論文の概要: Gradient Descent Optimizes Infinite-Depth ReLU Implicit Networks with Linear Widths

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.07463v1
• Date: Mon, 16 May 2022 06:07:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-05-18 00:10:43.814771
• Title: Gradient Descent Optimizes Infinite-Depth ReLU Implicit Networks with Linear Widths
• Title（参考訳）: 線形幅を有する無限深度ReLUインプリシトネットワークのグラディエントDescentによる最適化
• Authors: Tianxiang Gao, Hongyang Gao
• Abstract要約: 本稿では非線形ReLU活性化暗黙ネットワークにおける勾配流と勾配勾配の収束について検討する。 GF と GD のどちらも,暗黙的ネットワークの幅$m$ が標本サイズでテキストリニアであれば,線形速度で大域最小値に収束することが証明される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 25.237054775800164
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Implicit deep learning has recently become popular in the machine learning community since these implicit models can achieve competitive performance with state-of-the-art deep networks while using significantly less memory and computational resources. However, our theoretical understanding of when and how first-order methods such as gradient descent (GD) converge on \textit{nonlinear} implicit networks is limited. Although this type of problem has been studied in standard feed-forward networks, the case of implicit models is still intriguing because implicit networks have \textit{infinitely} many layers. The corresponding equilibrium equation probably admits no or multiple solutions during training. This paper studies the convergence of both gradient flow (GF) and gradient descent for nonlinear ReLU activated implicit networks. To deal with the well-posedness problem, we introduce a fixed scalar to scale the weight matrix of the implicit layer and show that there exists a small enough scaling constant, keeping the equilibrium equation well-posed throughout training. As a result, we prove that both GF and GD converge to a global minimum at a linear rate if the width $m$ of the implicit network is \textit{linear} in the sample size $N$, i.e., $m=\Omega(N)$.
• Abstract（参考訳）: これらの暗黙のモデルは、メモリと計算資源をはるかに少なくしながら、最先端のディープネットワークと競合する性能を達成することができる。 しかし、勾配降下(GD)のような一階法が暗黙のネットワーク上でどのように収束するかという理論的理解は限られている。 このような問題は、標準フィードフォワードネットワークでは研究されているが、暗黙のネットワークには多くの層があるため、暗黙のモデルの場合はまだ興味深い。 対応する平衡方程式は、訓練中にnoまたは複数の解を許容する。 本稿では,非線形ReLU活性化暗黙ネットワークにおける勾配流(GF)と勾配勾配の収束について検討する。 そこで,我々は,暗黙の層の重み行列をスケールするための固定スカラーを導入することで,十分小さいスケーリング定数が存在することを示し,トレーニング中も平衡方程式がうまく配置されていることを示す。 その結果,暗黙的ネットワークの幅$m$が,サンプルサイズ$n$,すなわち$m=\omega(n)$ で \textit{linear} であれば,gf と gd がともに線形レートで大域的最小値に収束することを証明する。

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