論文の概要: Escape saddle points by a simple gradient-descent based algorithm

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.14069v1
• Date: Sun, 28 Nov 2021 07:32:54 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-11-30 16:34:35.841687
• Title: Escape saddle points by a simple gradient-descent based algorithm
• Title（参考訳）: 簡易勾配descent based アルゴリズムによるエスケープサドルポイント
• Authors: Chenyi Zhang, Tongyang Li
• Abstract要約: 非最適化において、サドルポイントのエスケープは中心的な研究トピックである。 滑らかな関数 $fcolonmathbbRntomathbbR$ に対して、$epsilonO(log n)2/epsilon4)$ を出力する。 技術的に、我々の主な貢献は勾配のみを用いたロバストなヘッセンパワー手法の実装である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.7298812735467095
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Escaping saddle points is a central research topic in nonconvex optimization. In this paper, we propose a simple gradient-based algorithm such that for a smooth function $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, it outputs an $\epsilon$-approximate second-order stationary point in $\tilde{O}(\log n/\epsilon^{1.75})$ iterations. Compared to the previous state-of-the-art algorithms by Jin et al. with $\tilde{O}((\log n)^{4}/\epsilon^{2})$ or $\tilde{O}((\log n)^{6}/\epsilon^{1.75})$ iterations, our algorithm is polynomially better in terms of $\log n$ and matches their complexities in terms of $1/\epsilon$. For the stochastic setting, our algorithm outputs an $\epsilon$-approximate second-order stationary point in $\tilde{O}((\log n)^{2}/\epsilon^{4})$ iterations. Technically, our main contribution is an idea of implementing a robust Hessian power method using only gradients, which can find negative curvature near saddle points and achieve the polynomial speedup in $\log n$ compared to the perturbed gradient descent methods. Finally, we also perform numerical experiments that support our results.
• Abstract（参考訳）: サドル点のエスケープは、非凸最適化における中心的な研究トピックである。 本稿では,滑らかな関数 $f\colon\mathbb{r}^n\to\mathbb{r}$ に対して,$\tilde{o}(\log n/\epsilon^{1.75})$ の反復で$\epsilon$-approximate 2次定常点を出力する単純な勾配に基づくアルゴリズムを提案する。 これまでのJinらによる最先端のアルゴリズムと$\tilde{O}((\log n)^{4}/\epsilon^{2})$または$\tilde{O}((\log n)^{6}/\epsilon^{1.75})$イテレーションと比較すると、我々のアルゴリズムは$\log n$の点で多項式的に優れている。 確率的な設定では、アルゴリズムは$\tilde{o}((\log n)^{2}/\epsilon^{4})$イテレーションで$\epsilon$-approximate 2-order stationary pointを出力する。 理論的には,摂動勾配降下法と比較して,サドル点付近で負曲率を求めることができ,多項式速度を$\log n$で達成できるような勾配のみを用いて,強固なヘッセン力法を実装するというアイデアが大きな貢献である。 また,結果を支持する数値実験も行った。

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