論文の概要: Rates of Approximation by ReLU Shallow Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.12461v1
• Date: Mon, 24 Jul 2023 00:16:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-25 16:02:12.841216
• Title: Rates of Approximation by ReLU Shallow Neural Networks
• Title（参考訳）: ReLU浅層ニューラルネットワークによる近似の速度
• Authors: Tong Mao and Ding-Xuan Zhou
• Abstract要約: 隠れたニューロンが$m$のReLU浅部ニューラルネットワークは、H"古い空間からの関数を均一に近似できることを示す。 そのようなレートは$O(m-fracrd)$に非常に近いが、$fracd+2d+4d+4$は、$d$が大きければ1ドルに近いという意味では$O(m-fracrd)$である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.22379888383833
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Neural networks activated by the rectified linear unit (ReLU) play a central role in the recent development of deep learning. The topic of approximating functions from H\"older spaces by these networks is crucial for understanding the efficiency of the induced learning algorithms. Although the topic has been well investigated in the setting of deep neural networks with many layers of hidden neurons, it is still open for shallow networks having only one hidden layer. In this paper, we provide rates of uniform approximation by these networks. We show that ReLU shallow neural networks with $m$ hidden neurons can uniformly approximate functions from the H\"older space $W_\infty^r([-1, 1]^d)$ with rates $O((\log m)^{\frac{1}{2} +d}m^{-\frac{r}{d}\frac{d+2}{d+4}})$ when $r<d/2 +2$. Such rates are very close to the optimal one $O(m^{-\frac{r}{d}})$ in the sense that $\frac{d+2}{d+4}$ is close to $1$, when the dimension $d$ is large.
• Abstract（参考訳）: 修正線形単位(ReLU)によって活性化されるニューラルネットワークは、近年のディープラーニングの発展において中心的な役割を果たす。 これらのネットワークによるh\"older空間からの近似関数の話題は、誘導学習アルゴリズムの効率を理解する上で重要である。 この話題は、多くの隠れたニューロンの層を持つディープニューラルネットワークの設定においてよく研究されているが、隠れた層が1つしかない浅いネットワークには依然としてオープンである。 本稿では,これらのネットワークによる一様近似率を提案する。 隠れたニューロンを持つReLU浅部ニューラルネットワークは、$r<d/2 +2$のとき、$O((\log m)^{\frac{1}{2} +d}m^{-\frac{r}{d}\frac{d+2}{d+4}})$のとき、H\"古い空間$W_\infty^r([-1, 1]^d)$の関数を均一に近似することができることを示す。 このようなレートは、$d$が大きければ$\frac{d+2}{d+4}$が$$に近いという意味で、最適な1ドルの$o(m^{-\frac{r}{d}})に非常に近い。

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