論文の概要: Provably Good Solutions to the Knapsack Problem via Neural Networks of
Bounded Size
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2005.14105v2
- Date: Mon, 4 Jan 2021 10:26:12 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-11-27 04:26:51.452845
- Title: Provably Good Solutions to the Knapsack Problem via Neural Networks of
Bounded Size
- Title(参考訳): 有界サイズのニューラルネットワークによるナップサック問題の正当な解法
- Authors: Christoph Hertrich and Martin Skutella
- Abstract要約: 古典的なNP-hard Knapsack問題(NP-hard Knapsack problem)の例として,ニューラルネットワークの表現力について検討する。
最適クナプサック解を求めるには、最適クナプサック解の利益に依存する深さ4と幅のRNNが十分である。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 7.132368785057316
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The development of a satisfying and rigorous mathematical understanding of
the performance of neural networks is a major challenge in artificial
intelligence. Against this background, we study the expressive power of neural
networks through the example of the classical NP-hard Knapsack Problem. Our
main contribution is a class of recurrent neural networks (RNNs) with rectified
linear units that are iteratively applied to each item of a Knapsack instance
and thereby compute optimal or provably good solution values. We show that an
RNN of depth four and width depending quadratically on the profit of an optimum
Knapsack solution is sufficient to find optimum Knapsack solutions. We also
prove the following tradeoff between the size of an RNN and the quality of the
computed Knapsack solution: for Knapsack instances consisting of $n$ items, an
RNN of depth five and width $w$ computes a solution of value at least
$1-\mathcal{O}(n^2/\sqrt{w})$ times the optimum solution value. Our results
build upon a classical dynamic programming formulation of the Knapsack Problem
as well as a careful rounding of profit values that are also at the core of the
well-known fully polynomial-time approximation scheme for the Knapsack Problem.
A carefully conducted computational study qualitatively supports our
theoretical size bounds. Finally, we point out that our results can be
generalized to many other combinatorial optimization problems that admit
dynamic programming solution methods, such as various Shortest Path Problems,
the Longest Common Subsequence Problem, and the Traveling Salesperson Problem.
- Abstract(参考訳): ニューラルネットワークの性能に関する満足度と厳密な数学的理解の発展は、人工知能における大きな課題である。
この背景に対して,従来のnp-hard knapsack問題の例を通して,ニューラルネットワークの表現力について検討する。
我々の主な貢献は、Knapsackインスタンスの各項目に反復的に適用される整列線形ユニットを持つリカレントニューラルネットワーク(RNN)のクラスであり、それによって最適または証明可能な優れた解値を計算する。
最適ナップサック溶液の利益に二次的に依存する深さ4および幅のrnnが最適ナップサック溶液を見つけるのに十分であることを示す。
また、RNNのサイズと計算されたKnapsackソリューションの品質のトレードオフも証明する:$n$アイテム、深さ5のRNN、幅$w$からなるKnapsackインスタンスは、少なくとも1-\mathcal{O}(n^2/\sqrt{w})の値の解を計算する。
この結果は,クナプサック問題の古典的な動的計画法と,クナプサック問題に対するよく知られた完全多項式時間近似スキームの核となる利益値の慎重な丸めを基礎としている。
注意深く実施した計算研究は、理論的なサイズ境界を定性的に支持する。
最後に, 様々な最短経路問題, 長期共通列問題, トラベリングセールスパーソン問題など, 動的プログラミング解法を許容する多くの組合せ最適化問題に対して, 結果の一般化が可能であることを指摘する。
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