論文の概要: Barycentric Neural Networks and Length-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.06694v1
• Date: Mon, 08 Sep 2025 13:47:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-09 14:07:04.17204
• Title: Barycentric Neural Networks and Length-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation
• Title（参考訳）: Barycentric Neural Networks and Longth-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation (特集:バイオサイバネティックス)
• Authors: Victor Toscano-Duran, Rocio Gonzalez-Diaz, Miguel A. Gutiérrez-Naranjo,
• Abstract要約: 新しいタイプのもの。 EmphBarycentric Neural Network(BNN$)と呼ばれる小幅の浅層ニューラルネットワークが提案されている。 我々のフレームワークは、BNN$とLWPE$に基づく損失関数を組み合わせたもので、非線形連続関数の柔軟で幾何学的に解釈可能な近似を提供することを目的としている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: While it is well-established that artificial neural networks are \emph{universal approximators} for continuous functions on compact domains, many modern approaches rely on deep or overparameterized architectures that incur high computational costs. In this paper, a new type of \emph{small shallow} neural network, called the \emph{Barycentric Neural Network} ($\BNN$), is proposed, which leverages a fixed set of \emph{base points} and their \emph{barycentric coordinates} to define both its structure and its parameters. We demonstrate that our $\BNN$ enables the exact representation of \emph{continuous piecewise linear functions} ($\CPLF$s), ensuring strict continuity across segments. Since any continuous function over a compact domain can be approximated arbitrarily well by $\CPLF$s, the $\BNN$ naturally emerges as a flexible and interpretable tool for \emph{function approximation}. Beyond the use of this representation, the main contribution of the paper is the introduction of a new variant of \emph{persistent entropy}, a topological feature that is stable and scale invariant, called the \emph{length-weighted persistent entropy} ($\LWPE$), which is weighted by the lifetime of topological features. Our framework, which combines the $\BNN$ with a loss function based on our $\LWPE$, aims to provide flexible and geometrically interpretable approximations of nonlinear continuous functions in resource-constrained settings, such as those with limited base points for $\BNN$ design and few training epochs. Instead of optimizing internal weights, our approach directly \emph{optimizes the base points that define the $\BNN$}. Experimental results show that our approach achieves \emph{superior and faster approximation performance} compared to classical loss functions such as MSE, RMSE, MAE, and log-cosh.
• Abstract（参考訳）: 人工ニューラルネットワークがコンパクトドメイン上の連続関数に対する 'emph{universal approximator} であることはよく確立されているが、現代の多くのアプローチは、高い計算コストを発生させる深いアーキテクチャや過度なアーキテクチャに依存している。 本稿では,その構造とパラメータを定式化するために,\emph{base points} とそれらの \emph{barycentric coordinates の固定セットを利用する新しいタイプの 'emph{Barycentric Neural Network} ("\BNN$") を提案する。 我々の$\BNN$は \emph{continuous piecewise linear function}(\CPLF$s)の正確な表現を可能にし、セグメント間の厳密な連続性を保証する。 コンパクト領域上の任意の連続函数は$\CPLF$sで任意に近似できるので、$\BNN$は自然に \emph{function approximation} の柔軟な解釈可能なツールとして現れる。 この表現の使用以外にも、この論文の主な貢献は、安定でスケール不変な位相的特徴である「emph{persistent entropy}」の新しい変種の導入である。 我々のフレームワークは、$\BNN$と$\LWPE$に基づく損失関数を組み合わせることで、リソース制約のある環境での非線形連続関数の柔軟で幾何学的に解釈可能な近似を提供することを目的としています。 内部重みを最適化する代わりに、我々のアプローチは$\BNN$}を定義する基底点を直接最適化する。 MSE, RMSE, MAE, log-coshなどの古典的損失関数と比較して, 本手法はより高速かつ高速な近似性能を実現する。

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