論文の概要: Lipschitz Bounds for Persistent Laplacian Eigenvalues under One-Simplex Insertions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.21352v1
• Date: Thu, 26 Jun 2025 15:03:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-27 19:53:10.14861
• Title: Lipschitz Bounds for Persistent Laplacian Eigenvalues under One-Simplex Insertions
• Title（参考訳）: 1-Simplex 条件下での持続ラプラシアン固有値に対するリプシッツ境界
• Authors: Le Vu Anh, Mehmet Dik, Nguyen Viet Anh,
• Abstract要約: 我々は、永続ラプラシアンに対して一様リプシッツを有界に証明する。 スペクトルトポロジカルデータ解析における最初の固有値レベルの保証を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Persistent Laplacians are matrix operators that track how the shape and structure of data transform across scales and are popularly adopted in biology, physics, and machine learning. Their eigenvalues are concise descriptors of geometric and topological features in a filtration. Although earlier work established global algebraic stability for these operators, the precise change in a single eigenvalue when one simplex, such as a vertex, edge, or triangle, is added has remained unknown. This is important because downstream tools, including heat-kernel signatures and spectral neural networks, depend directly on these eigenvalues. We close this gap by proving a uniform Lipschitz bound: after inserting one simplex, every up-persistent Laplacian eigenvalue can vary by at most twice the Euclidean norm of that simplex's boundary, independent of filtration scale and complex size. This result delivers the first eigenvalue-level robustness guarantee for spectral topological data analysis. It guarantees that spectral features remain stable under local updates and enables reliable error control in dynamic data settings.
• Abstract（参考訳）: 永続ラプラシアン(Persistent Laplacian)は、データの形状と構造がスケールによってどのように変化するかを追跡する行列演算子であり、生物学、物理学、機械学習で広く採用されている。 固有値は、濾過における幾何学的特徴と位相的特徴の簡潔な記述子である。 初期の研究はこれらの作用素に対する大域的代数的安定性を確立したが、頂点、辺、三角形のような1つの単純集合が加わったときの1つの固有値の正確な変化は未知のままである。 熱カーネルシグネチャやスペクトルニューラルネットワークなどの下流ツールは、これらの固有値に直接依存するため、これは重要である。 均一なリプシッツ境界を証明することにより、このギャップを閉じる: 1つの単純体を挿入した後、すべてのラプラシアン固有値は、その単純体の境界のユークリッドノルムの少なくとも2倍は、濾過スケールと複素サイズに依存しない。 この結果から,スペクトルトポロジカルデータ解析における固有値レベルのロバスト性保証が実現された。 スペクトル機能はローカル更新の下で安定し、動的データ設定で信頼性の高いエラー制御を可能にする。

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