論文の概要: Learning with tree tensor networks: complexity estimates and model selection

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.01165v3
• Date: Wed, 19 May 2021 10:15:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-14 14:44:50.263047
• Title: Learning with tree tensor networks: complexity estimates and model selection
• Title（参考訳）: ツリーテンソルネットワークによる学習:複雑性推定とモデル選択
• Authors: Bertrand Michel and Anthony Nouy
• Abstract要約: 経験的リスク最小化フレームワークを用いて,木テンソルネットワークの複雑性に基づくモデル選択法を解析する。 我々の戦略は、ソボレフ空間やベソフ空間を含む幅広い滑らか度クラスに適応するミニマックスであることが示される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 33.10033799230797
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Tree tensor networks, or tree-based tensor formats, are prominent model classes for the approximation of high-dimensional functions in computational and data science. They correspond to sum-product neural networks with a sparse connectivity associated with a dimension tree and widths given by a tuple of tensor ranks. The approximation power of these models has been proved to be (near to) optimal for classical smoothness classes. However, in an empirical risk minimization framework with a limited number of observations, the dimension tree and ranks should be selected carefully to balance estimation and approximation errors. We propose and analyze a complexity-based model selection method for tree tensor networks in an empirical risk minimization framework and we analyze its performance over a wide range of smoothness classes. Given a family of model classes associated with different trees, ranks, tensor product feature spaces and sparsity patterns for sparse tensor networks, a model is selected (\`a la Barron, Birg\'e, Massart) by minimizing a penalized empirical risk, with a penalty depending on the complexity of the model class and derived from estimates of the metric entropy of tree tensor networks. This choice of penalty yields a risk bound for the selected predictor. In a least-squares setting, after deriving fast rates of convergence of the risk, we show that our strategy is (near to) minimax adaptive to a wide range of smoothness classes including Sobolev or Besov spaces (with isotropic, anisotropic or mixed dominating smoothness) and analytic functions. We discuss the role of sparsity of the tensor network for obtaining optimal performance in several regimes. In practice, the amplitude of the penalty is calibrated with a slope heuristics method. Numerical experiments in a least-squares regression setting illustrate the performance of the strategy.
• Abstract（参考訳）: ツリーテンソルネットワーク(ツリーテンソルネットワーク、tree tensor network)は、計算とデータ科学における高次元関数の近似のモデルクラスである。 これらは、次元木とテンソルランクのタプルによって与えられる幅に関連付けられた疎結合の和積ニューラルネットワークに対応する。 これらのモデルの近似力は古典的滑らか度クラスに最適であることが証明されている。 しかし、観測回数が少ない経験的リスク最小化フレームワークでは、推定と近似誤差のバランスをとるために、次元木とランクを慎重に選択する必要がある。 経験的リスク最小化フレームワークを用いて,木テンソルネットワークの複雑性に基づくモデル選択手法を提案し,解析し,その性能を幅広いスムーズなクラスで解析する。 異なる木、ランク、テンソル積特徴空間、スパーステンソルネットワークのスパース性パターンに関連するモデルクラスのファミリーが与えられたとき、ペナルティ化された経験的リスクを最小化し、モデルクラスの複雑さに応じてペナルティを課し、ツリーテンソルネットワークの計量エントロピーの推定からモデルを選択する(\`a la barron, birg\'e, massart)。 このペナルティの選択は、選択された予測者に拘束されるリスクをもたらす。 低二乗の設定では、リスクの収束率を高速に導出した後、ソボレフ空間やベッソフ空間(等方性、異方性、または混合ドーピング滑らか性を含む)や解析関数を含む幅広い滑らか性クラスに適応する戦略が(ほぼ)ミニマックスであることを示す。 いくつかの制度において最適な性能を得るために,テンソルネットワークのスパーシティが果たす役割について論じる。 実際には、ペナルティの振幅は傾斜ヒューリスティックス法で校正される。 最小二乗回帰設定における数値実験は、戦略の性能を示す。

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