論文の概要: Markov Kernels, Distances and Optimal Control: A Parable of Linear Quadratic Non-Gaussian Distribution Steering
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.15753v1
- Date: Tue, 22 Apr 2025 10:07:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-04-30 21:09:53.343415
- Title: Markov Kernels, Distances and Optimal Control: A Parable of Linear Quadratic Non-Gaussian Distribution Steering
- Title（参考訳）: マルコフカーネル, 距離, 最適制御: 線形擬似非ガウス分布ステアリングのパーラ
- Authors: Alexis M. H. Teter, Wenqing Wang, Sachin Shivakumar, Abhishek Halder,
- Abstract要約: Ito Markovfusion $mathrmdboldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t=boldsymbolx_t
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.497013356387396
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: For a controllable linear time-varying (LTV) pair $(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t)$ and $\boldsymbol{Q}_{t}$ positive semidefinite, we derive the Markov kernel for the It\^{o} diffusion ${\mathrm{d}}\boldsymbol{x}_{t}=\boldsymbol{A}_{t}\boldsymbol{x}_t {\mathrm{d}} t + \sqrt{2}\boldsymbol{B}_{t}{\mathrm{d}}\boldsymbol{w}_{t}$ with an accompanying killing of probability mass at rate $\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{Q}_{t}\boldsymbol{x}$. This Markov kernel is the Green's function for an associated linear reaction-advection-diffusion partial differential equation. Our result generalizes the recently derived kernel for the special case $\left(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I}\right)$, and depends on the solution of an associated Riccati matrix ODE. A consequence of this result is that the linear quadratic non-Gaussian Schr\"{o}dinger bridge is exactly solvable. This means that the problem of steering a controlled LTV diffusion from a given non-Gaussian distribution to another over a fixed deadline while minimizing an expected quadratic cost can be solved using dynamic Sinkhorn recursions performed with the derived kernel. Our derivation for the $\left(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t,\boldsymbol{Q}_t\right)$-parametrized kernel pursues a new idea that relies on finding a state-time dependent distance-like functional given by the solution of a deterministic optimal control problem. This technique breaks away from existing methods, such as generalizing Hermite polynomials or Weyl calculus, which have seen limited success in the reaction-diffusion context. Our technique uncovers a new connection between Markov kernels, distances, and optimal control. This connection is of interest beyond its immediate application in solving the linear quadratic Schr\"{o}dinger bridge problem.
- Abstract（参考訳）: LTV) 対 $(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t)$ および $\boldsymbol{Q}_{t}$ 正半有限に対して、I\^{o} 拡散に対するマルコフ核を導出する。
このマルコフ核は、関連する線形反応-対流-拡散偏微分方程式のグリーン函数である。
この結果は、特殊ケース $\left(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I}\right)$ に対して最近導出されたカーネルを一般化し、関連する Riccati 行列ODE の解に依存する。
この結果の結果として、線型二次非ガウス的シュルンディンガー橋は正確に解ける。
このことは、制御されたLTV拡散を与えられた非ガウス分布から固定された期限で他へ操り、期待される二次コストを最小化する問題は、派生したカーネルで実行される動的シンクホーン再帰を用いて解決できることを意味している。
我々が導出した$\left(\boldsymbol{A}_t,\boldsymbol{B}_t,\boldsymbol{Q}_t\right)$-parametrized kernelは、決定論的最適制御問題の解によって与えられる状態時間依存距離のような関数を見つけることに依存する新しいアイデアを追求する。
この手法は、エルミート多項式やワイル積分の一般化のような既存の方法とはかけ離れており、反応拡散の文脈ではほとんど成功しなかった。
本手法は,マルコフカーネル,距離,最適制御の新たな接続を明らかにする。
この接続は、線型二次的シュル「{o}dinger bridge problem」の解法における直近の応用を越えて興味がある。
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