論文の概要: Wasserstein Gradient Flows of MMD Functionals with Distance Kernel and Cauchy Problems on Quantile Functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.07498v2
• Date: Fri, 08 Nov 2024 12:17:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-11 18:11:08.521137
• Title: Wasserstein Gradient Flows of MMD Functionals with Distance Kernel and Cauchy Problems on Quantile Functions
• Title（参考訳）: 距離カーネルを持つMDD関数のワッサースタイン勾配流れと量子関数の因果問題
• Authors: Richard Duong, Viktor Stein, Robert Beinert, Johannes Hertrich, Gabriele Steidl,
• Abstract要約: 最大平均離散関数のワッサーシュタイン勾配流について述べる: $mathcal F_nu := textMMD_K2(cdot, nu)$。 ある$mathcal F_nu$-flowsに対して、これは初期点測度がすぐに絶対連続となり、時間とともにそれを維持することを意味する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.3301643766310374
• License:
• Abstract: We give a comprehensive description of Wasserstein gradient flows of maximum mean discrepancy (MMD) functionals $\mathcal F_\nu := \text{MMD}_K^2(\cdot, \nu)$ towards given target measures $\nu$ on the real line, where we focus on the negative distance kernel $K(x,y) := -|x-y|$. In one dimension, the Wasserstein-2 space can be isometrically embedded into the cone $\mathcal C(0,1) \subset L_2(0,1)$ of quantile functions leading to a characterization of Wasserstein gradient flows via the solution of an associated Cauchy problem on $L_2(0,1)$. Based on the construction of an appropriate counterpart of $\mathcal F_\nu$ on $L_2(0,1)$ and its subdifferential, we provide a solution of the Cauchy problem. For discrete target measures $\nu$, this results in a piecewise linear solution formula. We prove invariance and smoothing properties of the flow on subsets of $\mathcal C(0,1)$. For certain $\mathcal F_\nu$-flows this implies that initial point measures instantly become absolutely continuous, and stay so over time. Finally, we illustrate the behavior of the flow by various numerical examples using an implicit Euler scheme, which is easily computable by a bisection algorithm. For continuous targets $\nu$, also the explicit Euler scheme can be employed, although with limited convergence guarantees.
• Abstract（参考訳）: 最大平均離散性(MMD)関数のワッサーシュタイン勾配フローを包括的に記述する: $\mathcal F_\nu := \text{MMD}_K^2(\cdot, \nu)$ は実数直線上の与えられた目標測度に対して$\nu$ となる。 ある次元において、ワッサーシュタイン-2空間は、$L_2(0,1)$上の関連するコーシー問題の解を通じてワッサーシュタイン勾配の特徴づけにつながるような量子函数の錐 $\mathcal C(0,1) \subset L_2(0,1)$ に等尺的に埋め込まれる。 L_2(0,1)$ 上の $\mathcal F_\nu$ の適切な値の構成とその部分微分に基づいて、コーシー問題の解を提供する。 離散的目標測度 $\nu$ に対して、これは断片線型解公式をもたらす。 我々は、$\mathcal C(0,1)$ の部分集合上のフローの不変性と滑らか性を証明する。 一定の$\mathcal F_\nu$-flows に対して、これは初期点測度がすぐに絶対連続となり、時間とともにそれを維持することを意味する。 最後に、暗黙のオイラースキームを用いて、様々な数値的な例による流れの挙動を説明する。 連続目標に対して、$\nu$ は明示的なオイラースキームも適用できるが、収束の保証は限られている。

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