論文の概要: Mirror Langevin diffusions: Convergence rates and Markov chain approximations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.22892v1
- Date: Fri, 24 Jul 2026 20:03:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-28 22:34:14.922859
- Title: Mirror Langevin diffusions: Convergence rates and Markov chain approximations
- Title（参考訳）: ミラーランゲヴィン拡散 : 収束率とマルコフ連鎖近似
- Abstract要約: ミラーランゲヴィン拡散はミラーランゲヴィン拡散 (Mirror Langevin diffusions, MLD) と呼ばれる。
我々は、$$が与えられたとき、MDDの平衡に対する指数収束を得るために$u$を選択することができることを示した。
また,2ステップのGibsサンプルラが固定分布を$$.99で提供するMLDにマルコフ連鎖近似を導入する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.357291726431012
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Given a strongly convex function $u$, equip $R^d$ with a Riemannian metric given by the Hessian $\nabla^2 u$. This is a so-called Hessian manifold. Given a probability density $μ$ one may run a Langevin diffusion intrinsic to the manifold with stationary distribution $μ$. Such (Hessian) manifold-valued Langevin diffusions are called Mirror Langevin diffusions (MLD) which have recently become popular. One of the questions we explore is whether, given $μ$, one can choose $u$ to get an exponential convergence to equilibrium for the MLD, especially if $μ$ is not strongly log-concave. Our results are based on Lyapunov function methods and give sufficient conditions for a Poincaré or a log-Sobolev inequality to hold for the MLD. These, in turn, imply exponential convergence. We also introduce a Markov chain approximation to the MLD given by a two step Gibbs sampler with stationary distribution $μ$. This Markov chain is a variant of the Sinkhorn Markov chain introduced in arXiv:2307.16421 that is conjectured to converge to a time-inhomogeneous generalization of the MLD. Under suitable assumptions, we prove that the Markov chain has a guaranteed convergence rate in $χ^2$ that is consistent with the diffusion time scale. Our proofs are based on ideas from entropic optimal transport and strong data processing inequalities.
- Abstract（参考訳）: 強凸函数 $u$, equip $R^d$ と Hessian $\nabla^2 u$ で与えられるリーマン計量が与えられる。
これはいわゆるヘッセン多様体である。
確率密度$μ$が与えられたとき、安定分布$μ$を持つ多様体に固有のランゲヴィン拡散を実行することができる。
このような(ヘッセン)多様体で評価されたランゲヴィン拡散はミラーランゲヴィン拡散(英語版)(Mirror Langevin diffusions, MLD)と呼ばれ、最近人気を博している。
我々が検討している問題の1つは、$μ$が与えられたとき、特に$μ$が強い対数展開でない場合、MDDの平衡に対する指数収束を得るために$u$を選択することができるかどうかである。
この結果はリャプノフ関数法に基づいており、ポアンカレや対数ソボレフの不等式がMDDに対して成り立つのに十分な条件を与える。
これらは、指数収束を暗示する。
また,固定分布を$μ$とする2ステップのギブズサンプリング器によって与えられるMDDにマルコフ連鎖近似を導入する。
このマルコフ連鎖は、arXiv:2307.16421で導入されたシンクホーン・マルコフ鎖の変種であり、MDDの時間的不均一な一般化に収束すると推測されている。
適切な仮定の下では、マルコフ連鎖が拡散時間スケールと一致した$ ^2$の収束速度が保証されていることを証明する。
我々の証明は、エントロピックな最適輸送と強力なデータ処理の不平等のアイデアに基づいている。
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