論文の概要: Approximation theory for Green's functions via the Lanczos algorithm
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.00089v1
- Date: Wed, 30 Apr 2025 18:00:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-02 19:15:55.1419
- Title: Approximation theory for Green's functions via the Lanczos algorithm
- Title（参考訳）: ランツォスアルゴリズムによるグリーン関数の近似理論
- Authors: Gabriele Pinna, Oliver Lunt, Curt von Keyserlingk,
- Abstract要約: グリーン函数は連続分数として表せることが知られている。
連続分数を用いたグリーン関数の近似における誤差に関する理論を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: It is known that Green's functions can be expressed as continued fractions; the content at the $n$-th level of the fraction is encoded in a coefficient $b_n$, which can be recursively obtained using the Lanczos algorithm. We present a theory concerning errors in approximating Green's functions using continued fractions when only the first $N$ coefficients are known exactly. Our focus lies on the stitching approximation (also known as the recursion method), wherein truncated continued fractions are completed with a sequence of coefficients for which exact solutions are available. We assume a now standard conjecture about the growth of the Lanczos coefficients in chaotic many-body systems, and that the stitching approximation converges to the correct answer. Given these assumptions, we show that the rate of convergence of the stitching approximation to a Green's function depends strongly on the decay of staggered subleading terms in the Lanczos cofficients. Typically, the decay of the error term ranges from $1/\mathrm{poly}(N)$ in the best case to $1/\mathrm{poly}(\log N)$ in the worst case, depending on the differentiability of the spectral function at the origin. We present different variants of this error estimate for different asymptotic behaviours of the $b_n$, and we also conjecture a relationship between the asymptotic behavior of the $b_n$'s and the smoothness of the Green's function. Lastly, with the above assumptions, we prove a formula linking the spectral function's value at the origin to a product of continued fraction coefficients, which we then apply to estimate the diffusion constant in the mixed field Ising model.
- Abstract（参考訳）: グリーン関数は連続分数として表せることが知られており、その分数の$n$-レベルの内容は係数$b_n$でエンコードされ、Lanczosアルゴリズムを用いて再帰的に得られる。
我々は、最初の$N$係数のみを正確に知るとき、連続分数を用いてグリーン関数を近似する際の誤差に関する理論を示す。
我々の焦点は縫合近似(再帰法としても知られる)であり、そこでは切り離された連続分数に、正確な解が利用できる係数の列で完結する。
我々は、カオス多体系におけるランツォス係数の成長に関する現在標準予想を仮定し、縫合近似は正しい解に収束する。
これらの仮定から、縫合近似のグリーン関数への収束の速度は、ランツォス係数におけるスタッガー付き部分リーディング項の崩壊に強く依存していることが示される。
通常、誤差項の崩壊は、最良の場合の1/\mathrm{poly}(N)$から最悪の場合の1/\mathrm{poly}(\log N)$まで、原点におけるスペクトル関数の微分可能性に依存する。
我々は、この誤差推定の異なる変種を$b_n$の異なる漸近挙動に対して提示し、また、$b_n$の漸近挙動とグリーン関数の滑らかさとの関係を予想する。
最後に、上記の仮定を用いて、原点におけるスペクトル関数の値と連続する分数係数の積をリンクする公式を証明し、混合場イジングモデルにおける拡散定数を推定する。
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