論文の概要: An Approximation Theory for Metric Space-Valued Functions With A View
Towards Deep Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.12231v2
- Date: Mon, 24 Jul 2023 16:00:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-25 23:13:57.706037
- Title: An Approximation Theory for Metric Space-Valued Functions With A View
Towards Deep Learning
- Title（参考訳）: 深層学習をめざした計量空間値関数の近似理論
- Authors: Anastasis Kratsios, Chong Liu, Matti Lassas, Maarten V. de Hoop, Ivan
Dokmani\'c
- Abstract要約: 任意のポーランド計量空間 $mathcalX$ と $mathcalY$ の間の連続写像の普遍函数近似器を構築する。
特に、必要なディラック測度数は $mathcalX$ と $mathcalY$ の構造によって決定されることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 25.25903127886586
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Motivated by the developing mathematics of deep learning, we build universal
functions approximators of continuous maps between arbitrary Polish metric
spaces $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ using elementary functions between
Euclidean spaces as building blocks. Earlier results assume that the target
space $\mathcal{Y}$ is a topological vector space. We overcome this limitation
by ``randomization'': our approximators output discrete probability measures
over $\mathcal{Y}$. When $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are Polish without
additional structure, we prove very general qualitative guarantees; when they
have suitable combinatorial structure, we prove quantitative guarantees for
H\"{o}lder-like maps, including maps between finite graphs, solution operators
to rough differential equations between certain Carnot groups, and continuous
non-linear operators between Banach spaces arising in inverse problems. In
particular, we show that the required number of Dirac measures is determined by
the combinatorial structure of $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$. For barycentric
$\mathcal{Y}$, including Banach spaces, $\mathbb{R}$-trees, Hadamard manifolds,
or Wasserstein spaces on Polish metric spaces, our approximators reduce to
$\mathcal{Y}$-valued functions. When the Euclidean approximators are neural
networks, our constructions generalize transformer networks, providing a new
probabilistic viewpoint of geometric deep learning.
- Abstract（参考訳）: 深層学習の数学の発展により、任意のポーランド計量空間 $\mathcal{X}$ と $\mathcal{Y}$ の間の連続写像の普遍関数近似器を構築し、ユークリッド空間間の基本関数をビルディングブロックとして利用する。
初期の結果は、対象空間 $\mathcal{Y}$ が位相ベクトル空間であると仮定した。
この制限を ``randomization'' で克服する: 近似子は$\mathcal{y}$ 以上の離散確率測度を出力する。
適当な組合せ構造を持つ場合には、有限グラフ間の写像、カルノー群間の粗微分方程式への解作用素、逆問題に起因するバナッハ空間間の連続非線型作用素を含む H\"{o}lder-like map に対する定量的保証を証明します。
特に、必要なディラック測度の数が $\mathcal{x}$ と $\mathcal{y}$ の組合せ構造によって決定されることを示す。
バナッハ空間、$\mathbb{R}$-ツリー、アダマール多様体、ポーランド計量空間上のワッサーシュタイン空間を含む、偏心$\mathcal{Y}$に対して、近似器は$\mathcal{Y}$-値関数に還元される。
ユークリッド近似器がニューラルネットワークである場合、我々はトランスフォーマーネットワークを一般化し、幾何学的深層学習の新しい確率論的視点を提供する。
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