論文の概要: Non-Acceleration of the Heavy-Ball Method in 1D

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.25104v1
• Date: Sun, 18 Oct 2026 08:29:37 GMT
• ステータス: 情報取得中
• システム内更新日: 2026-10-20 22:40:43.467481
• Title: Non-Acceleration of the Heavy-Ball Method in 1D
• Title（参考訳）: 1次元におけるヘビーボール法の非加速
• Abstract要約: ポリアクのヘビーボール法とその力学は長い間未解決の問題のままである。 フーリエ解析を用いて非加速の証明を行う。 また、以前のルート・オブ・ユニティ・サイクリング領域を厳格に拡張する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Despite having an asymptotically optimal rate of convergence on convex quadratics, the acceleration of Polyak's heavy-ball method and a characterization of its dynamics within more general settings have remained long standing open problems. Recently, the work of Goujaud et al. [Math. Program. (2025)] made progress regarding acceleration in the context of smooth, strongly convex minimization: for a small enough inverse condition number, either the method does not accelerate on quadratics, or there exists a smooth strongly convex function such that heavy-ball cycles over the roots of unity. The constructed functions have two variables, thus leaving the question of acceleration over univariate functions open. In this work, we use a Fourier-based analysis to i) provide a proof for the non-acceleration of the heavy-ball method over the class of univariate smooth strongly convex functions. We also ii) provide a strict enlargement of the previous root-of-unity cycling region, with insights regarding the "fractional" sets of Goujaud et al. [arXiv:2502.19916], and iii) give a higher dimensional cycling instance which is not covered by root-of-unity cycling.
• Abstract（参考訳）: 凸二次体に対する漸近的に最適な収束速度を持つにもかかわらず、ポリアクの重ボール法の加速とより一般的な設定におけるその力学のキャラクタリゼーションは長い間未解決の問題のままである。 近年、Goujaudら(Math. Program. (2025))の研究は、滑らかで強い凸最小化(英語版)の文脈における加速度に関する進歩をおこなった: 十分小さな逆条件数の場合、この方法は二次関数上では加速しないか、あるいはユニタリの根上の重い球循環のような滑らかな凸関数が存在する。 構成された函数は2つの変数を持ち、従って単変数函数に対する加速度の問題が開となる。 本研究では,フーリエ解析を用いる。 一 単変量スムーズな凸関数のクラスに対する重ボール法の非加速の証明を提供する。 私たちも 二 前回のルート・オブ・ユニティ・サイクリング領域の厳格な拡大を提供し、グージャウドらの「摩擦的」集合についての洞察及び 三 自然の根で覆われない高次元のサイクリングインスタンスを与える。

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