論文の概要: Neural Networks Efficiently Learn Low-Dimensional Representations with SGD

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.14863v1
• Date: Thu, 29 Sep 2022 15:29:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-09-30 16:26:41.361068
• Title: Neural Networks Efficiently Learn Low-Dimensional Representations with SGD
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークによるSGDによる低次元表現の学習
• Authors: Alireza Mousavi-Hosseini, Sejun Park, Manuela Girotti, Ioannis Mitliagkas, Murat A. Erdogdu
• Abstract要約: SGDで訓練されたReLU NNは、主方向を回復することで、$y=f(langleboldsymbolu,boldsymbolxrangle) + epsilon$という形の単一インデックスターゲットを学習できることを示す。 また、SGDによる近似低ランク構造を用いて、NNに対して圧縮保証を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.703825902761405
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the problem of training a two-layer neural network (NN) of arbitrary width using stochastic gradient descent (SGD) where the input $\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^d$ is Gaussian and the target $y \in \mathbb{R}$ follows a multiple-index model, i.e., $y=g(\langle\boldsymbol{u_1},\boldsymbol{x}\rangle,...,\langle\boldsymbol{u_k},\boldsymbol{x}\rangle)$ with a noisy link function $g$. We prove that the first-layer weights of the NN converge to the $k$-dimensional principal subspace spanned by the vectors $\boldsymbol{u_1},...,\boldsymbol{u_k}$ of the true model, when online SGD with weight decay is used for training. This phenomenon has several important consequences when $k \ll d$. First, by employing uniform convergence on this smaller subspace, we establish a generalization error bound of $\mathcal{O}(\sqrt{{kd}/{T}})$ after $T$ iterations of SGD, which is independent of the width of the NN. We further demonstrate that, SGD-trained ReLU NNs can learn a single-index target of the form $y=f(\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{x}\rangle) + \epsilon$ by recovering the principal direction, with a sample complexity linear in $d$ (up to log factors), where $f$ is a monotonic function with at most polynomial growth, and $\epsilon$ is the noise. This is in contrast to the known $d^{\Omega(p)}$ sample requirement to learn any degree $p$ polynomial in the kernel regime, and it shows that NNs trained with SGD can outperform the neural tangent kernel at initialization. Finally, we also provide compressibility guarantees for NNs using the approximate low-rank structure produced by SGD.
• Abstract（参考訳）: そこで、入力である\boldsymbol{x}\in \mathbb{r}^d$ がガウス型であり、ターゲットである $y \in \mathbb{r}$ が多重インデックスモデル、すなわち$y=g(\langle\boldsymbol{u_1},\boldsymbol{x}\rangle,...,\langle\boldsymbol{u_k},\boldsymbol{x}\rangle)$ に従う確率的勾配降下(sgd)を用いて、任意の幅の2層ニューラルネットワーク(nn)を訓練する問題について検討する。 NNの第1層重みは、ウェイト崩壊を伴うオンラインSGDがトレーニングに使用されるとき、真のモデルのベクトル $\boldsymbol{u_1},...,\boldsymbol{u_k}$ で表される$k$次元の主部分空間に収束することを示す。 この現象は、$k \ll d$ のときにいくつかの重要な結果をもたらす。 まず、この小さな部分空間上で一様収束を行うことで、nnの幅に依存しないsgdの$t$反復後に$\mathcal{o}(\sqrt{{{kd}/{t}})$という一般化誤差を成立させる。 さらに、SGD で訓練された ReLU NN は、主方向を回復することで $y=f(\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{x}\rangle) + \epsilon$ という形の単一インデックスターゲットを学習できる。 これは既知の$d^{\Omega(p)}$サンプル要件とは対照的であり、SGDで訓練されたNNが初期化時に神経タンジェントカーネルより優れていることを示している。 最後に,SGD による近似低ランク構造を用いて,NN の圧縮性を保証する。

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