論文の概要: PDE-Residual-Informed Kriging

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.41590v1
• Date: Fri, 30 Oct 2026 11:25:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-11-02 22:05:31.690764
• Title: PDE-Residual-Informed Kriging
• Title（参考訳）: PDE-Residual-Informed Kriging
• Abstract要約: 物理インフォームドガウス過程(GP)法は、PDE解決のための確率的枠組みを提供する。 本研究ではPDE-residual-informed Kriging (PRIK)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.131885800601149
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-informed Gaussian process (GP) methods provide a probabilistic framework for PDE solving. Existing approaches incorporate PDE information in different ways: pointwise conditioning uses the governing equation only at finitely many selected locations, globally constrained GPs restrict the admissible functions to satisfy the PDE exactly, and residual-penalized methods control the PDE mismatch over the whole domain through an additional penalty weight. What is still missing is a GP formulation that directly incorporates global PDE-residual information of the entire domain into its covariance structure, while retaining model flexibility and standard GP conditioning without a separate residual-weight parameter. To solve this issue, this study proposes PDE-residual-informed Kriging (PRIK) based on a PDE-residual kernel. The PDE-residual kernel is constructed by equipping a kernel-section space with an inner product defined by the $L^{2}$ inner product of PDE residuals. This construction makes PRIK yield the posterior mean with minimum integrated squared PDE residual. It also provides direct statistical interpretations: the variance-scale estimate equals the normalized PDE-residual energy (i.e., the integrated squared PDE residual of the posterior mean divided by the number of labeled observations), and the profile likelihood balances this residual energy against model complexity. Under the stated regularity and stability conditions, we establish $H^{2}$-quasi-optimality and convergence rates for the posterior mean, together with a nonasymptotic bound for its PDE-residual norm. We further show that the normalized posterior kernel converges to a variational Green-type kernel and derive a uniform nonasymptotic contraction bound for the posterior variance. Numerical studies provide empirical evidence consistent with the theory and demonstrate the PDE-solving capability of PRIK.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドガウス過程(GP)法は、PDE解決のための確率的枠組みを提供する。 ポイントワイド条件付けは有限個の選択された場所でのみ支配方程式を使用し、グローバルに制約されたGPはPDEを正確に満たすように許容関数を制限し、残高化法は追加のペナルティ重みによってドメイン全体のPDEミスマッチを制御する。 まだ欠けているのはGPの定式化で、ドメイン全体のグローバルなPDE-残留情報を共分散構造に直接組み込むと同時に、モデルの柔軟性と標準GP条件を別個の残重パラメータなしで保持する。 そこで本研究ではPDE-Residual-informed Kriging (PRIK)を提案する。 PDE-残留核は、PDE残基の$L^{2}$内積によって定義される内積をカーネル断面空間に装備することによって構成される。 この構成により、PRIK は最小積分正方形 PDE 残基を持つ後平均となる。 分散スケール推定は正規化されたPDE-残留エネルギー(つまり、ラベル付き観測数で分割された後平均の積分2乗PDE残差)と等しく、プロファイル確率はこの残留エネルギーとモデル複雑性とのバランスをとる。 記述された規則性と安定性条件の下では、後平均に対する$H^{2}$-quasi-optimalityと収束率を確立し、PDE-Residualノルムに対する漸近的境界を定めている。 さらに、正規化後核は変分グリーン型核に収束し、後核の分散に束縛された一様漸近収縮を導出することを示す。 数値的研究は、PRIKのPDE解決能力を実証し、理論と一致した経験的証拠を提供する。

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