翻訳結果: An MMSE Lower Bound via Poincar\'e Inequality

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
2 2 0 2 y a M 2 1	2 2 0 2 y a m 2 1 である。	0.52
] T I . s c [ 1 v 8 4 8 5 0	T-I。 sc [ 1 v 8 4 8 5 0	0.44
. 5 0 2 2 : v i X r a	. 5 0 2 2 : v i X r a	0.42
An MMSE Lower Bound via Poincar´e Inequality	ポアンカー不等式によるMMSE下層境界	0.66
† New Jersey Institute of Technology, Newark, NJ 07102, USA, Email: {ihz3,alex.dytso}@njit.edu	ニュージャージー工科大学, Newark, NJ 07102, USA, Email: {ihz3, Alex.dytso}@njit.edu	0.77
⋆ University of Minnesota, Minneapolis, MN 55404, USA, Email: mcardone@umn.edu	ミネソタ大学ミネアポリス校, MN 55404, USA, Email: mcardone@umn.edu	0.72
Ian Zieder†, Alex Dytso†, Martina Cardone⋆	イアン・ジーデル、アレックス・ディッツォ、マルティナ・カルドーネ	0.33
Abstract—This paper studies the minimum mean squared error (MMSE) of estimating X ∈ Rd from the noisy observation Y ∈ Rk, under the assumption that the noise (i.e., Y\|X) is a member of the exponential family.	抽象 — 本論文は、雑音(すなわち Y\|X)が指数族のメンバーであるという仮定の下で、雑音観測 Y ∈ Rk から X ∈ Rd を推定する最小平均二乗誤差(MMSE)を研究する。	0.82
The paper provides a new lower bound on the MMSE.	論文はMMSEの新たな下限を提供する。	0.62
Towards this end, an alternative representation of the MMSE is ﬁrst presented, which is argued to be useful in deriving closed-form expressions for the MMSE.	この目的のために、MMSEの代替表現が最初に提示され、MMSEの閉形式式を導出するのに有用であると考えられている。	0.65
This new representation is then used together with the Poincar´e inequality to provide a new lower bound on the MMSE.	この新しい表現はポアンカルの不等式と共にmmseに新しい下界を与えるために使われる。	0.62
Unlike, for example, the Cram´er-Rao bound, the new bound holds for all possible distributions on the input X. Moreover, the lower bound is shown to be tight in the high-noise regime for the Gaussian noise setting under the assumption that X is subGaussian.	例えば、クレーア・ラオ境界とは異なり、入力 x 上の任意の可能な分布に対する新しいバウンドは、x が準ガウジアンであると仮定したガウス雑音設定の高雑音環境において、下限が密であることを示している。	0.68
Finally, several numerical examples are shown which demonstrate that the bound performs well in all noise regimes.	最後に、バウンドがすべてのノイズレジームでうまく機能することを示すいくつかの数値例を示す。	0.68
I. INTRODUCTION	I. イントロダクション	0.64
The minimum mean squared error (MMSE) is an essential and ubiquitous ﬁdelity criterion in statistical signal processing.	最小平均二乗誤差(MMSE)は統計信号処理において必須かつユビキタスな忠実度基準である。	0.78
However, the MMSE is often difﬁcult to compute in closedform, and we often need to rely on bounds.	しかし、mmse は閉形式で計算することがしばしば困難であり、しばしば境界に依存する必要がある。	0.74
In terms of bounds, the attention typically falls on lower bounds as deriving a tight lower bound can often be a difﬁcult task.	境界の観点では、通常は下限に注意が向けられるが、下限の厳密な導出は難しい作業であることが多い。	0.67
In this work, we derive a novel lower bound on the MMSE	本研究では,MMSEに基づく新しい下界を導出する。	0.64
inequality, which establishes the following variational representation of the MMSE,	以下に示すMMSEの変動表現を確立する不等式	0.59
mmse(X\|Y) = sup	mmse(X\|Y) = sup	0.46
ψ∈C kE[ψ(X, Y)XT]k E[kψ(X, Y)k2]	ψψc kE[t(X, Y)XT]kE[t](X, Y)k2]	0.29
, where C = {ψ :X × Y → X : E[ψ(X, Y)\|Y = y] = 0, y ∈ Y,	, どこに C = {n :X × Y → X : E[n(X, Y)\|Y = y] = 0, y ∈ Y,	0.51
E[kψ(X, Y)k2] < ∞}.	E[k](X, Y)k2] < ∞} である。	0.91
The aforementioned lower bounds are then attained by a clever choice of the function ψ that results in a computationally feasible bound.	上記の下界は関数 ψ の巧妙な選択によって達成され、計算可能な境界となる。	0.60
One of the drawbacks of this family of bounds is that choosing the right ψ can be challenging.	この境界の族における欠点の1つは、正しい ψ を選択することが難しいことである。	0.60
In particular, to the best of our knowledge, all of the existing bounds require that the random vector X has a pdf; as such, these bounds do not, for example, hold for discrete or mixed random vectors.	特に、我々の知る限りでは、既存のすべての境界は確率ベクトル X が pdf を持つことを要求する。訳抜け防止モード: 特に、我々の知る限りでは、既存のすべての境界は、ランダムベクトル X が pdf を持つ必要がある。したがって、これらの境界は、例えば、離散または混合ランダムベクトルを保たない。	0.69
The second family of lower bounds is known as Ziv-Zakai and it was originally proposed in [6] and later improved in [7], [8], [9].	下界の第二系はziv-zakaiと呼ばれ、元々は[6]で提案され、後に[7], [8], [9]で改良された。訳抜け防止モード: 下界第二系はZiv-ざかいとして知られる。最初は [6 ] で提案され、その後 [7 ] で改善されました。 [ 8 ] , [ 9 ] .	0.69
Ziv-Zakai bounds rely on connecting estimation to binary hypothesis testing.	ziv-zakai境界は、推定とバイナリ仮説テストの結合に依存している。	0.45
A simple form of the Ziv-Zakai bound can be stated as follows,	Ziv-Zakai 境界の単純形式を次のように述べることができる。	0.67
of estimating X ∈ Rd from the noisy observation Y ∈ Rk.	雑音観測 Y ∈ Rk から X ∈ Rd を推定する。	0.74
Towards this end, we present and study an alternative representation of the MMSE mmse(X\|Y).	この目的に向けて、MMSE mmse(X\|Y)の代替表現を提示し、研究する。	0.73
This new representation provides a new line of attack for direct computation of the MMSE and, together with the Poincar´e inequality, allows us to derive a new lower bound on the MMSE.	この新たな表現は、MMSEの直接計算のための新たな攻撃ラインを提供し、ポアンカーの不等式とともに、MMSEの新たな下限を導出する。	0.70
The focus is on the exponential family, which is described next.	次に説明する指数族に焦点が当てられている。	0.59
The class of	class (複数形 classs)	0.44
probability models P = (cid:8)PY\|X=x, x ∈ X ⊆ Rd(cid:9) supported on y ∈ Y ⊆ Rk is an exponential family if the probability	確率モデル P = (cid:8)PY\|X=x, x ∈ X > Rd(cid:9) が y ∈ Y > Rk 上で成り立つ確率モデルは、確率が指数群であれば指数族である。訳抜け防止モード: 確率モデル P = ( cid:8)PY\|X = x, x ∈ X > Rd(cid:9 ) Rk が指数族である確率	0.73
density function (pdf) of it can be written as	その密度関数(pdf)は、書くことができる	0.84
fY\|X(y\|x) = h	fY\|X(y\|x) = h	0.37
(y)ehx,T (y)i−φ	(y)ehx,T (y)i−φ	0.42
(x), (1) where T : Y → Rd is the sufﬁcient statistic function; φ : X → R is the log-partition function; h : Y → [0,∞) is the base measure; and h·,·i denotes the inner product.	(x) (1) ここで t : y → rd は十分統計関数、 φ : x → r は対数分解関数、h : y → [0,∞) は基底測度、h·,·i は内積を表す。訳抜け防止モード: (x) (1) ここで t : y → rd は十分統計関数である ; φ : x → r は log - partition function ; h : y → [ 0,∞ ) は基底測度 ; そして h·,·i は内積を表す。	0.49
A. Related Work The ﬁrst	A.関連業務第一に	0.73
Generally, there are three approaches for ﬁnding lower bounds on the MMSE, which result in three different families.	一般的には mmse上の下限を見つけるには3つのアプローチがあり、3つの異なる家族を成す。	0.63
family is known as Weiss–Weinstein family [1], and it includes important bounds such as the Bayesian Cram´er-Rao bound [2] (also known as the Van Trees bound), the Bobrovsky–Zakai bound [3], the Barankin bound [4], and the Bobrovsky-Mayer-Wolf -Zakai bound [5].	家族はワイス=ワインシュタイン家 [1] として知られ、ベイジアン・クラム ́er-Rao 境界 [2] やボボフスキー-ザカイ境界 [3] 、バランキン境界 [4] 、ボボフスキー-メイヤー-ウルフ-ザカイ境界 [5] などの重要な境界を含む。訳抜け防止モード: 家族はヴァイス (Wess) - ワインスタイン家 (Weinstein family) [1 ]. また、ベイズクラム ́er - ラオ境界 (Van Trees bound) としても知られる) のような重要な境界を含む。ボボフスキー-ザカイ境界 [3 ], バランキン境界 [4 ] そしてBobrovsky - Mayer - Wolf - Zakaibound [5 ]	0.66
The Weiss–Weinstein family relies on the Cauchy-Schwarz	ヴァイス=ワインシュタイン家はコーシー=シュワルツに依存している	0.27
mmse(X\|Y) 2Z ∞ 0 Z ∞ ≥	mmse(X\|Y) 2Z ∞ 0 Z ∞ ≥	0.46
1 −∞ (fX (x) + fX (x + h)) Pe(x, x + h)hdxdh,	1 −∞ (fX (x) + fX (x + h)) Pe(x, x + h)hdxdh,	0.41
where Pe(x, x + h) is the optimal probability of error for the following binary hypothesis problem,	ここで Pe(x, x + h) は次の二項仮説問題に対する誤差の最適確率である。	0.85
where H0 :Y ∼ PY\|X (y\|x), H1 :Y ∼ PY\|X (y\|x + h),	どこに h0 :y はpy\|x(y\|x)、h1 :y はpy\|x(y\|x + h)である。	0.60
Pr(H0) = fX(x)	Pr(H0) = fX(x)	0.67
fX (x) + fX (x + h)	fX (x) + fX (x + h)	0.42
, Pr(H1) = 1 − Pr(H0),	, Pr(H1) = 1 − Pr(H0)	0.44
with fX being the pdf of X. While this family of lower bounds is typically very tight, it suffers from several drawbacks.	fx は x の pdf である。この下限の族は一般に非常に密接であるが、いくつかの欠点がある。	0.73
First, it can be difﬁcult to compute in closed-form.	まず、クローズドフォームで計算するのは困難である。	0.68
Second, while there are vector generalizations of this bound [10], typically, these generalizations contain another layer of optimization, which can make the computation difﬁcult.	第二に、この束縛 [10] のベクトル一般化はあるが、これらの一般化は別の最適化層を含んでいるため、計算が困難になる。	0.66
Third, these bounds assume that X has a density and cannot be used to study the MMSE of discrete or mixed random variables.	第三に、これらの境界は x が密度を持ち、離散確率変数や混合確率変数の mmse を研究できないと仮定する。	0.76
The third family of lower bounds uses a variational approach and it works by minimizing the MSE subject to a constraint on a suitably chosen divergence measure, for example, the	下限の第3族は変分的アプローチを用いており、例えば、適切に選択された発散測度の制約を受けるmseを最小化することで機能する。	0.80

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
Kullback–Leibler (KL) divergence [11].	Kullback-Leibler (KL) divergence [11]	0.41
Similar to the previous bounds, also this family only holds if X has a density and hence, it is not suitable for studying the MMSE of discrete or mixed random variables.	以前の境界と同様に、この族は X が密度を持つ場合にのみ成り立つので、離散確率変数や混合確率変数の MMSE の研究には適さない。	0.71
The key ingredient in the proof of our new lower bound on the MMSE is the Poincar´e inequality [12].	MMSE 上の新しい下限の証明の鍵となる要素は Poincar ́e inequality [12] である。	0.70
The Poincar´e inequality has found a number of applications in information theory and signal processing and the interested reader is referred to [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] and references therein.	poincar ′eの不等式は情報理論と信号処理に多くの応用があり、興味のある読者を [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] と呼び、それを参照する。	0.67
Recently, the authors of [21] developed bounds on the MMSE using the log-Sobolev inequality, which has deep connections with the Poincar´e inequality.	近年,[21] の著者らは,ポアンカーの不等式と深い関係を持つlog-Sobolev不等式を用いて,MMSE 上の有界性を開発した。	0.61
B. Contributions and Outline The contributions and the outline of the paper are as follows.	b. 貢献と概要論文の貢献と概要は以下のとおりである。	0.68
The rest of this section presents relevant notation.	本項の残りは関連する表記である。	0.66
Section II presents the new lower bound on the MMSE, and it shows its tightness in the high-noise regime for the Gaussian noise setting under the assumption that X is sub-Gaussian.	第2節は、MMSE上の新しい下界を示し、X が準ガウス的な仮定の下で、ガウス雑音設定の高雑音状態においてその厳密さを示す。	0.65
Section II also provides several numerical examples that suggest that the new lower bound is indeed tight in all noise regimes.	第2節は、新しい下界がすべてのノイズレシエーションにおいて確かにきついことを示唆するいくつかの数値的な例も提供している。	0.57
Finally, Section III is dedicated to showing the proof of a new representation of the MMSE, that was used in the proof of the lower bound.	最後に、第III節は、下界の証明に使われたMMSEの新しい表現の証明を示すことに特化している。	0.63
Section III also argues about the computation advantages of this new representation via an example.	第3節は、この新しい表現の計算上の利点を例を通して論じている。	0.59
C. Notation Deterministic scalar quantities are denoted by lowercase letters, scalar random variables are denoted by uppercase letters, vectors are denoted by bold lowercase letters, random vectors by bold uppercase letters, and matrices by bold uppercase sans serif letters.	C.表記決定論的スカラー量は小文字で表され、スカラーランダム変数は小文字で表され、ベクトルは大文字で表され、小文字で表され、乱ベクトルは小文字で表され、大文字で表される。	0.70
The smallest eigenvalue of a matrix A is denoted by λmin(A) and the smallest singular value is denoted by σmin(A); Tr(A) is the trace of A; the left inverse of A with full column rank is deﬁned and denoted by A+ = (ATA)−1AT.	行列 A の最小固有値は λmin(A) で表され、最小特異値は σmin(A) で表される; Tr(A) は A のトレースであり、全列ランクの A の左逆数は A+ = (ATA)−1AT で表される。	0.80
Ik is the identity matrix of dimension k, and 0k is the column vector of dimension k of all zeros.	Ik は次元 k の恒等行列であり、0k はすべての零点の次元 k の列ベクトルである。	0.83
The gradient of a function f : Rn → R is denoted by ∇xf (x) =h ∂f (x)	函数 f : Rn → R の勾配は、xf (x) =h ∂f (x) で表される。	0.90
∂xn iT The Jacobian matrix of a function f : Rn → Rm is denoted by Jxf (x) ∈ Rn×m and deﬁned as Jxf (x) =(cid:2)∇xf1(x) ∇xf2(x) The log function is the natural logarithm; h·,·i denotes the inner product; for a function g, we let L{g}(·) denote the Laplace transform of g.	∂xn である。函数 f : Rn → Rm のジャコビアン行列は Jxf (x) ∈ Rn×m で表され、Jxf (x) = (cid:2) ^xf1(x) ^xf2(x) と定義される: ログ函数は自然対数である; h·,·i は内積を表し、函数 g に対して L{g}(·) は g のラプラス変換を表す。	0.65
. . . ∇xfm(x)(cid:3) .	. . . は (x)(cid:3)。	0.55
∈ Rn. ∂f (x)	∈ rn である。 ∂f(x)	0.54
∂f (x) . . .	∂f(x) . . .	0.46
∂x1 ∂x2 (2)	∂x1 ∂x2 (2)	0.34
(3) II. A NEW LOWER BOUND ON THE MMSE	(3) II。マンスに作用する新しい低層地盤	0.54
In this section, we derive a novel lower bound on the MMSE.	本項では,MMSEに基づく新しい下限を導出する。	0.54
Towards this end, we ﬁrst show a new representation of the MMSE, the base of which is the following identity,	この目的に向けて、まず最初にMMSEの新たな表現を示し、その基礎は次のアイデンティティである。	0.70
JyT(y)E[X\|Y = y] = ∇y log	JyT(y)E[X\|Y = y] = y log	0.47
fY(y) h(y)	fY(y) h(y)	0.42
, y ∈ Y,	, y ∈ y である。	0.74
(4) where it is assumed that PY\|X belongs to the exponential family in (1) with sufﬁcient statistics T and base measure h.	(4) ここで PY\|X は (1) において十分統計量 T と基底測度 h を持つ指数族に属すると仮定される。	0.60
The identity in (4) is well-known in both statistic and information theory and it often goes under the name of Tweedie’s formula [22], [23].	(4) の同一性は統計学と情報理論の両方でよく知られており、しばしば tweedie's formula [22], [23] の名で表される。	0.83
The identity in (4) can be restated using the information density, which for the distribution PX,Y supported on X × Y is deﬁned as	X × Y でサポートされた分布 PX,Y については、情報密度を用いて (4) のアイデンティティを再定義することができる。	0.89
ιPX,Y (x; y) = log	ιPX,Y (x; y) = log	0.46
(x, y), x ∈ X , y ∈ Y,	(x, y), x ∈ X , y ∈ Y,	0.40
(5) dPX,Y d(PX · PY)	(5) dPX,Y d(PX · PY)	0.43
dPX,Y d(PX·PY) (x, y) =	dPX,Y d(PX·PY) (x, y) =	0.49
(x, y) is the Radonwhere Nikodym derivative.	(x, y) は Nikodym 誘導体である。	0.69
Note that if PY\|X=x is not absolutely continuous with respect to PY we let ιPX,Y (x; y) = ∞.	PY\|X=x が PY に対して絶対連続でないなら、ιPX,Y (x; y) = ∞ とする。	0.87
In order to derive our new lower bound on the MMSE, we will leverage the alternative expression for the MMSE given in the next theorem, the proof of which is provided in Section III.	MMSEの新たな下限を導出するために、次の定理で与えられるMMSEの代替式を利用して、その証明を第三節で提供する。	0.55
dPY dPY\|X=x	dPY dPY\|X=x	0.31
Theorem 1. Assume that PY\|X has a pdf of the form in (1) and that JYT(Y) has full column rank a.s. Y. Then,	理論1。 PY\|X が (1) の形の pdf を持ち、JYT(Y) が完全列ランク a.s.Y を持つと仮定する。	0.72
mmse(X\|Y) = Eh\|\|(JYT(Y))+∇YιPXY (X; Y)\|\|2i .	mmse(x\|y) = eh\|\|(jyt(y))+\yιpxy (x; y)\|\|2i である。	0.58
The representation in Theorem 1 was already derived for the Gaussian noise case in [24].	Theorem 1 の表現は[24] のガウス雑音の場合すでに導出されている。	0.74
There exists another alternative representation of the MMSE for the exponential family and the interested reader is referred to [25].	指数族に対するMMSEの別の表現が存在し、興味のある読者は[25]を参照する。訳抜け防止モード: 指数族に対するMMSEの別の代替表現が存在する興味のある読者は[25]と呼ばれます	0.70
We also note that the classical representation of the MMSE requires the knowledge of the conditional probability PX\|Y in order to compute E[X\|Y].	また、MMSEの古典的な表現は、E[X\|Y]を計算するために条件付き確率 PX\|Y の知識を必要とすることに留意する。	0.67
Theorem 1, unlike the classical representation, requires only the knowledge of fY\|X (which is known) and of the marginal pdf fY.	古典的表現とは異なり、定理 1 は fY\|X (既知の) の知識と限界 pdf fY の知識のみを必要とする。	0.77
Thus, such an alternative representation is potentially easier to handle; in Section III, we will show an example of how such an alternative representation can lead to closed-form expressions for the MMSE.	したがって、そのような代替表現は扱いやすい可能性があり、第3節では、そのような代替表現がMMSEの閉形式表現にどのように結びつくかを示す。	0.66
The remaining of this section is dedicated to the derivation of a novel lower bound on the MMSE and its analysis.	本節の残りは、MMSEに基づく新規な下界の導出とその解析に充てられている。	0.62
In particular, the main tool for obtaining our bound is the Poincar´e inequality, which is formally discussed next.	特に、我々の境界を得る主なツールはポアンカルの不等式であり、これは次に正式に議論される。	0.58
A. Poincar´e Inequality Consider a class of functions A. We say that a probability distribution PU satisﬁes a Poincar´e inequality with respect to A with a constant κ ≥ 0 if [12]	ポアンカルの不等式確率分布 pu が、定数 κ ≥ 0 の a に対して poincar ′e の不等式を満たすことを [12] とする。	0.54
Var(f (U)) ≤	Var(f (U)) ≤	0.43
1 κ E(cid:2)\|\|∇f (U)\|\|2(cid:3) , ∀f ∈ A.	1 κ E(cid:2)\|\|\f (U)\|\|2(cid:3) , sf ∈ A である。	0.58
(6) If κ = 0, we treat the right-hand side of (6) as inﬁnity.	(6) κ = 0 であれば、(6) の右辺を無限大として扱う。	0.60
We are here interested in the conditional version of the Poincar´e inequality, i.e., for a class of functions A we say that a conditional probability PY\|X=x (for a ﬁxed x ∈ X ) satisﬁes a Poincar´e inequality in (6) with respect to A with a constant κ(x) ≥ 0 if E(cid:2)\|\|∇f (Y)\|\|2\|X = x(cid:3) , ∀f ∈ A. Var(f (Y)\|X = x) ≤ Since x ∈ X can be treated as a parameter of the distribution, the conditional and unconditional versions hold under the same conditions.	ここではポアンカーの不等式、すなわち函数のクラス A に対して条件確率 PY\|X=x (固定 x ∈ X ) が定数 κ(x) ≥ 0 if E(cid:2)\|\|\f(Y)\|\|2\|X = x(cid:3) , shf ∈ A. Var(f(Y)\|X = x) ≤ x ∈ X は分布のパラメータとして扱うことができるので、条件確率 PY\|X=x (固定 x ∈ X ) は A に対して定数 κ(x) ≥ 0 を満たす。	0.76
There exist several sufﬁcient conditions on A and	a にはいくつかの十分な条件が存在する	0.64
κ(x) 1	κ(x) 1	0.43

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
PY\|X, which guarantee that a Poincar´e inequality holds, and which identify the constant κ(x).	PY\|X はポアンカーの不等式が成り立つことを保証し、定数 κ(x) を識別する。	0.71
We next list a few of these.	次にそのいくつかを挙げる。	0.54
• Convex Poincar´e [26].	・Convex Poincar ́e [26]	0.38
Let PY\|X be a product distribution and A be a set of functions such that f ∈ A is f : [0, 1]k → R, separately convex and the partial derivatives of which exist.	PY\|X を積分布とし、A を f ∈ A が f : [0, 1]k → R となるような函数の集合とする。訳抜け防止モード: py\|x を積分布とし、a を f ∈ a が f : [ 0, となるような函数の集合とする。 1]k → r, 別個の凸と部分微分が存在する。	0.78
Then, κC(x) = 1.	すると κC(x) = 1 となる。	0.81
• Bakry- ´Emery condition [27]: Let A be a class of contin-	• Bakry- ́Emery condition [27]: A をContin のクラスとする	0.77
uously differentiable functions.	明確に区別できる機能です	0.51
Then, κBE(x)	そしたら κBE(x)	0.55
= max(cid:26)κ :∇2	= max(cid:26)κ :=2	0.43
y log(cid:18)	y log(cid:18)	0.44
1 fY\|X(y\|x)(cid:19)(cid:23) κIk,∀y∈Y(cid:27) .	1 fy\|x(y\|x)(cid:19)(cid:23) κik(cid:27) である。	0.51
(7) If the set in (7) is empty, then we set κBE(x)	(7) 7) の集合が空であれば、κBE(x) をセットする。	0.59
= 0. We note that the Bakry- ´Emery condition in (7) simply requires that the distribution is strongly log-concave.	0 のとき、(7) のバクリー・エメリー条件は、分布が強い対数圏であることを要求することに注意する。訳抜け防止モード: 0 である。 7 ) における bakry-' emery 条件は、単に分布が強い対数である必要がある。	0.68
As an example, the Bakry- ´Emery constant for the exponential family is given by the next proposition.	例えば、指数関数族に対するbakry-'emery定数は次の命題によって与えられる。	0.57
Proposition 1. Assume that PY\|X has a pdf of the form in (1).	提案 1. PY\|X が (1) の形の pdf を持つと仮定する。	0.54
Then, for x ∈ X , we have κBE(x) = max{0, ˜κBE(x)} , y log(cid:18) 1 λmin(cid:18)∇2 ˜κBE(x) = min y∈Y	すると、x ∈ x に対して、κbe(x) = max{0, \κbe(x)} と y log(cid:18) 1 λmin(cid:18) が成立する。	0.83
yhx, T(y)i(cid:19) ,	yhx, T(y)i(cid:19) ,	0.50
h(y)(cid:19)−∇2	h(y)(cid:19)−2	0.43
y denotes the Hessian.	yはヘシアンを表す。	0.65
Proof: We have where ∇2 y log(cid:18) ∇2 = −∇2 (cid:23) λmin(cid:18)∇2	証明: 2 y log(cid:18) が −2 (cid:23) λmin(cid:18) である場合	0.31
fY\|X(y\|x)(cid:19) y(cid:0)log (h(y)) − ∇2 y log(cid:18) 1	fY\|X(y\|x)(cid:19) y(cid:0)log (h(y)) − y log(cid:18) 1	0.43
1 y(hx, T	1 y(hx, T)	0.45
(y)i) − φ (x)(cid:1) yhx, T	(y)i) − φ (x)(cid:1)yhx,T	0.45
(y)i(cid:19) Ik,	(y)i(cid:19)Ik,	0.48
h(y)(cid:19) − ∇2	h(y)(cid:19) − は 2 である。	0.64
which concludes the proof of Proposition 1.	これは命題1の証明を結論付ける。	0.54
• Laplace distribution [28]: Let PY \|X=x have a Laplace pdf (i.e., fY \|X (y\|x) = 1 2 e−\|y−x\|) and A be a set of all functions f : R → R that are continuously differentiable and limx±∞ e−\|x\|f (x) = 0.	• laplace distribution [28]: py \|x=x をラプラス pdf(すなわち fy \|x (y\|x) = 1 2 e−\|y−x\|) とし、連続微分可能かつ limx±∞ e−\|x\|f (x) = 0 であるすべての函数 f : r → r の集合とする。	0.82
Then, κLap(x) = 1 4 .	そして κLap(x) = 1 4 となる。	0.89
B. A New Lower Bound on the MMSE	B.MMSEにおける新しい下界	0.63
We here leverage the result in Theorem 1 to derive a new lower bound on the MMSE for the exponential family (i.e., we assume that PY\|X has a pdf of the form in (1)).	ここでは、定理 1 の結果を利用して指数族に対する MMSE 上の新しい下界を導出する(つまり、PY\|X は形式 (1) の pdf を持つと仮定する)。	0.76
Our new lower bound on the MMSE is given by the next theorem.	MMSEの新たな下界は次の定理によって与えられる。	0.67
Theorem 2. Assume that the following three conditions hold: 1) For all x ∈ X the distribution PY\|X=x has a pdf of the form in (1) and it satisﬁes a Poincar´e inequality with respect to (A, κ	定理2。 1) すべての x ∈ x に対して、分布 py\|x=x は (1) の形式の pdf を持ち、(a, κ) に関して poincar ′e の不等式を満たすと仮定する。	0.70
(x)); 2) y 7→ ιPXY (x;	(x)); 2) y 7→ ιPXY (x;	0.43
y) ∈ A for every x such that κ	y) κ が成り立つすべての x に対する ∈ a	0.92
(x) > 0; 3) There exists a ρ ≥ 0 such that for all y ∈ Y, σmin(cid:16)(JyT	(x) > 0; 3) すべての y ∈ Y, σmin(cid:16)(JyT) に対して ρ ≥ 0 が存在する。	0.94
(y))+(cid:17) ≥ ρ.	(y)+(cid:17) ≥ ρ である。	0.85
mmse(X\|Y) ≥ ρ2E [κ(X)Var(ιPXY (X; Y)\|X)] .	mmse(x\|y) ≥ ρ2e [κ(x)var(ιpxy (x; y)\|x)] である。	0.69
Then, Proof: We have mmse(X\|Y) = E(cid:2)\|\|X − E[X\|Y]\|\|2(cid:3)	そしたら証明: mmse(X\|Y) = E(cid:2)\|X − E[X\|Y]\|\|2(cid:3)	0.43
(a) (b) = Eh\|\|(JYT(Y))+∇YιPXY (X; Y)]\|\|2i ≥ ρ2E(cid:2)k∇YιPXY (X; Y)]k2(cid:3) = ρ2E(cid:2)E(cid:2)\|\|∇YιPXY (X; Y)\|\|2\|X(cid:3)(cid:3) ≥ ρ2E [κ(X)Var(ιPXY (X; Y)\|X)] ,	(a) (b) ρ2E(cid:3) = ρ2E(cid:2)E(cid:2)E(c id:2)\|\|\|2\|X(cid:3)(cid:3) ≥ ρ2E[κ(X)Var(ιPXY(X; Y)\|X)]	0.40
(c) where the labeled (in)equalities follow from:	(c) ラベル付き(in)等式が下記のとおりである場合	0.54
(a) applying Theorem 1;	(a) Theorem 1 の適用	0.78
(b) using condition 3) in Theorem 2 and the inequality kAxk ≥ σmin(A)kxk; and	(b)定理2における条件3と不等式kaxk ≥ σmin(a)kxk	0.72
(c) using a Poincar´e inequality and conditions	(c)ポアンカーの不平等と条件の使用	0.73
1) and 2) in Theorem 2.	1)と 2) 定理2。	0.67
This concludes the proof of Theorem 2.	これは定理2の証明を結論付ける。	0.73
Remark 1. Theorem 2 holds provided that three conditions are satisﬁed.	備考1。定理2では、3つの条件が満たされる。	0.57
Conditions 1) and 2) are required for the application of a Poincar´e inequality in the proof of the bound.	条件 1)と 2) 境界の証明において poincar ′e の不等式の適用は必須である。	0.75
Speciﬁcally, in Section II-A, we have listed a number of sufﬁcient conditions for	具体的には、第ii-a節において、我々は多くの十分な条件を列挙した。	0.48
1) to hold. Condition 2) requires that the information density y 7→ ιPXY (x; y) belongs to some regular enough family of functions A. Interestingly, such conditions are not difﬁcult to ﬁnd.	1) 保持。条件 2) 情報密度 y 7 → ιPXY (x; y) は、ある正規関数の族 A に属することを要求する。訳抜け防止モード: 1) 保持。条件 2 ) は情報密度 y 7 → ιPXY ( x ; y ) が任意の正規関数族 A に属することを要求する。このような条件は見つけるのが難しくありません	0.60
Moreover, often these conditions only depend on PY\|X and are independent of PX.	さらに、これらの条件はしばしば PY\|X にのみ依存し、PX とは独立である。	0.68
For example, the information density for the exponential family in (1) is known to be inﬁnitely differentiable for all distributions on PX [25].	例えば、(1) の指数族に対する情報密度は、PX[25] 上のすべての分布に対して無限に微分可能であることが知られている。	0.70
Finally, condition 3) imposes a requirement on the sufﬁcient statistics T(y).	最後に、条件 3 は十分な統計量 T(y) に要件を課す。	0.81
This condition, for example, holds when T(y) is a linear function (e g , Gaussian, Wishart).	この条件は、例えば、T(y) が線型函数(例えば、ガウス、ウィッシュアート)であるときに成立する。	0.74
C. Tightness in the High-Noise Regime	c. 高音域におけるタイトネス	0.54
We here show an example of PY\|X for which our lower bound in Theorem 2 is tight in the high-noise regime.	ここでは、定理 2 における下限が高雑音状態においてタイトであるような py\|x の例を示す。	0.54
Towards this end, we consider a scenario where	この目的に向けて、我々はシナリオを考える。	0.66
Y = X + N,	y = x + n である。	0.71
where X and N are independent and N ∼ N (0k, σ2	X と N は独立であり、N は N (0k, σ2) である。	0.73
this case, the lower bound in Theorem 2 reduces to	この場合、Theorem 2の下位境界は減少する	0.74
N (8) Ik).	N (8) IK)。	0.52
In mmse(X\|Y) ≥ σ2	院 mmse(X\|Y) ≥ σ2	0.42
N E [Var(ι(X; Y)\|X)] .	N e [var(ι(x; y)\|x)] である。	0.56
(9) It is noted that (9) is a new representation of the MMSE.	(9) 9)はMMSEの新しい表現である。	0.44
Conditions 1)-3) are veriﬁed as follows.	条件 1)-3)は以下のとおりである。	0.82
First, we note that for the model in (8), we have that T(y) = y/σ2 N , which implies ρ = σ2 N in condition 3).	まず、(8) のモデルに対して、t(y) = y/σ2 n であり、これは条件 3) において ρ = σ2 n を意味する。	0.77
To verify conditions 1) and 2), we use the Bakry- ´Emery condition presented in Section II-A, which ﬁrst requires that y 7→ ιPXY (x; y) is continuously differentiable for every x, which is a well-known fact, see for example	条件 1) と 2) を検証するために、第2-A節で示されるBakry- ́Emery条件を使い、まずは y 7 → ιPXY (x; y) がすべての x に対して連続的に微分可能であることを要求する。	0.75
[24]. Second, since h	[24]. 第二にhは	0.54
(y) = N , we can ﬁnd the Bakry- ´Emery constant by applying Proposition 1, namely κ	(y) = N , Bakry- ́Emery 定数は、命題 1、すなわち κ を適用することによって見つけることができる。	0.67
(x) = κBE (x) = 1/σ2 N .	(x) =κBE (x) = 1/σ2 n である。	0.56
The quantity E [Var(ι(X; Y)\|X)] has appeared in the past in [29], where it was termed as conditional information variance.	e [var(ι(x; y)\|x)] は [29] において以前に現れており、条件付き情報分散 (conditional information variance) と呼ばれた。	0.78
N )k/2 e 1 (2πσ2	N)k/2 e 1 (2πσ2	0.38
− kyk2 2σ2	-kyk2 2σ2	0.55

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
We now argue that the bound in (9) is tight in the highnoise regime.	現在、(9)のバウンドはハイノワーズ体制において厳密であると主張する。	0.68
To do this, we recall the following high-noise behavior of the MMSE in the Gaussian noise setting [30]	これを実現するために、ガウス雑音設定におけるMMSEの次の高雑音挙動を思い出す[30]。	0.74
We now leverage the following lemma, the proof of which is provided in Appendix A.	現在、以下の補題を利用しており、その証明は Appendix A で提供されている。	0.61
Lemma 1. Assume that X is sub-Gaussian.	レマ1号。 X がガウス以下であると仮定する。	0.50
Then, lim σN →∞	そしたらリム σn →∞ である。	0.48
mmse(X\|Y) = Var (X) .	mmse(X\|Y) = Var (X) である。	0.80
At this point, it is interesting to point out that for the Gaussian noise setting, the Cram´er-Rao bound is given by [2]	この点において、ガウスの雑音設定について、クラム ́er-Rao 境界は [2] によって与えられることを指摘することは興味深い。	0.56
mmse(X\|Y) ≥	mmse(X\|Y) ≥	0.44
k2σ2 N k + σ2	k2σ2 k + σ2 である。	0.43
N J(X) , where J(X) is the Fisher information of X. Hence, we obtain	n j(x) , ここで J(X) は X のフィッシャー情報である。	0.58
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
k2σ2 N k + σ2	k2σ2 k + σ2 である。	0.43
N J(X) = k2	n j(x) = k2	0.51
J(X) , which is equal to the variance if and only if X is isotropic Gaussian [24].	j(x) , X が等方ガウス[24] であるときと、その時とが同値である。	0.58
Thus, the Cram´er-Rao bound is only tight for the class of isotropic Gaussian inputs in the high-noise regime, and otherwise is sub-optimal.	したがって、Cram ́er-Rao 境界は高雑音状態における等方ガウス入力のクラスに対してのみ厳密であり、そうでなければ準最適である。	0.55
The next result shows that the lower bound in Theorem 2	次の結果は、定理 2 における下界が示される。	0.68
is tight for a large family of prior distributions on X.	x 上の事前分布の大きな族には厳密である。	0.67
Theorem 3. Assume that X is sub-Gaussian1.	理論3。 x が sub-gaussian1 であると仮定する。	0.56
Then, E [Var(ι(X; Y)\|X)] = Var (X) .	すると E [Var(ι(X; Y)\|X)] = Var (X) となる。	0.83
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σ2 N lim Proof.	σ2 N リム証明。	0.49
To simplify the proof, without loss of generality, we assume that E[X] = 0k.	証明を単純化するために、一般性を失うことなく、E[X] = 0k と仮定する。	0.69
In addition, since we are looking at σN → ∞, we assume that σN > 1 when we derive our inequalities.	さらに、σn → ∞ を見ているので、不等式を導出するときに σn > 1 と仮定する。	0.78
Now, let g(y) = (2πσ2 2 fY(y) and note that	さて、g(y) = (2πσ2 2 fY(y) とする。	0.79
k N ) Var(ι(X; Y)\|X = x) = Var(cid:18)−kY − Xk2 = Var(cid:18)kZk2	k n) である。 Var(ι(X; Y)\|X = x) = Var(cid:18)−kY − Xk2 = Var(cid:18)kZk2	0.58
− log fY(Y)(cid:12)(cid:12 )(cid:12)(cid:12) + log g(x + σN Z)(cid:19) .	log fY(Y)(cid:12)(cid:12 )(cid:12)(cid:12) + log g(x + σN Z)(cid:19)。	0.41
2σ2 N 2	2σ2n である。 2	0.40
X = x(cid:19)	X = x(cid:19)	0.46
(10) Next, observe that	(10) 次にご覧ください	0.55
g(x + σN z) = (2πσ2 = (2πσ2	g(x + σN z) = (2πσ2 = (2πσ2)	0.37
k Therefore, combining (10) and (11) we arrive at	k ですから (10) と (11) を組み合わせることで	0.80
. (11) T 2	. (11) T 2	0.43
k σN z 2 fY(x + σN z)	k σN z 2 fY(x + σN z)	0.59
N ) N ) − kx−Xk2+2(x−X)	N ) N ) − kx−Xk2+2(x−X)	0.35
2σ2 N ˜g(x+σN z)	2σ2n である。 g(x+σn z) である。	0.43
e− kzk2 = E"e \|	e−kzk2 e"e \| である。	0.47
2 E(cid:2)fY\|X (x + σN z\|X)(cid:3) {z E [Var(ι(X; Y)\|X)] EX(cid:20)VarZ(cid:1 8)kZk2 σ2 N EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) σNkZk2	2 E(cid:2)fY\|X (x + σN z\|X)(cid:3) {z E [Var(ι(X; Y)\|X)] EX(cid:20)VarZ(cid:1 8)kZk2 σ2 N EX(cid:20)VarZ(cid:1 8)σNkZk2	0.42
+ log g(X + σN Z)(cid:19)(cid:21) + σN log g(X + σN Z)(cid:19)(cid:21)	log g(X + σN Z)(cid:19)(cid:21) + σN log g(X + σN Z)(cid:19)(cid:21)	0.44
# } 2 2 EX [VarZ (σN log (˜g(X + σN Z)))] .	# } 2 2 ex [varz (σn log ( σg(x + σn z)))] ] である。	0.52
(12) lim σN →∞	(12) リム σn →∞ である。	0.41
σ2 N = lim σN →∞	σ2 N =リム σn →∞ である。	0.45
= lim σN →∞	=リム σn →∞ である。	0.46
= lim σN →∞	=リム σn →∞ である。	0.46
1A random variable X ∈ R is said to be sub-Gaussian with parameter σ0 if for every λ ∈ R we have that E (cid:2)eλ[X−E[X]](cid:3) ≤ eλ2σ0/2.	1A ランダム変数 X ∈ R がパラメータ σ0 を持つ部分ガウス多様体であるとは、すべての λ ∈ R に対して E (cid:2)eλ[X−E[X]](cid:3) ≤ eλ2σ0/2 となることを言う。	0.70
A random vector X ∈ Rk is said to be sub-Gaussian with parameter σ0 if uT (X − E[X]) is sub-Gaussian with parameter σ0 for any unit vector u.	ランダムベクトル x ∈ rk がパラメータ σ0 を持つ部分ガウジアン (sub-gaussian) であるとは、任意の単位ベクトル u に対して ut (x − e[x]) がパラメータ σ0 を持つ部分ガウジアンであるときに言う。	0.69
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
EX [VarZ (σN log (˜g(X + σN Z)))]	EX [VarZ (σN log ( )g(X + σN Z))]	0.42
= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	0.43
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σN log (˜g(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) .	σN log ( sg(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) である。	0.76
We now focus on studying	現在研究に力を入れています	0.45
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
σN log (˜g(x + σN z))	σN log ( sg(x + σN z))	0.49
= lim σN →∞	=リム σn →∞ である。	0.46
σN log E"e	σN log E"e	0.50
− kx−Xk2+2(x−X)	-kx−xk2+2(x−x)	0.51
T 2σ2 N	T 2σ2n である。	0.40
σN z # = −xTz + lim	σN z # = −xTz + lim	0.45
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σN log E"e	σN log E"e	0.50
− kx−Xk2−2X	−kx−Xk2−2X	0.38
T 2σ2 N	T 2σ2n である。	0.40
σN z # , and we derive matching lower and upper bounds.	σN z # , 上と下の境界が一致します	0.45
For the lower bound, we have that	下限について言えば、我々はそれを持っている。	0.46
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
σN log (˜g(x + σN z))	σN log ( sg(x + σN z))	0.49
(a) ≥ −xTz + lim	(a) ≥ −xTz + lim	0.46
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
(b) = −xTz + lim ≥ −xTz,	(b) = −xTz + lim ≥ −xTz,	0.45
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σN log e	σn log e である。	0.48
− E[kx−Xk2−2X	− E[kx−Xk2−2X	0.45
T σN z] 2σ2 N	T σN z] 2σ2n である。	0.42
σN log e	σn log e である。	0.48
− E[kx−Xk2]	− E[kx−Xk2]	0.40
2σ2 N (13)	2σ2n である。 (13)	0.40
where the inequality in (a) follows by Jensen’s inequality, and the equality in	不平等が (a) ジェンセンの不等式と等式によって従う	0.41
(b) is due to the assumption that E[X] = 0k.	(b) は E[X] = 0k という仮定による。	0.77
We now show a matching upper bound.	現在、一致する上限を示す。	0.54
We have that lim σN →∞	我々にはリム σn →∞ である。	0.50
σN log (˜g(x + σN z))	σN log ( sg(x + σN z))	0.49
(a) ≤ −xTz + lim	(a) ≤ −xTz + lim	0.46
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
= −xTz + lim t→0 d = −xTz + dt = −xTz + E[XTz] = −xTz,	= −xTz + lim t→0 d = −xTz + dt = −xTz + E[XTz] = −xTz,	0.46
(b) (c) T z	(b) (c) T z	0.43
σN (cid:21)	σN (cid:21)	0.37
X σN log E(cid:20)e log EhetXTzi log EhetXTzi(cid:12)(cid :12)(cid:12)t=0	X σN log E(cid:20)e log EhetXTzi log EhetXTzi(cid:12)(cid :12)(cid:12)t=0	0.41
t (14) − kx−Xk2	t (14) -kx−Xk2	0.46
where the labeled inequalities/equalit ies follow from:	ラベル付き不等式/等式が続くところ	0.49
(a) the N ≤ 1; (b) the deﬁnition of ﬁrst cumulant, bound e which is equal to the ﬁrst moment of XTz; and	(a) N ≤ 1 (b) xtz の最初のモーメントに等しい束縛された第一累積の定義、及び	0.48
(c) the assumption E[X] = 0k.	(c) 仮定 E[X] = 0k である。	0.88
Consequently, in view of (13) and (14), we obtain	したがって (13) と (14) の観点から見れば	0.69
2σ2 lim σN →∞	2σ2 リム σn →∞ である。	0.37
σN log (˜g(x + σN z)) = −xTz.	σN log ( sg(x + σN z)) = −xTz。	0.46
(15) Combining (12), Lemma 1 and (15), we arrive at	(15) 12)、Lemma 1、(15)を組み合わせると、私たちは到着します。	0.50
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
σ2 N E [Var(ι(X; Y)\|X)]	σ2 N E [Var(ι(X; Y)\|X)]	0.43
which concludes the proof of Theorem 3.	これは定理3の証明を結論付ける。	0.65
= EX(cid:2)VarZ(cid:0) −XTZ(cid:1)(cid:3) = E(cid:2)kXk2(cid:3) ,	= EX(cid:2)VarZ(cid:0) −XTZ(cid:1)(cid:3) = E(cid:2)kXk2(cid:3)	0.38

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
40 30 20 10	40 30 20 10	0.43
0 0 MMSE in (16)	0 0 MMSE in (16)	0.42
Cram´er-Rao LB in (17)	クラム'er-Rao LB (17)	0.73
MMSE LB in (9)	MMSE LB in (9)	0.43
20 40 60 80	20 40 60 80	0.43
100 σ2 N Fig. 1: X ∼ N (06, ΣX) where ΣX is given in (18).	100 σ2 N 図1は、 ΣX が 18 で与えられるような ΣX (06, ΣX) である。	0.55
D. Numerical Evaluations The result in Theorem 3 shows that our lower bound in Theorem 2 is tight in the high-noise regime for a large family of prior distributions on X. However, we suspect that such a tightness result holds more generally.	D.数値評価 Theorem 3 の結果は、我々の定理 2 の下位境界が X 上の先行分布の大きい族に対する高雑音状態にあることを示しているが、そのような厳密性の結果はより一般的に成り立つと推測する。	0.82
To support this fact, we here provide numerical evaluations for three ‘toy’, yet practically relevant, scenarios.	この事実を裏付けるために、我々は3つの「トイ」シナリオについて数値的評価を提供する。	0.71
1) Gaussian Input. We assume that X ∼ N (0k, ΣX), i.e., X is a Gaussian random vector.	1)ガウス入力。すなわち、X はガウス確率ベクトル(英語版)である、すなわち、X はガウス確率ベクトル(英語版)である。	0.60
For this scenario, the MMSE is obtained as [31],	このシナリオでは、MMSEは[31]として取得される。	0.74
mmse(X\|Y) = Tr"ΣX(cid:18)Ik +	mmse(X\|Y) = Tr"ΣX(cid:18)Ik +	0.43
1 σ2 N ΣX(cid:19)−1# ,	1 σ2 N ΣX(cid:19)−1# ,	0.43
(16) and the Cram´er-Rao lower bound evaluates to [2]	(16) Cram ́er-Rao の下限は [2] と評価される	0.53
mmse(X\|Y) ≥	mmse(X\|Y) ≥	0.44
k2 k σ2 N	k2 k σ2 n である。	0.45
+ Tr[Σ−1 X ]	+Tr[Σ−1 X ]	0.44
. (17) In Fig 1, we plot the MMSE in (16) (solid line), the Cram´er-Rao bound in (17) (dotted line), and our bound on the MMSE in (9) (dashed line) versus different values of σ2 N for k = 6 and a randomly generated ΣX, given by	. (17) 図1では、k = 6 の σ2 N の異なる値とランダムに生成された ΣX の異なる値に対して、MMSE を (16 ) でプロットし、Clam ́er-Rao を 17 で有界(ドット線)でプロットし、MMSE を (9) (ダッシュ線) で有界とする。	0.56
ΣX = 	σx = σx である。	0.32
5.88 −5.10 0.72 −3.49 4.06 1.08	5.88 −5.10 0.72 −3.49 4.06 1.08	0.20
−3.49 −5.10 3.94 9.53 −2.28 −0.59 3.09 3.94 4.49 −3.68 −0.59 −1.38 −2.11 −1.42	−3.49 −5.10 3.94 9.53 −2.28 −0.59 3.09 3.94 4.49 −3.68 −0.59 −1.38 −2.11 −1.42	0.17
1.08 4.06 −3.68 −2.11 1.94 −1.38 −1.42 1.99 13.23 1.99 2.06	1.08 4.06 −3.68 −2.11 1.94 −1.38 −1.42 1.99 13.23 1.99 2.06	0.19
0.72 3.10 9.24 −2.28	0.72 3.10 9.24 −2.28	0.21
1.94 .  	1.94 .  	0.38
(18) 2) BPSK Input.	18) 2) BPSK入力。	0.62
We let k = 1 and assume that X ∈ {−1, 1} with equal probability, i.e., X is a Binary Phase Shift Keying (BPSK) signal with PX (1) = PX (−1) = 1/2.	k = 1 とし、X ∈ {−1, 1} が等しい確率、すなわち X が PX (1) = PX (−1) = 1/2 の双対位相シフト鍵 (BPSK) 信号であると仮定する。	0.86
For this scenario, the MMSE is obtained as [32], σN(cid:19) dy.	このシナリオでは、MMSEは[32], σN(cid:19) dyとして得られる。	0.80
mmse(X\|Y ) = 1 −Z ∞	mmse(X\|Y ) = 1 −Z ∞	0.44
tanh(cid:18) 1 N − σ2	tanh(cid:18) 1 N − σ2	0.44
(19) In Fig 2, we plot the MMSE in (19) (solid line) and our lower bound in (9) (dashed line) versus σ2	(19) 図2では、MMSE を (19) の(固線) でプロットし、下限を (9) の(破線) σ2 でプロットする。	0.81
e− y2 √2π −∞	e− y2 >2π −∞	0.33
y 2 N . 3) Sparse Input.	うん 2 です。 3)スパース入力。	0.42
We let k = 1 and assume that X ∼ PX = (1 − α)δ0 + αN (0, 1), where α ∈ [0, 1] and δ0 is the point measure at 0.	ここで、k = 1 とし、X を PX = (1 − α)δ0 + αN (0, 1) と仮定すると、α ∈ [0, 1] と δ0 は 0 の点測度である。	0.91
Such input distributions are used to model sparsity and have been studied in [33], [34], [35], [36].	このような入力分布は疎度をモデル化するために使われ、[33], [34], [35], [36]で研究されている。	0.85
To the best of our knowledge, a closed-form	私たちの知る限りでは、クローズドな形式	0.61
1 0.8 0.6 0.4	1 0.8 0.6 0.4	0.40
0.2 0 0 0.4	0.2 0 0 0.4	0.43
0.3 0.2 0.1	0.3 0.2 0.1	0.29
0 0 MMSE in (19)	0 0 MMSE in (19)	0.43
MMSE Lower Bound in (9)	mmse (複数形 mmses)	0.31
20 40 60 80	20 40 60 80	0.43
100 Fig. 2: X ∼ PX (x) = 1/2 for x ∈ {−1, 1}.	100 図2: x ∈ {−1, 1} に対して X > PX (x) = 1/2 となる。	0.65
σ2 N MMSE MMSE Lower Bound in (9)	σ2 N MMSE mmse (複数形 mmses)	0.39
2 4 6 8 10	2 4 6 8 10	0.43
σn Fig. 3: X ∼ PX = (1 − α)δ0 + αN (0, 1), α = 0.4.	σn 図3: X > PX = (1 − α)δ0 + αN (0, 1), α = 0.4。	0.41
expression for the MMSE is not known.	MMSEの表現は知られていない。	0.78
In Fig 3, we plot the MMSE (solid line) and our lower bound on the MMSE in (9) (dashed line) versus different values of σ2 N for α = 0.4.	図3では、α = 0.4 に対して σ2 N の異なる値に対して (9) の MMSE 上の MMSE (solid line) と下界をプロットする。	0.79
In particular, the two curves were obtained via a Monte Carlo simulation with 5 · 105 iterations.	特に、2つの曲線はモンテカルロシミュレーションによって 5 × 105 の繰り返しで得られた。	0.81
From Fig 1, Fig 2, and Fig 3, we observe that our lower bound in (9) well approximates the MMSE even in the ﬁnite noise regime.	fig 1 と fig 2 と fig 3 から、(9) における下界は有限ノイズレジームにおいても mmse をよく近似していることが分かる。	0.73
Moreover, for the scenario of a Gaussian input in Fig 1, our lower bound in (9) remarkably outperforms the well-known Cram´er-Rao bound.	さらに、図1のガウス入力のシナリオでは、下限の (9) はよく知られたクレーア・ラオ境界を著しく上回っている。	0.62
Finally, we point out that for the scenarios of a BPSK input (Fig. 2) and a sparse input (Fig. 3), i.e., where X has a discrete or a mixed distribution, commonly used lower bounds (e g , Cram´er-Rao) do not hold, whereas ours does.	最後に、BPSK入力のシナリオ(図2)とスパース入力(図3)、すなわち、X が離散分布あるいは混合分布を持つ場合、一般的に使用される下界(例えば、Cram ́er-Rao)は保持されないが、我々の場合、我々は保持する。	0.72
These examples suggest that our lower bound in (9) might indeed be tight (or offer a performance guarantee) even in the ﬁnite noise regime.	これらの例から、(9) における下限は、有限ノイズ環境においても、確かにタイト(もしくは性能保証)であることが示唆される。	0.64
Hence, it would also be interesting to characterize the behavior of our lower bound in the low-noise regime.	したがって、低雑音状態における我々の下界の挙動を特徴付けることも興味深い。	0.66
However, in the low-noise regime, the MMSE has an intricate behavior, for example, it depends on whether the distribution of X is discrete or continuous [37]; we leave this direction for future work.	しかし、低雑音環境では、例えば、mmse は複雑な振る舞いを持ち、それは x の分布が離散的であるか連続的であるか [37] に依存する。訳抜け防止モード: しかし、低騒音では。 MMSEは複雑な振る舞いをしています例えば、それは X の分布は離散的か連続的である[37 ] 私たちはこの方向を将来の仕事に置き去りにします。	0.68
III. PROOF OF THEOREM 1 AND ITS APPLICABILITY	III。理論1のプローフとその適用性	0.68
In this section, we prove Theorem 1, which provides a new representation of the MMSE.	本稿では,MMSE の新たな表現を提供する Theorem 1 を証明する。	0.72
Towards this end, we leverage the following proposition, which provides an expression for the gradient of the information density.	この目的に向けて,情報密度の勾配を表す式として,以下の提案を利用する。	0.70
Proposition 2. For x ∈ X , y ∈ Y, we have that	第2話。 x ∈ X , y ∈ Y に対して、それはある。	0.64
∇yιPXY (x; y) = JyT(y)(x − E[X\|Y = y]).	yιPXY (x; y) = JyT(y)(x − E[X\|Y = y])。	0.45

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
By substituting the above inside (28), we obtain	上記(28)を置換することにより、我々は、	0.72
mmse(X\|Y ) =	mmse(X\|Y ) =	0.44
α(α + 1) 2(cid:1) .	α(α + 1) 2(cid:1)であった。	0.47
β2(cid:0)α + 3	β2(cid:0)α + 3	0.43
We note that, in order to compute the MMSE above, we did not need to compute E[X\|Y ] (which is needed by the classical representation of the MMSE), but only the marginal pdf fY , which can be done by simple computations.	上述のMMSEを計算するためには、E[X\|Y ](MMSEの古典的表現で必要とされる)を計算する必要はなく、単純な計算で計算できる限界pdf fY のみである点に留意する。	0.69
Moreover, we also highlight that the MMSE above is in closed form, and this expression highlights that the MMSE only depends on the parameters of the gamma distribution.	さらに,上述のMMSEが閉形式であることを強調し,この表現は,MMSEがガンマ分布のパラメータにのみ依存していることを強調する。	0.83
APPENDIX A	appendIX A	0.24
PROOF OF LEMMA 1 Our objective is to show that the following two exchanges of the limit and expectation, and the limit and variance are permissible,	レマ1のプローフ我々の目的は、以下の2つの制限と期待の交換、および制限と分散が許容可能であることを示すことである。	0.58
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
EX [VarZ (σN log (˜g(X + σN Z)))]	EX [VarZ (σN log ( )g(X + σN Z))]	0.42
= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	0.43
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σN log (˜g(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) .	σN log ( sg(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) である。	0.76
Equivalently, by using the deﬁnition of the variance, we have to show that	等しく、分散の定義を用いて、我々はそれを示さなければならない。	0.68
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
E [fσN (X, Z)] = E(cid:20) lim	E [fσN (X, Z)] = E(cid:20) lim	0.50
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
fσN (X, Z)(cid:21) ,	fσN (X, Z)(cid:21) ,	0.43
(29a) where fσN (x, z) = (σN log ˜g(x + σN z) − E[σN log ˜g(X + σN Z)])2 .	(29a) どこに fσN (x, z) = (σN log >g(x + σN z) − E[σN log >g(X + σN Z)])2 である。	0.68
(29b) Towards this end, we start by noting that	(29b) この目的に向けて私たちはまず	0.50
, (f) (e) σ2 N	, (f) (e) σ2 N	0.43
2σ2 N )	2σ2n である。 )	0.40
2kxk2 + 2E(cid:2)kXk2(cid:3)	2kxk2 + 2E(cid:2)kXk2(cid:3)	0.34
≤ kxkkzk + σN max( Bkzk2 ≤ kxkkzk + max(cid:8)Bkzk2,kxk2 + E(cid:2)kXk2(cid:3)( cid:9) , where the labeled inequalities/equalit ies follow from: (a) using the property that \| log(x)\| = max{log(x),− log(x)};	≤ kxkkzk + σn max(bkzk2 ≤ kxkkzk + max(cid:8)bkzk2,kxk2 + e(cid:2)kxk2(cid:3)( cid:9) ここでラベル付き不等式/等式は次のとおりである。訳抜け防止モード: ≤ kxkkzk + σN max (Bkzk2 ≤ kxkkzk + max(cid:8)Bkzk2,kxk2 + E(cid:2)kXk2(cid:9 ) ここでラベル付き不等式/等式は、 \| log(x)\| = max{log(x),− log(x ) } という性質を使って: ( a )	0.91
(b) usN ≤ 1 on the ﬁrst logarithm, and using ing the bound e Jensen’s inequality on the second logarithm;	(b)第1対数上の usN ≤ 1 で、第2対数上の有界な e Jensen の不等式を入力すること。	0.74
(c) the assumption that E[X] = 0k;	(c) E[X] = 0k という仮定	0.67
(d) using Cauchy-Schwarz inequality;	(d)コーシー・シュワルツの不等式の使用	0.41
(e) the assumption that X is sub-Gaussian for some constant B > 0 and using the bound kx− Xk2 ≤ 2kxk2 + 2kXk2; and	(e) X がある定数 B > 0 に対して準ガウス的であり、有界 kx− Xk2 ≤ 2kxk2 + 2kXk2 を用いる仮定。	0.80
(f) the assumption that σN > 1.	(f) σN > 1 の仮定。	0.73
Now, we can use (30) to bound fσN (x, z) in (29).	さて、fσN (x, z) を (29) で束縛するために (30) を用いることができる。	0.78
We obtain − kx−Xk2	我々は -kx−Xk2	0.61
(30) 2σ2 (a)	(30) 2σ2 (a)	0.38
(b) fσN (x, z) = (σN log ˜g(x + σN z) − E[σN log ˜g(X + σN Z)])2 ≤ 2 (σN log ˜g(x + σN z))2 + 2 (E[σN log ˜g(X + σN Z)])2 ≤ 2 (σN log ˜g(x + σN z))2 + 2E[\|σN log ˜g(X + σN Z)\|2] ≤ 2(cid:0)kxkkzk + max(cid:8)Bkzk2,kxk2 + E(cid:2)kXk2(cid:3)( cid:9)(cid:1)2 +2Eh(cid:0)kXkkZk+max(cid:8)BkZk2,kXk2 +E(cid:2)kXk2(cid:3)( cid:9)(cid:1)2i , (31) where the labeled inequalities follow from:	(b) fσn (x, z) = (σn log sg(x + σn z) − e[σn log sg(x + σn z)])2 ≤ 2 (σn log sg(x + σn z))2 + 2 (e[σn log sg(x + σn z)])2 ≤ 2 (σn log sg(x + σn z))2 + 2e[\|σn log sg(x + σn z)\|2] ≤ 2(cid:0)kxkkzk + max(cid:8)bkkk2,kxk2 + e(cid:2kk2(cid:2:cid :2:cid:2:cid(x + σn z))2 ≤ 2 (cid:0)bkkk2,kxk2) + e(cid:2kk2(cid:2:cid 2:2:cid2:2:cid2:2:ci d2:k2,cid2:2:k2(cid2 :2,cid2:2:2:k2,cid2, cid2:2:2:k2,cid2:2:k 2,cid2:2:2,cid2,cid2 :2,k2)))) である。訳抜け防止モード: (b) fσN ( x, z ) = ( σN log >g(x + σN z ) − E[σN log >g(x + σN Z)])2 ≤ 2 ( σN log >g(x + σN z))2 + 2 ( E[σN log >g(x + σN z)])2 + 2E[\|σN log >g(x + σN Z)\|2 ] ≤ 2(cid:0)kkkzk + max(cid:8)Bkk2,k2k2k 2k2 + E(cid:2)kXk2(cid:3)( cid:9)(cid:1)2 +2Eh(cid:0)kXkkZk+max(cid:8)BkZk2,kXk2 +E(cid:2)kXk2(cid:3)( cid:9)(cid:1)2i, (31 ) ここでラベル付き不等式は次のようになる。	0.43
(a) the fact that (a −	(a)(a−)という事実	0.60
b)2 ≤ 2a2 + 2b2;	b) 2 ≤ 2a2 + 2b2	0.41
(b) using Jensen’s inequality; and	b) ジェンセンの不等式の使用,及び	0.53
(c) (c) using the bound in (30).	(c) (c) 境界 in (30) の使用。	0.49
Now, note that under the assumption that X is sub-Gaussian all moments are ﬁnite and hence, the quantity in (31) is integrable.	ここで、X が準ガウス的な仮定の下ではすべてのモーメントは有限であり、したがって (31) の量は可積分である。	0.70
Consequently, under the assumption that X is subGaussian, the random variable fσN (X, Z) is bounded by an integrable random variable, and we can apply the dominate convergence theorem to exchange the limit and the expectation and arrive at	したがって、X が亜ガウスの仮定の下では、確率変数 fσN (X, Z) は可積分確率変数で有界であり、支配収束定理を適用して極限と期待を交換し、到達することができる。	0.80
# , #) − kx−Xk2+2(x−X)T σN z	# , #) − kx−xk2+2(x−x)t σn z	0.37
− kx−Xk2+2(x−X)T σN z	− kx−xk2+2(x−x)t σn z	0.31
(a) (b) 2σ2 N	(a) (b) 2σ2n である。	0.41
2σ2 N 2σ2 N	2σ2n である。 2σ2n である。	0.37
− 2(x−X)T σN z	− 2(x−X)T σN z	0.44
\|σN log ˜g(x + σN z)\| = σN max(log E"e − log E"e ≤ σN max(log E"e − log e = σN max log E(cid:20)e− (x−X) (cid:21) ,− log e  = σN max(− σN (cid:21) , +log E(cid:20)e ≤ kxkkzk + σN max(log E(cid:20)e σN (cid:21) ,	\|σN log shg(x + σN z)\| = σN max(log E"e − log E"e ≤ σN max(log E"e − log e = σN max) log E(cid:20)e− (x−X) (cid:21) , log e シュ = σN max(− σN (cid:21) , +log E(cid:20)e ≤ kxkkzk + σN max(log E(cid:20)e σN (cid:21) ,	0.45
E[kx−Xk2+2(x−X)	E[kx−Xk2+2(x−X)	0.29
xTz σN # ,	xTz σN # ,	0.43
2σ2 N (d)	2σ2n である。 (d)	0.40
(c) σN xTz σN	(c) σN xTz σN	0.42
σN z] − T X	σN z] − T X	0.44
z − T X z T	z − T X z T	0.43
z T   E[kx−Xk2+2x	z T   E[kx−Xk2+2x	0.38
T σN z] 2σ2 N	T σN z] 2σ2n である。	0.42
+ E(cid:2)kx − Xk2(cid:3) )	+ E(cid:2)kx − Xk2(cid:3)	0.43
E(cid:2)kx − Xk2(cid:3)	E(cid:2)kx − Xk2(cid:3)	0.40
2σ2 N 2σ2 N	2σ2n である。 2σ2n である。	0.37
lim σN →∞	リム σn →∞ である。	0.41
EX [VarZ (σN log (˜g(X + σN Z)))]	EX [VarZ (σN log ( )g(X + σN Z))]	0.42
= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	= EX(cid:20)VarZ(cid:1 8) lim	0.43
σN →∞	σn →∞ である。	0.40
σN log (˜g(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) ,	σN log ( sg(X + σN Z))(cid:19)(cid:21) ,	0.44
which concludes the proof of Lemma 1.	これはLemma 1の証明を結論付ける。	0.53
REFERENCES [1] E. Weinstein and A. J. Weiss, “A general class of lower bounds in parameter estimation,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.	参考 [1] e. weinstein と a. j. weiss, “a general class of lower bounds in parameter estimation”, ieee transactions on information theory, vol. を参照。	0.67
34, no. 2, pp. 338–342, 1988.	34, No. 2, pp. 338–342, 1988。	0.47
[2] H. V. T. K. BELL and Z. Tian, Detection, Estimation, and Modulation	[2] H. V. T. K. BELL and Z. Tian, Detection, Estimation, and Modulation	0.47
Theory Part I. John Wiley & Sons, New York, 1968.	理論第1部。ジョン・ワイリー&サンズ(John Wiley & Sons)、1968年。	0.63
[3] B. Bobrovsky and M. Zakai, “A lower bound on the estimation error for certain diffusion processes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.	[3] b. bobrovsky and m. zakai, “a lower bound on the estimation error for certain diffusion processes”. ieee transactions on information theory, vol. (英語) 訳抜け防止モード: 3 ] b. bobrovsky, m. zakai, "特定の拡散過程に対する推定誤差の下限" ieee transactions on information theory, vol. を参照。	0.77
22, no. 1, pp. 45–52, 1976.	22 no. 1 pp. 45-52 1976年。	0.74
[4] E. Barankin, “Locally best unbiased estimates,” The Annals of Mathe-	E. Barankin, “Locally best unbiased estimates” The Annals of Mathe-	0.35
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[5] B.	B (複数形 Bs)	0.45
-Z. Bobrovsky, E. Mayer-Wolf, and M. Zakai, “Some classes of global	-Z。ボブロフスキー, e. mayer-wolf, m. zakai, 「世界のいくつかの階級」	0.49
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15, no. 3, pp. 386–391, 1969.	15, No. 3, pp. 386–391, 1969。	0.95
[7] L. P. Seidman, “Performance limitations and error calculations for parameter estimation,” Proceedings of the IEEE, vol.	7] l. p. seidman, “performance limits and error calculations for parameter estimation” ieee, vol. の議事録。	0.73
58, no. 5, pp. 644– 652, 1970.	58, No. 5, pp. 644– 652, 1970。	0.88
  )	  )	0.43

英語（論文から抽出）	日本語訳	スコア
[8] D. Chazan, M. Zakai, and J. Ziv, “Improved lower bounds on signal parameter estimation,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.	D. Chazan, M. Zakai, J. Ziv, “Improved lower bounds on signal parameters Estimation”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 訳抜け防止モード: [8]D.Chazan、M.Zkai、J.Ziv 信号パラメータ推定における下限の改善, IEEE Transactions on Information Theory, vol。	0.73
21, no. 1, pp. 90–93, 1975.	21巻1頁、p.90-93、1975年。	0.62
[33] Y. Wu and S. Verd´u, “Optimal phase transitions in compressed sensing,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.	IEEE Transactions on Information Theory, vol. [33] Y. Wu and S. Verd ́u, “Optimal phase transitions in compressed sensor”. IEEE Transactions on Information Theory. 訳抜け防止モード: [33 ] Y. Wu, S. Verd ́u, “圧縮センシングにおける最適相転移” IEEE Transactions on Information Theory, vol。	0.87
58, no. 10, pp. 6241– 6263, 2012.	58, no. 10, pp. 6241– 6263, 2012 年。	0.89
[34] D. L. Donoho and J. Tanner, “Counting the faces of randomly-projected hypercubes and orthants, with applications,” Discrete & Computational Geometry, vol.	34] d. l. donoho氏とj. tanner氏は、"ランダムに投影された超キューブとオルタントの顔と応用を数えています。訳抜け防止モード: D. L. DonohoとJ. Tannerは、”ランダムに投影されたハイパーキューブとオーサントの顔を数える”。アプリケーション , ” Discrete & Computational Geometry , vol。	0.72
43, no. 3, pp. 522–541, 2010.	43, No. 3, pp. 522–541, 2010	0.44
[35] D. L. Donoho, A. Maleki, and A. Montanari, “Message-passing algorithms for compressed sensing,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol.	35] d. l. donoho, a. maleki, a. montanari, "message-passing algorithms for compression sensing", proceedings of the national academy of sciences, vol. (英語) 訳抜け防止モード: [35 ]D. L. Donoho、A. Maleki、A. Montanari 『メッセージ - 圧縮センシングのための通過アルゴリズム』国立科学アカデミー紀要, Vol.	0.69
106, no. 45, pp. 18 914–18 919, 2009.	106, No. 45, pp. 18 914–18 919, 2009	0.43
[36] D. Guo, D. Baron, and S. Shamai, “A single-letter characterization of optimal noisy compressed sensing,” in 2009 47th Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing (Allerton).	[36] d. guo氏、d. baron氏、s. shamai氏は2009年の第47回年次allerton conference on communication, control, and computing (allerton)で、"最適なノイズ圧縮センシングの単一レター特性"を発表した。訳抜け防止モード: [36 ]D・グオ、D・バロン、S・シャマイ。最適な雑音圧縮センシングの単一文字による特徴付け」 2009年 47th Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing (Allerton )	0.70
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[37] W. Yihong and S. Verd´u, “MMSE dimension,” IEEE Transactions on	[37]W.Yihong and S. Verd ́u, “MMSE dimension”, IEEE Transactions on	0.48
Information Theory, vol. 57, no. 8, pp. 4857–4879, 2011.	情報理論、巻。 57, no. 8, pp. 4857-4879, 2011 頁。	0.71
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