論文の概要: A quasi-polynomial time algorithm for Multi-Dimensional Scaling via LP hierarchies

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.17840v1
• Date: Wed, 29 Nov 2023 17:42:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-30 20:19:52.357065
• Title: A quasi-polynomial time algorithm for Multi-Dimensional Scaling via LP hierarchies
• Title（参考訳）: lp階層による多次元スケーリングのための準多項時間アルゴリズム
• Authors: Ainesh Bakshi, Vincent Cohen-Addad, Samuel B. Hopkins, Rajesh Jayaram, Silvio Lattanzi
• Abstract要約: 多次元スケーリング(MDS)は、$n$オブジェクト間のペアワイドな相似性を低次元空間に埋め込む方法のファミリーである。 準多項式依存のMDSに対する最初の近似アルゴリズムは$Delta$である。 我々の分析は、低次元ユークリッド空間の幾何学を利用して、アスペクト比$Delta$への指数的依存を避けることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 37.29025597886073
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Multi-dimensional Scaling (MDS) is a family of methods for embedding pair-wise dissimilarities between $n$ objects into low-dimensional space. MDS is widely used as a data visualization tool in the social and biological sciences, statistics, and machine learning. We study the Kamada-Kawai formulation of MDS: given a set of non-negative dissimilarities $\{d_{i,j}\}_{i , j \in [n]}$ over $n$ points, the goal is to find an embedding $\{x_1,\dots,x_n\} \subset \mathbb{R}^k$ that minimizes \[ \text{OPT} = \min_{x} \mathbb{E}_{i,j \in [n]} \left[ \left(1-\frac{\|x_i - x_j\|}{d_{i,j}}\right)^2 \right] \] Despite its popularity, our theoretical understanding of MDS is extremely limited. Recently, Demaine, Hesterberg, Koehler, Lynch, and Urschel (arXiv:2109.11505) gave the first approximation algorithm with provable guarantees for Kamada-Kawai, which achieves an embedding with cost $\text{OPT} +\epsilon$ in $n^2 \cdot 2^{\tilde{\mathcal{O}}(k \Delta^4 / \epsilon^2)}$ time, where $\Delta$ is the aspect ratio of the input dissimilarities. In this work, we give the first approximation algorithm for MDS with quasi-polynomial dependency on $\Delta$: for target dimension $k$, we achieve a solution with cost $\mathcal{O}(\text{OPT}^{ \hspace{0.04in}1/k } \cdot \log(\Delta/\epsilon) )+ \epsilon$ in time $n^{ \mathcal{O}(1)} \cdot 2^{\tilde{\mathcal{O}}( k^2 (\log(\Delta)/\epsilon)^{k/2 + 1} ) }$. Our approach is based on a novel analysis of a conditioning-based rounding scheme for the Sherali-Adams LP Hierarchy. Crucially, our analysis exploits the geometry of low-dimensional Euclidean space, allowing us to avoid an exponential dependence on the aspect ratio $\Delta$. We believe our geometry-aware treatment of the Sherali-Adams Hierarchy is an important step towards developing general-purpose techniques for efficient metric optimization algorithms.
• Abstract（参考訳）: 多次元スケーリング(MDS)は、$n$オブジェクト間のペアワイドな相似性を低次元空間に埋め込む方法のファミリーである。 MDSは、社会科学、統計学、機械学習におけるデータ可視化ツールとして広く利用されている。 非負の相似性の集合 $\{d_{i,j}\}_{i , j \in [n]}$ over $n$ points, the goal to find a embeddedding $\{x_1,\dots,x_n\} \subset \mathbb{R}^k$ that minimals \[ \text{OPT} = \min_{x} \mathbb{E}_{i,j \in [n]} \left[ \left(1-\frac{\|x_x_x_j\|}{d_{i,j}}\right)^2 \right] それらの人気にもかかわらず、MDSの理論的理解は非常に制限されている。 最近、Demaine, Hesterberg, Koehler, Lynch, Urschel (arXiv:2109.11505) は、Kamada-Kawai に対する証明可能な保証を持つ最初の近似アルゴリズムを与え、これはコスト $\text{OPT} +\epsilon$ in $n^2 \cdot 2^{\tilde{\mathcal{O}}(k \Delta^4 / \epsilon^2)} の埋め込みを実現する。 対象次元 $k$ に対して、コスト $\mathcal{o}(\text{opt}^{ \hspace{0.04in}1/k } \cdot \log(\delta/\epsilon) )+ \epsilon$ in time $n^{ \mathcal{o}(1)} \cdot 2^{\tilde{\mathcal{o}}(k^2 (\log(\delta)/\epsilon)^{k/2 + 1} ) } で解を得る。 本手法は,シェラリ・アダムスLP階層に対する条件付きラウンドリングスキームの新規解析に基づく。 重要なことは、我々の分析は低次元ユークリッド空間の幾何学を利用して、アスペクト比$\Delta$の指数的依存を避けることができる。 sherali-adams階層の幾何学的対応は、効率的なメトリック最適化アルゴリズムのための汎用技術を開発するための重要なステップであると考えています。

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