論文の概要: Shallow ReLU$^s$ Networks in $L^p$-Type and Sobolev Spaces: Approximation and Path-Norm Controlled Generalization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.18468v3
• Date: Fri, 22 May 2026 07:04:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-25 14:44:53.689825
• Title: Shallow ReLU$^s$ Networks in $L^p$-Type and Sobolev Spaces: Approximation and Path-Norm Controlled Generalization
• Title（参考訳）: L^p$型およびソボレフ空間におけるShallow ReLU$^s$ネットワーク:近似とパスノルム制御一般化
• Abstract要約: 特に、$_d$が均一測度で$1le p2$のとき、近似率は$O!left(m-fracp(2s+2d+1)-2d2dpright)$ for $1le p*$と$O!left(m-fracp(4s+3d-1)-2d+24dpright)$ for $p*p2$である。 non (複数形 nons)
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.871748162999062
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper studies approximation by shallow ReLU$^s$ networks, $σ_s(t)=\max\{0,t\}^s$, together with their generalization behavior under $\ell_1$ path-norm control. For the $L^p$-type integral spaces $\widetilde{\mathcal{F}}_{p,τ_d,s}$, $1\le p\le2$, spherical harmonic analysis yields approximation bounds for shallow networks. In particular, when $τ_d$ is the uniform measure and $1\le p<2$, the approximation rate is $O\!\left(m^{-\frac{p(2s+2d+1)-2d}{2dp}}\right)$ for $1\le p\le p^*$ and $O\!\left(m^{-\frac{p(4s+3d-1)-2d+2}{4dp}}\right)$ for $p^*<p<2$, where $p^*=\frac{2d+2}{d+3}$. Approximation bounds for Sobolev spaces $W^{α,p}$, $1\le p<2$, are obtained through embeddings into spectral Barron spaces. For nonparametric regression with sub-Gaussian noise, path-norm-regularized shallow ReLU$^s$ networks achieve minimax-optimal rates $O\!\left(n^{-\frac{d+2s+1}{2d+2s+1}}\log n\right)$ over $\mathscr{B}_s$ and $O\!\left(n^{-\frac{2α}{2α+d}}\log n\right)$ over $W^{α,\infty}$, with matching lower bounds up to logarithmic factors.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、浅い ReLU$^s$ ネットワーク、$σ_s(t)=\max\{0,t\}^s$ による近似と、$\ell_1$ パスノルム制御の下での一般化挙動を考察する。 L^p$-型積分空間 $\widetilde{\mathcal{F}}_{p,τ_d,s}$, $1\le p\le2$ に対して、球面調和解析は浅いネットワークに対して近似境界をもたらす。 特に$τ_d$が一様測度で$1\le p<2$の場合、近似率は$O\! m^{-\frac{p(2s+2d+1)-2d}{2dp}}\right)$ for $1\le p\le p^*$ and $O\! m^{-\frac{p(4s+3d-1)-2d+2}{4dp}}\right)$ for $p^*<p<2$, where $p^*=\frac{2d+2}{d+3}$.\left(m^{-\frac{p(4s+3d-1)-2d+2}{4dp}}\right)$ ソボレフ空間の近似境界$W^{α,p}$, $1\le p<2$, はスペクトルバロン空間への埋め込みによって得られる。 準ガウス雑音による非パラメトリック回帰の場合、パスノルム規則化された浅部ReLU$s$ネットワークは最小値最適化レート$O\! \left(n^{-\frac{d+2s+1}{2d+2s+1}}\log n\right)$ over $\mathscr{B}_s$ and $O\! \left(n^{-\frac{2α}{2α+d}}\log n\right)$ over W^{α,\infty}$, with matching lower bounds to logarithmic factors。

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