論文の概要: Optimal Diagonal Preconditioning: Theory and Practice
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.00809v1
- Date: Fri, 2 Sep 2022 04:21:28 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2022-09-05 12:14:20.293739
- Title: Optimal Diagonal Preconditioning: Theory and Practice
- Title（参考訳）: 最適対角プレコンディショニング:理論と実践
- Authors: Zhaonan Qu, Wenzhi Gao, Oliver Hinder, Yinyu Ye, Zhengyuan Zhou
- Abstract要約: 本稿では,列数や列数の最大化を同時に達成するために,最適対角前処理の問題を提案する。
実装が容易なベースライン分岐アルゴリズムを提案する。
次に, 片側最適対角前条件問題に特化し, 標準双対SDP問題として定式化できることを実証する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 23.79536881427839
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Preconditioning has been a staple technique in optimization and machine
learning. It often reduces the condition number of the matrix it is applied to,
thereby speeding up convergence of optimization algorithms. Although there are
many popular preconditioning techniques in practice, most lack theoretical
guarantees for reductions in condition number. In this paper, we study the
problem of optimal diagonal preconditioning to achieve maximal reduction in the
condition number of any full-rank matrix by scaling its rows or columns
separately or simultaneously. We first reformulate the problem as a
quasi-convex problem and provide a baseline bisection algorithm that is easy to
implement in practice, where each iteration consists of an SDP feasibility
problem. Then we propose a polynomial time potential reduction algorithm with
$O(\log(\frac{1}{\epsilon}))$ iteration complexity, where each iteration
consists of a Newton update based on the Nesterov-Todd direction. Our algorithm
is based on a formulation of the problem which is a generalized version of the
Von Neumann optimal growth problem. Next, we specialize to one-sided optimal
diagonal preconditioning problems, and demonstrate that they can be formulated
as standard dual SDP problems, to which we apply efficient customized solvers
and study the empirical performance of our optimal diagonal preconditioners.
Our extensive experiments on large matrices demonstrate the practical appeal of
optimal diagonal preconditioners at reducing condition numbers compared to
heuristics-based preconditioners.
- Abstract（参考訳）: プレコンディショニングは最適化と機械学習において重要なテクニックである。
これはしばしば適用される行列の条件数を減らし、最適化アルゴリズムの収束を高速化する。
実際には多くのプリコンディショニング技術があるが、ほとんどが条件数の減少に関する理論的保証を欠いている。
本稿では,任意のフルランク行列の条件数に対して,行や列を個別に,あるいは同時にスケーリングすることで最大化を実現するために,最適対角前処理の問題を検討する。
まず,この問題を準凸問題として再検討し,各イテレーションがsdp実現可能性問題からなるような,実装が容易なベースライン二分割アルゴリズムを提供する。
次に、各イテレーションがネステロフ-トッド方向に基づくニュートン更新からなる、$o(\log(\frac{1}{\epsilon}))$イテレーション複雑性を持つ多項式時間ポテンシャル低減アルゴリズムを提案する。
我々のアルゴリズムは、フォン・ノイマン最適成長問題の一般化版である問題の定式化に基づいている。
次に, 片側最適対角前条件問題に特化し, 標準双対SDP問題として定式化できることを示し, 効率的なカスタマイズ解法を適用し, 最適対角前条件器の実証性能について検討する。
大規模行列に関する広範な実験は, ヒューリスティックス型プリコンディショナーと比較して, 最適対角型プリコンディショナーの条件数低減の実用性を示す。
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