論文の概要: A blob method method for inhomogeneous diffusion with applications to
multi-agent control and sampling
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.12927v1
- Date: Fri, 25 Feb 2022 19:49:05 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-03-01 18:20:55.586428
- Title: A blob method method for inhomogeneous diffusion with applications to
multi-agent control and sampling
- Title（参考訳）: 非均質拡散のブロブ法とマルチエージェント制御とサンプリングへの応用
- Authors: Katy Craig, Karthik Elamvazhuthi, Matt Haberland, Olga Turanova
- Abstract要約: 重み付き多孔質媒質方程式(WPME)に対する決定論的粒子法を開発し,その収束性を時間間隔で証明する。
提案手法は,マルチエージェントカバレッジアルゴリズムや確率測定のサンプリングに自然に応用できる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6562256987706128
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: As a counterpoint to classical stochastic particle methods for linear
diffusion equations, we develop a deterministic particle method for the
weighted porous medium equation (WPME) and prove its convergence on bounded
time intervals. This generalizes related work on blob methods for unweighted
porous medium equations. From a numerical analysis perspective, our method has
several advantages: it is meshfree, preserves the gradient flow structure of
the underlying PDE, converges in arbitrary dimension, and captures the correct
asymptotic behavior in simulations.
That our method succeeds in capturing the long time behavior of WPME is
significant from the perspective of related problems in quantization. Just as
the Fokker-Planck equation provides a way to quantize a probability measure
$\bar{\rho}$ by evolving an empirical measure according to stochastic Langevin
dynamics so that the empirical measure flows toward $\bar{\rho}$, our particle
method provides a way to quantize $\bar{\rho}$ according to deterministic
particle dynamics approximating WMPE. In this way, our method has natural
applications to multi-agent coverage algorithms and sampling probability
measures.
A specific case of our method corresponds exactly to the mean-field dynamics
of training a two-layer neural network for a radial basis function activation
function. From this perspective, our convergence result shows that, in the over
parametrized regime and as the variance of the radial basis functions goes to
zero, the continuum limit is given by WPME. This generalizes previous results,
which considered the case of a uniform data distribution, to the more general
inhomogeneous setting. As a consequence of our convergence result, we identify
conditions on the target function and data distribution for which convexity of
the energy landscape emerges in the continuum limit.
- Abstract（参考訳）: 線形拡散方程式の古典的確率的粒子法に対する反点として、重み付き多孔質媒質方程式(WPME)の決定論的粒子法を開発し、その収束性を有界時間間隔で証明する。
これは、非重み付き多孔質媒質方程式に対するブロブ法に関する関連する研究を一般化する。
数値解析の観点からは, メッシュフリーであり, 基礎となるpdeの勾配流構造を保ち, 任意の次元に収束し, シミュレーションにおける正しい漸近的挙動を捉えている。
本稿では,WPMEの長期的挙動を量子化における関連する問題の観点から捉えた。
Fokker-Planck 方程式が確率測度 $\bar{\rho}$ を確率的ランゲヴィン力学(英語版)に従って経験測度を進化させ、その経験測度が $\bar{\rho}$ へと流れるようにすることで、我々の粒子法は WMPE を近似する決定論的粒子力学に従って $\bar{\rho}$ を定量化する方法を提供する。
このようにして本手法は,マルチエージェントカバレッジアルゴリズムやサンプリング確率測度に自然に応用できる。
本手法の具体例は,放射基底関数活性化関数のための2層ニューラルネットワークをトレーニングする平均場動力学に対応する。
この観点から、収束結果は、過度にパラメトリケートされた状態において、ラジアル基底関数の分散が 0 になるにつれて、連続極限は WPME によって与えられることを示している。
これは、一様データ分布の場合に考慮された以前の結果をより一般的な不均質な設定に一般化する。
その結果,エネルギー景観の凸性が連続体限界に現れる対象関数とデータ分布の条件を同定した。
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