論文の概要: Revisiting Subgradient Method: Complexity and Convergence Beyond Lipschitz Continuity
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.14161v2
- Date: Thu, 31 Oct 2024 02:34:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-11-01 16:56:28.454458
- Title: Revisiting Subgradient Method: Complexity and Convergence Beyond Lipschitz Continuity
- Title（参考訳）: リプシッツ連続性を超えた複雑さと収束性
- Authors: Xiao Li, Lei Zhao, Daoli Zhu, Anthony Man-Cho So,
- Abstract要約: 次進法は非滑らかな最適化のための最も基本的なアルゴリズムスキームの1つである。
本研究では、まず、非Lipschitz凸と弱凸最小化をカバーするために、下次法の典型的な反復複雑性結果を拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 24.45688490844496
- License:
- Abstract: The subgradient method is one of the most fundamental algorithmic schemes for nonsmooth optimization. The existing complexity and convergence results for this method are mainly derived for Lipschitz continuous objective functions. In this work, we first extend the typical iteration complexity results for the subgradient method to cover non-Lipschitz convex and weakly convex minimization. Specifically, for the convex case, we can drive the suboptimality gap to below $\varepsilon$ in $\mathcal{O}( \varepsilon^{-2} )$ iterations; for the weakly convex case, we can drive the gradient norm of the Moreau envelope of the objective function to below $\varepsilon$ in $\mathcal{O}( \varepsilon^{-4} )$ iterations. Then, we provide convergence results for the subgradient method in the non-Lipschitz setting when proper diminishing rules on the step size are used. In particular, when $f$ is convex, we establish an $\mathcal{O}(\log(k)/\sqrt{k})$ rate of convergence in terms of the suboptimality gap, where $k$ represents the iteration count. With an additional quadratic growth property, the rate is improved to $\mathcal{O}(1/k)$ in terms of the squared distance to the optimal solution set. When $f$ is weakly convex, asymptotic convergence is established. Our results neither require any modification to the subgradient method nor impose any growth condition on the subgradients, while our analysis is surprisingly simple. To further illustrate the wide applicability of our framework, we extend the aforementioned iteration complexity results to cover the truncated subgradient, the stochastic subgradient, and the proximal subgradient methods for non-Lipschitz convex / weakly convex objective functions.
- Abstract（参考訳）: 勾配法は非滑らかな最適化のための最も基本的なアルゴリズムスキームの1つである。
この方法の既存の複雑性と収束結果は、主にリプシッツ連続目的関数のために導出される。
本研究では、まず、非Lipschitz凸と弱凸最小化をカバーするために、下次法の典型的な反復複雑性結果を拡張する。
具体的には、凸の場合、準最適性ギャップを$\mathcal{O}( \varepsilon^{-2} )$イテレーションで、弱凸の場合、目的関数のモローエンベロープの勾配ノルムを$\mathcal{O}( \varepsilon^{-4} )$イテレーションで$$\mathcal{O}( \varepsilon^{-4} )以下にすることができる。
次に,ステップサイズに対する適切な減少規則が用いられる場合,非Lipschitz設定において,段階的手法の収束結果を提供する。
特に、$f$ が凸であれば、$k$ が反復数を表す部分最適性ギャップという観点から $\mathcal{O}(\log(k)/\sqrt{k})$収束率を確立する。
追加の二次成長特性により、最適解集合への平方距離の点で$\mathcal{O}(1/k)$に改善される。
f$ が弱凸であるとき、漸近収束が確立される。
本研究の結果は, 過次法の変更や, 過次法に成長条件を課す必要はなく, 解析は驚くほど単純である。
フレームワークの広範な適用性を説明するため、上記の反復複雑性を拡張して、非Lipschitz凸/弱凸目的関数に対するトランケート下次法、確率下次法、および近位下次法をカバーする。
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