論文の概要: Barycentric Neural Networks and Length-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.06694v2
• Date: Tue, 09 Sep 2025 06:05:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-10 12:33:22.846954
• Title: Barycentric Neural Networks and Length-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation
• Title（参考訳）: Barycentric Neural Networks and Longth-Weighted Persistent Entropy Loss: A Green Geometric and Topological Framework for Function Approximation (特集:バイオサイバネティックス)
• Authors: Victor Toscano-Duran, Rocio Gonzalez-Diaz, Miguel A. Gutiérrez-Naranjo,
• Abstract要約: BNN(Barycentric Neural Network)と呼ばれる新しいタイプの浅層ニューラルネットワークが提案されている。 我々のフレームワークは、BNNとLWPEに基づく損失関数を組み合わせたもので、非線形連続関数の柔軟で幾何学的に解釈可能な近似を提供することを目的としている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: While it is well-established that artificial neural networks are universal approximators for continuous functions on compact domains, many modern approaches rely on deep or overparameterized architectures that incur high computational costs. In this paper, a new type of small shallow neural network, called the Barycentric Neural Network (BNN), is proposed, which leverages a fixed set of base points and their barycentric coordinates to define both its structure and its parameters. We demonstrate that our BNN enables the exact representation of continuous piecewise linear functions (CPLFs), ensuring strict continuity across segments. Since any continuous function over a compact domain can be approximated arbitrarily well by CPLFs, the BNN naturally emerges as a flexible and interpretable tool for function approximation. Beyond the use of this representation, the main contribution of the paper is the introduction of a new variant of persistent entropy, a topological feature that is stable and scale invariant, called the length-weighted persistent entropy (LWPE), which is weighted by the lifetime of topological features. Our framework, which combines the BNN with a loss function based on our LWPE, aims to provide flexible and geometrically interpretable approximations of nonlinear continuous functions in resource-constrained settings, such as those with limited base points for BNN design and few training epochs. Instead of optimizing internal weights, our approach directly optimizes the base points that define the BNN. Experimental results show that our approach achieves superior and faster approximation performance compared to classical loss functions such as MSE, RMSE, MAE, and log-cosh.
• Abstract（参考訳）: 人工ニューラルネットワークはコンパクトドメイン上での連続関数の普遍的な近似器であることはよく確立されているが、現代の多くのアプローチは高い計算コストを発生させる深層または過度なアーキテクチャに依存している。 本稿では,Barycentric Neural Network (BNN) と呼ばれる新しいタイプの浅層ニューラルネットワークを提案する。 我々は,BNNが連続片方向線形関数(CPLF)の正確な表現を可能にし,セグメント間の厳密な連続性を保証することを実証した。 コンパクト領域上の任意の連続関数はCPLFによって任意に近似できるので、BNNは自然に関数近似の柔軟な解釈可能なツールとして現れる。 この表現の他に、この論文の主な貢献は、安定かつスケール不変な位相的特徴である持続エントロピーの新たな変種の導入であり、これは、位相的特徴の寿命によって重み付けされる長さ重み付き持続エントロピー (LWPE) と呼ばれる。 我々のフレームワークは, BNN と LWPE に基づく損失関数を組み合わせたもので, BNN 設計の基礎点が限られているり, 学習の時期がほとんどないような, 資源制約のある環境下での非線形連続関数の柔軟で幾何学的に解釈可能な近似を提供することを目的としている。 内部重みを最適化する代わりに、BNNを定義する基本点を直接最適化する。 その結果, MSE, RMSE, MAE, log-coshなどの古典的損失関数と比較して, 近似性能が優れ, 高速化された。

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