論文の概要: Convergence Rates for Non-Log-Concave Sampling and Log-Partition
Estimation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.03237v1
- Date: Mon, 6 Mar 2023 15:53:44 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-07 15:29:49.926732
- Title: Convergence Rates for Non-Log-Concave Sampling and Log-Partition
Estimation
- Title（参考訳）: 非対数凹サンプリングの収束率と対数分割推定
- Authors: David Holzm\"uller, Francis Bach
- Abstract要約: m$timesの微分可能関数が$d$の場合、$n$(m/d)のアルゴリズムの最適レートは$n(m/d)であることが知られている。
サンプリングと計算に類似したレートが可能であり、独立レートが$d$の時間で実現可能であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Sampling from Gibbs distributions $p(x) \propto \exp(-V(x)/\varepsilon)$ and
computing their log-partition function are fundamental tasks in statistics,
machine learning, and statistical physics. However, while efficient algorithms
are known for convex potentials $V$, the situation is much more difficult in
the non-convex case, where algorithms necessarily suffer from the curse of
dimensionality in the worst case. For optimization, which can be seen as a
low-temperature limit of sampling, it is known that smooth functions $V$ allow
faster convergence rates. Specifically, for $m$-times differentiable functions
in $d$ dimensions, the optimal rate for algorithms with $n$ function
evaluations is known to be $O(n^{-m/d})$, where the constant can potentially
depend on $m, d$ and the function to be optimized. Hence, the curse of
dimensionality can be alleviated for smooth functions at least in terms of the
convergence rate. Recently, it has been shown that similarly fast rates can
also be achieved with polynomial runtime $O(n^{3.5})$, where the exponent $3.5$
is independent of $m$ or $d$. Hence, it is natural to ask whether similar rates
for sampling and log-partition computation are possible, and whether they can
be realized in polynomial time with an exponent independent of $m$ and $d$. We
show that the optimal rates for sampling and log-partition computation are
sometimes equal and sometimes faster than for optimization. We then analyze
various polynomial-time sampling algorithms, including an extension of a recent
promising optimization approach, and find that they sometimes exhibit
interesting behavior but no near-optimal rates. Our results also give further
insights on the relation between sampling, log-partition, and optimization
problems.
- Abstract（参考訳）: Gibbsディストリビューションからサンプリングする$p(x) \propto \exp(-V(x)/\varepsilon)$とそれらのログ分割関数の計算は統計学、機械学習、統計物理学の基本的なタスクである。
しかしながら、効率的なアルゴリズムは凸ポテンシャル$V$で知られているが、非凸の場合、最悪の場合、アルゴリズムが必然的に次元性の呪いに苦しむ場合、状況ははるかに困難である。
サンプリングの低温限界と見なすことができる最適化のために、滑らかな関数 $v$ はより高速な収束率を可能にすることが知られている。
具体的には、$d$次元における$m$-times微分可能関数の場合、$n$関数評価を持つアルゴリズムの最適レートは$O(n^{-m/d})$であることが知られており、定数は$m, d$と最適化される関数に依存する可能性がある。
したがって、次元性の呪いは少なくとも収束率の観点から滑らかな函数に対して緩和することができる。
近年、多項式ランタイム $o(n^{3.5})$ でも同様の速さを達成できることが示されており、指数 $3.5$ は $m$ または $d$ から独立している。
したがって、サンプリングとログ分割計算の類似のレートが可能か、あるいは$m$と$d$に依存しない指数で多項式時間で実現可能かどうかを問うのは自然である。
サンプリングおよびログ分割計算の最適レートは、最適化よりも等しく、時として高速であることを示す。
次に,最近期待されている最適化手法の拡張を含む様々な多項式時間サンプリングアルゴリズムを分析し,興味ある振る舞いを呈するが、ほぼ最適に近い速度は示さないことを示す。
また,サンプリング,ログ分割,最適化問題との関係についても考察した。
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