論文の概要: Toward a Unified Mathematics of Concepts

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.24554v1
• Date: Mon, 21 Sep 2026 13:19:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-22 20:29:01.296054
• Title: Toward a Unified Mathematics of Concepts
• Title（参考訳）: 概念の統一数学を目指して
• Abstract要約: 概念は一般的に、知識の抽象的でコンパクトな表現として定義され、知的行動の基本単位として扱われる。 しかし、認知、心理学、AIには、それらに共通する数学的言語が欠けている。 10のフレームワークは、自己完結したコンテンツやリレーショナルな構造、進化するプロセスといった概念に対するコミットメントを具現化している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.979725367638729
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Concepts are commonly defined as abstract, compact representations of knowledge and treated as basic units of intelligent behavior. Yet, cognition, psychology, and AI lack a shared mathematical language for them. Modern systems represent concepts as vectors, distributions, symbols, graphs, and other structures, but these formalisms are typically treated as competing rather than as solutions to a common problem. We propose an operation-based view that evaluates mathematical frameworks by the conceptual operations they support, identifying thirteen operations (including similarity, composition, generalization, and grounding) that recur across cognition, psychology, and AI. We show that ten frameworks embody distinct commitments to concepts as self-contained content, relational structure, or evolving process, and that these commitments determine which operations each supports naturally. For example, vector-based models facilitate graded similarity and generalization but struggle with explicit composition, whereas symbolic models support composition but offer but generalize poorly. No single framework we examined naturally supports all operations without extension. We test this account empirically using categorization as a case study, operationalizing nine theories on the same items against human judgments. Despite addressing the same conceptual question, the theories produce different procedures and results, demonstrating that mathematical commitment shapes what a theory can explain. We call for hybrid formalisms that treat content, relation, and process as jointly primary.
• Abstract（参考訳）: 概念は一般的に、知識の抽象的でコンパクトな表現として定義され、知的行動の基本単位として扱われる。 しかし、認知、心理学、AIには、それらに共通する数学的言語が欠けている。 現代のシステムでは、概念をベクトル、分布、記号、グラフ、その他の構造として表現するが、これらの形式主義は一般的な問題の解としてではなく競合するものとして扱われる。 本稿では, 認知, 心理学, AI にまたがる13の操作(類似性, 構成, 一般化, 接地など)を識別し, 支援する概念的操作によって数学的枠組みを評価する操作に基づく視点を提案する。 10のフレームワークは、自己完結型コンテンツ、リレーショナル構造、進化過程といった概念に対するコミットメントを具現化し、これらのコミットメントが、それぞれが自然にサポートする操作を決定することを示す。 例えば、ベクトルベースモデルは次数化された類似性と一般化を促進するが、明示的な構成に苦慮する一方、シンボリックモデルは合成をサポートするが、一般化は不十分である。 私たちが調査したフレームワークは、拡張なしですべての操作を自然にサポートしていません。 事例研究として分類を用いて実証実験を行い,同じ項目の9つの理論を人的判断に対して運用した。 同じ概念的な問題に対処するにも拘わらず、理論は異なる手順と結果を生み出し、数学的コミットメントが理論が説明できるものを形作ることを示した。 我々は、コンテンツ、関係、プロセスを共同プライマリとして扱うハイブリッドな形式主義を提唱する。

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