論文の概要: Algebraic Diversity: Group-Theoretic Spectral Estimation from Single Observations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.03634v2
- Date: Tue, 07 Apr 2026 20:01:11 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-09 14:06:04.999141
- Title: Algebraic Diversity: Group-Theoretic Spectral Estimation from Single Observations
- Title（参考訳）: 代数的多様性:単一観測によるグループ理論スペクトル推定
- Authors: Mitchell A. Thornton,
- Abstract要約: グループ平均推定器を1つのスナップショットから推定し,同値な部分空間分解とマルチスナップショット共分散推定を実現する。
我々はこれらの結果を任意の統計量に拡張し、分散は有効群順序$d_mathrmeff$によって支配される。
このフレームワークは内容よりも$structure$の情報(データオブジェクトの表現論的対称性)を活用し、シャノンの理論を補完する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3537117504260623
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We establish that temporal averaging over multiple observations is the degenerate case of algebraic group action with the trivial group $G=\{e\}$. A General Replacement Theorem proves that a group-averaged estimator from one snapshot achieves equivalent subspace decomposition to multi-snapshot covariance estimation. The Trivial Group Embedding Theorem proves that the sample covariance is the accumulation of trivial-group estimates, with variance governed by a $(G,L)$ continuum as $1/(|G|\cdot L)$. The processing gain $10\log_{10}(M)$ dB equals the classical beamforming gain, establishing that this gain is a property of group order, not sensor count. The DFT, DCT, and KLT are unified as group-matched special cases. We conjecture a General Algebraic Averaging Theorem extending these results to arbitrary statistics, with variance governed by the effective group order $d_{\mathrm{eff}}$. Monte Carlo experiments on the first four sample moments across five group types confirm the conjecture to four-digit precision. The framework exploits the $structure$ of information (representation-theoretic symmetry of the data object) rather than the content, complementing Shannon's theory. Five applications are demonstrated: single-snapshot MUSIC, massive MIMO with 64% throughput gain, single-pulse waveform classification at 90% accuracy, graph signal processing with non-abelian groups, and algebraic analysis of transformer LLMs revealing RoPE uses the wrong group for 70--80% of attention heads (22,480 observations across five models).
- Abstract（参考訳）: 複数の観測値に対する時間平均化は、自明な群 $G=\{e\}$ を持つ代数群作用の退化ケースであることを示す。
General Replacement Theorem は、あるスナップショットからの群平均推定器が、マルチスナップショットの共分散推定に等価な部分空間分解を達成することを証明している。
Trivial Group Embedding Theorem は、サンプル共分散が自明な群の推定の蓄積であることを証明し、分散は$(G, L)$連続体により$/(|G|\cdot L)$として支配される。
処理ゲイン 10\log_{10}(M)$ dB は古典的なビームフォーミングゲインと等しいので、このゲインはセンサ数ではなく、グループオーダーの特性である。
DFT、DCT、KLTはグループマッチングの特殊ケースとして統合されている。
我々は、これらの結果を任意の統計量に拡張する一般代数的平均定理を予想し、実効群位 $d_{\mathrm{eff}}$ によって分散が支配される。
モンテカルロは、5つの群型にわたる最初の4つのサンプルモーメントに関する実験で、4桁の精度の予想を確認した。
このフレームワークは内容よりも$structure$の情報(データオブジェクトの表現論的対称性)を活用し、シャノンの理論を補完する。
シングルスナップショットMUSIC、スループットが64%の大規模MIMO、90%の精度での単一パルス波形分類、非アーベル群によるグラフ信号処理、そしてRoPEが70～80%の注意ヘッドで間違ったグループ(5つのモデルで22,480の観測)を使用していることを示すトランスフォーマーLSMの代数的解析の5つの応用が示されている。
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