論文の概要: Convergence of Implicit Gradient Descent for Training Two-Layer Physics-Informed Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.02827v2
• Date: Sat, 10 Aug 2024 13:30:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-13 20:53:08.489360
• Title: Convergence of Implicit Gradient Descent for Training Two-Layer Physics-Informed Neural Networks
• Title（参考訳）: 2層物理インフォームニューラルネットワークのトレーニングにおける入射勾配の収束性
• Authors: Xianliang Xu, Ting Du, Wang Kong, Ye Li, Zhongyi Huang,
• Abstract要約: 暗黙の勾配降下(IGD)は、ある種のマルチスケール問題を扱う場合、共通勾配降下(GD)よりも優れる。 IGDは線形収束速度で大域的に最適解を収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.680127959836384
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Optimization algorithms are crucial in training physics-informed neural networks (PINNs), as unsuitable methods may lead to poor solutions. Compared to the common gradient descent (GD) algorithm, implicit gradient descent (IGD) outperforms it in handling certain multi-scale problems. In this paper, we provide convergence analysis for the IGD in training over-parameterized two-layer PINNs. We first demonstrate the positive definiteness of Gram matrices for some general smooth activation functions, such as sigmoidal function, softplus function, tanh function, and others. Then, over-parameterization allows us to prove that the randomly initialized IGD converges a globally optimal solution at a linear convergence rate. Moreover, due to the distinct training dynamics of IGD compared to GD, the learning rate can be selected independently of the sample size and the least eigenvalue of the Gram matrix. Additionally, the novel approach used in our convergence analysis imposes a milder requirement on the network width. Finally, empirical results validate our theoretical findings.
• Abstract（参考訳）: 最適化アルゴリズムは物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)のトレーニングに不可欠である。 共通勾配降下法(GD)アルゴリズムと比較して、暗黙勾配降下法(IGD)はある種のマルチスケール問題に対処する上で優れる。 本稿では、過パラメータ化された2層PINNのトレーニングにおけるIGDの収束解析について述べる。 まず、Sigmoidal関数、Softplus関数、tanh関数などの一般的な滑らかな活性化関数に対するグラム行列の正の定性を示す。 そして、過パラメータ化により、ランダムに初期化されたIGDが線形収束速度で大域的最適解を収束させることを証明できる。 さらに,GDと比較してIGDのトレーニングダイナミクスが異なるため,サンプルサイズとグラム行列の最小固有値とは独立に学習率を選択することができる。 さらに, 収束解析における新しい手法は, ネットワーク幅に対してより穏やかな要件を課している。 最後に, 実験結果から理論的知見が得られた。

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