論文の概要: When fractional quasi p-norms concentrate

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.19635v1
• Date: Mon, 26 May 2025 07:53:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-27 16:58:43.259
• Title: When fractional quasi p-norms concentrate
• Title（参考訳）: 分数的準 p-ノルムが集中する場合
• Authors: Ivan Y. Tyukin, Bogdan Grechuk, Evgeny M. Mirkes, Alexander N. Gorban,
• Abstract要約: 高次元における距離の集中は、安定かつ信頼性の高いデータ解析アルゴリズムの開発と設計にとって重要な要素である。 分数準位$p$-ノルムが集中する条件と、そうでない条件を同定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.83880683386964
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Concentration of distances in high dimension is an important factor for the development and design of stable and reliable data analysis algorithms. In this paper, we address the fundamental long-standing question about the concentration of distances in high dimension for fractional quasi $p$-norms, $p\in(0,1)$. The topic has been at the centre of various theoretical and empirical controversies. Here we, for the first time, identify conditions when fractional quasi $p$-norms concentrate and when they don't. We show that contrary to some earlier suggestions, for broad classes of distributions, fractional quasi $p$-norms admit exponential and uniform in $p$ concentration bounds. For these distributions, the results effectively rule out previously proposed approaches to alleviate concentration by "optimal" setting the values of $p$ in $(0,1)$. At the same time, we specify conditions and the corresponding families of distributions for which one can still control concentration rates by appropriate choices of $p$. We also show that in an arbitrarily small vicinity of a distribution from a large class of distributions for which uniform concentration occurs, there are uncountably many other distributions featuring anti-concentration properties. Importantly, this behavior enables devising relevant data encoding or representation schemes favouring or discouraging distance concentration. The results shed new light on this long-standing problem and resolve the tension around the topic in both theory and empirical evidence reported in the literature.
• Abstract（参考訳）: 高次元における距離の集中は、安定かつ信頼性の高いデータ解析アルゴリズムの開発と設計にとって重要な要素である。 本稿では、分数準位$p$-norms, $p\in(0,1)$に対して、高次元における距離の集中に関する基本的な長年の疑問に対処する。 この話題は様々な理論的・実証的な論争の中心にある。 ここではじめて、分数準位数$p$-ノルムが集中する条件と、そうでない条件を識別する。 より広い分布のクラスに対して、いくつかの以前の提案とは対照的に、分数的な$p$-ノルムは指数的かつ$p$濃度境界において一様であることを示す。 これらの分布について、この結果は、p$ in $(0, 1)$ の値を「最適」に設定することで、従来提案されていた濃度を緩和するアプローチを効果的に除外する。 同時に、条件と対応する分布の族を指定し、$p$の適切な選択で濃度率を制御できる。 また,一様濃度の分布から得られる分布が任意に小さい場合,反集束特性を特徴とする分布が無数に存在することを示す。 重要なことに、この行動は、距離集中を好まない、または阻止する、関連するデータエンコーディングや表現スキームの考案を可能にする。 その結果、この長期間にわたる問題に新たな光を当て、論文で報告された理論と実証的な証拠の両方において、このトピックに関する緊張を解消した。

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