論文の概要: Generalization Bounds for Gradient Methods via Discrete and Continuous Prior

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.13799v1
• Date: Fri, 27 May 2022 07:23:01 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-05-30 14:48:39.755692
• Title: Generalization Bounds for Gradient Methods via Discrete and Continuous Prior
• Title（参考訳）: 離散および連続 pre による勾配法の一般化境界
• Authors: Jian Li and Xuanyuan Luo
• Abstract要約: 次数$O(frac1n + fracL2nsum_t=1T(gamma_t/varepsilon_t)2)$の新たな高確率一般化境界を示す。 また、あるSGDの変種に対する新しい境界を得ることもできる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.76346911214414
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Proving algorithm-dependent generalization error bounds for gradient-type optimization methods has attracted significant attention recently in learning theory. However, most existing trajectory-based analyses require either restrictive assumptions on the learning rate (e.g., fast decreasing learning rate), or continuous injected noise (such as the Gaussian noise in Langevin dynamics). In this paper, we introduce a new discrete data-dependent prior to the PAC-Bayesian framework, and prove a high probability generalization bound of order $O(\frac{1}{n}\cdot \sum_{t=1}^T(\gamma_t/\varepsilon_t)^2\left\|{\mathbf{g}_t}\right\|^2)$ for Floored GD (i.e. a version of gradient descent with precision level $\varepsilon_t$), where $n$ is the number of training samples, $\gamma_t$ is the learning rate at step $t$, $\mathbf{g}_t$ is roughly the difference of the gradient computed using all samples and that using only prior samples. $\left\|{\mathbf{g}_t}\right\|$ is upper bounded by and and typical much smaller than the gradient norm $\left\|{\nabla f(W_t)}\right\|$. We remark that our bound holds for nonconvex and nonsmooth scenarios. Moreover, our theoretical results provide numerically favorable upper bounds of testing errors (e.g., $0.037$ on MNIST). Using a similar technique, we can also obtain new generalization bounds for certain variants of SGD. Furthermore, we study the generalization bounds for gradient Langevin Dynamics (GLD). Using the same framework with a carefully constructed continuous prior, we show a new high probability generalization bound of order $O(\frac{1}{n} + \frac{L^2}{n^2}\sum_{t=1}^T(\gamma_t/\sigma_t)^2)$ for GLD. The new $1/n^2$ rate is due to the concentration of the difference between the gradient of training samples and that of the prior.
• Abstract（参考訳）: 勾配型最適化法に対するアルゴリズム依存一般化誤差境界の証明は、近年、学習理論において大きな注目を集めている。 しかし、既存の軌道に基づく分析のほとんどは、学習率(例えば、学習速度の速い減少)や連続的な注入ノイズ(ランジュバン力学におけるガウス雑音など)の制限的な仮定を必要とする。 In this paper, we introduce a new discrete data-dependent prior to the PAC-Bayesian framework, and prove a high probability generalization bound of order $O(\frac{1}{n}\cdot \sum_{t=1}^T(\gamma_t/\varepsilon_t)^2\left\|{\mathbf{g}_t}\right\|^2)$ for Floored GD (i.e. a version of gradient descent with precision level $\varepsilon_t$), where $n$ is the number of training samples, $\gamma_t$ is the learning rate at step $t$, $\mathbf{g}_t$ is roughly the difference of the gradient computed using all samples and that using only prior samples. \left\|{\mathbf{g}_t}\right\|$は上界であり、典型的な勾配ノルム$\left\|{\nabla f(w_t)}\right\|$よりも小さい。 当社のバウンドは、非凸および非滑らかなシナリオに留まっています。 さらに, 実験誤差の上限値(mnist の$0.037$など)を数値的に好意的に求めた。 同様の手法を用いて、ある種のsgdに対する新しい一般化境界を得ることもできる。 さらに,勾配ランゲヴィンダイナミクス(GLD)の一般化境界について検討した。 注意深い連続前置を持つ同じフレームワークを用いて、gldに対して$o(\frac{1}{n} + \frac{l^2}{n^2}\sum_{t=1}^t(\gamma_t/\sigma_t)^2)$という新しい高確率一般化を示す。 新しい1/n^2$レートは、トレーニングサンプルの勾配と以前の値との差が集中しているためである。

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