論文の概要: Condition-number-independent Convergence Rate of Riemannian Hamiltonian
Monte Carlo with Numerical Integrators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.07219v1
- Date: Thu, 13 Oct 2022 17:46:51 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-10-14 17:45:34.569539
- Title: Condition-number-independent Convergence Rate of Riemannian Hamiltonian
Monte Carlo with Numerical Integrators
- Title（参考訳）: 数値積分器を用いたリーマンハミルトニアンモンテカルロの条件数非依存収束速度
- Authors: Yunbum Kook, Yin Tat Lee, Ruoqi Shen, Santosh S. Vempala
- Abstract要約: 我々は、$m制約のあるポリトープ上の$e-alphatopx$の形式での分布に対して、一般的に使用される$の族の収束率は、$leftVert alpharightVert$とポリトープの幾何学とは独立であることを示す。
これらの保証は、多様体と積分子のパラメータの項で$e-f(x)$という形の密度の収束率の一般境界に基づいている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.49731518828916
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study the convergence rate of discretized Riemannian Hamiltonian Monte
Carlo on sampling from distributions in the form of $e^{-f(x)}$ on a convex set
$\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^{n}$. We show that for distributions in the form
of $e^{-\alpha^{\top}x}$ on a polytope with $m$ constraints, the convergence
rate of a family of commonly-used integrators is independent of $\left\Vert
\alpha\right\Vert_2$ and the geometry of the polytope. In particular, the
Implicit Midpoint Method (IMM) and the generalized Leapfrog integrator (LM)
have a mixing time of $\widetilde{O}\left(mn^{3}\right)$ to achieve $\epsilon$
total variation distance to the target distribution. These guarantees are based
on a general bound on the convergence rate for densities of the form
$e^{-f(x)}$ in terms of parameters of the manifold and the integrator. Our
theoretical guarantee complements the empirical results of [KLSV22], which
shows that RHMC with IMM can sample ill-conditioned, non-smooth and constrained
distributions in very high dimension efficiently in practice.
- Abstract（参考訳）: 離散化されたリーマン・ハミルトニアン・モンテカルロの収束速度を、凸集合 $\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^{n}$ 上の$e^{-f(x)}$ の形で分布からサンプリングする。
m$ 制約のあるポリトープ上の $e^{-\alpha^{\top}x}$ の形での分布に対しては、よく使われる積分器の族収束率は、$\left\vert \alpha\right\vert_2$ とポリトープの幾何とは独立である。
特に、暗黙的中点法(imm)と一般化されたleapfrog積分器(lm)は、目標分布に対する$\epsilon$の全変動距離を達成するために$\widetilde{o}\left(mn^{3}\right)$の混合時間を持つ。
これらの保証は、多様体と積分器のパラメータの観点で、$e^{-f(x)}$という形の密度の収束率の一般境界に基づいている。
我々の理論的保証は, [KLSV22] の実証結果を補完するもので, この結果から, RHMC と IMM を併用すれば, 極めて高次元の非平滑分布, 非平滑分布, 制約分布を効率的にサンプリングできることが示された。
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