論文の概要: Functions with average smoothness: structure, algorithms, and learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.06283v2
• Date: Sun, 8 Nov 2020 09:35:23 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-11 00:52:27.605325
• Title: Functions with average smoothness: structure, algorithms, and learning
• Title（参考訳）: 平均な滑らかさを持つ関数:構造、アルゴリズム、学習
• Authors: Yair Ashlagi, Lee-Ad Gottlieb, Aryeh Kontorovich
• Abstract要約: 各点における局所勾配を定義し、これらの値の平均として関数複雑性を測る。 平均は最大よりも劇的に小さくなるので、この複雑性測度はよりシャープな一般化境界が得られる。 私たちは定義した関数クラスにおいて驚くほどリッチで解析的な構造を発見します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.362670630646804
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We initiate a program of average smoothness analysis for efficiently learning real-valued functions on metric spaces. Rather than using the Lipschitz constant as the regularizer, we define a local slope at each point and gauge the function complexity as the average of these values. Since the mean can be dramatically smaller than the maximum, this complexity measure can yield considerably sharper generalization bounds -- assuming that these admit a refinement where the Lipschitz constant is replaced by our average of local slopes. Our first major contribution is to obtain just such distribution-sensitive bounds. This required overcoming a number of technical challenges, perhaps the most formidable of which was bounding the {\em empirical} covering numbers, which can be much worse-behaved than the ambient ones. Our combinatorial results are accompanied by efficient algorithms for smoothing the labels of the random sample, as well as guarantees that the extension from the sample to the whole space will continue to be, with high probability, smooth on average. Along the way we discover a surprisingly rich combinatorial and analytic structure in the function class we define.
• Abstract（参考訳）: 計量空間上の実数値関数を効率的に学習するための平均滑らかさ解析プログラムを開始する。 リプシッツ定数を正則化子として使うのではなく、各点の局所勾配を定義し、これらの値の平均として関数複雑性を測る。 平均は最大値よりも劇的に小さいため、この複雑性測度は、リプシッツ定数が我々の局所斜面の平均に置き換わる精細化を前提として、かなり鋭い一般化境界を与えることができる。 私たちの最初の大きな貢献は、そのような分布に敏感な境界を得ることです。 これは多くの技術的課題を克服する必要があり、おそらく最も強大なものは、周囲の問題よりもはるかに悪い可能性がある「経験的」被覆数に縛られることであった。 我々の組み合わせの結果は、ランダムサンプルのラベルを滑らかにするための効率的なアルゴリズムと、サンプルから空間全体への拡張が、高い確率で、平均的に滑らかであることを保証する。 その過程で、定義した関数クラスの驚くほどリッチな組合せ構造と解析構造を発見します。

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