論文の概要: Families of costs with zero and nonnegative MTW tensor in optimal
transport
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.00953v1
- Date: Mon, 1 Jan 2024 20:33:27 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-03 15:11:47.781991
- Title: Families of costs with zero and nonnegative MTW tensor in optimal
transport
- Title（参考訳）: 最適輸送におけるゼロおよび非負のMTWテンソルによるコストの家族
- Authors: Du Nguyen
- Abstract要約: 我々は、$mathsfc$のコスト関数を持つ$mathbbRn$上の最適輸送問題に対するMTWテンソルを明示的に計算する。
我々は$sinh$-typeの双曲的コストを分析し、$mathsfc$-type関数と発散の例を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We compute explicitly the MTW tensor (or cross curvature) for the optimal
transport problem on $\mathbb{R}^n$ with a cost function of form $\mathsf{c}(x,
y) = \mathsf{u}(x^{\mathfrak{t}}y)$, where $\mathsf{u}$ is a scalar function
with inverse $\mathsf{s}$, $x^{\ft}y$ is a nondegenerate bilinear pairing of
vectors $x, y$ belonging to an open subset of $\mathbb{R}^n$. The condition
that the MTW-tensor vanishes on null vectors under the Kim-McCann metric is a
fourth-order nonlinear ODE, which could be reduced to a linear ODE of the form
$\mathsf{s}^{(2)} - S\mathsf{s}^{(1)} + P\mathsf{s} = 0$ with constant
coefficients $P$ and $S$. The resulting inverse functions include {\it Lambert}
and {\it generalized inverse hyperbolic\slash trigonometric} functions. The
square Euclidean metric and $\log$-type costs are equivalent to instances of
these solutions. The optimal map for the family is also explicit. For cost
functions of a similar form on a hyperboloid model of the hyperbolic space and
unit sphere, we also express this tensor in terms of algebraic expressions in
derivatives of $\mathsf{s}$ using the Gauss-Codazzi equation, obtaining new
families of strictly regular costs for these manifolds, including new families
of {\it power function costs}. We analyze the $\sinh$-type hyperbolic cost,
providing examples of $\mathsf{c}$-convex functions and divergence.
- Abstract（参考訳）: 我々は、$\mathsf{c}(x, y) = \mathsf{u}(x^{\mathfrak{t}}y)$, ここで$\mathsf{u}$は逆$\mathsf{s}$, $x^{\ft}y$は、$\mathbb{R}^n$の開部分集合に属する非退化双線型対である。
kim-mccann計量の下でヌルベクトル上でmtw-テンソルが消滅する条件は4階の非線形odeであり、これは定数係数 $p$ と $s$ を持つ $\mathsf{s}^{(2)} - s\mathsf{s}^{(1)} + p\mathsf{s} = 0$ の形の線型odeに還元できる。
結果として得られる逆函数には、 {\it Lambert} および {\it generalized inverse hyperbolic\slash trigonometric} 関数がある。
平方ユークリッド計量と$\log$-typeコストはこれらの解の例と同値である。
族に対する最適写像もまた明示的である。
双曲空間と単位球面の双曲型モデル上の同様の形式のコスト函数に対して、このテンソルはガウス・コダッツィ方程式を用いて$\mathsf{s}$ の微分の代数表現の観点から表現され、これらの多様体に対する厳密な正規コストの新しい族を得る。
我々は、$\sinh$型双曲コストを分析し、$\mathsf{c}$-convex関数と発散の例を提供する。
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