論文の概要: On the Hopf-Cole Transform for Control-affine Schrödinger Bridge
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.17640v1
- Date: Sat, 22 Mar 2025 04:08:10 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-26 16:52:34.680133
- Title: On the Hopf-Cole Transform for Control-affine Schrödinger Bridge
- Title（参考訳）: 制御アフィンシュレーディンガー橋のホップカラー変態について
- Authors: Alexis Teter, Abhishek Halder,
- Abstract要約: ホップ・コール変換が汎用制御-アフィン・シュル・オーディンガー橋問題に対する最適条件に適用されたことを示す。
結果のPDEを非線形逆流拡散-拡散-反応方程式として解釈する方法を説明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.4972323953932129
- License:
- Abstract: The purpose of this note is to clarify the importance of the relation $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto \boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$ in solving control-affine Schr\"{o}dinger bridge problems via the Hopf-Cole transform, where $\boldsymbol{g},\boldsymbol{\sigma}$ are the control and noise coefficients, respectively. We show that the Hopf-Cole transform applied to the conditions of optimality for generic control-affine Schr\"{o}dinger bridge problems, i.e., without the assumption $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto\boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$, gives a pair of forward-backward PDEs that are neither linear nor equation-level decoupled. We explain how the resulting PDEs can be interpreted as nonlinear forward-backward advection-diffusion-reaction equations, where the nonlinearity stem from additional drift and reaction terms involving the gradient of the log-likelihood a.k.a. the score. These additional drift and reaction vanish when $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto\boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$, and the resulting boundary-coupled system of linear PDEs can then be solved by dynamic Sinkhorn recursions. A key takeaway of our work is that the numerical solution of the generic control-affine Schr\"{o}dinger bridge requires further algorithmic development, possibly generalizing the dynamic Sinkhorn recursion or otherwise.
- Abstract（参考訳）: このノートの目的は、制御-アフィンSchr\ "{o}dinger bridge problem via the Hopf-Cole transform における $\boldsymbol{g}^{\top}\propto \boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$ の重要性を明らかにすることである。
一般的な制御-アフィン Schr\"{o}dinger ブリッジ問題に対する最適条件に適用されたホップ・コール変換(英語版)、すなわち、$\boldsymbol{gg}^{\top}\propto\boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$がなければ、線型でも方程式レベルの分離でもない前方方向のPDEのペアを与える。
結果のPDEを非線型逆流-拡散-反応方程式として解釈し, 非線形性は, 対数類似度 a.k.a. の勾配を含む追加のドリフトおよび反応項から導かれる。
これらの追加のドリフトと反応は $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto\boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$ によって消失し、線形PDEの境界結合系は動的シンクホーン再帰法によって解ける。
我々の研究の要点は、一般的な制御アフィンシュルンディンガーブリッジの数値解がさらなるアルゴリズム開発を必要とし、おそらくシンクホーン再帰を一般化することである。
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