論文の概要: Low-Rank Updates of Matrix Square Roots

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2201.13156v3
• Date: Mon, 5 Jun 2023 08:00:24 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-07 05:53:16.931206
• Title: Low-Rank Updates of Matrix Square Roots
• Title（参考訳）: マトリックス角根の低ランク更新
• Authors: Shany Shumeli, Petros Drineas, Haim Avron
• Abstract要約: 行列平方根と逆平方根演算を考える。 行列に対する低階摂動が与えられたとき、(逆)平方根に対する低階近似補正が存在すると論じる。 次に、その方程式に対する低ランク解をどのように計算するかについて議論する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.832944895330117
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Models in which the covariance matrix has the structure of a sparse matrix plus a low rank perturbation are ubiquitous in data science applications. It is often desirable for algorithms to take advantage of such structures, avoiding costly matrix computations that often require cubic time and quadratic storage. This is often accomplished by performing operations that maintain such structures, e.g. matrix inversion via the Sherman-Morrison-Woodbury formula. In this paper we consider the matrix square root and inverse square root operations. Given a low rank perturbation to a matrix, we argue that a low-rank approximate correction to the (inverse) square root exists. We do so by establishing a geometric decay bound on the true correction's eigenvalues. We then proceed to frame the correction as the solution of an algebraic Riccati equation, and discuss how a low-rank solution to that equation can be computed. We analyze the approximation error incurred when approximately solving the algebraic Riccati equation, providing spectral and Frobenius norm forward and backward error bounds. Finally, we describe several applications of our algorithms, and demonstrate their utility in numerical experiments.
• Abstract（参考訳）: 共分散行列がスパース行列と低ランク摂動の構造を持つモデルは、データサイエンスの応用においてユビキタスである。 このような構造を利用するアルゴリズムは、しばしば3次時間と二次記憶を必要とする高価な行列計算を避けることが望ましい。 これはしばしば、シャーマン・モリソン・ウッドベリーの公式を通した行列反転のような構造を維持する操作によって達成される。 本稿では,行列平方根および逆平方根演算について考察する。 行列に対する低階摂動が与えられたとき、(逆)平方根に対する低階近似補正が存在すると論じる。 我々は、真の補正の固有値に縛られる幾何学的減衰を確立することで、そうする。 次に、代数的リッカティ方程式の解として補正を枠組化し、その方程式に対する低ランク解をいかに計算できるかについて議論する。 代数リカティ方程式を解く際に生じる近似誤差を分析し、スペクトルとフロベニウスノルムを前方および後方誤差境界として提供する。 最後に,本アルゴリズムのいくつかの応用について述べるとともに,数値実験でその有用性を実証する。

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