論文の概要: The Communication Complexity of Approximating Matrix Rank

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.20094v1
• Date: Sat, 26 Oct 2024 06:21:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-29 12:21:15.438556
• Title: The Communication Complexity of Approximating Matrix Rank
• Title（参考訳）: 行列ランク近似の通信複雑性
• Authors: Alexander A. Sherstov, Andrey A. Storozhenko,
• Abstract要約: この問題は通信複雑性のランダム化を$Omega(frac1kcdot n2log|mathbbF|)$とする。 アプリケーションとして、$k$パスを持つ任意のストリーミングアルゴリズムに対して、$Omega(frac1kcdot n2log|mathbbF|)$スペースローバウンドを得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 50.6867896228563
• License:
• Abstract: We fully determine the communication complexity of approximating matrix rank, over any finite field $\mathbb{F}$. We study the most general version of this problem, where $0\leq r<R\leq n$ are given integers, Alice and Bob's inputs are matrices $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}$, respectively, and they need to distinguish between the cases $\mathrm{rk}(A+B)=r$ and $\mathrm{rk}(A+B)=R$. We show that this problem has randomized communication complexity $\Omega(1+r^{2}\log|\mathbb{F}|)$. This is optimal in a strong sense because $O(1+r^{2}\log|\mathbb{F}|)$ communication is sufficient to determine, for arbitrary $A,B$, whether $\mathrm{rk}(A+B)\leq r$. Prior to our work, lower bounds were known only for consecutive integers $r$ and $R$, with no implication for the approximation of matrix rank. Our lower bound holds even for quantum protocols and even for error probability $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|\mathbb{F}|^{-r/3}$, which too is virtually optimal because the problem has a two-bit classical protocol with error $\frac{1}{2}-\Theta(|\mathbb{F}|^{-r})$. As an application, we obtain an $\Omega(\frac{1}{k}\cdot n^{2}\log|\mathbb{F}|)$ space lower bound for any streaming algorithm with $k$ passes that approximates the rank of an input matrix $M\in\mathbb{F}^{n\times n}$ within a factor of $\sqrt{2}-\delta$, for any $\delta>0$. Our result is an exponential improvement in $k$ over previous work. We also settle the randomized and quantum communication complexity of several other linear-algebraic problems, for all settings of parameters. This includes the determinant problem (given matrices $A$ and $B$, distinguish between the cases $\mathrm{det}(A+B)=a$ and $\mathrm{det}(A+B)=b$, for fixed field elements $a\ne b)$ and the subspace sum and subspace intersection problem (given subspaces $S$ and $T$ of known dimensions $m$ and $\ell$, respectively, approximate the dimensions of $S+T$ and $S\cap T$).
• Abstract（参考訳）: 任意の有限体 $\mathbb{F}$ 上で、行列階数近似の通信複雑性を完全に決定する。 この問題の最も一般的なバージョンについて研究し、$0\leq r<R\leq n$ を整数とし、Alice と Bob の入力をそれぞれ行列 $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}$ とし、それぞれ $\mathrm{rk}(A+B)=r$ と $\mathrm{rk}(A+B)=R$ を区別する必要がある。 この問題はランダムな通信複雑性$\Omega(1+r^{2}\log|\mathbb{F}|)$であることを示す。 これは強い意味で最適である:$O(1+r^{2}\log|\mathbb{F}|)$通信は任意の$A,B$に対して$\mathrm{rk}(A+B)\leq r$を決定するのに十分である。 我々の研究以前には、下位境界は連続整数$r$と$R$でしか知られていなかったが、行列ランクの近似には影響しなかった。 我々の下界は、量子プロトコルに対しても、誤差確率$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|\mathbb{F}|^{-r/3}$に対しても成り立つが、この問題は、誤差$\frac{1}{2}-\Theta(|\mathbb{F}|^{-r})$を持つ2ビット古典的プロトコルを持つため、実質的に最適である。 アプリケーションとして、$\Omega(\frac{1}{k}\cdot n^{2}\log|\mathbb{F}|)$ space lower bound for any streaming algorithm with $k$ pass that almosts the rank of a input matrix $M\in\mathbb{F}^{n\times n}$ in a factor of $\sqrt{2}-\delta$ for any $\delta>0$。 私たちの成果は、以前の作業よりも400ドルの指数関数的な改善です。 また、パラメータの全ての設定に対して、他の線形代数問題に対するランダム化および量子化通信の複雑さを解決した。 これには、行列式問題(行列式$A$と$B$)と、固定体要素$a\ne b)$に対する$\mathrm{det}(A+B)=a$と$\mathrm{det}(A+B)=b$、および部分空間和と部分空間交叉問題(既知の次元の$m$と$T$はそれぞれ$S+T$と$S\cap T$)とを区別する。

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