論文の概要: Efficient Quantum Modular Reduction: Crandall reduction and its Fault-tolerant resource analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.11563v1
- Date: Wed, 12 Aug 2026 02:07:24 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-13 19:07:54.4147
- Title: Efficient Quantum Modular Reduction: Crandall reduction and its Fault-tolerant resource analysis
- Title（参考訳）: 効率的な量子モジュール還元:クロンドール還元とそのフォールトトレラント資源分析
- Abstract要約: Pseudo-Mersenne moduli modq=2n-c$ により、クラドール還元は分割を折り畳みと定数算術に置き換えることができる。
これは、クランドール還元の最初の正確な可逆的な量子回路の定式化を構成する。
論理的資源推定は、どちらの変種も最適化されたバレットの折りたたみ還元よりも少ないキュービットと低いT数とT深度を必要とすることを示している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6157382820537719
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Modular arithmetic is central to quantum algorithms for cryptographic problems, including Shor's algorithm and Grover-based cryptanalysis, with modular reduction contributing substantially to circuit cost. Pseudo-Mersenne moduli $q=2^n-c$ allow classical Crandall reduction to replace division with folding and constant arithmetic, providing a structural opportunity for more efficient quantum modular reduction than Barrett reduction. We translate this advantage into a reversible quantum setting by deriving explicit folding and normalization conditions for $2n$-bit inputs. To the best of our knowledge, this constitutes the first exact reversible quantum circuit formulation of Crandall reduction. Based on this formulation, we develop two variants: Crandall reduction-1 is designed to minimize execution cost through one-step normalization, whereas Crandall reduction-2 uses two-step normalization to support a wider range of $c$ with limited overhead. Logical resource estimates show that both variants require fewer qubits and lower T-count and T-depth than optimized folding Barrett reduction. At $n=10$, Crandall reduction-1 reduces both T-count and T-depth by approximately 46.9% relative to optimized folding Barrett reduction. Surface-code analysis further shows that, at $n=20$ under the Sparse Blossom decoder, the estimated runtimes of the two variants are 30.05 ms and 35.39 ms, respectively, compared with 53.77 ms for optimized folding Barrett reduction. These results demonstrate the practical value of exploiting modulus-specific arithmetic structure in fault-tolerant quantum circuit design.
- Abstract（参考訳）: モジュラ算術は、ShorアルゴリズムやGroverベースの暗号解析を含む暗号問題に対する量子アルゴリズムの中心であり、モジュラ還元は回路コストに大きく寄与する。
Pseudo-Mersenne moduli $q=2^n-c$ は古典的クランドール還元を、分割を折り畳みと定数算術に置き換えることを可能にし、バレット還元よりもより効率的な量子モジュラー還元のための構造的機会を与える。
我々はこの利点を、2n$-bit入力に対して明示的な折り畳み条件と正規化条件を導出することにより、可逆的な量子設定に変換する。
我々の知る限りでは、これはクロンドール還元の最初の正確な可逆的な量子回路の定式化を構成する。
この定式化に基づいて、クラドールリダクション-1は1ステップの正規化によって実行コストを最小限に抑えるように設計されているのに対し、クラドールリダクション-2は2ステップの正規化を使用してより広い範囲の$c$をサポートする。
論理的資源推定は、どちらの変種も最適化された折りたたみバレット還元よりも少ないキュービットと低いT数とT深度を必要とすることを示している。
n=10$のクラドール還元1は、最適化された折り畳みバレット還元と比較してT数とT深度を約46.9%削減する。
表面コード解析により、スパース・ブロッサム・デコーダの下では、それぞれ30.05msと35.39msと、最適化された折り畳みバレットの縮小のために53.77msであることがわかった。
これらの結果は、フォールトトレラント量子回路設計におけるモジュラー固有演算構造を利用した実用的価値を示す。
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