71
3.1 Credal Bayesian Networks To formalize the prior discussion, we use credal Bayesian networks [Mau´a and Cozman, 2020], a framework that encompasses both causal interventions and imprecise knowledge of parameters.
3.1 クレダルベイズネットワーク 以前の議論を形式化するために、私たちは、因果的介入とパラメータの不正確な知識の両方を含む、クレダルベイズネットワーク(Mau ́a and Cozman, 2020)を使用します。 訳抜け防止モード: 3.1 クレダルベイズネットワーク 事前の議論を形式化するために credal bayesian networks [ mau ́a and cozman, 2020] を使っています。 因果的介入とパラメータの知識を含まないフレームワーク。
0.67
Definition 1. Let pΘ, Θ ∈ Θ, be any parameterised probability distribution, where Θ is the set of allowed parameter values.
Then we call C ⊆ Θ a credal set for this parameterisation, and the credal family Cp[C] = {pΘ′|Θ′ ∈ C} is the family of distributions where the parameters are in C.
すると、このパラメタライズのためのクレダル集合 c を θ と呼び、クレダル族 cp[c] = {pθ′|θ′ ∈ c} はパラメータが c にあるような分布の族である。 訳抜け防止モード: すると C は、このパラメータ化のためのクレダル集合である。 そして、クレダル族 Cp[C ] = { p ′|\′ ∈ C } は、パラメータが C に属する分布の族である。
0.76
This is a maximally expressive formalism for credal uncertainty.
これは不確実性の最大表現形式である。
0.65
However, an independence assumption between the uncertainty of different conditional distributions in a BN (sometimes known as the strong extension [Cozman, 2000]) is usually assumed: [Cozman, 2000] A Credal BN (CrBN) Definition 2.
CN [C] = {NΘ |Θ ∈ C} over a BN NΘ = (G, Θ) is a credal family satisfying
bn nθ = (g, θ) 上の cn[c] = {nθ |θ ∈ c} はクレダル族である。
0.62
C = Y CVi|ui,
C = Y CVi|ui
0.42
Vi,ui i.e. the credal set decomposes as a cartesian product of separate credal sets for each variable Vi and instantiation of its parent variables ui.
vi,ui すなわち、クレダル集合は、各変数 Vi に対する別々のクレダル集合と、その親変数 ui のインスタンス化のカルデシアン積として分解される。 訳抜け防止モード: vi,ui クレダル集合は、各変数 vi に対する分離クレダル集合のデカルト積として分解される。 親変数 ui のインスタンス化。
0.61
Since augmented Bayesian networks are simply Bayesian networks with an additional deterministic node (the decision function), we can convert any credal set over a Bayesian network model N to a credal set over NF by maintaining the credal sets for all variables, while assuming the conditional distribution for the new variable ˆY is known exactly.
拡張ベイズネットワークは、付加的な決定論的ノード(決定関数)を持つベイズネットワークであるので、ベイズネットワークモデル n 上の任意のクレダル集合を、すべての変数のクレダル集合を維持しながら、nf 上のクレダル集合に変換することができる。 訳抜け防止モード: 拡張ベイジアンネットワークは単にベイジアンネットワークであり、追加の決定論的ノード(決定関数)を持つからである。 ベイズネットワークモデル N 上の任意のクレダル集合を NF 上のクレダル集合に変換することは、すべての変数に対するクレダル集合を維持することである。 同時に、新しい変数 yY の条件分布を正確に仮定する。
0.68
This framework then fully generalizes the “interventional robustness problem” introduced by [Wang et al , 2021] to allow arbitrary credal sets for parameters; see Appendix for details.
このフレームワークは[wang et al , 2021] によって導入された"interventional robustness problem" を完全に一般化し、パラメータの任意のクレーダルセットを可能にする。
0.65
s1 s2 s3 θR θV
s1 s2 s3 θR θV
0.38
0.95 0.2 ± 0.1
0.95 0.2 ± 0.1
0.27
0.05 0.8 ± 0.1
0.05 0.8 ± 0.1
0.27
0.5 0.6 ± 0.2
0.5 0.6 ± 0.2
0.27
Table 1: Credal sets for symptom and test result parameters.
表1: 症状とテスト結果パラメータのためのクレダルセット。
0.69
Definition 3. Given an (augmented) CrBN CN [C]
定義3。 CrBN CN[C]が与えられた
0.52
and an event e (an instantiation of a subset of the variables), the maximum marginal probability (MARmax) problem is that of determining
This generalization of causal interventions enables many new problems to be considered, as causal interventions require parameters to be known exactly or be entirely unknown.
As an illustration we now define a CrBN over NF to formalize the treatment scenario in Figure 1.
図1に示すように、NF 上の CrBN を定義して、治療シナリオを形式化する。
0.78
We imagine there are three strains s1, s2, s3, of which only s3 is severe and requires treatment.
s1, s2, s3の株が3つあり、そのうちs3のみが重篤で治療を必要とする。
0.68
We take V and R to be binary variables (symptomatic/asympto matic and positive/negative test).
V と R を二変数(シンプトマティック/アシンポティック/正負検定)とみなす。
0.64
We wish to be able to apply the decision rule in any situation where the prevalence of s3 is at most 0.1, so we assign CS = {θ ∈ Z3|θS=s3 < 0.1}, where Z3 is the threedimensional probability simplex.
We use singleton credal sets for R and confidence intervals for V , with the values given in Table 1.
我々は、R に対してシングルトン・クレーダル集合と V に対する信頼区間を使い、表 1 に値を与える。 訳抜け防止モード: 我々は、R と V の信頼区間にシングルトンクレダル集合を用いる。 表1の値で指定します。
0.73
The decision rule to be analysed gives treatment when R = V , since this is unlikely for s1 and s2.
解析される決定規則は、s1 と s2 では不可能であるため、R = V のときの治療を与える。
0.68
This is an instance of the maximum marginal probability MARmax problem, where the CrBN CN [C] is as specified above, and the event of interest is e = (T = 0) ∧ (S = s3).
これは、CrBN CN [C] が上述したように指定され、興味のある事象は e = (T = 0) > (S = s3) となる最大限界確率 MARmax 問題の例である。
0.83
4 Credal Robustness via Probabilistic Circuits
確率回路による4つのクレダルロバスト性
0.62
In this section, we present an efficient method for bounding MARmax credal robustness for Bayesian networks with guarantees.
In particular, the method returns an upper bound on MARmax.
特に、このメソッドは MARmax 上の上限を返す。
0.60
In the treatment example, this would mean that we can be certain that the probability of denying treatment to a patient with the severe strain does not exceed the computed value, assuming all parameters lie within the credal sets.
Our method is based upon establishing a correspondence between credal BNs and credal sum-product networks (CSPN) [Mau´a et al , 2017], a recently proposed model which introduces uncertainty sets over the weights of a sum-product network.
本手法は,最近提案された累積ネットワークの重みに関する不確実性を考慮したモデルであるCSPN (Credal sum-product Network) [Mau ́a et al , 2017] の対応性を確立することに基づく。
0.77
In particular, we develop an algorithm for compiling CrBNs into equivalent CSPNs.
特に,CrBNを等価なCSPNにコンパイルするアルゴリズムを開発した。
0.78
By efficiently solving a similar credal maximization problem on the CSPN, we can derive upper bounds on MARmax for the original CrBN.
To describe this, we first consider an alternative representation of a Bayesian network.
これを説明するために、まずベイズネットワークの代替表現を考える。
0.67
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
Definition 4. [Darwiche, 2003] The network polynomial of a BN N is defined as
定義4。 [darwiche, 2003] bn n のネットワーク多項式は、次のように定義される。
0.51
lN [λ, Θ] = X
ln[λ, θ] = x
0.35
n Y θvi|uiλvi ,
n Y θvi|uiλvi である。
0.37
v1,...,vn i=1
V1... VN i=1 である。
0.36
where λvi are indicator variables for variable Vi, which take the value 1 if Vi = vi and 0 otherwise.
λvi は変数 Vi の指標変数であり、 Vi = vi と 0 がなければ値 1 を取る。
0.82
The network polynomial is a multilinear function which unambigously encodes the graphical structure of the Bayesian network, for any value of the parameters Θ.
In particular, one can obtain the joint probability pN (v1, ..., vn) for any instantiation v1, ..., vn by setting the indicator variables and evaluating the network polynomial.
The result of such a procedure can be interpreted as a rooted directed acyclic graph (DAG) called an arithmetic circuit.
このような手順の結果は、算術回路と呼ばれるルート指向非巡回グラフ(DAG)と解釈できる。
0.72
Definition 5. [Darwiche, 2003] An arithmetic circuit (AC) T over variables V and parameters Θ is a rooted DAG, whose internal nodes are labelled with + or × and whose leaf nodes are labelled with indicator variables λv
定義5。 [Darwiche, 2003]変数 V 上の算術回路(AC)T とパラメータ > はルート付き DAG であり、内部ノードは + または × でラベル付けされ、葉ノードは指標変数 λv でラベル付けされている。
0.59
or non-negative parameters.
あるいは非負のパラメータ。
0.70
For an internal node t we will write Tt for the arithmetic circuit containing t and all its descendants.
内部ノード t に対して、t とすべての子孫を含む演算回路に対して Tt を記述する。
0.78
Definition 6. [Chan and Darwiche, 2006] A complete subcircuit α of an AC is obtained by traversing the circuit topdown, choosing one child of every visited +-node and all children of every visited ×-node.
定義6。 [chan and darwiche, 2006] acの完全なサブサーキットαは、回路トップダウンを走査し、訪問する+ノードの1人の子供と訪問する×ノードのすべての子供を選択することで得られる。
0.52
The term term(α) of α is the product of all leaf nodes visited (i.e. all indicator and parameter variables).
α の項(α) は訪問したすべての葉ノードの積である(つまり、すべての指標とパラメータ変数)。
0.79
The AC polynomial lT [λ, Θ] is the sum of the terms of all complete subcircuits.
AC多項式 lT[λ, λ] はすべての完備部分回路の項の和である。
0.75
Compilation will produce an AC T which has the same polynomial as the BN, i.e. lN [λ, Θ] = lT [λ, Θ].
In addition, it will satisfy technical conditions called decomposability, determinism and smoothness, which allow us to perform many inference queries in linear time in the size of the circuit.
In [Wang et al , 2021] a method is described for compiling an augmented BN to a smooth, decomposable and deterministic AC, which allows one to tractably compute marginal probabilities involving both the decision function and Bayesian network variables.
Wang et al , 2021]では、拡張BNを滑らかで分解可能で決定論的なACにコンパイルし、決定関数とベイズネットワーク変数の両方を含む限界確率を抽出することができる方法が述べられている。
0.79
In order to support further queries, they additionally impose ordering constraints on the AC.
さらにクエリをサポートするために、acに順序付けの制約を課している。
0.61
i , ..., vn
i , ..., vn
0.35
Definition 7. A +-node t with children t1, ..., tn in an arithmetic circuit T splits on variable Vi if there exists an ordering of the domain v1 i of Vi such that all complete subcircuits of Tti contain the indicator λvi .
定義 7. 演算回路 T における子 t1, ..., tn を持つ A +-ノード t は、Vi の領域 v1 i の順序が存在するとき変数 Vi 上で分裂し、Tti のすべての完全部分回路は λvi を含む。
0.80
Definition 8. Let σ = (V1, ..., Vn) be a topological ordering of the variables in BN N .
定義 8. σ = (V1, ..., Vn) を BN N の変数の位相的順序付けとする。
0.74
We say that an (smooth, decomposable, deterministic) arithmetic circuit T computes the BN N respecting σ if:
我々は、(滑らかで分解可能で決定論的)演算回路Tがσを尊重するBNNを計算すると言う。
0.64
1. lT [λ, Θ] = lN [λ, Θ]
1. lt [λ, θ] = ln [λ, θ]
0.42
2. Each +-node in T splits on some variable Vi.
2. T における各 +-ノードは、ある変数 Vi 上で分割される。
0.61
We define split(t) for a +-node t to be the variable it splits on.
定義します a +-node t に対して split(t) は、それが分割する変数である。
0.77
3. The variables are split respecting the topological order.
3.変数はトポロジ的順序に関して分割される。
0.69
That is, if Vi = split(t), Vj = split(t′), then t′ is a descendant of t =⇒ j > i.
すなわち、Vi = split(t) と Vj = split(t′) とすると、t′ は t = ... j > i の子孫である。
0.82
In other words, it is required that the AC represents the same polynomial as the BN, and further that the AC satisfies particular structural constraints that mean that the AC must split on parents before children.
This leads to the following new result, which intuitively means that, when an AC splits on variable V , the values of its parents are already known.
これは直観的には、acが変数 v 上で分割されたとき、親の値は既に知られていることを意味する。 訳抜け防止モード: これは、直感的には、次の新しい結果につながる。 AC が変数 V を割ると、その親の値はすでに知られている。
0.72
Lemma 1. Suppose that T computes N respecting some topological order.
レマ1号。 T が N を位相順に計算するとする。
0.57
Let t be a +-node in T splitting on some variable V .
t をある変数 V 上の T の分割の +-ノードとする。
0.76
Then all complete subcircuits α which include t must agree on the value of its parents paN (V ).
t を含むすべての完全部分回路 α は、その親 pan (v) の値について合意しなければならない。
0.65
The AC compiled from the treatment example (Figure 1) is too large to include in its entirety, but Figure 2a shows one branch from the root sum node, with +-nodes labelled with the variable they split on.
Notice that the topological order (S, R, V, T ) is respected, and that, at every +-node, the value of the parents of the splitting variable are already “known”.
位相的順序 (S, R, V, T ) が尊重され、すべての +-ノードにおいて、分割変数の親の値は既に「知られている」ことに注意してください。
0.73
4.2 Compiling to Credal SPNs While this compiled AC allows us to efficiently compute marginals for given parameter values Θ, it does not effectively represent credal sets, and thus finding maximizing parameter values is challenging (one would need to solve constraints potentially spread out across the whole circuit).
Definition 9. [Poon and Domingos, 2011] A sum-product network (SPN) over variables V and with weights W is a rooted DAG whose internal nodes are labelled with either + or ×, and whose leaf nodes are labelled with indicator variables λv.
定義 9. [Poon and Domingos, 2011] 変数 V および重み W 上の和積ネットワーク (SPN) は、内部ノードが + または × でラベル付けされ、葉ノードが指標変数 λv でラベル付けされたルート付き DAG である。
0.82
The branches of a sum node ti with k branches are labelled with weights wi,1, .
k枝の和ノードtiの枝は、重み wi,1, でラベル付けされる。
0.64
., wi,k. Definition 10. A complete subcircuit α of an SPN S is obtained by traversing the circuit top-down, choosing one child of every visited +-node and all children of every visited ×node.
The SPN-polynomial lS[λ, W ] is the sum of the terms of
SPN-多項式 lS[λ, W ] は項の和である
0.73
all complete subcircuits. Our
完全なサブ回路だ 我々の
0.67
compilation in differs [Rooshenas and Lowd, 2014] in that we make use of the particular structure of the AC, shown in Lemma 1, to make sure the weights on the sum nodes directly correspond to the parameters in the BN (which would not be the case under standard compilation).
Figure 2: Illustration of Algorithm 2 for the treatment example.
図2: 治療例のためのアルゴリズム2の図示。
0.77
Due to space constraints we show only the S = s3 branch of the AC/SPN.
空間制約のため、AC/SPN の S = s3 分岐のみを示す。
0.79
To algorithmically decide which parameters correspond to a particular sum node we construct a notion of ’possible values’ for variables at nodes in the SPN.
Proof. We can put the complete subcircuits of T and S in a one-to-one correspondence by the choice of branch at each sum node (since only the parameter nodes/weights have changed).
証明。 各和ノードでの分岐の選択により、T と S の完全部分回路を 1 対 1 対応にすることができる(パラメータノード/重みのみが変化しているため)。
0.68
Let αT be a subcircuit of T , and αS the corresponding subcircuit of S. For every variable V , αT contains exactly one +-node splitting on V , and exactly one parameter of the form θV |pa(V ).
αt を t の部分回路とし、αs を s の対応する部分回路とする: すべての変数 v に対して、αt は v 上のちょうど 1 つの +-ノード分割と θv |pa(v) という形のパラメータを含む。 訳抜け防止モード: αT を T の部分回路とし、αS を S の対応する部分回路とする。 αT は V 上のちょうど 1 + -ノード分割と θV |pa(V) の形の1つのパラメータを含む。
0.83
The compilation procedure moves this parameter to be a weight of the +-node splitting on V , so that the overall term is unchanged.
コンパイル手順は、このパラメータを V 上の +-ノード分割の重みに移動するので、全体的な項は変わらない。
0.72
Applying this to all variables, we have that term(αT ) = term(αS), and thus the result.
For credal families over SPNs satisfying an independence requirement between all sum nodes (such that knowing the weights of one sum node does not affect your uncertainty over other weights), MARmax can be computed efficiently.
These are exactly the Credal SPNs introduced in [Mau´a et al , 2017].
これらはまさに[Mau ́a et al , 2017]で導入されたCredal SPNです。
0.68
Definition 11. [Mau ´a et al , 2017] A Credal SPN (CSPN) is a credal family CS[C] over an SPN S satisfying
定員11名。 [Mau ́a et al , 2017] クレダルSPN (CSPN) は、SPN S を満たすクレダル族 CS[C] である。
0.63
C = n Y i=1
C = n Y i=1 である。
0.40
Ci, where Ci is a subset of a probability simplex on the weights of sum node i.
チ。 ここで ci は和ノード i の重み付け上の確率単純性の部分集合である。
0.58
We can construct a credal family over the compiled SPN, which is equivalent to our CrBN, by requiring all sum nodes that split on a variable Vi and have parents ui to
私たちは、変数 Vi 上に分割され、親 ui を持つすべての和ノードを要求することにより、コンパイルされた SPN の上に、CrBN と同等のクレダル族を構築することができる。
0.66
(i) all have the same weights and
(i)すべて同じ重さで
0.62
(ii) have that weight be in CVi|ui .
(二)その重量をCVi|uiとする。
0.76
However, this will not in general be a CSPN, since
しかし、これは一般的にはCSPNではない。
0.71
(i) breaks the independence requirement (observing the weights of one sum node will change the credal set for a different sum node if they both split on the same variable with the same values of the parents).
This relaxation is the final step of our compilation process.
この緩和はコンパイルプロセスの最終ステップです。
0.56
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
Lemma 2. For a CrBN CN [CN ] and its compiled CSPN CS[CS],
レマ2号。 CrBN CN [CN ] とそのコンパイルされた CSPN CS[CS] について。
0.69
max Θ∈CS
max (複数形 maxs)
0.27
lS[λ, Θ] ≥ max Θ′∈CN
ls[λ, θ] ≥ max θ′cncn である。
0.63
lN [λ, Θ′].
ln [λ, θ′] である。
0.72
Proof. For any given Θ ∈ CN we have lS[λ, Θ] = lN [Θ, λ], by Proposition 1 and the fact that S computes N .
証明。 任意の x ∈ CN に対して、命題 1 と S が N を計算するという事実により lS[λ, λ] = lN[ , λ] が成立する。
0.70
The only way to violate the inequality is if Θ /∈ CS.
不等式を破る唯一の方法は、θ / tasktop cs である。
0.55
But CS only demands that at each sum node t splitting on Vi the parameters are in CVi|ui , which will certainly be true if Θ ∈ CN .
しかし CS は、各和ノード t が Vi 上で割ったとき、パラメータが CVi|ui 内であることを要求している。
0.65
If we apply this to construct a CSPN for our treatment example, it will be a CSPN over the SPN in Figure 2b, where the weights of the sum nodes are constrained by the credal sets of the CrBN defined in Section 3.2.
Analogously to CrBNs, we can define the maximum marginal probability problem for CSPNs as MARmax(S, C, e) = maxΘ∈C lS[λe, Θ], where λe refers to the appropriate instantiation of the indicators for the event e.
CrBNs と類似して、CSPNs の最大限界確率問題を MARmax(S, C, e) = max ⋅C lS[λe, λ] と定義することができる。 訳抜け防止モード: CrBN と類似して、CSPN の最大限界確率問題を MARmax(S,) と定義できる。 C, e ) = max ∂C lS[λe, s ], ここでは λe は事象の指標の適切なインスタンス化を指す。
0.79
While MARmax for the AC (and BN) is intractable, we can
AC (and BN) に対する MARmax は難解であるが、我々はそうすることができる。
0.70
compute it efficiently for a CSPN [Mau´a et al , 2017].
CSPN[Mau ́a et al , 2017]のために効率的に計算する。
0.76
Proposition 2. Given a Credal SPN CS[Qn i=1 Ci], we can solve MARmax for this family of distributions in O(|S|L), where L is an upper bound on solving maxwi Pj wij cj subject to wi ∈ Ci.
第2話。 credal spn cs[qn i=1 ci] が与えられると、o(|s|l) におけるこの分布の族に対する marmax を解くことができ、ここで l は wi ∈ ci に従えば maxwi pj wij cj を解く上界である。
0.55
Proof. If we assume the maximum possible value of the children c1, ..., cj of a sum node ti are known, finding the maximum possible value of ti can be done by solving maxwi Pj wij cj subject to wi ∈ Ci.
証明。 和ノードti の子供 c1, ..., cj の最大値が知られていると仮定すると、i の最大値を見つけることは、wi ∈ Ci に従属する maxwi Pj wij cj を解くことで得られる。
0.68
The same is true for product nodes, with the maximum value being the product of the maximum values of its children.
同じことが製品ノードにも当てはまり、最大値は子供の最大値の積である。
0.66
By induction we can find the maximum possible value of the root node through bottomup evaluation.
誘導により、ボトムアップ評価により、ルートノードの最大値を見つけることができる。
0.74
For details see [Mau´a et al , 2017].
詳細は[Mau ́a et al , 2017]を参照。
0.85
Figure 2c illustrates the computation on the CSPN compiled from the treatment example.
図2cは、処理例からコンパイルされたCSPNの計算を例示します。
0.67
The algorithm evaluates nodes bottom up in the graph, with the indicators set to their appropriate value (λT = λs1 = λs2 = 0, the rest 1).
アルゴリズムはグラフの底辺のノードを評価し、指標は適切な値に設定される(λT = λs1 = λs2 = 0, the rest 1)。
0.86
The s1, s2 branches always lead to an indicator with the value 0.
s1,s2分岐は常に値0の指標となる。
0.79
When a sum node is reached, the maximizing weights allowed by the credal set at that sum node are picked.
和ノードが到達すると、その和ノードで設定されたクレダルで許容される最大重みが選択される。
0.64
For the left +V node this means assigning θV |s3 the lowest weight allowed (0.4), while the right +V is instead maximized with the highest weight allowed (0.8).
This demonstrates that MARmax(S, C, ¯T ∧s3) = 0.07.
これはmarmax(s, c, ) = 0.07 であることを示している。
0.56
Our overall method CUB is summarized in Algorithm 2.
CUBの全体的な手法はアルゴリズム2にまとめられている。
0.65
The following theorem, which follows directly from Lemma 2, shows that we do indeed return an upper bound: Theorem 2.
Lemma 2 から直接従う次の定理は、実際に上界を返すことを示す: Theorem 2。
0.64
The output MARmax(S, CS, e) returned by Algorithm 2 satisfies
Algorithm 2 で返される出力 MARmax(S, CS, e) は満足する
0.90
MARmax(S, CS , e) ≥ MARmax(N , CN , e)
MARmax(S, CS , e) ≥ MARmax(N , CN , e)
0.42
Thus, we find that the probability of not assigning treatment to a patient with the severe strain in the treatment example can be no greater than MARmax(S, C, ¯T ∧ s3) = 0.07.
This is illustrated in Figure 2c, where the two different sum nodes representing θV |s3 are assigned different weights by the maximization in the CSPN, while this is not possible for the original CrBN.
We will now provide a precise characterization of the looseness of the upper bound, using the concept of structural enrichment to find an enriched CrBN which can be put in a 1-1 correspondence with the CSPN.
Definition 12. A structural enrichment of a CrBN CN [C] is a new CrBN CN ′ [C′] with a new underlying graph (V , E′) such that E ⊆ E′, and a new credal set given by
where Ui are the parents of Vi in N , while Wi are the newly added parents in N ′ which were not parents in N .
Ui は N の Vi の親であり、Wi は N の親ではない N' の親である。
0.58
To illustrate this, suppose that we had a BN with 3 variables A, B, C, where A is the only parent of C and we have the credal set θC=0|A=0 ∈ [0.3, 0.8].
これを説明するために、3つの変数 A, B, C を持つ BN が存在し、A が C の唯一の親であり、クレダル集合 θC=0|A=0 ∈ [0.3, 0.8] を持つと仮定する。
0.69
If we now consider a structurally enriched BN where A, B are both parents of C, then we have the same interval θC=0|A=0,B=b ∈ [0.3, 0.8] for b ∈ {0, 1}, but, crucially, the parameters for b = 0 and b = 1 can take different values in this interval.
A, B がともに C の親であるような構造的にリッチな BN を考えると、b ∈ {0, 1} に対して θC=0|A=0,B=b ∈ [0.3, 0.8] が同じ間隔を持つが、重要なことに、b = 0 と b = 1 のパラメータはこの間隔で異なる値を取ることができる。
0.77
Definition 13. Given a CrBN CN [C] and ordering σ, the maximal structural enrichment C is the (unique) structurally enriched CrBN which has an edge (Vi, Vj) for all i <σ j.
定員13名。 CrBN CN[C] と順序 σ が与えられたとき、最大構造エンリッチメント C は、すべての i <σ j に対して辺 (Vi, Vj) を持つ(一意)構造エンリッチメント CrBN である。
0.71
[C+ σ ] N + σ
[C+σ ] N + σ
0.44
The maximal structural enrichment of a CrBN with some ordering simply allows for the choice of parameters (within the credal set) at some variable to depend on all variables earlier in the order.
In the case of the treatment example, the ordering S, R, V, T (used for compilation in Figure 2a) would give a structurally enriched CrBN where the parameter θV |s3 is allowed to depend on R, as it does in the CSPN (Figure 2c).
処理例の場合、順序付け S, R, V, T (図2aのコンパイルに使用される) は、CSPN (図2c) のようにパラメータ θV |s3 が R に依存することができる構造的にリッチな CrBN を与える。
0.84
Theorem 3. The output MARmax(S, C, e) returned by Algorithm 2 using ordering σ satisfies
理論3。 順序σ満足度を用いたアルゴリズム2で返される出力MARmax(S, C, e)
0.73
MARmax(S, C, e) = MARmax(N +
MARmax(S, C, e) = MARmax(N +)
0.45
σ , C+ σ , e).
σ, C+ σ , e) である。
0.60
An implication of this result (see Appendix for the proof) is that the ordering σ used when compiling the SPN can affect the tightness of the bound.
Consequently, it is possible to search over topological orderings to obtain a better bound, at the cost of additional computation; we exploit this in our experiments as the method CUBmax.
We can also make use of this result to lower bound
この結果を使って 限界を下げることもできます
0.75
N + σ [C+
N + σ 【c+】
0.50
Vi|ui,wi MARmax.
Vi|ui,wi マーマックス
0.46
We can project the optimal parameters θ+ σ ] to obtain parameters θVi|ui = θ+ found for C Vi|ui,w∗ i valid for CN [C], by fixing some w∗ i for each credal set.
It is not guaranteed that the exact solution for CN [C] will be such a projection, but it is much easier to search over projections than parameter values and this can provide a strong lower bound in many cases, or serve as a way to initialize a more thorough search algorithm.
In our experiments we will evaluate a local greedy search algorithm CLB, which is initialized to an arbitrary projection given by some wi for each credal set Ci, and tries a series of local changes wi → w′ i, keeping any that increase the probability.
実験では、各クレダル集合 Ci に対して任意の wi によって与えられる任意の射影に初期化される局所グリーディ探索アルゴリズム CLB を評価し、その確率を増大させるような一連の局所変化 wi → w′ i を試す。
0.79
It terminates if it reaches parity with the upper bound or no local improvement can be found.
上界と同値に達するか、局所的な改善が見つからない場合は終了する。
0.54
Note that there is no guarantee of convergence to the upper bound – by Theorem 3 it is only possible when MARmax(N + σ , e) = MARmax(N , C, e), and even when this holds CLB can get stuck in local optima.
CREPO We [Caba˜nas and Antonucci, 2021] credal inference benchmark, which consists of 960 queries over 377 small-to-moderately sized networks, and, to evaluate scalability, hepar2, a 70-node Bayesian network.
crepo we [caba snas and antonucci, 2021] credal推論ベンチマークは、377の小規模からモードのネットワーク上の960のクエリで構成され、スケーラビリティを評価するために70ノードのベイズネットワークであるhepar2を評価する。 訳抜け防止モード: CREPO We [Caba 'nas and Antonucci, 2021 ] credal inference benchmark, 377の小さな - to- サイズのネットワーク上で960のクエリで構成されています。 スケーラビリティを評価するために ヘパー2 - 70ノードのベイズネットワーク。
0.67
We include three of our methods1:
methods1には3つの方法があります
0.49
(i) CUB, which computes an upper bound;
(i)上界を計算するCUB
0.44
(ii) CUBmax, which searches over (n = 30) orderings to obtain a better bound; and
(ii) (n = 30) の順序を検索してより良い境界を得る CUBmax
0.73
(iii) CLB, which computes a lower bound as described in Section 4.4 (capped to n = 100 steps).
the We compare the performance of our methods to exact credal variable elimination [Cozman, 2000] (where feasible) and ApproxLP [Antonucci et al , 2015], an approximate method returning a lower bound which has been shown to be state-of-the-art both in terms of scalability and accuracy of inferences.
We do not consider comparison to the IntRob algorithm presented in [Wang et al , 2021] as it cannot address arbitrary credal sets, and Algorithm 2 is equivalent to theirs in the limited cases where both can be applied (when all credal sets are either singletons or maximal).
Wang et al , 2021] で示される IntRob アルゴリズムは任意のクレダル集合に対処できないため比較はできないが、アルゴリズム 2 はどちらも適用可能な限られた場合(全てのクレダル集合がシングルトンか最大値である場合)にそれらのアルゴリズムと等価である。
0.77
We split CREPO into two subsets, CREPO-exact (768 queries), where an exact solution could be computed, and CREPO-hard (192 queries), where it ran out of memory (16GB).
Since other methods do not support inferences involving decision functions, we use an augmented BN only for hepar2, where both the exact and ApproxLP methods run out of memory even without a decision function.
In Table 2, for all benchmarks we report the time taken by each method.
表2では、すべてのベンチマークについて、各メソッドに要する時間を報告します。
0.60
For CREPO-exact, we compute the average difference in computed probability to the exact result (positive/negative for upper/lower bounds respectively), while for the other sets we report the average difference to the best upper bound.
Given the simplicity of the greedy iteration in CLB, this is primarily explained by the effectiveness of projection from the upper bound as a starting heuristic.
Finally, we see that our method is the only one to scale to the challenging hepar2 network, completing in a reasonable amount of time even with the significant additional computational expense of incorporating a decision function.
6 Conclusions We have demonstrated how to construct an SPN whose parameters (sum node weights) can be semantically interpreted as representing specific conditional probability distributions in a CrBN.
The result relies on a novel SPN compilation technique, which ensures that
その結果、新しいSPNコンパイル技術に頼っている。
0.51
(i) all sum nodes correspond to some variable V and
i) すべての和ノードは、ある変数 V に対応し、
0.83
(ii) that the values of all parents of V can be uniquely determined.
(II) V のすべての親の値が一意に決定可能であること。
0.81
This is significant as (after applying constraint relaxation) it enables a direct mapping of the credal sets of the CrBN to a CSPN, which, unlike the CrBN, can be tractably maximized.
This gives an efficient method to analyse robustness of decision functions learnt from data in the presence of imprecise knowledge, distributional shifts and exogenous variables.
Our method provides formally guaranteed upper and lower bounds on the probability of an event of interest, and the experimental evaluation has additionally demonstrated that it compares favourably in accuracy to stateof-the-art approximate methods while being orders of magnitude faster.
In future work the upper bound could be improved through reintroducing some of the dropped equality constraints between weights of sum nodes in the CSPN, though this will involve trade-offs between computational challenge and accuracy.
The methodology could also be extended to handle more challenging queries such as maximum expectations, by imposing additional structure on the compiled circuit.
Acknowledgements This project was funded by the ERC under the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme (FUN2MODEL, grant agreement No. 834115), and by the Future of Humanity Institute, Oxford University.
覚書 このプロジェクトは欧州連合のHorizon 2020 Research and Innovation Program(FUN2MODEL, grant agreement No. 834115)とオックスフォード大学のFuture of Humanity Instituteによって資金提供された。
0.58
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
References [Antonucci et al , 2010] Alessandro Antonucci, Yi Sun, Cassio P. de Campos, and Marco Zaffalon.
参考文献 [Antonucci et al , 2010]Alessandro Antonucci、Yi Sun、Cassio P. de Campos、Marco Zaffalon。 訳抜け防止モード: 参考文献 [antonucci et al, 2010 ] alessandro antonucci, yi sun, カシオ・p・デ・カンポス(cassio p. de campos)とマルコ・ザファロン(marco zaffalon)。
0.61
Generalized loopy 2u: A new algorithm for approximate inference in credal networks.
Int. J. Approx. Reasoning, 51(5):474–484, jun 2010.
イント jの略。 推理、51(5):474–484、2010年6月。
0.53
[Antonucci et al , 2015] Alessandro Antonucci, Cassio P. de Campos, David Huber, and Marco Zaffalon.
Alessandro Antonucci氏、Cassio P. de Campos氏、David Huber氏、Marco Zaffalon氏。
0.57
Approximate credal network updating by linear programming with applications to decision making.
線形プログラミングによるクレーダルネットワークの近似更新と意思決定への応用
0.77
Int. J. Approx. Reasoning, 58:25–38, 2015.
イント jの略。 2015年、58:25-38。
0.51
[Caba˜nas and Antonucci, 2021] Rafael
【カバ・イナスとアントヌッチ、2021年]ラファエル
0.54
and Alessandro Antonucci.
そしてAlessandro Antonucci。
0.75
Crepo: An open repository to benchmark credal network algorithms.
crepo: credalネットワークアルゴリズムをベンチマークするためのオープンリポジトリ。
0.77
arXiv preprint arXiv:2105.04158, 2021.
arxiv プレプリント arxiv:2105.04158, 2021。
0.41
Caba˜nas [Cano et al , 2007] Andr´es Cano, Manuel G´omez, Seraf´ın Moral, and Joaqu´ın Abell´an.
カバ・シナス [Cano et al , 2007]Andr ́es Cano, Manuel G ́omez, Seraf ́ın Moral, Joaqu ́ın Abell ́an.
0.32
Hill-climbing and branchand-bound algorithms for exact and approximate inference in credal networks.
干潟ネットワークにおける正確な近似推定のためのヒルクライミングと分岐結合アルゴリズム
0.62
Int. J. Approx. Reasoning, 44(3):261– 280, 2007.
イント jの略。 2007年、44(3):261-280頁。
0.53
Reasoning with Imprecise Probabilities.
不正確な確率で推論する。
0.47
[Chan and Darwiche, 2004] Hei Chan and Adnan Darwiche.
[Chan and Darwiche, 2004]Hei ChanとAdnan Darwiche。
0.38
Sensitivity analysis in bayesian networks: From single to multiple parameters.
ベイズネットワークにおける感度解析:単一パラメータから複数パラメータへ
0.87
In UAI, page 67–75, Arlington, Virginia, USA, 2004.
uai, page 67-75, arlington, virginia, usa, 2004。
0.63
AUAI Press. [Chan and Darwiche, 2006] Hei Chan and Adnan Darwiche.
新聞社。 [Chan and Darwiche,2006]Hei ChanとAdnan Darwiche。
0.35
On the robustness of most probable explanations.
最も可能性の高い説明の堅牢性について
0.51
In UAI, page 63–71, July 2006.
2006年7月、63-71頁。
0.66
[Coup´e et al , 2000] Veerle M. H. Coup´e, Linda C. Van Der Gaag, and J. Dik F. Habbema.
J. Dik F. Habbema. [Coup ́e et al , 2000] Veerle M. H. Coup ́e, Linda C. Van Der Gaag, J. Dik F. Habbema. 訳抜け防止モード: [クーデター等、2000年]veerle m.h.クーデター linda c. van der gaagとj. dik f. habbema。
0.63
Sensitivity analysis: An aid for belief-network quantification.
感度分析: 信念ネットワークの定量化を支援する。
0.72
Knowl. Eng.
知っている。 Eng!
0.45
Rev. , 15(3):215–232, sep 2000.
レヴ 15(3):215–232, sep 2000。
0.37
[Cozman, 2000] Fabio G. Cozman.
Cozman, 2000] Fabio G. Cozman.
0.38
Credal networks.
致命的なネットワーク。
0.47
Artifi- cial Intelligence, 120(2):199–233, 2000.
Artifi cial Intelligence, 120(2):199–233, 2000。
0.41
[Darwiche, 2003] Adnan Darwiche.
[Darwiche, 2003]Adnan Darwiche.
0.36
A differential approach to inference in bayesian networks.
ベイズネットワークにおける推論に対する微分的アプローチ
0.61
Journal of the ACM (JACM), 50(3):280–305, 2003.
The Journal of the ACM (JACM), 50(3):280–305, 2003
0.46
[De Campos and Cozman, 2007] Cassio Polpo De Campos and Fabio Gagliardi Cozman.
[De Campos and Cozman, 2007]Cassio Polpo De CamposとFabio Gagliardi Cozman。
0.39
Inference in credal networks through integer programming.
credalネットワークにおける整数計画による推論
0.64
In Proceedings of the Fifth International Symposium on Imprecise Probability: Theories andApplications, 2007.
第5回不正確な確率:理論と応用に関する国際シンポジウム2007参加報告
0.72
[Fagiuoli and Zaffalon, 1998] Enrico Fagiuoli and Marco Zaffalon.
[Fagiuoli and Zaffalon, 1998]Enrico Fagiuoli and Marco Zaffalon.
0.40
interval propagation algorithm for polytrees with binary variables.
バイナリ変数を持つポリツリーの間隔伝搬アルゴリズム。
0.78
Artif. Intell.
アーティフ インテリ。
0.49
, 106(1):77–107, nov 1998.
106(1):77–107, nov 1998。
0.43
2u: An exact [Huber et al , 2020] D. Huber, R. Caba˜nas, A. Antonucci, and M. Zaffalon.
2u: 正確には [Huber et al , 2020]D. Huber、R. Caba 'nas、A. Antonucci、M. Zaffalon。
0.57
CREMA: a Java library for credal network inference.
CREMA: クレダルネットワーク推論のためのJavaライブラリ。
0.66
In M. Jaeger and T.D. Nielsen, editors, Proceedings of the 10th International Conference on Probabilistic Graphical Models (PGM 2020), Proceedings of Machine Learning Research, Aalborg, Denmark, 2020.
M. Jaeger と T.D. Nielsen では、編集者、Proceedings of the 10th International Conference on Probabilistic Graphical Models (PGM 2020), Proceedings of Machine Learning Research, Aalborg, Denmark, 2020 がある。
0.89
PMLR. [Katz et al , 2017] Guy Katz, Clark Barrett, David L Dill, Kyle Julian, and Mykel J Kochenderfer.
PMLR。 Katz et al , 2017] Guy Katz氏、Clark Barrett氏、David L Dill氏、Kyle Julian氏、Mykel J Kochenderfer氏。 訳抜け防止モード: PMLR。 [katz et al, 2017] guy katz, clark barrett, デビッド・l・ディル、カイル・ジュリアン、ミケル・j・コチェンダー。
0.51
Reluplex: An
Reluplex: An
0.42
efficient smt solver for verifying deep neural networks.
ディープニューラルネットワークを検証する 効率的なsmtソルバ。
0.64
In CAV, pages 97–117.
CAV 97-117頁。
0.25
Springer, 2017.
2017年、スプリンガー。
0.54
[Lipton et al , 2018] Zachary Lipton, Yu-Xiang Wang, and Alexander Smola.
[Lipton et al , 2018]Zachary Lipton氏、Yu-Xiang Wang氏、Alexander Smola氏。
0.41
Detecting and correcting for label shift with black box predictors.
ブラックボックス予測器を用いたラベルシフトの検出と修正
0.82
In ICML, pages 3122–3130.
ICMLでは3122-3130頁。
0.74
PMLR, 2018.
2018年、PMLR。
0.68
[Mattei et al , 2020] Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, and Denis Deratani Mau´a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena.
(Mattei et al , 2020)Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, Denis Deratani Mau ́a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena 訳抜け防止モード: [Mattei et al, 2020 ] Lilith Mattei, Alessandro Antonucci, そして、Denis Deratani Mau ́a, Alessandro Facchini, Julissa Villanueva Llerena。
0.45
Tractable inference in credal sentential decision diagrams.
震源決定図におけるトラクタブル推論
0.42
International Journal of Approximate Reasoning, 125:26–48, 2020.
international journal of approximate reasoning, 125:26-48, 2020) を参照。
0.57
[Mau´a and Cozman, 2020] Denis Deratani Mau´a
[Mau ́a and Cozman, 2020]Denis Deratani Mau ́a
0.40
and Fabio Gagliardi Cozman.
そしてFabio Gagliardi Cozman。
0.74
Thirty years of credal networks: Specification, algorithms and complexity.
クレーダルネットワークの30年: 仕様、アルゴリズム、複雑さ。
0.72
Int. J. Approx. Reasoning, 126:133–157, 2020.
イント jの略。 126:133–157, 2020。
0.45
[Mau´a et al , 2017] Denis D Mau´a, Fabio G Cozman, Diarmaid Conaty, and Cassio P Campos.
Mau ́a et al , 2017] Denis D Mau ́a, Fabio G Cozman, Diarmaid Conaty, Cassio P Campos
0.42
Credal sum-product networks.
credal sum-product networkの略。
0.47
In Proceedings of the Tenth International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications, pages 205–216.
第10回不正確な確率に関する国際シンポジウム(the 10th international symposium on imprecise probability: theory and applications)第205-216頁。
0.50
PMLR, 2017.
2017年、PMLR。
0.66
[Narodytska et al , 2018] Nina Narodytska,
[Narodytska et al , 2018]Nina Narodytska,
0.36
Shiva Kasiviswanathan, Leonid Ryzhyk, Mooly Sagiv, and Toby Walsh.
In Proceedings of the 7th conference of the Cognitive Science Society, University of California, Irvine, CA, USA, pages 15–17, 1985.
カリフォルニア大学アーバイン校認知科学協会第7回会議の議事録、1985年15-17頁。
0.52
[Poon and Domingos, 2011] Hoifung
(『poon and domingos』2011年)『hoifung』
0.51
Pedro Domingos.
ペドロ・ドミンゴス。
0.54
Sum-product networks: A new deep architecture.
Sum-product Network: 新しいディープアーキテクチャ。
0.74
In UAI, page 337–346, July 2011.
2011年7月、UAI337-346頁。
0.64
[Qui˜nonero-Candela et al , 2009] Joaquin
[クイ・シノネロ・カンデラら,2009]ジョアキン
0.54
Qui˜noneroCandela, Masashi Sugiyama, Neil D Lawrence, and Anton Schwaighofer.
キ・シノエロ・カンデラ、杉山正、ニール・ド・ローレンス、アントン・シュヴァイオファー。
0.43
Dataset shift in machine learning.
機械学習におけるデータセットシフト。
0.72
Mit Press, 2009.
2009年、mit出版。
0.54
Poon and [Rooshenas and Lowd, 2014] Amirmohammad Rooshenas and Daniel Lowd.
プーン そして [Rooshenas and Lowd, 2014]Amirmohammad Rooshenas氏とDaniel Lowd氏。
0.55
Learning sum-product networks with direct and indirect variable interactions.
直接的および間接的な変数相互作用による総生産ネットワークの学習。
0.62
In ICML, pages 710–718.
ICMLでは710-718頁。
0.80
PMLR, 2014.
2014年、PMLR。
0.67
[Ruan et al , 2018] Wenjie Ruan, Xiaowei Huang, and Marta Kwiatkowska.
[Ruan et al , 2018]Wenjie Ruan、Xiaowei Huang、Marta Kwiatkowska。
0.35
Reachability analysis of deep neural networks with provable guarantees.
証明可能な保証を持つ深層ニューラルネットワークの到達可能性解析
0.70
In IJCAI, IJCAI’18, page 2651–2659.
ijcai, ijcai'18, 2651-2659頁。
0.47
AAAI Press, 2018.
AAAIプレス、2018年。
0.78
[Wang et al , 2021] Benjie Wang, Clare Lyle, and Marta Kwiatkowska.
Wang et al , 2021] Benjie Wang, Clare Lyle, Marta Kwiatkowska
0.32
Provable guarantees on the robustness of decision rules to causal interventions.
因果的介入に対する決定ルールの堅牢性に関する証明可能な保証。
0.55
In IJCAI, 2021.
2021年、IJCAIに入社。
0.62
[Zaffalon et al , 2020] Marco Zaffalon, Alessandro Antonucci, and Rafael Caba˜nas.
[Zaffalon et al , 2020]Marco Zaffalon氏、Alessandro Antonucci氏、Rafael Caba 'nas氏。
0.43
Structural causal models are (solvable by) credal networks.
構造因果モデルは(解決可能な)クレーダルネットワークである。
0.70
In International Conference on Probabilistic Graphical Models, pages 581–592.
International Conference on Probabilistic Graphical Models, page 581–592。
0.42
PMLR, 2020.
PMLR、2020年。
0.88
[Zhang et al , 2015] Kun Zhang, Mingming Gong, and Bernhard Sch¨olkopf.
[Zhang et al , 2015] Kun Zhang, Mingming Gong, Bernhard Sch solkopf.
0.42
Multi-source domain adaptation: A causal view.
マルチソースドメイン適応:因果ビュー。
0.70
In AAAI, 2015.
2015年、AAAI。
0.69
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
A Proofs A.1 Proof of Lemma 1
証明 A.1 Lemma 1の証明
0.46
Lemma 1. Suppose that T computes N respecting some topological order.
レマ1号。 T が N を位相順に計算するとする。
0.57
Let t be a +-node in T splitting on some variable V .
t をある変数 V 上の T の分割の +-ノードとする。
0.76
Then all complete subcircuits α which include t must agree on the value of its parents paN (V ).
t を含むすべての完全部分回路 α は、その親 pan (v) の値について合意しなければならない。
0.65
Proof. First, we show that the part of the subcircuit ”external to” the sub-AC Tt is sufficient to determine the value of the parents of V .
証明。 まず, v の親の値を決定するには,subcircuit の "external to" 部分の部分で十分であることを示す。
0.63
Suppose that α, α′ are two complete subcircuits which both include t and differ only in the chosen +-node children in the sub-AC from t.
α, α′ は 2 つの完全なサブ回路であり、どちらも t を含み、サブAC の t から選択された+ノードの子供にのみ異なると仮定する。
0.63
Since T respects a topological ordering, by Defn.
T は、Defn による位相順序を尊重する。
0.63
8 no nodes in Tt split on any variable in paN (V ).
Tt のノードは paN (V ) の任意の変数で分割されない。
0.76
Then, these subcircuits must assign the same values to paN (V ).
次に、これらのサブ回路は同じ値をpaN (V) に割り当てなければならない。
0.67
Now for the main result, suppose for contradiction there exist two complete subcircuits α1, α2 which both include t and specify different values u1, u2 for paN (V ) through indicators.
主要な結果について、矛盾があると仮定すると、2つの完全なサブ回路 α1, α2 が存在し、どちらも t を含み、インジケータを通してpaN (V) に対する異なる値 u1, u2 を指定できる。 訳抜け防止モード: 主要な結果について、矛盾があると仮定すると、2つの完全なサブ回路 α1 が存在する。 tを含むα2 paN ( V ) の異なる値 u1, u2 をインジケータで指定する。
0.66
We will write α1 = (α1P , α1S ), where α1P (prefix) is the part of the subcircuit external to Tt, and α1S (suffix) is the part internal to Tt (similar for α2).
Comparing α1, α′ 2, we see that they are identical in Tt, meaning that they specify the same value of V (say, v), but they specify different values u1, u2 of paN (V ).
α1, α′の比較 2 は tt において同一であること、つまり v の同じ値(例えば v)を定めるが、pan (v) の異なる値 u1, u2 を定めることを意味する。
0.55
Since each subcircuit corresponds to a term of the network/AC polynomial, the subcircuits must contain parameters θv|u1, θv|u2 respectively.
Since these parameters depend on the value of V , they must appear in Tt.
これらのパラメータは v の値に依存するので、tt に現れなければならない。
0.67
But this is a contradiction as both subcircuits are identical in that sub-AC.
しかし、どちらのサブ回路もそのサブACと同一であるため、これは矛盾である。
0.57
A.2 Proof of Theorem 3 Theorem 3.
A.2 Theorem 3 Theorem 3 の証明。
0.55
The output MARmax(S, C, e) returned by Algorithm 2 using ordering σ satisfies
順序σ満足度を用いたアルゴリズム2で返される出力MARmax(S, C, e)
0.87
MARmax(S, C, e) = MARmax(N +
MARmax(S, C, e) = MARmax(N +)
0.45
σ , C+ σ , e).
σ, C+ σ , e) である。
0.60
To prove Theorem 3 we will introduce an expansion operation EX on SPNs, which intuitively ‘distributes’ all products over the sum nodes, so that product nodes only have leaf node children.
定理 3 を証明するために、sns 上の拡張操作 ex を導入する。これは直観的にすべての積を和ノード上で「分配する」ので、積ノードはリーフノード子しか持たない。 訳抜け防止モード: Theorem 3 の証明 SPN 上の EX の拡張操作を導入します。これは直感的にすべての製品を和ノード上に配布します。 製品ノードには葉ノードの子供しかいないのです
0.77
As we perform the expansion we will use labels on the sum nodes to track their origin in the original SPN.
拡張を実行すると、sumノードのラベルを使って元のspnでそれらの起源を追跡します。
0.72
Definition 14. Let S be a SPN respecting the ordering σ, where each sum node is given a unique label.
定員14名。 S を順序 σ を尊重する SPN とし、各和ノードには一意なラベルが与えられる。
0.67
We define the expanded SPN EX(S) to be an SPN constructed as follows:
拡張されたSPN EX(S)は、以下のように構築されたSPNと定義する。
0.66
• If the root t is a single leaf node, then EX(S) = S;
• 根 t が単葉ノードであれば、EX(S) = S;
0.66
• If the root t is a sum node labelled l with children t1, ..., tn, then EX(S) is a sum node also labelled l with children EX(St1 ), ..., EX(Stn ) and the same weights;
• 根 t が子 t1, ..., tn で l とラベル付けされた和ノードであれば、ex(s) は子 ex(st1 ), ..., ex(stn ) と共に l とラベル付けされた和ノードであり、同じ重みを持つ。 訳抜け防止モード: • ルート t が l に子 t1 をラベル付けした和ノードであれば、 tn, EX(S ) は児 EX(St1 ) と l をラベル付けした和ノードである。 ...、EX(Stn )と同じ重さ。
0.83
• If the root is a product node which has only leaf nodes
•根が葉ノードのみを持つ製品ノードである場合
0.79
as children, then EX(S) = S;
子供の場合、EX(S) = S;
0.70
• If the root is a product node t with at least one product node child p, then EX(S) is the result of applying EX to a single product node with all the children of t and p together;
• 根が少なくとも1つの製品ノード子pを持つ製品ノードtであれば、ex(s) は、t と p のすべての子からなる単一製品ノードに ex を適用する結果である。
0.77
• If the root is a product node t with at least one sum node child and no product node children, then let s (labelled l) be the first sum node child in σ, let s1, ..., sn be the children of s and let t1, ..., tm be the other children of
t. Then EX(S) is a sum node (labelled l) with n children EX(p1), ..., EX(pn), and weights identical to
t. ex(s) は n 個の子 ex(p1), ..., ex(pn) を持つ和ノード (ラベル付き l) で、重みは同一である 訳抜け防止モード: t. then EX(S ) is a sum node ( labeled l ) with n children EX(p1 ) ...、EX(pn )、および重みは同一である
0.92
s. Each SPN pi has a product node at the root and children t1, ..., tm, si, labelled with their original labels.
s. 各spn pi は根元に製品ノードを持ち、t1, ..., tm, si は元のラベルでラベル付けされている。
0.78
It should be noted that each of these operations performs recursive calls on SPNs with fewer nodes than the original SPN.
Further, EX(S) also respects σ, and all its product nodes have only leaf nodes as children.
さらに、EX(S) はσ を尊重し、すべての製品ノードは葉ノードのみを子供として持つ。
0.73
Proof. We will prove this by induction on the SPNs EX(St), where we proceed in reverse topological order of the nodes t in the SPN (i.e. children before parents).
First, if the root is a leaf node or a product node with only
第一に、ルートがリーフノードか、ただの積ノードである場合
0.65
leaf node children then all the statements are trivially true.
リーフノードの子供なら 全ての主張は 自明に真実だ
0.61
If the root is a sum node t labelled l with children t1, ..., tn, then the SPN polynomial is the weighted sum of the polynomials of the expanded children which are unchanged (by the induction hypothesis), where the weights (parameters) are the same as in the original SPN.
根が子 t1, ..., tn で l にラベル付けされた和ノード t であれば、spn 多項式は拡大された子の多項式の重み付き和であり、その重み(パラメータ)は元のspnと同じである(帰納的仮説により)。 訳抜け防止モード: 根が l に子 t1 とラベルづけされた和ノード t であれば ..., tn, そして、spn多項式は(帰納的仮説によって)変化しない拡大された子供の多項式の重み付き和である。 重み(パラメータ)は元のspnと同じである。
0.75
Further, the expanded children split on the same variables as before, respecting ordering, so the sum node as a whole does so as well.
If the root is a product node with another product node as a child, then it is enough to observe that (by the associativity of products) moving all children to one product node has no effect on the polynomial or ordering - the remaining result follows from the inductive hypothesis on the combined product node.
It remains to show the result for product nodes with at least one sum node child (and no product node children).
製品ノードが少なくとも1つの和ノード子(製品ノード子)を持つ場合の結果は、まだ示されていない。
0.76
Adopting the same notation used in the definition, we will show that the sum node s must split on a variable Vi such that Vi < Vj for all other variables Vj split on somewhere in S. For Vk split on at one of the other sum node children t1, ..., tm we have Vi < Vk by construction.
定義で使われる同じ表記法を採用すると、和ノード s が変数 Vi 上で分割されなければならないことを示し、他の変数 Vj に対して Vi < Vj が S のどこかで分裂することを示す。 訳抜け防止モード: 定義で使われるのと同じ表記法を採用する。 和ノード s が変数 Vi 上で分割されなければならないことを示し、他の変数 Vj に対して Vi < Vj が S のどこかで分割されることを示す。 Vk は他のsum node children t1 で分割する。 tm, tm にはvi < Vk という構造がある。
0.76
For some Vj split on elsewhere any node splitting on it must be a descendant of either s or some tk, and since S obeys the ordering condition Vk < Vj which shows the claim by transitivity.
Any complete subcircuit of such an SPN must be a single path of sum nodes t1, ..., tn followed by a single product node containing all its leaf nodes at the end.
In both, for a sum node s in EX(S), we assign individual credal sets Ci to the weights of s from the node with the same label in the original SPN S. However, for C− S , we additionally impose the constraint that sum nodes with the same label in EX(S) must also have the same weights; CEX(S)[C− S ] is thus not a CSPN (while CEX(S)[C+
どちらも、EX(S) の和ノード s に対して、個々のクレダル集合 Ci を元の SPN S の同じラベルを持つノードから s の重みに割り当てるが、C−S については、EX(S) の同じラベルを持つ和ノードも同じ重みを持つ必要があるという制約を加味する;CEX(S)[C−S ] は CSPN ではない(ただし CEX(S)[C+ )。
0.79
S and C+ S over
S と C+ S Over
0.65
S ] is). we
s ] である。 私たち
0.57
Firstly, show that S , e).
まず第一に S , e) を示す。
0.63
= MARmax(EX(S), C− Since S and EX(S) have the same polynomial, the distributions are equivalent (for the same parameters).
= MARmax(EX(S), C− S と EX(S) は同じ多項式を持つので、分布は(同じパラメータに対して)同値である。
0.88
Further, since the credal sets CS , C− S are the same by construction, the maximal marginal probability (and parameter assignment) is the same for both.
さらに、クレダル集合 CS , C− S は構成によって同じであるため、最大辺確率(およびパラメータ割り当て)はどちらも同じである。
0.78
MARmax(S, CSe)
MARmax(S, CSe)
0.42
that is, Second, we that, since CEX(S)[C+ S ]
それは... 次に cex(s)[c+ s ] なので
0.42
show that MARmax(EX(S), C+ S , e),
marmax(ex(s), c+ s , e) を示す
0.69
S , e) = MARmax(EX(S), C− that the same value can be obtained despite the additional constraints on C− S .
S , e) = MARmax(EX(S), C− は C− S 上の追加の制約にもかかわらず同じ値が得られる。
0.83
Recall is a CSPN, we can find MARmax(EX(S), C+ S , e) by maximizing the weights at each sum node locally based on the maximized value of its children (2).
リコールはcspnであり、マーマックス(ex(s), c+ s , e) は子供の最大値に基づいて各和ノードの重みを局所的に最大化することで見つけることができる(2)。
0.70
Looking at the definition of the expansion process (Defn. 14), we see that the only way in which two sum nodes r, r′ in EX(S) can have the same label is if two product nodes in the original SPN have a common sum node child (with that label).
Then, using similar notation as in the Definition, r will have children EX(p1), ..., EX(pn), where pi is an SPN with a product node root and children t1, ..., tm, si, while r′ 1), ..., EX(p′ will have children EX(p′ i is an SPN with product node root and children t′ m′ , si.
ここで、r は子元 ex(p1, ..., ex(pn) を持ち、pi は積ノード根を持つ spn で、子元 t1, ..., tm, si, while r′ 1), ..., ex(p′) は子元 ex(p′ i は積ノード根を持つ spn と子 t′ m′, si を持つ。 訳抜け防止モード: すると、定義に類似の表記を用いると、r は ex(p1 ) を持つ。 ..., ex(pn ) ここで pi は積ノードルートを持つ spn である。 そして、t1, ..., tm, si, while r′ 1)。 ..., ex(p' は子を ex(p′) とする。 i は積ノードルートを持つ spn であり、子 t′ m′, si を持つ。
0.68
Since applying EX does not change the SPN polynomial, the ith child [λ, Θ].
EXを適用するとSPN多項式が変化しないので、ith子[λ, λ]が変化する。
0.65
j=1 lSti of r has polynomial lSpi functions of Since SPN polynomials are multilinear their parameters, each parameter can appear in only Thus we can maxone of [λ, Θ] = imize each separately, [λ, Θ] Qm = j=1 maxΘ∈C+ maxΘ∈C+ [λ, Θ] Qm j=1 c := maxΘ∈C+ Qm is independent of i.
Thus we see that the value of the ith child of r and r′ are proportional, and hence the same choice of parameters/weights for r, r′ maximize both.
したがって、r と r′ の i 番目の子の価値は比例するので、r, r′ のパラメータと重みの同じ選択がどちらも最大である。
0.72
Thus we have that the maximizing weight in C+ S , and MARmax(EX(S), C+
したがって、C+ S と MARmax(EX(S), C+ の最大化重みを持つ。
0.83
lSp′ := Qm′ j=1 maxΘ∈C+
lSp′ := Qm′ j=1 max ∂C+
0.26
S , e) = MARmax(EX(S), C−
S , e) = MARmax(EX(S), C−
0.43
n) where p′ 1, ..., t′
n) p′ 1, ..., t′ のとき
0.86
lSpi [λ, Θ] c
lspi[λ, θ] c
0.39
[λ, Θ] = maxΘ∈C+
[λ, >] = max ～C+
0.40
S is also in C−
S も C− に含まれる
0.78
the RHS polynomials. [λ, Θ] Qm
RHS多項式。 [λ, θ]qm
0.36
j=1 maxΘ∈C+
j=1 maxθhtmlc+
0.18
lStj where [λ, Θ] = lSsi
lstjはどこ? [λ, s] = lSsi
0.41
maxΘ∈C+
max (複数形 maxs)
0.13
lSsi lSsi S , e).
lSsi lSsi S, e)。
0.58
[λ, Θ] lSt′
[λ, Θ] lSt'
0.39
j S lStj S
j S lStj S
0.43
lSsi S S S
lSsi S S S
0.43
i.e. S S S
i.e. S S S
0.41
i σ , C+ Finally, we want to show that MARmax(EX(S), C+
私は σ, C+ 最後に marmax(ex(s), c+ が
0.49
S , e) = MARmax(N + N , e).
s , e) = marmax(n + n , e) である。
0.78
We have already established that the product nodes in EX(S) have only leaf node children.
EX(S)の製品ノードは、葉ノードの子供しか持たないことをすでに確立しています。
0.74
Thus, each product node must correspond to a particular instantiation of the variables, and the sum nodes from the root must branch out to cover all of these instantiations.
This also provides a very clear semantics for the weight on each edge of a sum node t: it is simply θvi|ui , where vi is the value corresponding to that edge of the variable Vi which t is splitting on, and ui records the values of all variables before Vi in the ordering σ (which is unique as the SPN is a tree).
これはまた、和ノード t の各辺の重みに対する非常に明確な意味論を提供する: 単に θvi|ui であり、ここで vi は t が分割されている変数 vi の辺に対応する値であり、ui は vi の前に vi の値を順序 σ に記録する。 訳抜け防止モード: これはまた和ノード t の各辺の重みに対する非常に明確な意味論も提供する。 :単にθvi|ui である。 vi は t が割り切れている変数 Vi のエッジに対応する値です。 そして ui は σ の順序付けで Vi の前にすべての変数の値を記録する(SPN が木であるのに一意である)。
0.82
It is then apparent that EX(S) precisely deN ].
すると EX(S) が正確に deN であることがわかる。
0.77
Further, the credal sets scribes the polynomial of C N and C+ C+ All
さらに、クレダル集合はCNとC+C+Allの多項式を記述する。
0.69
S are the same by construction, so we are done.
Sは建設で同じなので、終わりです。
0.62
together, we have S , e) = MARmax(EX(S), C+
私たちは一緒に S , e) = MARmax(EX(S), C+
0.62
that MARmax(S, CSe) = S , e) =
MARmax(S, CSe) = S , e) =
0.38
[C+ N + σ
【c+】 N + σ
0.50
MARmax(EX(S), C− MARmax(N +
MARmax(EX(S), C− MARmax(N +)
0.45
σ , C+ N , e), as required.
σ, C+ N, e) が必要であった。
0.63
B Comparison to Intervention Sets
B インターベンションセットとの比較
0.83
Bayesian networks are particularly convenient for studying data-generating processes which include some adversary or unknown process that could seemingly arbitrarily intervene on the behaviour of certain variables in our system, thus changing the distribution.
[Wang et al , 2021] formalize this by defining intervention sets where some subset of variables W ⊆ V .
[wang et al , 2021] は、変数 w のサブセットが v であるような介入集合を定義することで、これを形式化する。
0.57
In this section, we show how our formulation of credal sets over augmented BNs generalizes their definitions.
本稿では、拡張bns上のクレダル集合の定式化がそれらの定義をどのように一般化するかを示す。
0.50
[Wang et al , 2021] consider parametric interventions on variables W in a BN N which assign new values to all the parameters associated with variables in W .
Wang et al , 2021] は BN N における変数 W に対するパラメトリック介入を考慮し、新しい値を W の変数に関連する全てのパラメータに割り当てる。
0.88
Each such intervention leads to a new BN N ′ with a new joint distribution pN ′ .
それぞれの介入は、新しい結合分布pN′を持つ新しいBNN′につながる。
0.65
We define IN [W ] to be the family of distributions arising from some parametric intervention on W in N .
我々は IN [W ] を N における W に対するパラメトリックな介入から生じる分布の族と定義する。
0.83
A structural intervention on W in N can further introduce new edges to the graph through a context function CW : V → P(V ), allowing the variables in W to depend on variables which previously they could not.
N における W に対する構造的介入は、文脈関数 CW : V → P(V ) を通じてグラフに新たなエッジを導入することができ、W の変数は以前にできなかった変数に依存することができる。
0.84
We define IN [W , CW ] to be the family of distributions arising from some structural intervention with context function CW on W in N .
我々は IN [W , CW ] を N の W 上の文脈関数 CW に対する構造的介入から生じる分布の族として定義する。
0.82
B.1 Credal Sets The interventional families of distributions assume that for each variable we either have complete certainty about its behaviour (if it is not an intervenable variable), or its behaviour is completely unknown (if it is an intervenable variable).
B.1 credal set the interventional family of distributions(英語版)は、各変数に対してその振る舞いについて完全な確実性(もしそれが内在変数でないなら)を持つか、その振る舞いが完全に未知である(内在変数であれば)と仮定する。
0.49
This does not allow us to represent other forms of uncertainty, such as that which might arise from learning a model from data.
Proposition 3. For any BN N and subset of the variables W , there exists a CrBN CN [C] such that
第3話。 変数 W の任意の BN N と部分集合に対して、CrBN CN[C] が存在する。
0.62
IN [W ] = CN [C].
in [w ] = cn [c] である。
0.67
Proof. Given W , construct a CrBN CN [C] with a credal set such that CVi|ui is maximal (all probability distributions allowed) if Vi ∈ W , and a singleton containing only the parameter value in N otherwise.
証明。 W が与えられたとき、CVi|ui が極大(すべての確率分布が許される)となるようなクレダル集合を持つ CrBN CN [C] と、N 内のパラメータ値のみを含むシングルトンを構成する。
0.72
For any BN N ′ ∈ IN [W ] it will differ from N only for parameters related to variables in W .
任意の BN N ′ ∈ IN [W ] に対して、これは W の変数に関連するパラメータのみ N と異なる。
0.88
Since these are allowed to take any value by the credal set C, we must have N ′ ∈ CN [C].
これらはクレダル集合 C によって任意の値を取ることができるので、N ′ ∈ CN [C] を持つ必要がある。
0.68
Likewise, for any N ′ ∈ CN [C] it can differ from N only for parameters of variables in W , so there will be some intervention generating N ′.
同様に、任意の N ′ ∈ CN[C] に対して、これは W 内の変数のパラメータのみ N と異なるため、N ′ を生成する何らかの介入が存在する。
0.78
This demonstrates that the notion of CrBNs generalizes the notion of parametric interventions.
このことは、CrBN の概念がパラメトリック介入の概念を一般化していることを示している。
0.49
It can also generalize
一般化することもできます
0.56
英語（論文から抽出）
日本語訳
スコア
traditionally assumes the credal set is specified by a finite set of vertices.
伝統的に、クレダル集合は有限個の頂点集合によって指定される。
0.57
Our algorithm is entirely agnostic regarding the credal set representation, but in order to allow comparisons with both of these approaches we use Polco (through CREMA [Huber et al , 2020]) to convert between them.
我々のアルゴリズムは, 干潟集合の表現を全く知らないが, これら2つのアプローチを比較するために, Polco (CREMA (Huber et al , 2020]) を用いてそれらの変換を行う。
0.73
structural interventions, though we need a CrBN on a structurally enriched graph.
構造的介入は、構造的にリッチなグラフ上に CrBN が必要である。
0.71
Here we reproduce our definition of structural enrichments for CrBNs from the main paper:
ここでは、CrBNの構造エンリッチメントの定義を本文から再現する。
0.63
Definition 12. A structural enrichment of a CrBN CN [C] is a new CrBN CN ′ [C′] with a new underlying graph (V , E′) such that E ⊆ E′, and a new credal set given by
where Ui are the parents of Vi in N , while Wi are the newly added parents in N ′ which were not parents in N .
Ui は N の Vi の親であり、Wi は N の親ではない N' の親である。
0.58
Proposition 4. For any BN N , subset of the variables W , ordering σ, and context function [Wang et al , 2021] CW whose edges respect σ, there exists a structurally enriched CrBN CN [C] such that
第4話。 任意のBN N , 変数 W の部分集合, σ の順序付け, 文脈関数 [Wang et al , 2021] CW に対して、辺が σ を尊重するような構造的にリッチな CrBN CN [C] が存在する。
0.65
I′ N [W , CW ] = CN [C].
i′ n [w , cw ] = cn [c] である。
0.74
Proof. We construct CN ′[C′] from N and W as in the proof of Proposition 3.
証明。 命題3の証明のように、N と W から CN ′[C′] を構築する。
0.65
We then construct the structural enrichment CN [C] of CN ′ [C′], where we add all edges given by the context function CW (guaranteed to be possible since the context function is compatible with σ).
For Vi ∈ W , after observing any value for the newly added parents, the credal sets for any value of the remaining parents must be maximal (allow any probability distribution) by construction, and so the credal sets must be maximal for all values of all parents.
Vi ∈ W の場合、新しく加わった親に対する任意の値を観察した後、残りの親の任意の値に対するクレダル集合は構成によって最大(任意の確率分布を許容)でなければならない。
0.66
For Vi /∈ W , after observing any value for the newly added parents the value must be a singleton for all values of the old parents by construction, so it must be a singleton for all values of all parents.
to our knowledge no existing credal Since there is than the ones sets over in [Wang et al , 2021], where our generalized algorithm exactly matches as expected), we create credal sets by allowing perturbations of ǫ = 0.1 The results are averaged over to all parameters.
我々の知識に拠れば、既存のクレダルは存在せず、[Wang et al , 2021] に設定されているもの以上のものが存在するので、一般化されたアルゴリズムは正確には期待どおりに一致している)。 訳抜け防止モード: 我々の知る限りでは、現存の決壊は起こらない。 2021年、我々の一般化されたアルゴリズムは、正確には予想どおりに一致します)。 潮の集合を創りだします この結果は、すべてのパラメータに対して平均化されます。
0.61
100 randomized queries; list can be found at https://github.com/H jalmarWijk/credal-bo und