論文の概要: Monte Carlo and quasi-Monte Carlo integration for likelihood functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.21733v1
• Date: Thu, 26 Jun 2025 19:39:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-30 21:12:22.993112
• Title: Monte Carlo and quasi-Monte Carlo integration for likelihood functions
• Title（参考訳）: 確率関数に対するモンテカルロおよび準モンテカルロ積分
• Authors: Yanbo Tang,
• Abstract要約: 我々は,モンテカルロ法と準モンテカルロ法(QMC)の積分誤差を比較し,後続分布の正規化定数と一定の限界確率を近似する。 積分の次元が無限大になる傾向にある$n$と$m$として固定されている場合、MC積分の相対誤差のスケーリングレートは、追加の$n1/2log(n)p/2$データ依存因子を含む。 この研究のさらなる貢献は、ホルトン系列に対する星の差の高次元スケーリングに縛られることである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We compare the integration error of Monte Carlo (MC) and quasi-Monte Carlo (QMC) methods for approximating the normalizing constant of posterior distributions and certain marginal likelihoods. In doing so, we characterize the dependency of the relative and absolute integration errors on the number of data points ($n$), the number of grid points ($m$) and the dimension of the integral ($p$). We find that if the dimension of the integral remains fixed as $n$ and $m$ tend to infinity, the scaling rate of the relative error of MC integration includes an additional $n^{1/2}\log(n)^{p/2}$ data-dependent factor, while for QMC this factor is $\log(n)^{p/2}$. In this scenario, QMC will outperform MC if $\log(m)^{p - 1/2}/\sqrt{mn\log(n)} < 1$, which differs from the usual result that QMC will outperform MC if $\log(m)^p/m^{1/2} < 1$.The accuracies of MC and QMC methods are also examined in the high-dimensional setting as $p \rightarrow \infty$, where MC gives more optimistic results as the scaling in dimension is slower than that of QMC when the Halton sequence is used to construct the low discrepancy grid; however both methods display poor dimensional scaling as expected. An additional contribution of this work is a bound on the high-dimensional scaling of the star discrepancy for the Halton sequence.
• Abstract（参考訳）: 我々は,モンテカルロ法と準モンテカルロ法(QMC)の積分誤差を比較し,後続分布の正規化定数と一定の限界確率を近似する。 その際、相対積分誤差と絶対積分誤差は、データポイント数(n$)、グリッドポイント数(m$)、積分の次元(p$)に依存する。 積分の次元が無限大になる傾向にある$n$と$m$として固定されている場合、MC積分の相対誤差のスケーリングレートは、追加の$n^{1/2}\logを含む。 (n)^{p/2}$ data-dependent factor、QMCでは$\logである。 (n)^{p/2}$。 このシナリオでは、QMCは$\log で MC を上回っます。 (m)^{p - 1/2}/\sqrt{mn\log (n)} < 1$ は、QMCが$\log で MC を上回る通常の結果とは異なる。 (m)^p/m^{1/2} < 1$。 MC法とQMC法の精度は高次元設定においても$p \rightarrow \infty$として検証されるが、MC法は低差分格子を構成するためにハルトン列を用いる場合のQMCのスケーリングが遅いため、MC法はより楽観的な結果を与える。 この研究のさらなる貢献は、ホルトン系列に対する星の差の高次元スケーリングに縛られることである。

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