論文の概要: A fast direct solver based neural network for solving PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.19895v1
• Date: Thu, 18 Jun 2026 07:51:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-19 18:23:39.712998
• Title: A fast direct solver based neural network for solving PDEs
• Title（参考訳）: 高速直接解法に基づくPDE解法ニューラルネットワーク
• Authors: Jashwanth Reddy Kadaru, Vaishnavi Gujjula,
• Abstract要約: 本稿では,Ambikasaran と Darve (2013) が開発した HODLR 行列の高速直接解法に基づいて,HODLR 行列の逆演算を学習するニューラルネットワークを提案する。 我々は、線形層の一部をディープサブネットワークに置き換えることで、PDEに関連する非線形解演算子を学ぶようアーキテクチャを拡張した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2578242050187029
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The matrices arising from large scale $N$-body problems can be efficiently represented using hierarchical matrices, whose key idea is that the admissible off-diagonal sub-matrices can be well approximated by low-rank matrices across a hierarchy of matrix partitions. HODLR (Hierarchical Off-Diagonal Low-Rank) matrices are a subclass of hierarchical matrices in which all off-diagonal submatrices at every level of a recursive binary partition are low-rank. In this article, we present a neural network that learns the inverse operation of HODLR matrices based on the fast direct solver for HODLR matrices developed by Ambikasaran and Darve (2013). We further extend the architecture to learn nonlinear solution operators associated with PDEs by replacing some of the linear layers with deep sub-networks. We demonstrate the performance of the proposed architecture by performing a comprehensive set of experiments that include (i) solving a linear problem such as the Fredholm integral equation of the second kind, (ii) solving PDEs such as the nonlinear Schrödinger equation, Burgers' equation, and the steady-state Darcy's flow equation, (iii) generalization study across varying parameter values, (iv) comparing the inference time of the proposed network with the run time of a classical numerical solver, and (v) comparing the proposed network with some of the existing neural operator learning networks.
• Abstract（参考訳）: 大規模な$N$-body問題から生じる行列は階層行列を用いて効率よく表すことができ、その鍵となる考え方は、許容外対角行列は行列分割の階層にまたがる低ランク行列によってうまく近似できるということである。 HODLR(Hierarchical Off-Diagonal Low-Rank)行列は階層行列のサブクラスであり、再帰的二分分割の各レベルにおけるすべての非対角行列が低ランクである。 本稿では,Ambikasaran と Darve (2013) が開発した HODLR 行列の高速直接解法に基づいて,HODLR 行列の逆演算を学習するニューラルネットワークを提案する。 さらに、線形層の一部をディープサブネットワークに置き換えることで、PDEに関連する非線形解演算子を学習するためにアーキテクチャをさらに拡張する。 提案アーキテクチャの性能を総合的な実験によって実証する。 一 第二種のフレドホルム積分方程式のような線形問題を解くこと。 (II)非線形シュレーディンガー方程式、バーガーズ方程式、定常ダルシー流方程式などのPDEを解く。 (iii)パラメータ値の多様性に関する一般化研究 (四)提案したネットワークの推論時間と古典的数値解法の実行時間とを比較して、 (v)提案したネットワークと既存のニューラルネットワーク学習ネットワークを比較した。

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