論文の概要: Saturating Scaling Laws for Equational Discovery: A Phenomenology of Growth Dynamics in Three Toy Substrates with Two Real-World Replications

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.23983v1
• Date: Thu, 14 May 2026 21:37:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-01 02:55:42.99919
• Title: Saturating Scaling Laws for Equational Discovery: A Phenomenology of Growth Dynamics in Three Toy Substrates with Two Real-World Replications
• Title（参考訳）: 等方的発見のためのスケーリング法則の飽和:2つの実世界の意味を持つ3つのトイ基板における成長ダイナミクスの現象
• Authors: Fabio Rovai,
• Abstract要約: 決定論的方程式発見基板における成長ダイナミクスについて検討する。 短距離基板サイズは、tbに比例するパワーローN(t)に適合する。 飽和パワーロー dN/dt = K Nk exp(-mu N) で、純粋なパワーローが短距離近似である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate growth dynamics in deterministic equational discovery substrates. Across three toy domains (arithmetic, boolean, higher-order list; n=592 trajectories), short-range substrate sizes fit a power-law N(t) proportional to t^b. Within each substrate b is architecture-sensitive (cross-validated R^2 approximately 0.82); the regression does not transfer across substrates (arith+bool to list yields R^2 approximately -0.84). A heuristic mean-field closure model predicts a saturating power-law dN/dt = K N^k exp(-mu N) of which the pure power-law is the short-range approximation. Three robustness checks: bootstrap intervals on (k, mu) are tight in 4/5 toy trajectories and degenerate in 1/5; out-of-sample forecasting on toy data (fit first 100 epochs, predict next 400) is won by pure power-law 5/5, indicating the toy trajectories do not reach saturation; on two real-world growth proxies the result splits. New Mathlib/*.lean file additions per month (mathlib4, 60 months, 9701 files) support the saturating form on OOS forecasting by approximately 7x over pure power-law; Coq mathcomp monthly commits (129 months, 3083 commits) favour pure power-law on both tests with mu collapsing to zero. The dynamics are substrate-conditional at two levels: within-substrate architecture-to-b regressions do not transfer, and the preferred functional family for N(t) itself (pure vs. saturating power-law) differs by substrate. We propose "saturating power-law growth with substrate-conditional (k, mu), observable when the substrate has reached its saturation regime" as a working framing.
• Abstract（参考訳）: 決定論的方程式発見基板における成長ダイナミクスについて検討する。 3つのおもちゃドメイン(パラメータ、ブール、高次リスト、n=592トラジェクトリ)にまたがって、短距離基板サイズは、t^bに比例する負のN(t)に適合する。 各基板bはアーキテクチャに敏感であり(クロスバリデーションされたR^2は約0.82)、レグレッションは基板間で伝達されない(R^2は約0.84)。 ヒューリスティック平均場閉鎖モデルは、純粋なパワーローが短距離近似である飽和パワーロー dN/dt = KN^k exp(-mu N) を予測する。 3つの堅牢性チェック: (k, mu) 上のブートストラップ間隔は4/5 のおもちゃ軌跡で固く、1/5 で縮退し、おもちゃデータ(最初の100 epochs、次の400 に適合する)のアウト・オブ・サンブル予測は純粋なパワールール 5/5 で勝利し、おもちゃ軌跡が飽和しないことを示す。 新しいMathlib/*。 月毎のリーンファイルの追加(mathlib4, 60 months, 9701 file)は、純粋なパワーローよりも約7倍、OOSの飽和フォームをサポートする。 内部基板構造-bの回帰は転移せず、N(t) 自身に対して好まれる機能族(純対飽和パワー-ロー)は基質によって異なる。 本研究では, 基板条件 (k, mu) が飽和状態に達した場合に観測可能な, 基板条件 (k, mu) による飽和パワーロー成長を, 作動フレーミングとして提案する。

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