論文の概要: Clustering Mixtures of Bounded Covariance Distributions Under Optimal Separation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.11769v1
• Date: Tue, 19 Dec 2023 01:01:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-20 17:37:29.044571
• Title: Clustering Mixtures of Bounded Covariance Distributions Under Optimal Separation
• Title（参考訳）: 最適分離下における有界共分散分布のクラスタリング混合
• Authors: Ilias Diakonikolas, Daniel M. Kane, Jasper C. H. Lee, Thanasis Pittas
• Abstract要約: 境界共分散分布の混合に対するクラスタリング問題について検討する。 このクラスタリングタスクに対して,最初のポリ時間アルゴリズムを提案する。 我々のアルゴリズムは、対数外乱の$Omega(alpha)$-fractionに対して堅牢である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.25945344950543
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the clustering problem for mixtures of bounded covariance distributions, under a fine-grained separation assumption. Specifically, given samples from a $k$-component mixture distribution $D = \sum_{i =1}^k w_i P_i$, where each $w_i \ge \alpha$ for some known parameter $\alpha$, and each $P_i$ has unknown covariance $\Sigma_i \preceq \sigma^2_i \cdot I_d$ for some unknown $\sigma_i$, the goal is to cluster the samples assuming a pairwise mean separation in the order of $(\sigma_i+\sigma_j)/\sqrt{\alpha}$ between every pair of components $P_i$ and $P_j$. Our contributions are as follows: For the special case of nearly uniform mixtures, we give the first poly-time algorithm for this clustering task. Prior work either required separation scaling with the maximum cluster standard deviation (i.e. $\max_i \sigma_i$) [DKK+22b] or required both additional structural assumptions and mean separation scaling as a large degree polynomial in $1/\alpha$ [BKK22]. For general-weight mixtures, we point out that accurate clustering is information-theoretically impossible under our fine-grained mean separation assumptions. We introduce the notion of a clustering refinement -- a list of not-too-small subsets satisfying a similar separation, and which can be merged into a clustering approximating the ground truth -- and show that it is possible to efficiently compute an accurate clustering refinement of the samples. Furthermore, under a variant of the "no large sub-cluster'' condition from in prior work [BKK22], we show that our algorithm outputs an accurate clustering, not just a refinement, even for general-weight mixtures. As a corollary, we obtain efficient clustering algorithms for mixtures of well-conditioned high-dimensional log-concave distributions. Moreover, our algorithm is robust to $\Omega(\alpha)$-fraction of adversarial outliers.
• Abstract（参考訳）: 境界共分散分布の混合に対するクラスタリング問題をきめ細かい分離仮定の下で検討する。 具体的には、$k$-コンポーネントの混合分散 $d = \sum_{i =1}^k w_i p_i$, ここで、既知のパラメータ $\alpha$ に対して各$w_i \ge \alpha$, そして、各$p_i$ は未知の共分散 $\sigma_i \preceq \sigma^2_i \cdot i_d$ を持つ。 我々の貢献は以下の通りである: ほぼ均一な混合の場合、このクラスタリングタスクのための最初のポリ時間アルゴリズムを与える。 以前の作業では、最大クラスタ標準偏差による分離スケーリング(例えば、$\max_i \sigma_i$) [DKK+22b] が必要か、あるいは1/\alpha$ [BKK22] の高次多項式として追加の構造仮定と平均分離スケーリングの両方が必要であった。 一般質量混合では, 正確なクラスタリングは, 詳細な平均分離仮定の下では情報理論的に不可能である。 我々は,類似した分離を満足し,基底真理を近似するクラスタリングにマージ可能な,比較的小さなサブセットのリストであるクラスタリング改良の概念を導入し,サンプルの正確なクラスタリング改良を効率的に計算できることを示す。 さらに,先行研究 [bkk22] による "no large sub-cluster'' 条件の変種において,本アルゴリズムが単に改良しただけでなく,一般重量混合においても正確なクラスタリングを出力することを示す。 コーナリーとして、よく条件付き高次元対数凹分布の混合に対する効率的なクラスタリングアルゴリズムを得る。 さらに,我々のアルゴリズムは,逆数外乱の$\Omega(\alpha)$-fractionに対して頑健である。

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