論文の概要: Algebraic Expressivity Certificates for Shallow Polynomial Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.28500v1
• Date: Fri, 11 Sep 2026 20:58:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:56.037946
• Title: Algebraic Expressivity Certificates for Shallow Polynomial Neural Networks
• Title（参考訳）: 浅部多項式ニューラルネットワークのための代数的表現性証明
• Abstract要約: バイアスのない浅層ニューラルネットワークによる正確な表現性について検討する。 我々はこの構造を汎用的なアーキテクチャから認証として実装する。 球面上の階数2次ネットワークの正確な人口損失を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study exact representability by bias-free shallow polynomial neural networks using algebraic geometry. Over $\mathbb{C}$, a width-$r$ network with activation $z\mapsto z^d$ computes a sum of $r$ $d$-th powers of linear forms, whose Zariski closure is a Veronese secant variety. Ideal elimination therefore yields polynomial certificates of nonrepresentability. We implement this construction as a generic architecture-to-certificate pipeline. For quadratics, we recover the exact symmetric determinantal description and explain its dimension through orthogonal symmetry. In higher degree, the implementation recovers classical catalecticant and secant equations and maps the practical reach of direct elimination across a finite architecture sweep. We also derive the exact population loss floor for a rank-two quadratic network on the sphere, illustrating how an algebraic obstruction induces irreducible approximation error.
• Abstract（参考訳）: 代数幾何学を用いたバイアスのない浅層多項式ニューラルネットワークによる正確な表現性について検討する。 $\mathbb{C}$, a width-$r$ network with activation $z\mapsto z^d$ computes a sum of $r$ $d$-th power of linear form, which Zariski closure is a Veronese secant variety. したがって、理想的除去は非表現性の多項式証明を与える。 この構造を汎用的なアーキテクチャから認証パイプラインとして実装する。 二次論では、正確な対称行列記述を復元し、直交対称性を通してその次元を説明する。 より高次に、この実装は古典的触媒およびセカント方程式を復元し、有限アーキテクチャ全体にわたって直接除去の実践的リーチをマップする。 また、球面上の階数2次ネットワークの正確な人口損失フロアを導出し、代数的障害物が既約近似誤差をいかに引き起こすかを説明する。

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