論文の概要: Spectral properties of sample covariance matrices arising from random matrices with independent non identically distributed columns

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.02644v1
• Date: Mon, 6 Sep 2021 14:21:43 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-09-08 14:30:30.910664
• Title: Spectral properties of sample covariance matrices arising from random matrices with independent non identically distributed columns
• Title（参考訳）: 独立な非同分布列を持つランダム行列から生じるサンプル共分散行列のスペクトル特性
• Authors: Cosme Louart and Romain Couillet
• Abstract要約: 関数 $texttr(AR(z))$, for $R(z) = (frac1nXXT- zI_p)-1$ and $Ain mathcal M_p$ deterministic, have a standard deviation of order $O(|A|_* / sqrt n)$. ここでは、$|mathbb E[R(z)] - tilde R(z)|_F を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 50.053491972003656
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Given a random matrix $X= (x_1,\ldots, x_n)\in \mathcal M_{p,n}$ with independent columns and satisfying concentration of measure hypotheses and a parameter $z$ whose distance to the spectrum of $\frac{1}{n} XX^T$ should not depend on $p,n$, it was previously shown that the functionals $\text{tr}(AR(z))$, for $R(z) = (\frac{1}{n}XX^T- zI_p)^{-1}$ and $A\in \mathcal M_{p}$ deterministic, have a standard deviation of order $O(\|A\|_* / \sqrt n)$. Here, we show that $\|\mathbb E[R(z)] - \tilde R(z)\|_F \leq O(1/\sqrt n)$, where $\tilde R(z)$ is a deterministic matrix depending only on $z$ and on the means and covariances of the column vectors $x_1,\ldots, x_n$ (that do not have to be identically distributed). This estimation is key to providing accurate fluctuation rates of functionals of $X$ of interest (mostly related to its spectral properties) and is proved thanks to the introduction of a semi-metric $d_s$ defined on the set $\mathcal D_n(\mathbb H)$ of diagonal matrices with complex entries and positive imaginary part and satisfying, for all $D,D' \in \mathcal D_n(\mathbb H)$: $d_s(D,D') = \max_{i\in[n]} |D_i - D_i'|/ (\Im(D_i) \Im(D_i'))^{1/2}$. Possibly most importantly, the underlying concentration of measure assumption on the columns of $X$ finds an extremely natural ground for application in modern statistical machine learning algorithms where non-linear Lipschitz mappings and high number of classes form the base ingredients.
• Abstract（参考訳）: ランダム行列 $X= (x_1,\ldots, x_n)\in \mathcal M_{p,n}$ が独立な列を持ち、測度仮説の濃度を満足するパラメータ $z$ が$\frac{1}{n} XX^T$ のスペクトルまでの距離が $p,n$ に依存しないことを与えられたとき、関数 $\text{tr}(AR(z))$, for $R(z) = (\frac{1}{n}XX^T-zI_p)^{-1}$ と $A\in \mathcal M_{p}$ の標準偏差が $O(\|A|\|*\sq \rt$)$ であることを示した。 ここでは、$\|\mathbb E[R(z)] - \tilde R(z)\|_F \leq O(1/\sqrt n)$, ここで、$\tilde R(z)$ は $z$ にのみ依存する決定論的行列であり、列ベクトル $x_1,\ldots, x_n$ の手段と共分散に依存する。 この推定は、$X$の関数の正確なゆらぎ率(主にスペクトル特性に関連する)を提供する鍵であり、複素エントリと正の虚部を持ち、すべての$D,D' \in \mathcal D_n(\mathbb H)$: $d_s(D,D') = \max_{i\in[n]} |D_iD_i'|/(\Im(D_i) \Im(D_i)^{1/2}$で定義される半計量の$d_s$の導入によって証明される。 おそらく最も重要なのは、$X$の列上の測度仮定の根底にある濃度は、非線形リプシッツ写像と多くのクラスが基本成分となる現代の統計機械学習アルゴリズムに適用するための非常に自然な基盤を見つけることである。

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