論文の概要: Comparing Classes of Estimators: When does Gradient Descent Beat Ridge Regression in Linear Models?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.11872v1
• Date: Thu, 26 Aug 2021 16:01:37 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-08-27 17:09:23.074927
• Title: Comparing Classes of Estimators: When does Gradient Descent Beat Ridge Regression in Linear Models?
• Title（参考訳）: エスペクタのクラスの比較:線形モデルにおける勾配降下がリッジ回帰を上回ったのはいつか?
• Authors: Dominic Richards, Edgar Dobriban, Patrick Rebeschini
• Abstract要約: クラス内のEmphbestメソッドの相対的性能による推定器のクラスの比較を行う。 これにより、学習アルゴリズムのチューニング感度を厳格に定量化できます。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 46.01087792062936
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: Modern methods for learning from data depend on many tuning parameters, such as the stepsize for optimization methods, and the regularization strength for regularized learning methods. Since performance can depend strongly on these parameters, it is important to develop comparisons between \emph{classes of methods}, not just for particularly tuned ones. Here, we take aim to compare classes of estimators via the relative performance of the \emph{best method in the class}. This allows us to rigorously quantify the tuning sensitivity of learning algorithms. As an illustration, we investigate the statistical estimation performance of ridge regression with a uniform grid of regularization parameters, and of gradient descent iterates with a fixed stepsize, in the standard linear model with a random isotropic ground truth parameter. (1) For orthogonal designs, we find the \emph{exact minimax optimal classes of estimators}, showing they are equal to gradient descent with a polynomially decaying learning rate. We find the exact suboptimalities of ridge regression and gradient descent with a fixed stepsize, showing that they decay as either $1/k$ or $1/k^2$ for specific ranges of $k$ estimators. (2) For general designs with a large number of non-zero eigenvalues, we find that gradient descent outperforms ridge regression when the eigenvalues decay slowly, as a power law with exponent less than unity. If instead the eigenvalues decay quickly, as a power law with exponent greater than unity or exponentially, we find that ridge regression outperforms gradient descent. Our results highlight the importance of tuning parameters. In particular, while optimally tuned ridge regression is the best estimator in our case, it can be outperformed by gradient descent when both are restricted to being tuned over a finite regularization grid.
• Abstract（参考訳）: データから学習する現代の方法は、最適化方法のステップライズや正規化学習方法の正規化強度など、多くのチューニングパラメータに依存する。 性能はこれらのパラメータに強く依存するため、特に調整されたパラメータだけでなく、メソッドのemph{classes of Method}の比較を開発することが重要である。 ここでは,クラス内の \emph{best メソッドの相対的性能を用いて推定器のクラスを比較する。 これにより、学習アルゴリズムのチューニング感度を厳密に定量化できます。 本研究では,ランダム等方的地盤真理パラメータを持つ標準線形モデルにおいて,正則化パラメータの均一格子によるリッジ回帰と定段化による勾配降下の統計的推定性能について検討した。 1)直交設計については,emph{exact minimax optimal class of estimators} が多項式減衰学習率の勾配降下に等しいことを示す。 リッジ回帰と勾配降下の正確な準最適性は一定ステップで示され、特定の範囲で1/k$または1/k^2$で崩壊することを示している。 2) 非零固有値が多数ある一般設計では, 勾配降下は, 固有値が緩やかに減衰するときにリッジ回帰よりも, 指数が一乗よりも小さい力則として優れる。 代わりに固有値が急速に減衰した場合、指数法則がユニティよりも大きいか指数関数的に大きい場合、リッジ回帰は勾配勾配よりも優れる。 この結果は、チューニングパラメータの重要性を強調します。 特に、最適に調整されたリッジ回帰は、我々の場合において最良の推定量であるが、有限正規化格子上のチューニングに制限された場合、勾配降下により性能が向上する。

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