論文の概要: Depth separation beyond radial functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.01621v1
• Date: Tue, 2 Feb 2021 17:25:02 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-02-03 16:17:05.091878
• Title: Depth separation beyond radial functions
• Title（参考訳）: ラジアル関数を超える深さ分離
• Authors: Luca Venturi, Samy Jelassi, Tristan Ozuch, Joan Bruna
• Abstract要約: 特定の関数は2重層ネットワークで効率的に近似できるが、高次元の1重層ネットワークでは効率よく近似できないことを示す。 領域の選択は、上値と下値の近似境界の間のギャップの源である。 単層ネットワークで効率よく近似できる関数と、証明不可能な関数の両方の特性について述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 34.11708874794196
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: High-dimensional depth separation results for neural networks show that certain functions can be efficiently approximated by two-hidden-layer networks but not by one-hidden-layer ones in high-dimensions $d$. Existing results of this type mainly focus on functions with an underlying radial or one-dimensional structure, which are usually not encountered in practice. The first contribution of this paper is to extend such results to a more general class of functions, namely functions with piece-wise oscillatory structure, by building on the proof strategy of (Eldan and Shamir, 2016). A common theme in the proof of such results is the fact that one-hidden-layer fail to approximate high-energy functions whose Fourier representation is spread in the domain. On the other hand, existing approximation results of a function by one-hidden-layer neural networks rely on the function having a sparse Fourier representation. The choice of the domain also represents a source of gaps between upper and lower approximation bounds. Focusing on a fixed approximation domain, namely the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$ in dimension $d$, we provide a characterization of both functions which are efficiently approximable by one-hidden-layer networks and of functions which are provably not, in terms of their Fourier expansion.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークの高次元深度分離の結果、特定の関数は2重層ネットワークによって効率的に近似できるが、高次元の1重層は$d$であることがわかった。 このタイプの既存の結果は、主に基礎となる放射状または1次元の構造を持つ機能に焦点を当てている。 本稿の最初の貢献は、(Eldan and Shamir, 2016)の証明戦略に基づいて、より一般的な関数のクラス、すなわち、断片的振動構造を持つ関数にその結果を拡張することである。 このような結果の証明における一般的なテーマは、一隠れ層がフーリエ表現が領域に広がる高エネルギー関数を近似できないという事実である。 一方、1つの隠れたニューラルネットワークによる関数の既存の近似結果は、スパースなフーリエ表現を持つ関数に依存している。 領域の選択はまた、上値と下値の近似境界の間のギャップの源でもある。 固定近似領域、すなわち次元 $d$ における球面 $\mathbb{s}^{d-1}$ に焦点をあてて、1階層ネットワークで効率的に近似可能な両関数と、フーリエ展開の観点で証明可能でない関数のキャラクタリゼーションを提供する。

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