論文の概要: Computational Resolution of Hadamard Product Factorization for $4 \times 4$ Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.14901v1
• Date: Thu, 31 Jul 2025 21:00:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-24 10:27:26.540754
• Title: Computational Resolution of Hadamard Product Factorization for $4 \times 4$ Matrices
• Title（参考訳）: 4 = 4$行列に対するアダマール生成物分解の計算解法
• Authors: Igor Rivin,
• Abstract要約: 表現可能な 4× 4$ のフルランク行列が16次元空間内の約10次元多様体上に存在することが分かる。 この創発的な低次元構造は、アダマール分解可能性を管理する深い代数的制約を示唆する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We computationally resolve an open problem concerning the expressibility of $4 \times 4$ full-rank matrices as Hadamard products of two rank-2 matrices. Through exhaustive search over $\mathbb{F}_2$, we identify 5,304 counterexamples among the 20,160 full-rank binary matrices (26.3\%). We verify that these counterexamples remain valid over $\mathbb{Z}$ through sign enumeration and provide strong numerical evidence for their validity over $\mathbb{R}$. Remarkably, our analysis reveals that matrix density (number of ones) is highly predictive of expressibility, achieving 95.7\% classification accuracy. Using modern machine learning techniques, we discover that expressible matrices lie on an approximately 10-dimensional variety within the 16-dimensional ambient space, despite the naive parameter count of 24 (12 parameters each for two $4 \times 4$ rank-2 matrices). This emergent low-dimensional structure suggests deep algebraic constraints governing Hadamard factorizability.
• Abstract（参考訳）: 2ランク2行列のアダマール積として4 \times 4$ full-rank matrices の表現性に関するオープンな問題を計算的に解決する。 $\mathbb{F}_2$ の徹底的な探索により、20,160 個のフルランク二乗行列 (26.3 %) のうち 5,304 個の反例を同定する。 これらの反例が符号列挙を通して$\mathbb{Z}$上で有効であることを検証するとともに、$\mathbb{R}$よりも高い数値的な証拠を提供する。 注目すべきは、行列密度(個数)が表現率を高い精度で予測し、95.7\%の分類精度を達成できることである。 現代の機械学習技術を用いて、16次元空間内の約10次元多様体上に表現可能な行列が存在することを発見した。 この創発的な低次元構造は、アダマール分解可能性を管理する深い代数的制約を示唆する。

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