論文の概要: Online Lewis Weight Sampling
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.08268v1
- Date: Sun, 17 Jul 2022 19:40:51 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-07-20 04:02:17.695859
- Title: Online Lewis Weight Sampling
- Title（参考訳）: オンラインLewisウェイトサンプリング
- Authors: David P. Woodruff, Taisuke Yasuda
- Abstract要約: コーエンとペンはルイスの重量サンプリングを理論計算機科学コミュニティに導入した。
この重要なプリミティブを、オンラインコアセット、スライディングウィンドウ、対向ストリーミングモデルなど、他の設定に拡張した作品もいくつかある。
オンラインコアセット,スライディングウィンドウ,および逆ストリーミングモデルにおいて,すべての$pin(0,infty)$に対して,ほぼ最適に近い$ell_p$サブスペース埋め込みを設計する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 62.38157566916501
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The seminal work of Cohen and Peng introduced Lewis weight sampling to the
theoretical computer science community, yielding fast row sampling algorithms
for approximating $d$-dimensional subspaces of $\ell_p$ up to $(1+\epsilon)$
error. Several works have extended this important primitive to other settings,
including the online coreset, sliding window, and adversarial streaming models.
However, these results are only for $p\in\{1,2\}$, and results for $p=1$
require a suboptimal $\tilde O(d^2/\epsilon^2)$ samples.
In this work, we design the first nearly optimal $\ell_p$ subspace embeddings
for all $p\in(0,\infty)$ in the online coreset, sliding window, and the
adversarial streaming models. In all three models, our algorithms store $\tilde
O(d^{1\lor(p/2)}/\epsilon^2)$ rows. This answers a substantial generalization
of the main open question of [BDMMUWZ2020], and gives the first results for all
$p\notin\{1,2\}$.
Towards our result, we give the first analysis of "one-shot'' Lewis weight
sampling of sampling rows proportionally to their Lewis weights, with sample
complexity $\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^2)$ for $p>2$. Previously, this scheme
was only known to have sample complexity $\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^5)$,
whereas $\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^2)$ is known if a more sophisticated
recursive sampling is used. The recursive sampling cannot be implemented
online, thus necessitating an analysis of one-shot Lewis weight sampling. Our
analysis uses a novel connection to online numerical linear algebra.
As an application, we obtain the first one-pass streaming coreset algorithms
for $(1+\epsilon)$ approximation of important generalized linear models, such
as logistic regression and $p$-probit regression. Our upper bounds are
parameterized by a complexity parameter $\mu$ introduced by [MSSW2018], and we
show the first lower bounds showing that a linear dependence on $\mu$ is
necessary.
- Abstract（参考訳）: cohen と peng の独創的な研究は、lewis weight sampling を理論計算機科学コミュニティに導入し、$d$-dimensional subspaces を$(1+\epsilon)$ error に近似する高速列サンプリングアルゴリズムを生み出した。
この重要なプリミティブを、オンラインコアセット、スライディングウィンドウ、対向ストリーミングモデルなど、他の設定に拡張した作品もいくつかある。
しかし、これらの結果は$p\in\{1,2\}$にのみ適用され、$p=1$には$\tilde O(d^2/\epsilon^2)$サンプルが必要である。
本研究では,オンラインコアセット,スライディングウィンドウ,および対向ストリーミングモデルにおいて,すべての$p\in(0,\infty)$に対して,最も最適な$\ell_p$サブスペース埋め込みを設計する。
3つのモデルすべてにおいて、アルゴリズムは$\tilde o(d^{1\lor(p/2)}/\epsilon^2)$行を格納する。
これは[bdmmuwz2020] の主オープン問題の実質的な一般化に答え、すべての$p\notin\{1,2\}$ の最初の結果を与える。
この結果に向けて、ルイス重みに比例してサンプリング列の「ワンショット」ルイス重みサンプリングを初めて分析し、サンプル複雑性$\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^2)$ for $p>2$とする。
以前は、このスキームはサンプル複雑性$\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^5)$しか知られていなかったが、$\tilde O(d^{p/2}/\epsilon^2)$はより洗練された再帰的なサンプリングが用いられる場合に知られている。
再帰的なサンプリングはオンラインでは実施できないため、ワンショットのルイス加重サンプリングの分析が必要である。
本解析では,オンライン数値線形代数への新たな接続を用いる。
アプリケーションとして、ロジスティック回帰や$p$-probit回帰といった、重要な一般化線形モデルの1+\epsilon)$近似に対する最初の1パスストリーミングコアセットアルゴリズムを得る。
我々の上界は[MSSW2018]によって導入された複雑性パラメータ$\mu$でパラメータ化され、最初の下界は$\mu$への線形依存が必要であることを示す。
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